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文檔簡介
安徽省亳州市三十二中2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.2.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.3.小張家訂了一份報紙,送報人可能在早上之間把報送到小張家,小張離開家去工作的時間在早上之間.用表示事件:“小張?jiān)陔x開家前能得到報紙”,設(shè)送報人到達(dá)的時間為,小張離開家的時間為,看成平面中的點(diǎn),則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.4.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,則該幾何體中最長的棱長為().A. B. C.1 D.5.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.6.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.7.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.8.設(shè)不等式組,表示的平面區(qū)域?yàn)?,在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為A. B.C. D.9.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.210.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.11.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設(shè)胡夫金字塔的高為,假如對胡夫金字塔進(jìn)行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為A. B.C. D.12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某部門全部員工參加一項(xiàng)社會公益活動,按年齡分為三組,其人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.14.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最小值為______.15.如圖所示,平面BCC1B1⊥平面ABC,ABC=120,四邊形BCC1B1為正方形,且AB=BC=2,則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為_____.16.已知滿足且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7,最小值為1,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)為了響應(yīng)國家號召,促進(jìn)垃圾分類,某校組織了高三年級學(xué)生參與了“垃圾分類,從我做起”的知識問卷作答隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問卷進(jìn)行打分,作出如圖所示的莖葉圖,成績大于70分的為“合格”.(Ⅰ)由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表,是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)?男女總計合格不合格總計(Ⅱ)從上述樣本中,成績在60分以下(不含60分)的男女學(xué)生問卷中任意選2個,記來自男生的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819.(12分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.20.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,側(cè)棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.21.(12分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822.(10分)如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,平面,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面平面;(ⅠⅠ)求直線與平面所成的角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
過作于,連接,易知,,從而可證平面,進(jìn)而可知,當(dāng)最大時,取得最大值,取的中點(diǎn),可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因?yàn)?,所以平面,所以,?dāng)最大時,取得最大值,取的中點(diǎn),則,所以,因?yàn)?,所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上(不在左右頂點(diǎn)),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力,屬于中檔題.2、B【解析】
由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點(diǎn),使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn),然后得到一個含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.3、D【解析】
這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi),作圖如下:故選:D【點(diǎn)睛】考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】
首先由三視圖還原幾何體,進(jìn)一步求出幾何體的棱長.【詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長的棱長為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.6、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項(xiàng).【詳解】由圖可知,ABD選項(xiàng)可以圍成三棱柱,C選項(xiàng)不是三棱柱展開圖.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.8、A【解析】
畫出不等式組表示的區(qū)域,求出其面積,再得到在區(qū)域內(nèi)的面積,根據(jù)幾何概型的公式,得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域,易知,所以的面積為,滿足不等式的點(diǎn),在區(qū)域內(nèi)是一個以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓面,其面積為,由幾何概型的公式可得其概率為,故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫可行域,求幾何概型,屬于簡單題.9、B【解析】
求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】
將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡得,所以為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D.12、D【解析】
由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),得共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.【詳解】,,對應(yīng)點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、60【解析】
根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比,可求得C組中的人數(shù);由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù),即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本,則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為:60.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡單應(yīng)用,古典概型概率的簡單應(yīng)用,由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
作出滿足約束條件的可行域,將目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率,觀察圖形斜率最小在點(diǎn)B處,聯(lián)立,解得點(diǎn)B坐標(biāo),即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,該目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率,故由題可知,聯(lián)立得,聯(lián)立得所以,故所以的最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,屬于簡單題.15、【解析】
將平移到和相交的位置,解三角形求得線線角的余弦值.【詳解】過作,過作,畫出圖像如下圖所示,由于四邊形是平行四邊形,故,所以是所求線線角或其補(bǔ)角.在三角形中,,故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.16、-2【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值,表示直線在軸上的截距,只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點(diǎn)即可.【詳解】由題意得:目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)B取得最大值為7,在點(diǎn)A處取得最小值為1,∴,,∴直線AB的方程是:,∴則,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值的方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接交于點(diǎn),由三角形中位線定理得,由此能證明平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,的方向?yàn)檩S正方向,的方向?yàn)檩S正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:證明:連接交于點(diǎn),則為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn),連接,則.因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.?)由,可得:,即所以又因?yàn)橹崩庵?,所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的法向量為,則且,可解得,令,得平面的一個法向量為,同理可得平面的一個法向量為,則所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)填表見解析,有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān);(Ⅱ)分布列見解析,【解析】
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖填寫列聯(lián)表,計算得到答案.(Ⅱ),計算,,,得到分布列,再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖可得:男女總計合格101626不合格10414總計202040,故有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果””有關(guān).(Ⅱ)從莖葉圖可知,成績在60分以下(不含60分)的男女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人,從中任意選2人,基本事件總數(shù)為,,,,012.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.19、(1)當(dāng)時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當(dāng)時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2)或.【解析】
(1)求出,對分類討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn),若不恒成立,求解,即可得出結(jié)論;(2)有解,即,令,轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個實(shí)數(shù)解,根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可求解.【詳解】(1),當(dāng)時,恒成立,當(dāng)時,,綜上,當(dāng)時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當(dāng)時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2),令,原方程只有一個解,只需只有一個解,即求只有一個零點(diǎn)時,的取值范圍,由(1)得當(dāng)時,在單調(diào)遞增,且,函數(shù)只有一個零點(diǎn),原方程只有一個解,當(dāng)時,由(1)得在出取得極小值,也是最小值,當(dāng)時,,此時函數(shù)只有一個零點(diǎn),原方程只有一個解,當(dāng)且遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;,當(dāng),有兩個零點(diǎn),即原方程有兩個解,不合題意,所以的取值范圍是或.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到單調(diào)性、零點(diǎn)、極值最值,考查分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,因?yàn)?,所?又,所以,又由已知,,則,所以,.又為正三角形,且,所以,因?yàn)?,所以,,,平面,又平面,平面平面;?)由于是底面直角三角形的斜邊的中點(diǎn),所以點(diǎn)是的外心,由(1)知平面,所以三棱錐的外接球的球心在上.在中,的垂直平分線與的交點(diǎn)即為球心,記的中點(diǎn)為點(diǎn),則.由與相似可得,所以.所以三棱錐外接球的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,同時也考查了三棱錐外接球體積的計算,找出外接球球心的位置是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.21、(1)(萬)(2)(3)填表見解析;有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解析】
(1)在1000個樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個,根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識可得,
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