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2025屆黑龍江省哈爾濱市名校高考數(shù)學(xué)押題試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.對(duì)于函數(shù),若滿足,則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.2.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②3.一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4,寬為的長(zhǎng)方形,側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,俯視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.4.如圖,正方體中,,,,分別為棱、、、的中點(diǎn),則下列各直線中,不與平面平行的是()A.直線 B.直線 C.直線 D.直線5.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.6.偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)時(shí),,求()A. B. C. D.7.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,異面直線SC與OE所成角的正切值為()A. B. C. D.8.命題“”的否定為()A. B.C. D.9.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.310.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為8,則框圖中①處可以填().A. B. C. D.11.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.2412.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.60二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______.14.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.15.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽籺,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品,傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來(lái),可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為_(kāi)___;若該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最大值為_(kāi)___.16.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是_________.①是周期函數(shù);②的對(duì)稱軸方程為,;③在區(qū)間上為增函數(shù);④方程在區(qū)間有6個(gè)根.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)11月,2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦,其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪),在相同的條件下,每輪甲乙兩人在同一位置,甲先投,每人投一次球,兩人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;兩人都命中或都未命中,兩人均得0分,設(shè)甲每次投球命中的概率為,乙每次投球命中的概率為,且各次投球互不影響.(1)經(jīng)過(guò)1輪投球,記甲的得分為,求的分布列;(2)若經(jīng)過(guò)輪投球,用表示經(jīng)過(guò)第輪投球,累計(jì)得分,甲的得分高于乙的得分的概率.①求;②規(guī)定,經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得,請(qǐng)根據(jù)①中的值分別寫(xiě)出a,c關(guān)于b的表達(dá)式,并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線的極坐標(biāo)方程為,射線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)寫(xiě)出曲線的極坐標(biāo)方程,并指出是何種曲線;(Ⅱ)若射線與曲線交于兩點(diǎn),射線與曲線交于兩點(diǎn),求面積的取值范圍.19.(12分)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃,需了解年研發(fā)資金投入量x(單位:億元)對(duì)年銷售額y(單位:億元)的影響.該公司對(duì)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析,建立了兩個(gè)函數(shù)模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù),i=1,2,?,12,并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理,得到了右側(cè)的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1,xi和(2)(i)根據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(ii)若下一年銷售額y需達(dá)到90億元,預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據(jù):308=4×77,90≈9.4868,e20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人(大小不計(jì))只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度,例如:該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達(dá)式.21.(12分)某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng),顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是從裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的箱子隨機(jī)取出3個(gè)球(逐個(gè)有放回地抽?。媒Y(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款7折8折9折原價(jià)(1)該商場(chǎng)某顧客購(gòu)物金額超過(guò)100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購(gòu)物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?22.(10分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實(shí)數(shù)滿足.證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2、C【解析】

①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確;②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確;③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過(guò)特殊值法進(jìn)行排除,屬于簡(jiǎn)單題目.3、B【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱,由此可求得體積.【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.4、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征,利用線面平行的判定定理,根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù),判斷B的正誤.根據(jù)與相交,判斷C的正誤.根據(jù),判斷D的正誤.【詳解】在正方體中,因?yàn)?,所以平面,故A正確.因?yàn)?,所以,所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?,故D正確.因?yàn)榕c相交,所以與平面相交,故C錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征,線面平行的判定定理,還考查了推理論證的能力,屬中檔題.5、C【解析】

根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)?,且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.6、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則,,,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當(dāng)時(shí),,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性求函數(shù)值,推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.7、D【解析】

可過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,并連接CF,從而可得出∠CSF(或補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角,根據(jù)條件即可求出,這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則∠CSF(或補(bǔ)角)即為異面直線SC與OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法,直角三角形的邊角的關(guān)系,平行線分線段成比例的定理,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

直接將兩邊同時(shí)乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時(shí)乘以,得故選:A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)程序框圖寫(xiě)出幾次循環(huán)的結(jié)果,直到輸出結(jié)果是8時(shí).【詳解】第一次循環(huán):第二次循環(huán):第三次循環(huán):第四次循環(huán):第五次循環(huán):第六次循環(huán):第七次循環(huán):第八次循環(huán):所以框圖中①處填時(shí),滿足輸出的值為8.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查算法程序框圖,根據(jù)循環(huán)條件依次寫(xiě)出每次循環(huán)結(jié)果即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.11、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.12、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對(duì)稱性可知或,進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,因?yàn)樽?、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),當(dāng)時(shí),,由可得,等式兩邊同除可得,解得(舍);當(dāng)時(shí),,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.14、【解析】由已知,即,取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線,則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為,由題可知,所以,則所求雙曲線方程為.15、【解析】

(1)先算出正四面體的體積,六面體的體積是正四面體體積的倍,即可得出該六面體的體積;(2)由圖形的對(duì)稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個(gè)面都相切時(shí),求出球的半徑,再代入球的體積公式可得答案.【詳解】(1)每個(gè)三角形面積是,由對(duì)稱性可知該六面是由兩個(gè)正四面合成的,可求出該四面體的高為,故四面體體積為,因此該六面體體積是正四面體的2倍,所以六面體體積是;(2)由圖形的對(duì)稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個(gè)面都相切時(shí),由于圖像的對(duì)稱性,內(nèi)部的小球要是體積最大,就是球要和六個(gè)面相切,連接球心和五個(gè)頂點(diǎn),把六面體分成了六個(gè)三棱錐設(shè)球的半徑為,所以,所以球的體積.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計(jì)算,考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下,其體積達(dá)到最大,考查運(yùn)算求解能力.16、①②④【解析】

由函數(shù),對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】函數(shù),是周期函數(shù),最小正周期為,故①正確;當(dāng)或時(shí),有最大值或最小值,此時(shí)或,即或,即.的對(duì)稱軸方程為,,故②正確;當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在區(qū)間上不是增函數(shù),故③錯(cuò)誤;作出函數(shù)的部分圖象,如圖所示方程在區(qū)間有6個(gè)根,故④正確.故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)分布列見(jiàn)解析;(2)①;②,.【解析】

(1)經(jīng)過(guò)1輪投球,甲的得分的取值為,記一輪投球,甲投中為事件,乙投中為事件,相互獨(dú)立,計(jì)算概率后可得分布列;(2)由(1)得,由兩輪的得分可計(jì)算出,計(jì)算時(shí)可先計(jì)算出經(jīng)過(guò)2輪后甲的得分的分布列(的取值為),然后結(jié)合的分布列和的分布可計(jì)算,由,代入,得兩個(gè)方程,解得,從而得到數(shù)列的遞推式,變形后得是等比數(shù)列,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得,然后用累加法可求得.【詳解】(1)記一輪投球,甲命中為事件,乙命中為事件,相互獨(dú)立,由題意,,甲的得分的取值為,,,,∴的分布列為:-101(2)由(1),,同理,經(jīng)過(guò)2輪投球,甲的得分取值:記,,,則,,,,由此得甲的得分的分布列為:-2-1012∴,∵,,∴,,∴,代入得:,∴,∴數(shù)列是等比數(shù)列,公比為,首項(xiàng)為,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的概率分布列,考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題難點(diǎn)在于求概率分布列,特別是經(jīng)過(guò)2輪投球后甲的得分的概率分布列,這里可用列舉法寫(xiě)出各種可能,然后由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出概率.18、(Ⅰ),曲線是以為圓心,為半徑的圓;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的普通方程,由此能求出曲線的極坐標(biāo)方程.(Ⅱ)令,,則,利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn),再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍;【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數(shù))化為普通方程為,整理得曲線是以為圓心,為半徑的圓.(Ⅱ)令,,,,面積的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法,考查三角形的面積的求法,考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19、(1)模型y=eλx+t的擬合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】

(1)由相關(guān)系數(shù)求出兩個(gè)系數(shù),比較大小可得;(2)(i)先建立U額R0關(guān)于x的線性回歸方程,從而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回歸方程可得x值.【詳解】本小題主要考查回歸分析等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力及應(yīng)用意識(shí),考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、分類與整合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性.解:(1)r1r2則r1<r(2)(i)先建立U額R0由y=eλx+t,得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U額R0關(guān)于x所以lny=0.02x+3.84(ii)下一年銷售額y需達(dá)到90億元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以所以x≈4.4998-3.84所以預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性20、(1),,,(2)【解析】

(1)根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值;(2)首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個(gè)選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識(shí)確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】解:(1),,(2)設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)(每一步長(zhǎng)度為1),

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