數(shù)值分析 課件ch2-插值法

插值法02Chapter2.1引言2.1引言在實(shí)際問題中，我們會(huì)遇到兩種情況變量間存在函數(shù)關(guān)系，但只能給出一離散點(diǎn)列上的值例如:從實(shí)驗(yàn)中得到一個(gè)數(shù)據(jù)表,或是一組觀測(cè)數(shù)據(jù)變量間的函數(shù)關(guān)系可以表示,但計(jì)算復(fù)雜,只能計(jì)算特殊點(diǎn)的函數(shù)值例如:求指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)值等為了研究自變量與因變量間的變化關(guān)系，我們需要建立變量間的函數(shù)關(guān)系，從而可以計(jì)算原始數(shù)據(jù)以外需要處的值，這就是我們研究插值的目的。2.1引言

插值條件插值函數(shù)插值節(jié)點(diǎn)求插值函數(shù)的方法稱為插值法

…………[a,b]稱為插值區(qū)間如何構(gòu)造P(x)???2.1引言根據(jù)實(shí)際需要，可以用各種不同的函數(shù)來近似原來的函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是

代數(shù)多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單，計(jì)算其值只需用到加、減乘運(yùn)算，且積分和微分都很方便；所以常用它來近似表示表格函數(shù)(或復(fù)雜函數(shù)),這樣的插值方法叫做多項(xiàng)式插值法，簡(jiǎn)稱插值法。2.1引言

是否任意給定n+1個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn)都可以構(gòu)造出滿足插值條件的插值多項(xiàng)式??

2.2拉格朗日插值

2.2拉格朗日插值線性插值

n=1

直線方程常用表達(dá)式兩點(diǎn)式

點(diǎn)斜式

2.2拉格朗日插值二次插值n=2

方程組的解是否存在?若存在解,是否唯一?!2.2拉格朗日插值

然而,方程組的求解也并不是一件容易的事對(duì)于線性插值的兩種形式解進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā),就有了所謂的拉格朗日插值法(公式)和牛頓插值(公式).2.2拉格朗日插值兩點(diǎn)式

線性插值的兩點(diǎn)式可看作是兩個(gè)特殊的線性函數(shù)的一種線性組合.

1001

于是，線性插值即是用基函數(shù)的線性組合來構(gòu)造的.

2.2拉格朗日插值由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基函數(shù)來線性組合:

100010001

2.2拉格朗日插值同理可得

2.2拉格朗日插值n次插值

li(x)

2.2拉格朗日插值n次插值

拉格朗日多項(xiàng)式與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點(diǎn)f2.2拉格朗日插值

證明：(存在性可利用Vandermonde

行列式論證)

矛盾2.2拉格朗日插值插值余項(xiàng)

2.2拉格朗日插值

2.2拉格朗日插值

解：三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為

由拋物插值公式得

2.2拉格朗日插值例2：已知

sin50=0.7660444…解：

外推

(extrapolation)

的實(shí)際誤差

0.01001內(nèi)插

(interpolation)

的實(shí)際誤差

0.00596

2.2拉格朗日插值

sin50=0.7660444…2次插值的實(shí)際誤差

0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好2.2拉格朗日插值Lagrange插值公式缺點(diǎn)：一是計(jì)算量大，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)重的缺點(diǎn)，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)計(jì)算工作必須從頭開始：不僅原來的每一項(xiàng)都要改變，還要增加一項(xiàng)計(jì)算。為克服上述兩個(gè)缺點(diǎn),努力：把插值多項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的形式。希望：計(jì)算改變的過程中,盡可能能利用已有的計(jì)算結(jié)果.下面我們將看到,這是可能的。我們可以有具有“承襲性”的所謂牛頓公式。優(yōu)點(diǎn)：利用插值基函數(shù)很容易得到，含義直觀,結(jié)構(gòu)緊湊,在理論分析中非常方便;計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)也很容易.2.3差商與牛頓插值2.3差商與牛頓插值差商定義

2.3差商與牛頓插值差商性質(zhì)

12

這個(gè)性質(zhì)也表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān),稱為均差的對(duì)稱性,即

由性質(zhì)1可得:

2.3差商與牛頓插值

3

所以2.3差商與牛頓插值

變形☆希望：計(jì)算改變的過程中,盡可能能利用已有的計(jì)算結(jié)果.

常數(shù)(差商)由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類似地有有規(guī)律的組合表達(dá)式:

2.3差商與牛頓插值

事實(shí)上,從上述可看出二次牛頓插值公式是用待定系數(shù)法求得的;它也可看作是三個(gè)特殊函數(shù)的一種線性組合:

2.3差商與牛頓插值

來線性組合為：

那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎么求呢？

2.3差商與牛頓插值12…………n

1n

1

Rn(x)Nn(x)

2.3差商與牛頓插值

牛頓插值余項(xiàng)為

牛頓插值多項(xiàng)式它比拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算量省,且便于程序設(shè)計(jì).2.3差商與牛頓插值差商表一階均差二階均差三階均差四階均差

2.3差商與牛頓插值

插值基函數(shù)xk0124f(xk)19233拉格朗日插值多項(xiàng)式為:

2.3差商與牛頓插值xkf(xk)

一階均差二階均差三階均差0119822314343-10-8

建立如下差商表牛頓插值多項(xiàng)式為:

(3)唯一性驗(yàn)證.

2.3差商與牛頓插值

xk0123f(xk)13927解：差商表:牛頓插值多項(xiàng)式為:

2.3差商與牛頓插值當(dāng)題目中沒有指明用那一種方法建立插值多項(xiàng)式時(shí),原則上拉格朗日插值方法和牛頓插值方法都可行,選較為簡(jiǎn)便的一種方法.近似計(jì)算時(shí),由于牛頓插值多項(xiàng)式的非整理形式可以直接寫成秦九韶算法的形式,計(jì)算量小,且當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時(shí)只需增加一項(xiàng),前面的工作依然有效,因而通常情況下牛頓插值比較方便.相對(duì)之下,拉格朗日插值法沒有上述優(yōu)點(diǎn),但它在理論證明上因插值基函數(shù)的許多特點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用.在前面的討論中，節(jié)點(diǎn)是任意分布的，但實(shí)際上經(jīng)常遇到等距節(jié)點(diǎn)的情況，這時(shí)插值公式可以得到簡(jiǎn)化。2.4差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式2.4差分

簡(jiǎn)記為

簡(jiǎn)記為

簡(jiǎn)記為一階向前差分一階向后差分中心差分前差算子后差算子差分定義2.4差分如又如用低階差分可以定義高階差分高階向前差分高階向后差分一般地可定義m階差分為2.4差分一般有前差與后差的關(guān)系再定義前移算子不變算子后移算子則有2.4差分差分的性質(zhì)各階差分均可用函數(shù)值表示性質(zhì)1二項(xiàng)式展開2.4差分函數(shù)值可用各階差分表示性質(zhì)2

差商與差分的關(guān)系性質(zhì)3

m階向前差商與m階向前差分的關(guān)系m階向后差商與m階向后差分的關(guān)系

2.4差分差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系性質(zhì)42.4差分等距節(jié)點(diǎn)插值公式

Newton插值公式

得

向前差分

參照2.4差分

Newton前插公式

2.5Hermite插值2.5Hermite插值

其余項(xiàng)為

2.5Hermite插值

采用構(gòu)造插值基函數(shù)的方法2.5Hermite插值

且滿足其中且滿足令

Kronecker（克羅內(nèi)克）符號(hào)柏林科學(xué)院院士，巴黎科學(xué)院通訊院士，倫敦皇家學(xué)會(huì)外籍會(huì)員。主張分析學(xué)應(yīng)奠基于算術(shù)，而算術(shù)的基礎(chǔ)是整數(shù)?？肆_內(nèi)克名言：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作”2.5Hermite插值令則其中

又則由(1),(2)得2.5Hermite插值所以

其中則所以2.5Hermite插值令則又由得所以

2.5Hermite插值

解

所以

2.5Hermite插值

令

解：在點(diǎn)0，1，2上做Lagrange插值函數(shù)

則

所以2.5Hermite插值練習(xí)：給定數(shù)表-1012-1120

2.5Hermite插值

2.6分段低次插值2.6分段低次插值

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Ln(x)

f(x)

如何避免高次插值的病態(tài)問題???一種辦法是采取分段低次插值2.6分段低次插值分段線性插值

123

在小區(qū)間上的線性插值函數(shù)2.6分段低次插值分段線性插值示意圖…………從幾何上看，就是用折線逼近曲線易證：當(dāng)時(shí)，一致2.6分段低次插值

分段線性函數(shù)的缺點(diǎn)：失去了原函數(shù)的光滑性。2.6分段低次插值分段Hermite插值

123

在小區(qū)間上的三次Hermite插值函數(shù)已知數(shù)表

缺點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不易得到2.6分段低次插值分段低次插值優(yōu)點(diǎn)：收斂性，穩(wěn)定性好，算法簡(jiǎn)單，易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)缺點(diǎn)：光滑性差，分段Hermite插值也僅有一階光滑度問題許多實(shí)際問題中，有更高的光滑度要求，例如高速飛機(jī)的機(jī)翼線形等往往要求具有二階光滑度，即函數(shù)曲線要求有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。2.7三次樣條插值2.7三次樣條插值樣條(splime)是早期飛機(jī)、造船工業(yè)中繪圖員用來畫光滑曲線的細(xì)木條或細(xì)金屬絲.繪圖時(shí),為了將一些已知的點(diǎn)連成光滑曲線,繪圖員用壓鐵把樣條固定在相鄰的若干點(diǎn)上,樣條具有彈性,形成通過這些點(diǎn)的光滑曲線,沿著它就可畫出所需的曲線.數(shù)學(xué)上仿此得出的函數(shù)便稱為樣條函數(shù).樣條插值是用分段低次多項(xiàng)式去逼近被逼近函數(shù),并且能滿足對(duì)光滑性的要求,又無需給出每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.

它除了要求給出各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值之外,只需提供兩個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)信息.2.7三次樣條插值

定義

2.7三次樣條插值

f(x)H(x)S(x)如何求三次樣條插值函數(shù)???2.7三次樣條插值

2.7三次樣條插值

特別

稱