中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：直線與角重難點(diǎn)題型歸納（原卷版）

專題01直線與角重難點(diǎn)題型歸納

專題導(dǎo)航?

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【題型一"線段---雙中點(diǎn)“模型】...............................

【題型二"角一一雙角平分線”模型】.......................................................3

【題型三線段中的動(dòng)點(diǎn)問題】...............................................................5

【題型四動(dòng)角問題】.......................................................................8

【專項(xiàng)綜合檢測】..............................................................................11

題型歸納?

【題型一“線段一一雙中點(diǎn)"模型】

【典型例題】

【例1】（2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，C,。是線段48上的兩點(diǎn)，且=已知圖中所

有線段的長度之和為81,貝。CD的長為.

I__I__________I_______________I

ACDB

【例2】（2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段4B上一點(diǎn)，點(diǎn)M是力C的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，如

果MC比NC長2cm，則AC比8C長.

【例3】（2023上?山東濰坊?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)C在線段48上，并且4C=8cm,BC=6

cm，E、尸分別是AC、C8的中點(diǎn).

Ehrfijjl

(1)求線段EF的長度.

(2)在(1)中，如果力C=acm,BC=bcm,其他條件不變，你能求出EF的長度嗎？

(3)對(duì)于(1)題，如果把“點(diǎn)C在線段2B上”：改成“點(diǎn)C在直線上”，其他的語句都不變，結(jié)果會(huì)有變化

嗎？如果有，求出變化后的結(jié)果.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1、(2023上?云南紅河?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，已知線段48=26,8c=18,點(diǎn)M是4C的中點(diǎn).

IIIIMl

薪蟾嬤

(1)求線段4M的長;

(2)在CB上取一點(diǎn)N,使得CN:NB=1:2,求線段MN的長.

2、(2023上?全國?七年級(jí)課堂例題)(1)如圖①，已知點(diǎn)C在線段2B上，線段/C=6cm,8C=4cm,M,N

分別是力GBC的中點(diǎn)，求線段MN的長;

(2)如圖①，已知點(diǎn)C在線段4B上,線段4B=10cm，MN分別是力C,BC的中點(diǎn)，求線段MN的長;

(3)如圖①，已知點(diǎn)C在線段上,線段A8=acm，M,N分別是的中點(diǎn)，求線段MN的長;

(4)如圖②，已知點(diǎn)C在線段4B的延長線上，線段/8=acm,M,N分別是4&BC的中點(diǎn)，則線段MN的長

為________________

3、(2023上?福建廈門?七年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)校考期末)如圖已知線段力B、CD,

IIIIII

cMABND

(1)線段4B在線段CD上(點(diǎn)C、/在點(diǎn)8的左側(cè)，點(diǎn)。在點(diǎn)C的右側(cè))

①若線段4B=6,CD=14,M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，求MN的長.

②M、N分別為4C、BD的中點(diǎn)，求證：MN=*AB+CD)

⑵線段CD在線段AB的延長線上，M、N分別為力C、BD的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形，直接

寫出結(jié)論

【題型二”角一一雙角平分線"模型】

【典型例題】

【例4】(2023上?黑龍江大慶?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，。為直線上一點(diǎn)，NCOE=50。，。。平分

N力。C,OF平分NBOE,求NDOF的度數(shù).

【例5】(2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知44。8=80。，0C是過點(diǎn)。的一條射線，OD,0E分別平分

Z.AOC,Z-BOC.

⑴如圖①，如果射線。C在40B的內(nèi)部，且4。。=30。，求NDOE的度數(shù)；

(2)如圖②，如果射線。。在N40B的內(nèi)部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，NDOE的度數(shù)是多少？為什么？

【例6】(2022上?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試)已知，0M平分

N力。C,ON平分NBOC.

(1)如圖1,若乙4。。=60。，ZBOC=78°,求NMON的度數(shù)；

(2)如圖2,若NMON=146。，求乙40B度數(shù);

(3)如圖3,在(2)的條件下，。。為4CON內(nèi)部的一條射線，4AON—乙MOD=28°,若。E為平面內(nèi)一條射

線，zDOE=16°,求NBOE的度數(shù).

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1、（2023上?重慶沙坪壩?七年級(jí)重慶一中校考期末）如圖1,已知乙4OC=160。，0B是N40C內(nèi)的射線

乙AOB=%BOC,射線。。、0E將NAOC分害IJ,使得NAOD:NBOD:NCOE=1:2:3,

圖1圖2

⑴求NDOE.

（2）如圖2,作NB。。，NEOC的平分線。M,ON,求/MON的值

2、（2022上?河南鄭州?七年級(jí)鄭州外國語中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)/,O,3在同一條直線上,

^AOC=^BOD,OM,ON分另1J是NAOC,NB。。的平分線.

（1）若NC。。=80°,求NMON的度數(shù)；

⑵比較ADOM和NCON的大小，并說明理由.

3、（2022上?福建福州?七年級(jí)?？计谀┮阎?0B=120。，OC,是過點(diǎn)。的射線，射線。河、ON分

別平分N/OC和/D02.

(1)如圖①，若OC、是NNO8的三等分線，則NMON=°

(2)如圖②，若NCOD=40。，乙AOC豐乙DOB,貝iJ/MON=0

(3)如圖③，在N/O8內(nèi)，若/。。。=醺0。＜戊＜60。)，則NM0N=°

⑷將(3)中的/C。。繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的外部(0＜乙4。。＜180。，0＜zBOD＜180°),求

此時(shí)/MON的度數(shù).

【題型三線段中的動(dòng)點(diǎn)問題】

【典型例題】

【例7】(2023上?黑龍江大慶?六年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試)如圖，P是線段4B上一點(diǎn)，AB=12cm，C、。兩點(diǎn)

分別從P、8出發(fā)以

lcm/s、2cm/s的速度沿直線2B向左運(yùn)動(dòng)(C在線段AP上，。在線段BP上)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.

---------□

(1)當(dāng)1=2時(shí)，PD=2AC,請(qǐng)求出4P的長；

(2)若C、。運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD=22C,請(qǐng)求出4P的長；

(3)在(2)的條件下，。是直線上一點(diǎn)，且AQ—BQ=PQ,求尸。的長.

【例8】（2022上?湖北武漢?七年級(jí)湖北省水果湖第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖線段N8和線段CD都在數(shù)軸

上，已知N2=2（單位長度），CD=4（單位長度），點(diǎn)/在數(shù)軸上表示的數(shù)是°,點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)

b.

BAOCDO

-1-161~~6

圖i圖2

（1）若|a+8|與（b—16）2互為相反數(shù)，求此時(shí)點(diǎn)4與點(diǎn)C之間相距多少單位長度？

（2）在（1）條件下線段42以6個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段8以2個(gè)單位長度/秒的速

度向左勻速運(yùn)動(dòng).從開始算起，運(yùn)動(dòng)時(shí)間用/表示（單位：秒）

①數(shù)軸上/表示的數(shù)是」C表示的數(shù)是一（用含f的代數(shù)式表示），若點(diǎn)/與點(diǎn)C相距8個(gè)單位長度，求

f的值;

②已知點(diǎn)。是2c的中點(diǎn)，點(diǎn)P是4D的中點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，線段尸。長是不變化的，請(qǐng)說明理由，并指

出尸。的運(yùn)動(dòng)方向和速度.

【例9】（2023上?遼寧撫順?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P是線段4B上一點(diǎn)，48=18cm，C,。兩動(dòng)點(diǎn)分別

從點(diǎn)P,B同時(shí)出發(fā)沿射線82向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)/處即停止運(yùn)動(dòng).

A1CPDB

（1）若點(diǎn)C,D的速度分別是lcm/s,2cm/s-

①若2cm<AP<14cm,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C,。運(yùn)動(dòng)了2s時(shí)，求4C+PD的值；

②若點(diǎn)C到達(dá)4P中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，求力P:PB；

（2）若動(dòng)點(diǎn)C,。的速度分別是lcm/s，3cm/s，點(diǎn)C，。在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD=34C,求4P的長度.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1、（2022上?陜西西安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)N表示的數(shù)為-6,點(diǎn)8表示的數(shù)為8,動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度沿射線4B的方向向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.

----A1-----1-------B1-----A

-608

（1）線段4B=；點(diǎn)P表示的數(shù)為;

⑵若點(diǎn)P在線段48上，則線段BP=(用含/的代數(shù)式表示)；

⑶求經(jīng)過多長時(shí)間，使得4B、P三點(diǎn)中有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？

2、(2023下?河南新鄉(xiāng)?七年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在數(shù)軸上有/、3兩點(diǎn)，點(diǎn)。是數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)C是線

段4B的中點(diǎn)，AB=6,0/1=4.

__|____________________|_____|_____________

4COB

⑴求點(diǎn)C所表示的數(shù)；

(2)動(dòng)點(diǎn)P、0分別從/、8同時(shí)出發(fā)，沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、。的運(yùn)動(dòng)速度分別是每秒3個(gè)單位

長度和每秒2個(gè)單位長度(當(dāng)P與0相遇，運(yùn)動(dòng)停止)，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

①請(qǐng)用含t的式子表示CM的長；

②當(dāng)2cM=5PC時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)尸在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字.(參考：在數(shù)軸上，點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為0,點(diǎn)8對(duì)

應(yīng)的有理數(shù)為6,則以/、8為端點(diǎn)線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為竽)

3、(2023上?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，C是線段4B上一點(diǎn)，4C=5cm，點(diǎn)M從點(diǎn)力出發(fā)，沿以

3cm/s的速度勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以lcm/s的速度勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，結(jié)果

點(diǎn)M比點(diǎn)N先到3s.設(shè)點(diǎn)M出發(fā)時(shí)間為t(s).

I,------aM、I------?NI,

ACB

(1)求線段力B的長.

(2)是否存在某個(gè)時(shí)刻，點(diǎn)C恰好是線段MN的中點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)求出t的值.若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)求點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)(未到達(dá)點(diǎn)B),t的值；

(4)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N相距2cm時(shí)，t的值.

【題型四動(dòng)角問題】

【典型例題】

【例10】(2023上?江蘇常州?七年級(jí)統(tǒng)考期末)已知：AAOC=^BOD=a(0°<a<180°).

R

----------cZ__________

OOCIS)

陽l陽2

⑴如圖1,若a=90。.

①寫出圖中一組相等的角(除直角外),

理由是.

②那么NC。。+/.AOB=°.

(2)如圖2,乙40c與NB。。重合，若a=60。，將NB。。繞點(diǎn)。以5度/秒的速度作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/

(0<Z<24)秒.

①當(dāng)仁秒時(shí)，OB^^AOC,

②試說明：當(dāng)f為何值時(shí)，乙AOB='COD?

【例11】(2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))把直角三角形MON的直角頂點(diǎn)。放在直線48上，射線OC平分

乙AON.

圖I圖2

(1)如圖1,若NMOC=25。，求NBON的度數(shù)；

(2)若NMOC=zn。，貝IJNBON的度數(shù)為；

⑶由(1)和(2),我們發(fā)現(xiàn)NM0C和4BON之間的數(shù)量關(guān)系是；

(4)若將三角形M0N繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，試問NM0C和NBON之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?

請(qǐng)說明理由.

【例12】(2023下?江西南昌?七年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期中)若40、8三點(diǎn)共線,

48。。=40。，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處(注:NDOE=90。，Z￡DO=30°).

D

C

E

E

AODB

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,使三角板的長直角邊。。在射線08上，則“?！?_。；

⑵將圖1中的三角板。0E繞點(diǎn)。以每秒5。的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,

①若旋轉(zhuǎn)到到圖2位置，此時(shí)乙乙4。號(hào)求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；

②經(jīng)過t秒后，直線。C恰好成為ND0E的三等分線，直接寫出t的值.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1、(2023上?河北唐山?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，點(diǎn)。為直線2B上一點(diǎn)，將斜邊為CD的直角三角板的直角頂

圖1

(1)如圖1,若乙4。。=30。，求NDOE的度數(shù)；

(2)將直角三角板繞頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，探究N40C和NDOE度數(shù)之間的關(guān)系，

寫出你的結(jié)論，并說明理由；

(3)在圖1中，AAOC=30°,OP與。。的起始位置重合，再將三角板COD繞點(diǎn)。按每秒10。的速度沿順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，射線。。恰好是銳角NBOP的三等分線，貝1的值為秒

(直接寫出結(jié)果).

2、(2023上?江西贛州?七年級(jí)統(tǒng)考期末)將一副三角板的其中兩個(gè)頂點(diǎn)重合于一點(diǎn)。，含45。角的三角板

保持不動(dòng)，含60。的三角板繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，0B始終在NC。。內(nèi)部，請(qǐng)回答問題：

⑴如圖1放置，將含有60。角的一邊與45。角的一邊重合時(shí)，求N4OD的度數(shù).

(2)繞著點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)三角板40B,當(dāng)。B恰好平分時(shí)，求乙4OD的度數(shù).

(3)三角板40B在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中NAOC的度數(shù)恰好等于NB。。度數(shù)的3倍，求的度數(shù).

3、(2023上?河南漠河?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，ZAOB=90°,ZCOD=60°.

⑴若OC平分乙18,求NBOC的度數(shù)；

(2)^ZBOC=^ZAOD,求N4OD的度數(shù)；

(3)若射線OP從射線OB的位置開始，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向以每秒12。的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線。。從射線04的

位置開始，繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向以每秒9。的速度旋轉(zhuǎn)，射線。P旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t(單位：秒)，且

0</<7.5,求當(dāng)“OP=R1OP時(shí)t的值.

專項(xiàng)綜合檢測二

1.(2023下?山東泰安?七年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，AC=^AB,BD=^AB,AE=CD,貝|CE=()

AB.

D

2.（2023上?河北邢臺(tái)?七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，C是4B的中點(diǎn)，。是BC的中點(diǎn)，則下列等式：①

CD=AD—BD；②CD=AD-BC；③2CD=2AD—AB；@CD=^AB,其中正確的有（）

IIII

ACDB

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2023上?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)。是直線4B上一點(diǎn)，OC平分〃OE/DOE=90。，則以下結(jié)論：①

々OD與NBOE互為余角；?AAOD=^COE；③乙BOE=24COD；④若NBOE=58°,貝UNCOE=61°.其

中正確的是（）

A.只有①④B.只有①③④

C.只有③④D.①②③④

4.（2023上?河南駐馬店?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知乙4OB=130。，以點(diǎn)。為頂點(diǎn)作直角NCQ8,以點(diǎn)。

為端點(diǎn)作一條射線。D.通過折疊的方法，使0D與。C重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)方處，0E所在的直線為折痕，若

NCOE=15。，貝1|乙2。夕=().

A.30°B.25°C.20°D.15°

5.（2023上?河南駐馬店?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，ZXOC=Z500=90°,0E是乙40B的平分線，且

/COE=75°,貝

6.（2023上?福建福州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知射線。C在N40B內(nèi)部，。。平分N40C,0E平分

/8。。,。/平分44。8,以下四個(gè)結(jié)論：①ND0E=（N40B；?2ADOF=AAOF-ACOF；③

乙AOD=LBOC；④NEOF=*NCOF+NBOF）.其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）.

7.（2023上?黑龍江雙鴨山?七年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，數(shù)軸上O,/兩點(diǎn)的距離為4,一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)

/出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)①處，第2次從4點(diǎn)跳動(dòng)到乙。的中點(diǎn)4處，第3次

從4點(diǎn)跳動(dòng)到4。的中點(diǎn)公處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)心，人5,A6,4n處，那么線段44的長

度為.

8.（2023上?河北邢臺(tái)?七年級(jí)?？计谀┤鐖D1,線段OP表示一條拉直的繩子，A,B兩點(diǎn)在線段。P上,

OP=a,0A4P=3:7,B為。力的中點(diǎn).固定點(diǎn)4將。力折向4P,使得。力重疊在4P上（如圖2所示）.

...................W圖］

I

也〃一—2”,/圖2

X

(1)若a=10.

①繩子折疊前，A8的長為；

②繩子折疊后，0P的長為;

(2)若從如圖2所示的點(diǎn)8及與點(diǎn)8重疊處一起剪開，使得繩子分成三段，三段繩子由小到大的長度比

為.

9.(2023上?河南鄭州?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，己知數(shù)軸上點(diǎn)/表示的數(shù)為8,3是數(shù)軸上一點(diǎn)，

且AB=14.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)N出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)

秒.

BA

----1--------------11----

08

(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)8