江蘇省泰州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試號等填寫在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知該直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：B2.圓不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】圓化為(，表示圓心為，半徑為5的圓，如圖所示：所以，圓不經(jīng)過第三象限．故選：C．3.雙曲線的一個焦點(diǎn)是，則（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】D【解析】由雙曲線的一個焦點(diǎn)是，得，方程為，則，解得.故選：D4.直線與圓交于、兩點(diǎn)，則的面積為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，則，所以的面積為.故選：C5.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)Mx,y，，，得，所以點(diǎn)到軸的距離為.故選：B.6.點(diǎn)在直線上運(yùn)動，，，則的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】點(diǎn)，都在直線的下方，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與直線的交點(diǎn)時取等號，所以的最小值是5.故選：C7.已知、分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓上異于、的一點(diǎn)，若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，，設(shè)點(diǎn)，則，即，依題意，，因此，所以橢圓的離心率.故選：A8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)(且)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓：上有且僅有一個點(diǎn)滿足，則的取值可以為（）A.1或3 B.2 C.5 D.1或5【答案】D【解析】設(shè)，由，得，整理得，又點(diǎn)是圓上有且僅有的一點(diǎn)，所以兩圓相切，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，，得．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為B.直線與直線之間的距離為C.直線在軸上的截距為D.將直線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，所得到的直線為【答案】ACD【解析】A.過點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為，故A正確；B.直線與直線之間的距離，故B錯誤；C.直線，時，，所以直線在軸上的截距為，故C正確；D.直線過原點(diǎn)，且傾斜角為，直線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后直線的傾斜角為，也過原點(diǎn)，得到直線方程為，故D正確.故選：ACD10.已知圓，直線.則以下幾個結(jié)論正確的有（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓被軸截得的弦長為C.點(diǎn)到直線的距離的最大值是D.直線被圓截得的弦長最短時，直線的方程為【答案】ABD【解析】A.直線，不管為何值，滿足方程，即可直線恒過定點(diǎn)，故A正確；B.當(dāng)時，，解得：，，所以圓被軸截得的弦長為，故B正確；C.圓心到直線的距離的最大值是圓心與定點(diǎn)的距離，故C錯誤；D.設(shè)直線的定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時，此時弦長最短，即，，所以直線的斜率為2，所以直線的方程為，即，故D正確.故選：ABD11.《文心雕龍》中說“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成雙成對的.已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù).若某條直線上存在這樣的點(diǎn)，則稱該直線為“成雙直線”，下列說法正確的是（）A.動點(diǎn)的軌跡方程為：B.的最大值為16C.點(diǎn)為動點(diǎn)的軌跡上的任意一點(diǎn)，，，則的面積為D.直線與動點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，則的最小值為【答案】AD【解析】設(shè)，則，化簡為，故A正確；B.由A可知，，的最大值為，故B錯誤；C.由橢圓方程可知，點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，則，即，，，所以，則，故C錯誤；D.四邊形是平行四邊形，即，,當(dāng)，即時，等號成立，所以則的最小值為，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線，若，則______.【答案】【解析】由題意可知，，解得：.故答案為：13.已知圓和圓，則兩圓公共弦的弦長為_______.【答案】【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即圓與圓相交，其公共弦所在直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，所以公共弦長為.故答案為：14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線方程是_____，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，_______.【答案】①②2【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時.故答案為：；2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的高.（1）求所在直線的方程；（2）求高所在直線的方程.解：（1）由，邊中點(diǎn)，得點(diǎn)，又點(diǎn)，則直線的斜率，直線的方程為，即，所以所在直線的方程為.（2）由（1）知，直線的斜率，所以高所在直線方程為，即.16.已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若圓與直線交于、兩點(diǎn)，_____，求的值.從下列三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：圓被直線分成兩段圓弧，其弧長比為；條件②：；條件③：.解：（1）設(shè)圓心，半徑為，則，解得：，所以圓的方程為；（2）若選條件①，則劣弧所對的圓心角為，所以圓心到直線的距離為，即，解得：或；若選條件②，，，所以圓心到的距離為，即，所以或；若選條件③，，則圓心到的距離為，即，所以或.17.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知、是雙曲線上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的方程.解：（1）由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，設(shè)雙曲線的方程為，而點(diǎn)在雙曲線上，因此，方程為，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，由線段的中點(diǎn)為M1,1，得，解得，此時方程為，，因此，所以直線的方程為，即.18.已知表示圓的方程.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)圓的面積最大時，求過點(diǎn)的圓的切線方程；（3）為圓上任意一點(diǎn)，已知點(diǎn)，在（2）的條件下，求的最小值.解：（1）圓的方程，可化為，∵該方程表示圓，∴，解得，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）圓的半徑，∴當(dāng)時，圓C的半徑最大，即圓C的面積取得最大值，此時圓的方程為，圓心，半徑，當(dāng)切線斜率不存在時，其方程為，符合題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx-1，即，∵圓心到切線的距離等于半徑，∴，解得，∴切線方程，即，綜上，切線的方程為或.（3）設(shè)Px,y，又，，，則，設(shè)，則表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，∵，則點(diǎn)在圓外，所以，則∴的最小值為．19.如圖，已知橢圓過點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與