小升初數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)《立體幾何的體積和容積（二）》（解析版）

2019-2020學(xué)年通用版數(shù)學(xué)小升初總復(fù)習(xí)專題匯編講練

專題20立體幾何的體積和容積（二）

圓錐的體積卜一一體積公式：底面積X高23

組合圖形的體積圓柱與圓錐的組合

?立體圖形的容積

（一）長方體

1、特征

六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。

相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。

有8個頂點。

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。

兩個面相交的邊叫做棱。

三條棱相交的點叫做頂點。

把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。

2、計算公式：s=2（ab+ah+bh）V=shV=abh

（二）正方體

1、特征

六個面都是正方形

六個面的面積相等

12條棱，棱長都相等

有8個頂點

正方體可以看作特殊的長方體

2、計算公式：S表=6a?v=a3

（三）圓柱

1、圓柱的認(rèn)識

圓柱的上下兩個面叫做底面。

圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。

圓柱兩個底面之間的距離叫做高。

進(jìn)一法：實際中，使用的材料都要比計算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時候，省略的位上

的是4或者比4小，都要向前一位進(jìn)lo這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。

2、計算公式：s側(cè)二chs表=s側(cè)+s底X2v=sh/3

（四）圓錐

1、圓錐的認(rèn)識

圓錐的底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面。

從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出平

板和底面之間的距離。

把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。

2、計算公式：v=sh/3

（五）球

1、認(rèn)識

球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。

球和圓類似，也有一個球心，用0表示。

從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。

通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示，每條直徑都相等，直徑的長度

等于半徑的2倍，即d=2r。

2、計算公式：d=2r

四、周長和面積

1、平面圖形一周的長度叫做周長。

2、平面圖形或物體表面的大小叫做面積。

3、常見圖形的周長和面積計算公式

一.圓錐的體積

?一.一?

堂1習(xí)精講精練

【例1】（2019?廣東）從正方體里削出一個最大的圓錐，圓錐的體積是工,正方體的體積是（立加.

2

A.12B.8C.6D.4

【解答】解：設(shè)正方體的棱長是"機(jī)，則圓錐的底面直徑和高都是，

則正方體的體積是：axaxa=a3（cm3）

圓的體積是+=加）

圓錐的體積是正方體的土

12

正方體的體積是］+忘=6（加3）

答：正方體的體積是6c1.

故選：C.

【變式（2019春?方城縣期中）把一個底面直徑6。機(jī)、高9刖的圓錐形木塊，沿底面直徑切成相同的

兩塊后，表面積比原來增加了（）平方厘米.

A.18B.27C.54

【解答】解：6x9+2x2

=27x2

=54（平方厘米）

答：表面積比原來增加了54平方厘米.

故選：C.

【變式1-2]（2019春?交城縣期中）用一個高是36。"的圓錐形容器盛滿油，倒入和它等底等高的圓柱形

容器中，油面的高度是12cm.

36x-=12

【解答】解：3（厘米）

答：油面的高度是12厘米.

故答案為：12.

【變式1-3]（2019?衡陽模擬）繞一個直角三角形（如圖）的短直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個立體圖形.（單

位：厘米）

（1）這個立體圖形是什么？

（2）這個立體圖形的體積是多少？

5\

4

【解答】解：以直角三角形短直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑是5厘米，高是4厘米的圓錐.所以

這個立體圖形是圓錐.

1,

-X3.14X52X4

（2）3

=-x3.14x25x4

3

314

3（立方厘米），

314

答：這個立體圖形的體積是亍立方厘米.

【變式1-4]（2019?安順）一個圓錐形的沙石堆，底面積是188.4平方米，高15米.如果用這堆沙石鋪路,

公路寬10米.沙石厚2分米，能鋪多少米長？

【解答】解：2分米=。?2米

1x188.4x154-(10x0.2)

=942+2

=471（米）

答：能鋪471米長.

二.組合圖形的體積

芽?習(xí)精講精練

【例2】（2019?益陽模擬）一個物體是由圓柱和圓錐黏合而成的（如圖），如果把圓柱和圓錐重新分開，表

面積就增加了50.24CM?,原來這個物體的體積是（）

226.08cm3C.301.44CMD.401.92CM

【解答】解：50.24+2=25.12(平方厘米)

25.12x6+1x25.12x(12-6)

=150.72+-x25.12x6

3

=150.72+50.24

=200.96（立方厘米）

答：原來這個物體的體積是200.96立方厘米.

故選：A.

【變式2-1】用兩根完全相同的圓柱形木料分別制作成右圖中的兩個模型（圖中涂色部分），甲與乙的體積

相比（）

A.甲大B.乙大C.相等

【解答】解：底面積相同時，兩個高為5°的圓錐的體積之和，等于一個高為“的圓錐的體積；已知原來兩

個圓柱的體積相等，而空白處的圖形的體積也相等，所以涂色部分的體積也相等，

故選：。.

【變式2-2］（2014春?瀘西縣校級期末）如圖是一個直角梯形，如果以至邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，會得到一個

立體圖形.這個立體圖形是由圓柱和組成（填圖形名稱）.它的底面積是平方厘米，體

【解答】解：這個立體圖形由1個圓柱和1個圓錐組成,

其底面積為：3.14x22=12.56（平方厘米）；

3.14X22X2+-X3.14X22X（5-2）

其體積為：3,

=12.56x2+12.56,

=25.12+12.56,

=37.68（立方厘米）；

答：這個立體圖形的底面積是12.56平方厘米，體積是37.68立方厘米.

故答案為：圓柱、圓錐、12.56、37.68.

【變式2-3］（2016春?平陽縣校級期中）一個糧囤，上面是圓錐，下面是圓柱形（如圖）.如果每立方米

的糧食重600千克，這個糧囤可囤糧食多少千克?

【解答】解：這個糧囤的底面積是:

3.14X(4+2)2

=3.14x4

=12.56（平方米）

這個糧囤的體積是：

12.56x2+12.56xl.5x-

3

=25.12+6.28

=31.4（立方米）

這囤小麥的重量是：

600x31.4=18840（千克）.

答：這個糧囤可囤糧食18840千克.

【變式2-4］（2019?蕭山區(qū)模擬）圖形計算

求立體圖形的體積單位（分米）

【解答】解：3.14X[(20+2)2-(10+2)2卜15

=3.14x[100-25]x15

=3.14x75x15

=3532.5（立方分米）,

答：這個立體圖形的體積是3532.5立方分米.

三.立體圖形的容積

??

一?一

另習(xí)精講精練

【例3】（2019春?江城區(qū)期末）一個水池能蓄水430加，430M是這個水池的（）

A.表面積B.重量C.體積D.容積

【解答】解：一個水池能蓄水430.，430療是這個水池的容積.

故選：D.

【變式3-1］（2015?遂溪縣校級模擬）一個汽油桶可裝汽油60%”3,它的（）是60加幾

A.容積B.體積C.表面積

【解答】解：一個汽油桶可裝60升汽油，是指它的容積是60升；

故選：A.

【變式3-2］（2010?廣州自主招生）有一種飲料的瓶身如圖所示，容積是3升.現(xiàn)在它里面裝了一些飲料,

正放時飲料高度為20厘米，倒放時空于部分的高度為5厘米.那么瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料2.4升.

【解答】解：飲料和空氣的體積比是：

20:5=4:1

飲料有：

4

3x——=3x0.8=24、

4+1（升）

答：瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料2.4升.

故答案為：2.4.

【變式3-3］（2013?福田區(qū)校級模擬）去超市買酸奶，發(fā)現(xiàn)一種酸奶采用長方體塑封紙盒包裝，從外面量

這種紙盒長6.4厘米，寬4厘米，高8.5厘米.這種酸奶盒上標(biāo)注酸奶的凈含量為220毫升，標(biāo)注是否

真實？

【解答】解：6.4x4x8.5=217.6（立方厘米）=217（毫升）;

答：盒子的體積是217毫升，而凈含量為220毫升，不真實.

【變式3-4】一個谷囤的形狀如圖，下面是圓柱形，底面周長是18.84米，高是2米；上面是圓錐形，高

是1.5米.這個谷囤最多能裝稻谷多少立方米?

-x3.14x(18.84-3.14-2)2xl.5+3.14x(18.84-3.14^2)2x2

【解答】解：3

=-x3.14x9xl.5+3.14x9x2

3

=14.13+56.52

=70.65（立方米）；

答：這個谷囤最多能裝稻谷70.65立方米.

真題強(qiáng)化演練

一.選擇題

1.（2019?蕭山區(qū)模擬）將直角三角形A5c以3C為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓錐體積是V,那么V=（）

A.16萬B.127rC.25萬D.48萬

【解答】解:—xx42x3

3

=71x16

答：體積是167r.

故選：A.

2.（2018春?平陰縣期中）把一團(tuán)圓柱體橡皮泥揉成與它等底的圓錐體，高將（）

A.擴(kuò)大3倍B.縮小3倍C.擴(kuò)大6倍

【解答】解：根據(jù)等底等高的圓錐形的體積是圓柱形體積的3,

又因為，在捏橡皮泥的過程中，它的總體積不變，

所以，把一團(tuán)圓柱體橡皮泥揉成與它等底的圓錐體，高將擴(kuò)大3倍;

故選：A.

3.（2015春?平陽縣校級期中）一個體積是25.12cW的圓錐，半徑是2cm,它的高是（)cm.

A.2B.8C.6

1,

25.12---（3.14x22）

【解答】解：3

=25.12x3+（3.14x4）

=75.36+12.56

=6（厘米），

答：它的高是6厘米.

故選：C.

4.（2014春?鹿城區(qū)校級月考）一個圓錐和一個圓柱的高相等，圓錐底面半徑是1厘米，圓柱底面半徑是2

厘米，圓錐體積是圓柱體積的（）

A.-B.-C.—D.-

36124

【解答】解：設(shè)圓錐和圓柱的高為丸厘米，

-7Tx]1h=-7rh

圓錐的體積：33（立方厘米），

圓柱的體積：萬X22/I=4MZ（立方厘米），

1,…1

一兀h；47rh=——

312,

1

答：圓錐的體積是圓柱體積的石.

故選：5

二.填空題

5.（2019?杭州模擬）如圖是一個直角三角形，以6c機(jī)的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圖形是3

【解答】解：以直角三角形的直角邊右厘米）為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑是2厘米，高是6厘米的圓

錐.

19

-X3.14X22X6

3

=3.14x8

=25,12（立方厘米）

答：得到的立體圖形是圓錐，它的體積是25.12立方厘米.

故答案為：圓錐、25.12.

6.（2019?杭州模擬）計算下面圓錐的體積是

S,=15cin2

-xl5xl0=50

【解答】解：3（立方厘米），

答：這個圓錐的體積是50立方厘米.

故答案為：50.

7.（2019?衡水模擬）一個圓錐形零件的底面半徑是4厘米，高是9厘米，它的體積是150.72立方厘米.

-X3.14X42X9

【解答】解：3

=-x3.14xl6x9

3

=150.72（立方厘米）

答：它的體積是150.72立方厘米.

故答案為：150.72.

8.（2019?蕭山區(qū)模擬）下面，以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一圈，求所形成圖形的體積.（得數(shù)保留整數(shù)）

/K

5叫

宙二q”

【解答】解:

如圖斜邊的高為：3x4+5=24（厘米）,

1,

-X3.14X2.42X5

3

=-x3.14x5.76x5

3

=30.144（立方厘米）;

答：所形成圖形的體積是30.144立方厘米.

9.（2013?永康市）一個圓柱形水桶，里面盛48升的水，正好盛滿，如果把一塊與水桶等底等高的圓錐形,

放入水中，桶內(nèi)還有32升水.

【解答】解：48+3x2,

=16x2

=32；

故答案為：32.

10.（2017?杭州）一個正方體木料削成最大的圓錐，圓錐的體積占正方體的—.

一12一

【解答】解：假設(shè)正方體的棱長為。厘米，

正方體的體積是：axaxa=a3（立方厘米），

工%X（1+2）2XQ=幺XQ=

削出最大圓錐的體積是：33412（立方厘米），

3

7TO3冗

----.71-..

所以圓錐的體積占正方體體積的：1212.

71

故答案為：12.

三.判斷題

11.（2014?桐鄉(xiāng)市校級模擬）在一個圓柱中挖去一個最大的圓錐，剩下部分的體積是圓柱的2.，.（判

3—一

斷對錯）

【解答】解：根據(jù)題干分析可得：這個圓柱的體積與挖出的圓錐是等底等高，

所以圓柱的體積是圓錐的體積的3倍，

（3-1）-3=-

則剩下部分的體積是圓柱的體積的3.

故答案為：，.

12.（2019?亳州模擬）把一個圓柱削成一個圓錐，這個圓錐的體積是圓柱體積的x.（判斷對錯）

3一一

1

【解答】解：把一個圓柱削成一個與它等底等高的圓錐，這個圓錐的體積是圓柱體積的如果沒有確定

1

削成的圓錐是否與圓柱等底等高，那么把一個圓柱削成一個圓錐，這個圓錐的體積是圓柱體積的3,這

種說法是錯誤的.

故答案為：x.

13.（2016?溫州）把一個圓柱削成最大的圓錐體，削去部分的體積與圓錐的體積的比是2:1._Y_（判斷

對錯）

【解答】解：圓柱體削成一個最大的圓錐體，

則：%柱=3%錐

=2%錐：唳錐

=2:1

答：削去部分的體積與圓錐的體積的比是2：1.

故題干的說法是正確的.

故答案為：5

14.（2012?紫金縣）把圓柱體削成一個最大的圓錐體，圓錐體體積是削去部分的工.正確.（判斷對錯）

2------------

12

【解答】解：把圓柱體的體積看作“1”，與它等底等高的圓錐的體積是圓柱體的削求部分是圓柱體的§.

1I2

33.

_I_:_2_—_I_3—_I

33-32-2；

I

答：圓錐體體積是削去部分的2.

故答案為：正確.

四.計算題

15.（2019?蕭山區(qū)模擬）求如圖圖形的體積.單位：厘米.

【解答】解:50x10x30-3.14x(20+2)2*10

=15000-3.14x100x10

=15000-3140

=11860（立方厘米），

答：它的體積是11860立方厘米.

16.（2019?蕭山區(qū)模擬）求如圖空心圓柱的表面積.（單位：分米）

[解答]解?3.14x4x4+3.14x2x4+3.14X[（4+2）2-（2+2）2]X2

=50.24+25.12+3.14x[4-l]x2

=50.24+25.12+3.14x3x2

=50.24+25.12+18.84

=94.2（平方分米），

答：這個空心圓柱的表面積是94.2平方分米.

五.應(yīng)用題

17.（2019?寧波模擬）有一塊正方體木料，它的棱長是4分米.把這塊木料加工成一個最大的圓柱.削去

部分的體積是多少？

【解答】解：4x4x4-3.14x（42）2x4

=64—3.14x4x4

=64-50.24

=13.76（立方分米），

答：削去部分的體積是13.76立方分米.

18.（2018?蕭山區(qū)模擬）一個圓錐形沙堆，底面積是50加2,高是3〃z.用這堆沙在10米寬的公路上鋪2cm厚

的路面，能鋪多少米？

【解答】解：2厘米=0。2米，

|x50x34-（10x0.02）

=50+0.2

=250（米），

答：能鋪250米.

19.（2019?蕭山區(qū)模擬）一個圓錐形的沙堆，底面直徑是4米、高1.5米.用這堆沙子鋪在寬10米，厚5

厘米的路上，能鋪多長？

【解答】解：5厘米=。。5米

17

-X3.14X（44-2）2X1.5-f-（10X0.05）

=—><3.14x4x1.5+0.5

3

=6.28+0.5

=12-56（米）

答：能鋪12.56米.

六.解答題

20.（2019?蕭山區(qū)模擬）一個直角三角形，兩條直角邊長分別為3厘米和4厘米，斜邊長是5厘米.以斜

邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周（如圖），所得到的立體圖形的體積是多少？

【解答】解：直角三角形斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是同一底面的兩個圓錐，如上圖所示,

設(shè)這個圓錐的底面半徑是「，貝

5r+2=3x4+2,

5r=12,

r=2.4

所以這個立體圖形的體積是：

1,

-X3.14X2.42X（AO+CO）

Jx3.14x5.76x5

3；

=30,144（立方厘米）,

答：旋轉(zhuǎn)一周后的立體圖形的體積是30.144立方厘米.

21.（2016?龍灣區(qū)校級模擬）一個底面半徑與高的比為1:3的圓錐體煤堆.高是6米，如果每0.75立方米

的煤是1噸，這堆煤有多少噸？

19

-X3.14X（64-3）2X6

【解答】解：3

=3.14x8

=25.12（立方米）

2512

25.12+0.75=------、

75（噸）

2512

答：這堆煤有75噸.

22.（2012?桐鄉(xiāng)市校級模擬）一個圓錐形麥堆，高1.2米，占地面積16平方米，如果每立方米小麥重750

千克，這堆小麥重多少千克?

16xl.2x-x750

【解答】解：3,

=6.4x750,

=4800（千克）.

答：這堆小麥重4800千克.

23.（2017?朝陽區(qū)）小紅和小軍分別以直角梯形的上底和下底為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個立體圖形.

（1）你同意誰的說法，請將名字填在橫線里.小紅.

（2）甲、乙兩個立體圖形的體積比是多少？