外接球問(wèn)題學(xué)案-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

一輪復(fù)習(xí)學(xué)案之外接球PAGEPAGE26外接球問(wèn)題第一類(lèi)：與長(zhǎng)方體有關(guān)的外接球問(wèn)題1.長(zhǎng)方體的外接球①球心:體對(duì)角線的交點(diǎn);②半徑：(分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).2.正方體的外接球①球心:正方體的中心②半徑：（為正方體的棱長(zhǎng)）可以補(bǔ)形為長(zhǎng)方體或正方體：3.正四面體的外接球①球心:正四面體的中心②半徑：（為正四面體的棱長(zhǎng)）例1：已知棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為()A．eq\f(\r(6),8)πB．eq\f(\r(6),4)πC．eq\f(\r(3),8)πD．eq\f(\r(3),4)π解析：如圖將棱長(zhǎng)為1的正四面體B1-ACD1放入正方體ABCD-A1B1C1D1中，且正方體的棱長(zhǎng)為所以正方體的體對(duì)角線AC1＝正方體外接球的直徑2R＝所以正方體外接球的體積為正四面體的外接球即為正方體的外接球，所以正四面體的外接球的體積為4.存在三條棱兩兩垂直的三棱錐外接球[例2](2024·四川成都模擬)已知三棱錐P-ABC中，若△ABC是正三角形且PA＝PB＝PC＝a，PA⊥平面PBC，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為()A．4eq\r(3)a3B．3πa2C．eq\f(\r(3),2)πa3D．12a2將三棱錐P-ABC補(bǔ)成正方體PBFC-AMNE，如圖所示，所以三棱錐P-ABC的外接球直徑即為正方體PBFC-AMNE的體對(duì)角線長(zhǎng)5.對(duì)棱相等的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體[例3](2024·江西南昌模擬)在三棱錐P-ABC中，已知PA＝BC＝2eq\r(13)，AC＝BP＝eq\r(41)，CP＝AB＝eq\r(61)，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為()A．77πB．64πC．108πD．72π解析：.因?yàn)槿忮F的對(duì)棱相等，所以可以把它看成長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，且長(zhǎng)方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(13)，eq\r(41)，eq\r(61)，則eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(13)，eq\r(c2＋b2)＝eq\r(41)，eq\r(a2＋c2)＝eq\r(61).長(zhǎng)方體體對(duì)角線為長(zhǎng)方體外接球直徑，即為三棱錐外接球的直徑，2R＝d＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝它外接球半徑等于，所以球的表面積為4πR2＝第二類(lèi)：與截面圓有關(guān)的外接球問(wèn)題截面圓圓心與球心距離截面圓半徑球半徑則6.正棱柱、正棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的外接球①球心:上下底面中心連線的中點(diǎn)；②半徑：（為底面圓的半徑，為棱柱的高）例4：（24-25高二上·廣東河源·期中）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【提示】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，均為．上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，如圖，為三棱柱上底面的中心，為球心，正棱臺(tái)的外接球[例5](2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100πB．128πC．144πD．192π解析：正棱臺(tái)外接球的球心必在過(guò)正棱臺(tái)上、下底面中心的連線所在直線上．圓柱的外接球例6：已知某圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)此圓柱的外接球體積最小時(shí)，它的高為.圓臺(tái)的外接球例7：（23-24高三上·湖南·開(kāi)學(xué)考試）已知圓臺(tái)的上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為6，圓臺(tái)的體積為，且它的兩個(gè)底面圓周都在球O的球面上，則（

）．A．3 B．4 C．15 D．17【分析】由已知根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，求出圓臺(tái)的高，再利用球的內(nèi)接圓臺(tái)構(gòu)造直角三角形利用勾股定理，建立方程，求出的長(zhǎng)，從而求出的值.7.直三棱柱的外接球：①球心:上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；②半徑：（為底面圓的半徑，為棱柱的高）③三棱柱底面圓的半徑常常借助正弦定理求解8.直棱錐的外接球有一條側(cè)棱與底面垂直的棱錐補(bǔ)成直棱柱求解．例8：(2024·湘豫名校第一次聯(lián)考)已知三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，PB＝2eq\r(3)，AC＝6，∠ABC＝120°，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為_(kāi)_________．解析：由題意，將三棱錐P-ABC補(bǔ)成直三棱柱TPS-ABC，則該直三棱柱的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上．設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，三棱錐P-ABC外接球的半徑為R，因?yàn)镻B⊥平面ABC，PB＝2eq\r(3)，AC＝6，∠ABC＝120°，由正弦定理得，2r＝，所以r＝，R2＝所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S＝9.正棱錐的外接球①球心:在其高上，具體位置由計(jì)算可得；例9：（24-25高三上·湖南·期中）已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為，則正四棱錐的體積為（

）A．B．C．D．【詳解】因?yàn)槔忮F的高和球的半徑均為，所以底面正方形的外接圓圓心即為球心，外接圓半徑即為球的半徑，所以正四棱錐的底面邊長(zhǎng)故四棱錐的體積為例10、已知“高為1，底面邊長(zhǎng)為4eq\r(3)的正三棱錐”，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)____．解析：由題意可知，正三棱錐外接球的球心位于高VM所在直線上，設(shè)為O.10.圓錐的外接球例11．（22-23高二上·浙江·期中）已知圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【詳解】如圖所示，易知圓錐的外接球