廣東省東莞市達(dá)標(biāo)名校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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廣東省東莞市達(dá)標(biāo)名校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時(shí),在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.43.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.5.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,6.在展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.2 C.3 D.77.在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.168.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.9.為實(shí)現(xiàn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo),國(guó)家加大了扶貧攻堅(jiān)的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率(脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比)為.2015年開(kāi)始,全面實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策后,扶貧效果明顯提高,其中2019年度實(shí)施的扶貧項(xiàng)目,各項(xiàng)目參加戶數(shù)占比(參加該項(xiàng)目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比)及該項(xiàng)目的脫貧率見(jiàn)下表:實(shí)施項(xiàng)目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的()A.倍 B.倍 C.倍 D.倍10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.711.若函數(shù)在處有極值,則在區(qū)間上的最大值為()A. B.2 C.1 D.312.若直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),則()A. B. C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為的前n項(xiàng)和,若,,則________.14.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士,其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地,共有__________種選派方法.15.集合,,若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合,則下列說(shuō)法正確的為_(kāi)_______①的值可以為2;②的值可以為;③的值可以為;16.設(shè)實(shí)數(shù),滿足,則的最大值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù),.(1)解不等式;(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立,求的取值范圍.18.(12分)已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的周長(zhǎng).19.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,底面為正方形,、分別為、的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E為AB的中點(diǎn),底面四邊形ABCD滿足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若點(diǎn)在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知,若點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在曲線上,且的最小值為,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí),直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.3、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.4、B【解析】

利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算,化簡(jiǎn)求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

直接利用全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題寫(xiě)出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定,特稱(chēng)命題與全稱(chēng)命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.6、D【解析】

求出展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng),問(wèn)題得解。【詳解】展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為:,,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題。7、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(),所以,又因?yàn)闈u近線方程為,所以,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

設(shè)貧困戶總數(shù)為,利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率,進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)貧困戶總數(shù)為,脫貧率,所以.故年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了概率與統(tǒng)計(jì),考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得:,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過(guò)程.11、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值,然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計(jì)算即可.【詳解】解:由已知得,,,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.,.由得;由得或.所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,在上遞增.則,,由于,所以在區(qū)間上的最大值為2.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問(wèn)題的基本思路,屬于中檔題.12、B【解析】

計(jì)算拋物線的交點(diǎn)為,代入計(jì)算得到答案.【詳解】可化為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn),屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、127【解析】

已知條件化簡(jiǎn)可化為,等式兩邊同時(shí)除以,則有,通過(guò)求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.14、24【解析】

先求出每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù),再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有,若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有,則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問(wèn)題,正難則反,是基礎(chǔ)題.15、②③【解析】

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,只需研究第一象限的情況,計(jì)算:,得到,,得到答案.【詳解】如圖所示:根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,只需研究第一象限的情況,集合:,故,即或,集合:,是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合,故所在的直線的傾斜角為,,故:,解得,此時(shí),,此時(shí).故答案為:②③.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,利用對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵.16、1【解析】

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,然后判斷求出目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo),即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù),滿足表示的平面區(qū)域,如圖所示:由可得,則表示直線在軸上的截距,截距越小,越大.由可得,此時(shí)最大為1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】試題分析:(1)將絕對(duì)值不等式兩邊平方,化為二次不等式求解.(2)將問(wèn)題化為分段函數(shù)問(wèn)題,通過(guò)分類(lèi)討論并根據(jù)恒成立問(wèn)題的解法求解即可.試題解析:整理得解得①②解得③,且無(wú)限趨近于4,綜上的取值范圍是18、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角,結(jié)合倍角公式,即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果;(2)由面積公式,可以求得,再利用余弦定理,即可求得,結(jié)合即可求得周長(zhǎng).【詳解】(1)由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴,所以或.當(dāng),(舍)故,解得.(2),從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查由余弦定理解三角形,涉及面積公式,正弦的倍角公式,應(yīng)用正弦定理將邊化角,屬綜合性基礎(chǔ)題.19、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)利用中位線的性質(zhì)得出,然后利用線面平行的判定定理可證明出平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn),所以.又因?yàn)槠矫?,平面,所以平面;?)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,所以.設(shè)直線與平面所成角為,所以.因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算直線與平面所成的角,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.【解析】

(Ⅰ)由題知,如圖以點(diǎn)為原點(diǎn),直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算,證明,從而平面PAC,即可得證;(Ⅱ)求解平面PDE的一個(gè)法向量,計(jì)算,即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求解平面PBE的一個(gè)法向量,計(jì)算,即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值.【詳解】(Ⅰ)PC⊥底面ABCD,,如圖以點(diǎn)為原點(diǎn),直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,又,平面PAC,平面PDE,平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)設(shè)為平面PDE的一個(gè)法向量,又,則,取,得,直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)設(shè)為平面PBE的一個(gè)法向量,又則,取,得,,二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面與平面的垂直,直線與平面所成角的計(jì)算,二面角大小的求解,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力.21、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】(Ⅰ)由題意得原式的最小正周期為.(Ⅱ),.當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.綜上,得時(shí),取得最小值為0;當(dāng)時(shí),取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開(kāi),輔助角公式,三角函數(shù)的性質(zhì)等,較為綜合,也是??碱}型,需要計(jì)算正確,屬于基礎(chǔ)題22、(1)(2)【解析】

(1)利用消參法以及點(diǎn)求解出的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求

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