雙變量問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)07雙變量問題【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1雙變量單調(diào)性問題】...................................................................2

【題型2雙變量的最值（取值范圍）問題】......................................................3

【題型3雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題】........................................................4

【題型4與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題】..........................................................5

【題型5與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題】............................................................6

【題型6雙變量的恒成立問題】.................................................................7

【題型7雙變量的不等式證明問題】.............................................................8

【題型8與切線有關(guān)的雙變量問題】............................................................10

【題型9雙變量的新定義問題】................................................................11

?命題規(guī)律

1、雙變量問題

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，是高考常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題在高考中占有很重

要的地位，主要涉及雙變量的恒成立問題、雙參數(shù)不等式問題以及雙變量的不等式證明等問題，一般作為

解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題】

1.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題往往以雙參數(shù)不等式的形式呈現(xiàn)，要想解決雙變量問題，就需要掌握破解雙參數(shù)

不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題的解題策略】

1.轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)解決雙變量問題

此類問題一般是給出含有XI，X2,於1），加2）的不等式，若能通過變形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式

相同的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用該函數(shù)單調(diào)性求解.

2.整體代換解決雙變量問題

（1）解此類題的關(guān)鍵是利用代入消元法消去參數(shù)。，得到僅含有XI,X2的式子.

⑵與極值點(diǎn)Xl,X2有關(guān)的雙變量問題：一般是根據(jù)xi，X2是方程/（X）=O的兩個(gè)根，確定Xl，X2的關(guān)系,

再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有XI或X2的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)解題，即把所給條件轉(zhuǎn)化為XI，X2的齊次式，然后

轉(zhuǎn)化為關(guān)于g的函數(shù)，把些看作一個(gè)變量進(jìn)行整體代換，從而把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決問題.

3.構(gòu)造函數(shù)解決雙變量問題的答題模板

第一步：分析題意，探究?jī)勺兞康年P(guān)系；

第二步：合二為一，變?yōu)閱巫兞坎坏仁剑?/p>

第三步：構(gòu)造函數(shù)；

第四步：判斷新函數(shù)的單調(diào)性或求新函數(shù)的最值，進(jìn)而解決問題；

第五步：反思回顧解題過程，規(guī)范解題步驟.

?舉一反三

【題型1雙變量單調(diào)性問題】

【例1】(23-24高二下?江蘇常州?期中)已知函數(shù)/'(%)=xInK-ga/,aeR.

(1)若以久)=與，求函數(shù)g(x)在區(qū)間［l,e］上的最大值；

(2)若對(duì)于任意的打，x2e+X1^x2,都有號(hào)號(hào)詈<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式1-1］(23-24高二下?上海?期末)已知/(久)=2x+l—xln久.

(1)求曲線y=/(%)在％=1處的切線方程；

(2)若對(duì)任意的％i，%2e(。，+8),且久1w無2，都有￡"豆一"、2)>m(%1+上)，求實(shí)數(shù)血的取值范圍.

%1一%2

【變式1?2】(23?24高二下?上海,期末)已知函數(shù)/(%)=一(。+2)%+in%

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(%)的極大值；

(2)若絲:？)>_2對(duì)一切o<打<久2都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式1-3](2024?山西呂梁?三模)已知函數(shù)/(%)=d一2%+aln%,(aeR).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的比1/2e(0,+00),X1豐x2,使"⑶)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍.

久1一％2

【題型2雙變量的最值(取值范圍)問題】

【例2】(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(久)=Inx-a久一3

(1)若f(x)N0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若g(x)=f(x)+x2+2有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為巧，%2(xi<x2)>求2goJ-。(冷)的最小值.

【變式2-1](2023?湖北武漢?一模)已知關(guān)于無的方程a光—Inx=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根比i和久2,且打<①

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)k為常數(shù)，當(dāng)a變化時(shí)，若若久2有最小值e,，求常數(shù)k的值.

【變式2-2](2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(￡)=詈-m/e(0m).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若比1<x2,滿足/O1)=/(%2)=0-

(i)求m的取值范圍;

(ii)證明：%i+%2V兀

【變式2-3](2024?四川瀘州?一■模)已知函數(shù)/(%)=a%+1-％ln%的圖像在％=1處的切線與直線％-y=0

平行.

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若V%i，%2€(。，+8),且;q>和時(shí)，/Ui)-/3)>M(年一老)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【題型3雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題】

【例3】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)-當(dāng)，a>0.

(1)若/(%)存在零點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若無1，%2為/(%)的零點(diǎn)，且證明：a(%i+%2)2>2.

【變式3-1](2024?廣東佛山?二模)已知/(%)=-1e2%+4ex-ax-5.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)第1，冷，證明：/Oi)+。(冷)++%2Vo.

【變式3-2](2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(a+l)e，-1/+i(aeR).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(比)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)比<小)是函數(shù)y=f'0)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：+X2>2.

【變式3-3](2024?安徽阜陽?一模)已知函數(shù)/(%)=31nx—ax.

(1)討論f(%)的單調(diào)性.

(2)已知久i，%2是函數(shù)/(久)的兩個(gè)零點(diǎn)(第1<%2)?

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(ii)Ae(0;)，//(%)是/(%)的導(dǎo)函數(shù).證明：/[A%!+(1-A)X2]<。.

【題型4與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題】

【例4】(2024?四川南充?二模)已知函數(shù)/(%)=ae汽一%3(?！闞)有三個(gè)極值點(diǎn)%(%1<%2<%3).

⑴求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若%322%2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式4-1](2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=(%+t)ln(x+t)+(t-l)x(t6R).

(1)當(dāng)t=0時(shí)，討論函數(shù)/(%)的極值；

0

(2)已知F(%)=/(%)-e%,函數(shù)產(chǎn)(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%1，冷，證明：%i+%2<-

【變式4-2](2023?四川攀枝花?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=ae%-%(aER).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=(%2-l)ex-%-/(%),當(dāng)g(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%<%2)時(shí)，總有旭(%2)之(2+%i)(eX2+

成一3)成立，求實(shí)數(shù)力的值.

【變式4-3](2023?上海松江?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=a%-aln%

(1)若。=0,求函數(shù)y=/(久)的極值點(diǎn)；

(2)若不等式/(%)<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=/(%)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)久1、%2、%3，且/(%1)+/(%2)+f(%3)43e2-e,求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

【題型5與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問題】

【例5】(2024?四川?一模)已知函數(shù)/(%)=a/+%-In%-a.

(1)若a=l,求/(%)的最小值；

(2)若/(%)有2個(gè)零點(diǎn)％1，%2，證明：+%2尸+(%i+冷)>2.

【變式5-1](2023?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=1時(shí),求/(￡)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)若函數(shù)gO)=/(%)-《有兩個(gè)零點(diǎn)2aLV%2)證明：X1-x2>e.

【變式5-2](2023?貴州貴陽?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=a%-In%有兩個(gè)零點(diǎn)％

(1)求a的取值范圍；

2e

(2)求證：%1+%2>(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

【變式5?3】(2023?海南?？?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=疣計(jì)2.

(1)求/(%)的最小值；

(2)設(shè)尸(%)=/(%)+a(x+l)2(a>0).

(i)證明：/(%)存在兩個(gè)零點(diǎn)%0%2；

(ii)證明：F(%)的兩個(gè)零點(diǎn)％0犯滿足%1+%2+2V0.

【題型6雙變量的恒成立問題】

【例6】(2023?四川自貢?二模)已知函數(shù)/(%)=-好有兩個(gè)極值點(diǎn)%1、%2.

(1)求a的取值范圍；

(2)若％2>3勺時(shí)，不等式％1+尢Q22%62恒成立，求入的最小值.

【變式6-1](2023?河南?二模)已知函數(shù)/(%)=3租%2+(7n-1)%-ln%(m€R),g(%)=/-9+i.

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)血>0時(shí)，若對(duì)于任意的第1e(0,+8),總存在％2e[1,+oo),使得/(%i)>g(%2)，求血的取值范圍.

【變式6-2](2023?全國(guó)?二模)已知函數(shù)/(%)=%lnx-一%+R),/'(、)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)a=：時(shí)，若g(%)=/，(%)在[匕力+l](t>0)上的最大值為九(。，求八⑷；

(2)已知%1，%2是函數(shù)/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且％1<%2，若不等式ei+血<皆恒成立，求正數(shù)m的取值范圍.

【變式6-3](2023?安徽淮南?一模)已知/(%)=a\nx+%有兩個(gè)不同的零點(diǎn)％力第2(。<<x2).

(1)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)若&="1個(gè)=工_1),且/'(%o)>o恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.

1+Z

【題型7雙變量的不等式證明問題】

[例7](2023?安徽六安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=x2+2cos%,/'(%)為函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù).

⑴討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)g(%)=/(%)-5%+5alnx,存在g(%i)=5(x2)(xi。]2)，證明：%i+%2>2a.

【變式7-1](2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)已知函數(shù)/(%)=%—1sin]—+1.

(1)當(dāng)TH=2時(shí)，試判斷函數(shù)/(%)在(7T,+8)上的單調(diào)性；

(2)存在%1，%2W(°，+8),%1(%2，f(%l)=/(%2)，求證：第1久2<租2.

【變式7?2】(2023?福建龍巖?二模)已知函數(shù)/(%)=In%,g(x)=%-

(1)若%o滿足/(%o)=比|,證明：曲線y=/(%)在點(diǎn)Z(%oJn%o)處的切線也是曲線y=e*的切線;

XQ—1

(2)若F(x)=/(x)一g(x),且F'Qi)=F(X2)(^I*x2),證明：尸(打)+F(x2)<41n2-7.

【變式7-3](2024?天津河西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=/dnx+9(keR).

(1)若函數(shù)y=/(x)為增函數(shù)，求k的取值范圍；

(2)已知0<Xi<x2.

(i)證明：1

e2e"ixi%i

(ii)若W=得=匕證明：

【題型8與切線有關(guān)的雙變量問題】

[例8]（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（久）=alnx-^x2+a+j（x>0）有兩個(gè)零點(diǎn)/,冷，且/<冷一

（1）求。的取值范圍；

（2）若/1（X）在01,0）和（K2，。）處的切線交于點(diǎn)（乂3,>3），求證：2X3<xr+x2.

【變式8-1]（2024?廣東?二模）已知/（X）=ga%2+（1-2a）久一21nx,a>0.

⑴求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)/（久）的圖象上是否存在兩點(diǎn)4（久1，）71）,8。2，丫2）（其中打工久2），使得直線A8與函數(shù)/（久）的圖象在Xo=

中處的切線平行？若存在，請(qǐng)求出直線A以若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式8-2]（2024?四川宜賓?三模）已知函數(shù)/■（久）=（m+\）lnx+，久，（其中常數(shù)相>0）

（1）當(dāng)m=2時(shí),求/1（%）的極大值;

（2）當(dāng)me[3,+8）時(shí)，曲線y=f（x）上總存在相異兩點(diǎn)P（*i，/Qi））、。（孫/3）），使得曲線y=/（%）在點(diǎn)P、

Q處的切線互相平行，求久1+久2的取值范圍.

【變式8-3]（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓

法.具體做法如下：如圖，設(shè)r是/'（X）=0的根，首先選取久o作為r的初始近似值，若f（x）在點(diǎn)Qo"（%o））

處的切線與久軸相交于點(diǎn)。1,0）,稱打是廠的一次近似值；用打替代刀。重復(fù)上面的過程，得到冷，稱久2是「

的二次近似值；一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：久0，勺，久2,…,引，”??在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)

%九-1，%式幾€N*)近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)f(%)的一個(gè)零點(diǎn)廠.

(1)若/(%)=爐+3/+久一3,當(dāng)％0=。時(shí)，求方程/(%)=0的二次近似值(保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位)；

⑵牛頓法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)g(%)=?-3在點(diǎn)

(2,g(2))處的切線，并證明：ln3<l+*

(3)若/i(%)=%(1-In%),若關(guān)于久的方程/i(%)=。的兩個(gè)根分別為％i，%2(%i<%2)，證明：x2->e-ea.

【題型9雙變量的新定義問題】

【例9】(2024?浙江紹興?三模)若函數(shù)以式)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)機(jī)，函數(shù)/?(%)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)九,且m>n,

則稱a(%)與口(%)具有性質(zhì)a-p//m>n.

(1)函數(shù)@1(%)=sin%-/與%(%)=e"一％是否具有性質(zhì)的一(jP2//x0>。?并說明理由.

xx

(2)已知函數(shù)/(%)=ae-ln(x+1)與g(%)=ln(x+a)-e+1具有性質(zhì)/-g//xr>x2.

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：

【變式9-1](2023?湖北?二模)設(shè)f(%)是定義在區(qū)間(1,+8)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，(%).如果存在實(shí)數(shù)。

和函數(shù)八(%),其中八(%)對(duì)任意的%€(1,+8)都有％(%)>0,使得f'(%)=%(%)(/一+1),則稱函數(shù)/(%)

具有性質(zhì)P(a).

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=Inx+七(%>1),其中6為實(shí)數(shù).

(i)求證：函數(shù)汽幻具有性質(zhì)P(b)；

(ii)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2).給定的,比26(1,+8),xr<x2>設(shè)加為實(shí)數(shù)，

a=mxr+(1-m)x2,/3-(1-m)xr+mx2,且a>l,/?>1,若|g(a)—g(0)|<IgOJ-g(%2)l，求機(jī)

的取值范圍.

【變式9-2](2024?浙江溫州?二模)如圖，對(duì)于曲線「，存在圓C滿足如下條件:

①圓c與曲線r有公共點(diǎn)4且圓心在曲線r凹的一側(cè)；

②圓c與曲線r在點(diǎn)力處有相同的切線；

③曲線r的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)a處的導(dǎo)數(shù)(即曲線r的二階導(dǎo)數(shù))等于圓c在點(diǎn)a處的二階導(dǎo)數(shù)(已知圓(％-a)2+(y-

2

b)2=M在點(diǎn)AQojo)處的二階導(dǎo)數(shù)等于六下)；

kb-yo)

則稱圓c為曲線r在力點(diǎn)處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.

(1)求拋物線y=爐在原點(diǎn)的曲率圓的方程；

(2)求曲線y=[的曲率半徑的最小值；

(3)若曲線y=e%在0”刃和3戶)(％]H冷)處有相同的曲率半徑，求證：%i+x2<-ln2.

【變式9-3](2023?上海徐匯?二模)已知常數(shù)k為非零整數(shù)，若函數(shù)y=f(x),x€[0,1]滿足：對(duì)任意犯,比26

fefc

[0,1],1/(x0-/(x2)|<|(%1+l)-(x2+l)|,則稱函數(shù)y=f(x)為L(zhǎng)(k)函數(shù).

(1)函數(shù)y=2x,xe[0,1]是否為L(zhǎng)(2)函數(shù)？請(qǐng)說明理由；

(2)若y=f(x)為乙⑴函數(shù)，圖像在xe[0,1]是一條連續(xù)的曲線，f(0)=0,f⑴=,，且/(%)在區(qū)間(0,1)上

僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記/(x)max、f(久)min為函數(shù)y=/O)的最大、小值，求f(Wmax-f(久)min的取值范圍;

(3)若a>0,f(x)=0.05x2+O.lx+aln(x+1),且y=/(x)為L(zhǎng)(-l)函數(shù)，g(x)=/(%),對(duì)任意久,y￡[0,1],

恒有|g(x)—g(y)|WM,記M的最小值為M(a),求a的取值范圍及M(a)關(guān)于a的表達(dá)式.

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2023?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知a,b滿足0。=一四-2,b(\nb-2)=e4,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，

則ab的值為()

A.-eB.—e2C.-e，D.—e4

2.(23-24高三上?廣東江門?階段練習(xí))已知/(%)=alnx+|x2(a>0)若對(duì)于任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)%八x?,

都有"》)-八3>2恒成立，貝必的取值范圍是()

-％2

A.(0,1]B.口+8)C.(0,3]D.[l,2e)

3.(23-24高二下?福建福州,期末)已知%,y為正實(shí)數(shù)，In%+Iny=；-則()

A.x>yB.x<yC.%+y>1D.%+y<1

4.(2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知直線y=kx+力與函數(shù)y=Asin(3%+夕)Q4>0,3>0)的圖象恰有兩個(gè)

切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的左所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為的和七，且的>心，則()

A.|<^-<-B.-<r<-C.-<r<-D.-<r<-

5故75k233々235k23

5.(23-24高二下?福建福州?期中)已知函數(shù)f(%)=下一2)e%,若f(%i)=f(%2)，且第1。％2，-x2>0,

則()

13

A.>-B.x2<-C.%1%2>1D./+X2V2

6.（2024?四川成都?一模）已知a>b,且e。一a=—b=1.01,則下列說法正確的有（）

①61；@0<a<1；?b+a<0；?a—b<1.

A.①②③B.②③④C.②④D.③④

7.（2024?四川廣安?模擬預(yù)測(cè)）已知0<x<y<TT,且eVsinK=e^siny,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下

列選項(xiàng)中一定成立的是（）

A.cosx+cosy<0B.cosx+cosy>0

C.cosx>sinyD.sinx>siny

8.（23-24高二下?四川眉山?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=e%+a%有兩個(gè)零點(diǎn)％1，久2，且久i>第2，則下列說法

不正確的是（）

A.a<—eB.+冷>B(%I%2)+2

C.x±x2>1D./(%)有極小值點(diǎn)

二、多選題

9.(2024?海南?？?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(%)=+(1-％)ln(l-貝！J()

A./(%)=/(I-x)

B.函數(shù)/(%)有最大值-ln2

C.若久1+冷=1，貝1+%2,(%1)之一ln2

D.若%1+%2VL且]V*<1，貝()/(%2)</(%1)

10.（2024?廣東廣州?一模）已知直線y=for與曲線y=In%相交于不同兩點(diǎn)N（x2,y2）,曲線y=Inx

在點(diǎn)M處的切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)P（%o，yo）,則（）

1

ex

A.0<k<-B.%62=oC.yi+y2=1+y0D.y42<1

11.(2023?廣東廣州?一模)已知a>0,h>0,abea+\nb-1=0,貝!]()

1i

A.Inh>-