直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（6題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專題34直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題型分類

彩題如工總

題型6：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用題型1:線面垂直關(guān)系的判斷

題型5：證面面垂直題型2：證線線垂直

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題

型分類

題型4：面面垂直關(guān)系的判斷題型3：證線面垂直

彩先也寶庫(kù)

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說(shuō)直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

如果一條直線與一個(gè)平mUa、

1

nUa

面內(nèi)的兩條相交直線垂

判定定理加「1幾=初

直，那么該直線與此平17

ILm

面垂直/_L〃J

ab

垂直于同一個(gè)平面的兩a-La\

性質(zhì)定理

條直線平行27

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂

直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是鱉；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是

TT

(2)范圍：0,2.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角a—/一五的棱/上任取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為垂足，在半平面a和6內(nèi)分

別作垂直于棱/的射線OA和0B,則射線OA和OB構(gòu)成的NAOB叫做二面角的平面角.

口

(3)二面角的范圍：［0,兀］.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

【常用結(jié)論

1.三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

3.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

彩他題海籍

(一)

證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(〃〃。，Q_La=b_La);③面面平行

的性質(zhì)(a_La,a〃④面面垂直的性質(zhì).

（2）證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

題型1：線面垂直關(guān)系的判斷

1-1.（2024?廣西南寧?三模）已知/,根，〃是三條不同的直線，。，夕是不同的平面，則下列條件中能推出。，尸

的是（）

A.Iua,muB,且/_LM

B.lua,mu0,nu0,且/_Lm，I.Ln

C.mua,nuB,mlln,且/_Lm

D.lua,IIIm,且根_L〃

1-2.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知/,m,〃表示不同的直線，。，夕，/表示不同的平面，則下列四個(gè)命題

正確的是（）

A.若l//a,豆mlla,則J/_LmB.若a_L尸，mlla,nL/3,則加〃〃

C.若mill,且m_La,貝！J/_LaD.若機(jī)J_〃，m±a,nll/3,則。_1_尸

1-3.（2024?甘肅天水,一模）設(shè)根/是兩條不同的直線，出〃是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若根_L〃7〃a,則機(jī)_La

B.若m〃/3,0La,則m_La

C.若根_L〃,〃_LP，/_La,則機(jī)_La

D.若機(jī)則m_La

題型2:證線線垂直

2-L（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面

ABCD.PA=AD=y/2AB,點(diǎn)/是PD的中點(diǎn)，證明：AM±PC.

2-2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-ABG中，AB=BC,ABt=BXC.證明：AC1BtB

2-3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知三棱柱ABC-4用6中，A8=AC=2,AA==AC=2,ABAC=90°,E

是BC的中點(diǎn)，尸是線段AG上一點(diǎn).求證：AB±EF；

2-4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在梯形ABCD中，AB//DC,4MB=90。，CD=2,AC=AB=4,如圖

1.沿對(duì)角線AC將△D4C折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，E為BC的中點(diǎn)，如圖2.證明：PELAC.

圖1圖2

題型3：證線面垂直

3-1.（2024高三,全國(guó),專題練習(xí)）如圖,在三棱柱ABC-AlBlC｛中，平面ACQA,平面ABC,AC=BC=CCX,D

是AA的中點(diǎn)，且ZACB=90,ZDAC=60.證明：M1平面CBD；

3-2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，已知PA_L平面ABC,平面PAB_L平面

PBC.證明：8C1平面P4B；

P

3-3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖1,在五邊形鉆CDE中，四邊形ABCE為正方形，CD上DE,CD=DE,

如圖2,將一A3E沿BE折起，使得4至4處，且證明：2平面人出石；

圖1圖2

3-4.（2024高三?全國(guó),專題練習(xí)）如圖，在三棱錐C-ABD中，CD,平面AB。，E為A8的中點(diǎn),

AB=BC=AC=2,CG=2EG.證明：AB2平面CED；

彩健題海籍

（二）

（1）判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

（2）面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.②若兩個(gè)

相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

題型4:面面垂直關(guān)系的判斷

4-L（2024?陜西咸陽(yáng)?二模）已知加，兒是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：

①若加回〃，nua,則加回a,②若加ua,ml/?,則。_14，

③若m_La,ml/?,則a團(tuán)/，④若a_L尸，根ua,〃ua,則機(jī)_L〃

其中正確的命題是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

4-2.（2024?陜西咸陽(yáng),模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的菱形ABCD中，人8=2,/54。=60,對(duì)角線4（?,8。交于點(diǎn)0,

將沿80折到一A'&J位置，使平面A3D_L平面BCD.以下命題：

①BD_LAC；

②平面AOC_L平面BCD；

③平面ABC，平面ACD；

④三棱錐A-BCD體積為1.

其中正確命題序號(hào)為（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

4-3.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知a,尸是兩個(gè)不同的平面，相，“是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是

（）

A.若a_L尸，根_La,機(jī)_L〃，貝！B.若a〃0,mua,〃u0,貝ij帆〃〃

C.若根_L〃，機(jī)ua,〃u分，則a_L尸D.若m1a,m〃兀n〃§,則a_L4

5-5.(2024高三?全國(guó),專題練習(xí))如圖所示，在幾何體PABCD中，A￡>_L平面上4B,點(diǎn)C在平面P鉆的投

影在線段PB上(BCcPC),BP=6,AB=AP=2-/3,DC=2,CD〃平面上4B.證明：平面尸C￡>_L平面上4￡).

彩他甄祕(mì)籍(二)

垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

(1)三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)

進(jìn)行推理論證.

題型6：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

6-1.(2024?安徽淮北?一模)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面B4B是等邊三角形,

BC=2AB,ZABC=60°,PB1AC.

⑴求證：面PAB_L面ABCD；

(2)設(shè)。為側(cè)棱尸。上一點(diǎn)，四邊形尸是過(guò)8,。兩點(diǎn)的截面，且AC「平面8EQR是否存在點(diǎn)。，使

得平面跳。下，平面外。？若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

6-2.（2024?江西贛州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱ABC-ABiG中，側(cè)面MCC是矩形，側(cè)面是菱形,

ZB,BC=60,D、E分別為棱A3、4G的中點(diǎn)，歹為線段的中點(diǎn).

A

（1）證明：A尸〃平面4。石；

⑵在棱8月上是否存在一點(diǎn)G,使平面ACG,平面2耳GC?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6-3.（2024?天津?二模）如圖，在三棱錐A-BCD中，頂點(diǎn)A在底面BCO上的射影。在棱8。上，AB=AD

=&,BC=BD=2,回。8。=90。，E為C￡）的中點(diǎn).

A

C

（1）求證：AZ?平面ABC；

（2）求二面角8-AE-C的余弦值；

（3）已知尸是平面A2Z）內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)。為AE中點(diǎn)，且P?；仄矫鍭8E,求線段P。的長(zhǎng).

6-4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱A3C-ABG（側(cè)棱垂直于底面，且底面三角形ABC是等邊

三角形）中，BC=CG，M、N、尸分別是CG,AB,8月的中點(diǎn).

A

⑴求證：平面NPC//平面A4"；

（2）在線段B片上是否存在一點(diǎn)。使人用，平面AMQ?若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.（2024高三上?湖北?開(kāi)學(xué)考試）已知a,6是兩條不重合的直線，a為一個(gè)平面，且施a,則“限a"是憶〃b"

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（2024高三上?山東濰坊?階段練習(xí)）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A4GA中，

&4=2,異面直線AB與AA所成角的余弦值為I,則直線與直線的距離為（）

A.2B.1C.6D.72

3.（2024高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）若平面夕_1_平面/，平面/?_L平面/,則（）

A.aPy

B.

C.a與/相交但不垂直

D.以上都有可能

4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）空間中直線/和三角形的兩邊AC,BC同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的

第三邊A3的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.不確定

5.（2024?全國(guó)）在正方體中，P為4,的中點(diǎn)，則直線PB與AD所成的角為（）

7171兀71

A.-B.-C.-D.一

2346

6.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知兩條不同的直線/,加及三個(gè)不同的平面a,B，y,下列條件中能推出

。///的是（）

A.I與a,4所成角相等B.al/,(3Ly

C.ILa,mV/3,IHmD.lua,mu/3,IUm

7.（2024?北京海淀,模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是三個(gè)不同的平面，機(jī)，〃是兩條不同的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①若根,則m//〃；②若，”JLa,7〃_L/?,則《〃￡；③若aJ_y,/?±y,則a〃/?.其中，正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）平行四邊形ABCD中，AB>AD,將三角形ABD沿著B(niǎo)D翻折至三角形ABD,

則下列直線中有可能與直線A3垂直的是（）

①直線BC；②直線8；③直線8￡>；④直線AC.

A.①②B.①④

C.②③D.③④

9.（2024高一?江蘇?課后作業(yè)）對(duì)于直線切，w和平面a,￡,能得出碉￡的一個(gè)條件是（）

A.根回〃，機(jī)回。，〃冊(cè)B.加加，acB=m,nua

C."1回〃,〃致,muaD.m^\nfm回a,九鼓

10.（2024高一下?吉林?期末）設(shè)a,b,C表示空間中三條不同的直線，?,月表示兩個(gè)不同的平面，則下

列命題正確的是（）

A.若6尸0，cua,則bPc

B.若6ua,cua,aaVc,則。_La

C.若a_La,bLa,則。b

D.若aPa,au0,則a〃0

11.（2024高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知直線//平面a,則經(jīng)過(guò)/且和。垂直的平面（）

A.有一個(gè)B.有兩個(gè)C.有無(wú)數(shù)個(gè)D.不存在

12.（2024高一下?浙江寧波?期末）給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（）.

①垂直于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一平面的兩條直線平行；

③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.

A.①②B.③④C.②③D.①④

13.（2024高二上,北京?期中）在三棱錐A-BCD中，若ADJ.BC,ADJ.BD,那么必有（）

HD

A.平面ADC_L平面BCDB.平面ABC」平面BCD

C.平面平面AOCD.平面ABD_L平面ABC

14.（2024高一下?河南?期末）如圖，在三棱錐尸-ABC中，上4J_平面ABC,PA=AB=3,BC=4,ZABC=90°,

則點(diǎn)A到平面P2C的距離為（）.

A.逑B.-C.3D.西

222

15.（2024高二上,北京?期中）如圖，四邊形A8CD中，AB=AD=CD=1,BA^AD,BDSCD,將四邊形A3C￡）

沿對(duì)角線2。折成四面體A-3cD,使平面A3。團(tuán)平面8CQ,則四面體A'-BCD的體積為（）

L

16.（2024高一下?福建廈門(mén),期末）如圖（1）平行六面體容器A3C。-A4GA盛有高度為〃的水,

AB^AD=AAl=2,4,43=乙4,"）=/胡。=60°.固定容器底而一邊利于地面上，將容器傾斜到圖（2）

時(shí)，水面恰好過(guò)A,用，G，。四點(diǎn)，則〃的值為（）

2g?孚

A'TB'T亍

17.（2024高一下,山西太原?期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AB1GA中,AB=2.5C=1.則直線AA與平面

BDQBI的距離為（）

「2&

L..-------D.2A/5

5

18.（2024高二上?北京豐臺(tái)?期中）棱長(zhǎng)為1正方體中，E為4月的中點(diǎn)，則E到面ABCR

的距離（）

A近1D.同

A.------C.一

233

19.（2024高二下?江蘇泰州?期末）已知球。的半徑為2,A,B,C為球面上的三個(gè)點(diǎn)，AB=2,點(diǎn)尸在

TT

AB上運(yùn)動(dòng)，若OP與平面ABC所成角的最大值為則O到平面ABC的距離為（）

3「國(guó)

A.-D.乎

27

20.（2024,浙江）如圖已知正方體ABCO-AAC］。］,M,N分別是AQ,的中點(diǎn)，貝!］（）

A.直線4。與直線OjB垂直，直線MN〃平面A5CD

B.直線4。與直線平行，直線平面片

C.直線4。與直線A3相交，直線MN〃平面ABC。

D.直線4。與直線異面，直線平面BD24

21.（2024?全國(guó)）在正方體ABCO-A與6。中，E,尸分別為的中點(diǎn)，貝|（）

A.平面用E尸_L平面B.平面瓦￡廠，平面4出。

C.平面與所〃平面AACD.平面與所//平面4G。

22.（2024高三?云南昆明?階段練習(xí)）過(guò)正方體ABCD-44GR的頂點(diǎn)A的平面a與直線AC1垂直，且平面

a與平面A3與A的交線為直線/,平面a與平面AOAA的交線為直線加，則直線/與直線加所成角的大小

為（）

71717171

A.-B.-C.-D.一

6432

23.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）在正方體A5CQ-A耳G2中，P,。分別為AB,CD的中點(diǎn)，則（）

A.A耳?平面5G。B.平面A4A〃平面BG。

c.AQ，平面耳。尸D.平面4c平面耳。尸

24.（2024?全國(guó)?一模）設(shè)如〃是不同的直線，a、0、〃是不同的平面，有以下四個(gè)命題：①..\=0〃丫?,

ally]

al.B]mlIn]一

②//;③,.?^?-LZ?;④\^m//a.其中正確的命題是（）

mlla]mlIp\auaj

A.①④B.②③

C.①③D.②④

25.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.已知直線a,）,c,若a_Lb,b_Lc,則a//c.

B.設(shè)"4〃是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，若miln,m±a,則/_L<z.

C.若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.

D.若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面夕內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則

二、多選題

26.（2024?全國(guó)）如圖，在正方體中,。為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿

足MV_LOP的是（）

27.（2024高三上?廣東潮州?期末）如圖,四棱錐S-4JCD的底面為正方形，底面A3CD,則下列結(jié)論

中正確的是（）

B.AD1SC

C.平面SAC1?平面SBD

D.BDLSA

28.（2024高二下?云南普洱?期末）如圖,點(diǎn)P在正方體ABCD-44GR的面對(duì)角線BG上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.三棱錐A-QPC的體積不變B.API平面AC，

C.DP~BGD.平面尸DB1A平面AC，

三、填空題

29.（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知如圖邊長(zhǎng)為a的正方形43。9外有一點(diǎn)P且上4，平面ABCD,PA=a,

二面角P-BD-A的大小的正切值_____.

30.（2024高二上?上海徐匯?期末）已知正方體4BCD-430.中，AB=6,點(diǎn)P在平面ABQ內(nèi)，"=3叵,

求點(diǎn)P到BC｛距離的最小值為.

31.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知直線a,b和平面a,且a_L6,a±a,則6與0的位置關(guān)系是.

32.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）正方體ABC。-A耳G。中與42垂直的平面有（填序號(hào)）.

①平面。2GC；②平面AQ2；③平面④平面4。月.

33.（2024高三下?河北衡水?階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)均為2代的正四面體ABC。中，M為AC中點(diǎn)，E為

AB中點(diǎn)，P是。M上的動(dòng)點(diǎn)，。是平面ECD上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值是

34.（2024高二上?山東棗莊?期中）如圖，在菱形ABC。中，AB=2,ZZ）AB=60°,E是A3的中點(diǎn)，將VADE

沿直線DE翻折至△ADE的位置，使得面AED，面BCDE,則點(diǎn)A到直線DB的距離為.

35.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在三棱錐尸-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.

（1）若E4=PB=PC,則點(diǎn)。是AABC的心.

(2)若網(wǎng)3PB,PB^PC,PCSPA,則點(diǎn)。是AABC的心.

四、解答題

36.（2024iWj二,全國(guó)?專題練習(xí)）如圖,已知auc,a_L￡,證明：a±/3.

已知/_L。,/_L6,oua,Z?ua,ac6=P.證明：/J_a.

已知四棱錐尸-ABCD的底面ABC。是正方形，即，面A8CD.求

證：面%3_1_面24￡＞；

p

39.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）正方體ABCD-ABCA中，E為棱他的中點(diǎn)，求平面和平面AgGQ

夾角的余弦值.

40.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知a，/,a尸=/,au%a_L/.證明：aL/3.

41.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在三棱錐尸-ABC中，M為AC的中點(diǎn)，PALPC,AB±BC,AB^BC,

PB=叵，AC=2,/R4C=30°.證明：1平面PAC.

ML

42.（2024高三,全國(guó),專題練習(xí)）已知正方體ABCD-ABCQ.求證：回平面A/DC.

43.（2024iWi二,全國(guó),專題練習(xí)）如圖，已知a，a.證明：?；??.

a

44.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD,

AB=gcD,CDICE,ZADC=NEDC=45,AD=E，=求證：平面ABE1平面ABC。；

45.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE尸中，矩形3￡>EF所在平面與平面ABC?；ハ啻怪?

^.AB=BC=BF=1,AD=CD=6EF=2.求證：BC_L平面CDE；

TTTT

46.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-OABC中，已知OP=1,CP=2,/CPO=§,,ZAOC=~.

證明：CO,平面AOP；

47.（2024高三上?陜西漢中?階段練習(xí)）如圖，在四棱柱ABC。-A耳G0中，A4,，底面ABCD,底面ABCD

滿足〃BDDC

AD8C,S.AB=AD=AAl=2,==242.

⑴求證：平面ADRA;

（2）求四棱錐畫(huà)的體積.

48.（2024?江蘇南京?二模）如圖，四棱錐P-ABCD中，ADEI平面力B,APEMB.

DC

(1)求證：CDEL4P；

(2)若CDI3PD,求證：CDEI平面外B；

49.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，三棱錐尸-ABC中，P4,P8,PC兩兩垂直，PA=PB,且M,N分別

為線段AB,PC的中點(diǎn).求證：平面尸CM_L平面A5C.

C

50.(2024局三,全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在直三棱柱A5C-A耳G中，ABC是以3C為斜邊的等腰直角三角

形，A4=AB，點(diǎn)》E分別