外接球問題學案-2025屆高三數學一輪復習

一輪復習學案之外接球PAGEPAGE26外接球問題第一類：與長方體有關的外接球問題1.長方體的外接球①球心:體對角線的交點;②半徑：(分別為長方體的長、寬、高).2.正方體的外接球①球心:正方體的中心②半徑：（為正方體的棱長）可以補形為長方體或正方體：3.正四面體的外接球①球心:正四面體的中心②半徑：（為正四面體的棱長）例1：已知棱長為1的正四面體的四個頂點都在一個球面上，則這個球的體積為()A．eq\f(\r(6),8)πB．eq\f(\r(6),4)πC．eq\f(\r(3),8)πD．eq\f(\r(3),4)π解析：如圖將棱長為1的正四面體B1-ACD1放入正方體ABCD-A1B1C1D1中，且正方體的棱長為所以正方體的體對角線AC1＝正方體外接球的直徑2R＝所以正方體外接球的體積為正四面體的外接球即為正方體的外接球，所以正四面體的外接球的體積為4.存在三條棱兩兩垂直的三棱錐外接球[例2](2024·四川成都模擬)已知三棱錐P-ABC中，若△ABC是正三角形且PA＝PB＝PC＝a，PA⊥平面PBC，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A．4eq\r(3)a3B．3πa2C．eq\f(\r(3),2)πa3D．12a2將三棱錐P-ABC補成正方體PBFC-AMNE，如圖所示，所以三棱錐P-ABC的外接球直徑即為正方體PBFC-AMNE的體對角線長5.對棱相等的三棱錐補成長方體或正方體[例3](2024·江西南昌模擬)在三棱錐P-ABC中，已知PA＝BC＝2eq\r(13)，AC＝BP＝eq\r(41)，CP＝AB＝eq\r(61)，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A．77πB．64πC．108πD．72π解析：.因為三棱錐的對棱相等，所以可以把它看成長方體的面對角線，設長方體的同一頂點三條棱長分別為a，b，c，且長方體的面對角線長為2eq\r(13)，eq\r(41)，eq\r(61)，則eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(13)，eq\r(c2＋b2)＝eq\r(41)，eq\r(a2＋c2)＝eq\r(61).長方體體對角線為長方體外接球直徑，即為三棱錐外接球的直徑，2R＝d＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝它外接球半徑等于，所以球的表面積為4πR2＝第二類：與截面圓有關的外接球問題截面圓圓心與球心距離截面圓半徑球半徑則6.正棱柱、正棱臺、圓柱、圓臺的外接球①球心:上下底面中心連線的中點；②半徑：（為底面圓的半徑，為棱柱的高）例4：（24-25高二上·廣東河源·期中）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【提示】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為．上下底面中心連線的中點就是球心，如圖，為三棱柱上底面的中心，為球心，正棱臺的外接球[例5](2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100πB．128πC．144πD．192π解析：正棱臺外接球的球心必在過正棱臺上、下底面中心的連線所在直線上．圓柱的外接球例6：已知某圓柱的側面積為，當此圓柱的外接球體積最小時，它的高為.圓臺的外接球例7：（23-24高三上·湖南·開學考試）已知圓臺的上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為6，圓臺的體積為，且它的兩個底面圓周都在球O的球面上，則（

）．A．3 B．4 C．15 D．17【分析】由已知根據圓臺的體積公式，求出圓臺的高，再利用球的內接圓臺構造直角三角形利用勾股定理，建立方程，求出的長，從而求出的值.7.直三棱柱的外接球：①球心:上、下底面三角形外心連線的中點；②半徑：（為底面圓的半徑，為棱柱的高）③三棱柱底面圓的半徑常常借助正弦定理求解8.直棱錐的外接球有一條側棱與底面垂直的棱錐補成直棱柱求解．例8：(2024·湘豫名校第一次聯考)已知三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，PB＝2eq\r(3)，AC＝6，∠ABC＝120°，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為__________．解析：由題意，將三棱錐P-ABC補成直三棱柱TPS-ABC，則該直三棱柱的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點上．設△ABC外接圓的半徑為r，三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，因為PB⊥平面ABC，PB＝2eq\r(3)，AC＝6，∠ABC＝120°，由正弦定理得，2r＝，所以r＝，R2＝所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S＝9.正棱錐的外接球①球心:在其高上，具體位置由計算可得；例9：（24-25高三上·湖南·期中）已知正四棱錐的頂點都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為，則正四棱錐的體積為（

）A．B．C．D．【詳解】因為棱錐的高和球的半徑均為，所以底面正方形的外接圓圓心即為球心，外接圓半徑即為球的半徑，所以正四棱錐的底面邊長故四棱錐的體積為例10、已知“高為1，底面邊長為4eq\r(3)的正三棱錐”，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_____．解析：由題意可知，正三棱錐外接球的球心位于高VM所在直線上，設為O.10.圓錐的外接球例11．（22-23高二上·浙江·期中）已知圓錐底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【詳解】如圖所示，易知圓錐的外接球