中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理四大核心知識(shí)講義（原卷版）

專題02勾股定理四大核心知識(shí)講義

面積法、合

勾股定理證明

勾

股2勾股定理應(yīng)用

定

理

構(gòu)造全等形

?勾醺理斷理證明

4勾股定理逆定理應(yīng)用

【勾股定理證明】

之，化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2

歐幾里得證明方法

P

=

證明：S\+ST=S^△ABF^dADE—SAABFS“DE~^2S&ADE=S長(zhǎng)方形/ENA^S正方形4BCZ>=2S^ABF

同理，SMNPF=S\故5]+$2=$3

方法3

1

S梯形ZMC0'=S&ABD+SM'BD'+^D'BD即：——x+b\=-cib—cibH—c

2''222

化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2

方法4

u~+b~H—ubH—ab，化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2

2222

總統(tǒng)證明法

化簡(jiǎn)得：a2+b2=c2

達(dá)芬奇證明法

右邊部分

yU個(gè)翻轉(zhuǎn)憶

iz2+Z）2+2x—ab=c2+ab，a2+b2=c2

2

【勾股定理應(yīng)用】

【勾股數(shù)】

1.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出a=2〃+1*=2幾2+2〃,c=2n2+2〃+1（〃為正整數(shù)）是一組勾

股數(shù).

2.我國(guó)《九章算術(shù)》中提到：a=—（m~-n~）,b=mn,c=—（7?+/卜機(jī)、〃為正整數(shù),

2V72、

用〉〃）時(shí)，a,6,c構(gòu)成一組勾股數(shù)；

3.a2~b2,lab,a2+b2（a、6為正整數(shù)，且心b）

4.常見(jiàn)勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、40、41.......

，、c,斜邊c上的高為肌貝J：以L,一為邊的三角形是直角三

5.直角三角形三邊長(zhǎng)為a、b

abh

角形.

6.若a、b、c是一組勾股數(shù),,則加、kb、kc（左為正整數(shù)）是一組勾股數(shù).【在做某些題時(shí)

較為簡(jiǎn)便】

【幾個(gè)經(jīng)典圖形】

A

結(jié)論：s陰影=$△

A

A

V3,

Z口論：c—2。、b—a=——b

3

A

【勾股定理逆定理證明】

命題：由題設(shè)和結(jié)論組成.

將原命題的題設(shè)與結(jié)論互換即為其逆命題.

如：“對(duì)頂角相等”的逆命題為：“相等的角是對(duì)頂角”.

勾股定理逆定理證法：（構(gòu)造全等三角形）

【典例解析】

【題型一】勾股定理及其應(yīng)用

趙爽弦圖

[例1]（2020?河南南陽(yáng)市月考）下圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成

的正方形圖案，已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用x,歹表示直角三角形的

兩直角邊（x〉y）,下列四個(gè)說(shuō)法：①/+/=49,②x-y=2,③2孫+4=49,④

x+y=9.其中說(shuō)法正確的是（）.

A.①③B.①②③C.②④D.①②③④

【例2】（2021?沙坪壩區(qū)期末）我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖如圖所示，它是由四個(gè)

全等的直角三角形圍成的.若/C=2,BC=3,將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為3的直角邊分別

向外延長(zhǎng)一倍，得到一個(gè)如圖所示“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（）

A.4713B.8麗C.4713+12D.8^/10+12

【變式1】（2021?四川資陽(yáng)市期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界

數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三

角形拼成如圖所示“弦圖放△NBC中，/4CB=90°.AC=b,BC=a,AB=c,請(qǐng)你利用

這個(gè)圖形解決下列問(wèn)題：

（1）試說(shuō)明：aW=c2；

（2）如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求（a+6）2的值.

B

【變式2】（2021?浙江湖州市期末）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中.每個(gè)小正方

形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形/BCD的邊為斜邊，向外作四個(gè)全等的直角三

角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，且四邊形EFG8為正方形，我們把這樣的圖

形稱為格點(diǎn)弦圖.例如，在圖中所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形48CD的邊長(zhǎng)為亞，此時(shí)正

方形￡7文汨的面積為52.問(wèn)：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形48C。的邊長(zhǎng)為歷時(shí)，正方形

EFGH的面積的所有可能值是（不包括52）.

【變式3]（2020?山東威海市期末）“趙爽弦圖”巧妙的利用面積證明了勾股定理.如圖所示

的‘趙爽弦圖”是用四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形.若直角三角形

兩直角邊分別為。，b[a>b）,S.ab=3,大正方形的面積為8,則a-6=

【變式4】（2020?河南南陽(yáng)市期末）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在《周髀

算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理創(chuàng)制的“趙

爽弦圖”也流傳至今.迄今為止已有400多種證明勾股定理的方法.下面是數(shù)學(xué)課上創(chuàng)新小

組驗(yàn)證過(guò)程的一部分.請(qǐng)認(rèn)真閱讀并根據(jù)他們的思路將后續(xù)的過(guò)程補(bǔ)充完整將兩張全等的

直角三角形紙片按圖1所示擺放，其中b>a,點(diǎn)E在線段/C上，點(diǎn)2、。在邊4c兩側(cè),

試證明：a2+b2-c2-

AA

圖1圖2

勾股定理與面積

【例1】（2021?陜西西安市期末）如圖是一棵勾股樹(shù)，它是由正方形和直角三角形排成的,

若正方形，，B,C,。的邊長(zhǎng)分別是4,5,3,4,則最大正方形￡的面積是—.

【例2】（2020?浙江杭州市）勾股定理相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱“商高定理”.如圖1,

以直角三角形4BC的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方

式放置在最大的正方形內(nèi)，三塊陰影區(qū)域面積分別記為E，S2，S3,兩個(gè)較小正方形紙片的

重疊部分（六邊形PQMNHG）的面積記為S4，則E，§2,53,64的關(guān)系為（)

A.E+S2引3+S4B.S.+S^S.+S,c.51+S2+S3=54D.51+52+53<54

【例3】（2020?揚(yáng)州市期中）如圖1,有一個(gè)面積為2的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在它

的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，如圖2,其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再

經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)后，變成圖3：“生長(zhǎng)”10次后，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得更加“枝繁葉

茂”.隨著不斷地“生長(zhǎng)”，形成的圖形中所有正方形的面積和也隨之變化.若生長(zhǎng)及次后,

變成的圖中所有正方形的面積用S〃表示，則S“=

圖1圖2圖3圖4

【變式11（2019?北京昌平區(qū)期中）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在

它的左右肩上生出了2個(gè)小正方形（如圖①），其中，3個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角

形.再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，又生出了4個(gè)小正方形（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下

去，它將變得‘枝繁葉茂"，在'生長(zhǎng)”了2019次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（）

C.2020D.2021

【變式2］（2020?浙江期末）在A/BC中，已知ZC:8C:48=5:12:13,4D是“BC

的角平分線，DELAB于點(diǎn)E.若AABC的面積為S,則△ZCD的面積為()

1'久「

A.-SB.—SC.—SD.—S

4182525

勾股定理及勾股數(shù)應(yīng)用

【例1】(2020?長(zhǎng)汀縣月考)如圖，某港口尸位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”

號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每

小時(shí)航行12海里.它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于0、R處，且相距30海里.如果知

道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿北偏東50。方向航行，則“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行？

【例2】閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a,b,c,稱為勾股數(shù).世界上

第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為：

a=；(m2_/)

<b=mn其中機(jī)>">0,小，"是互質(zhì)的奇數(shù).

1/22\

c=—(m+n)

應(yīng)用：當(dāng)"=1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng).

【例3】（2021?河南洛陽(yáng)市期末）在中，ZACB=90°,BC=5cm,

4C=12cm,三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)。到45的距離尸以為（）

3060

A.\cmB.2cmC.—cmD.—cm

1313

【變式1】（2020?浙江嘉興市期末）如圖，在中,AB=13,AC=11,ADLBC,

垂足為。，“為4D上任一點(diǎn)，貝1等于（)

C.120D.無(wú)法確定

【變式2】閱讀：所謂勾股數(shù)就是滿足方程必+「=z2的正整數(shù)解，即滿足勾股定理的三

個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的一組數(shù)?我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》一書(shū)，在世界上第一次給出該方程

的解為x--Qm2-n2）,y=mn,z=—（m2+M2）,其中冽>">0,加，〃是互質(zhì)的奇

22

數(shù).應(yīng)用：當(dāng)〃=3時(shí)，求一邊長(zhǎng)為8的直角三角形另兩邊的長(zhǎng).

特殊三角形中的應(yīng)用

【例1】（2020?山東威海市期末）七巧板是大家熟悉的一種益智類玩具.用七巧板能拼出許

多有趣的圖案.小明將一個(gè)直角邊長(zhǎng)為20cm的等腰直角三角形紙板，切割七塊.正好制成

一副七巧板，則圖中陰影部分的面積為（）

252

A.10cm2B.—cmD.25cm2

2

【例2】2021?北京房山區(qū)期末）如圖甲，直角三角形A/BC的三邊a,6,c,滿足/+〃=。2

的關(guān)系.利用這個(gè)關(guān)系，探究下面的問(wèn)題：如圖乙，AOAS是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,

ZOAB=90°,延長(zhǎng)。4至4，使幺5]=04,以為底，在ACMB外側(cè)作等腰直角三

角形。4片，再延長(zhǎng)至層，使482=04,以。易為底，在△。4片外側(cè)作等腰直角

三角形四層，……，按此規(guī)律作等腰直角三角形04.名（”21,〃為正整數(shù)），則4不

的長(zhǎng)及AOKOZI與OZI的面積分別是（）

A.2,22020B.4,22021C.2亞,22020D.2,22019

【例3】（2021?福建廈門期末）如圖，44BC與ABED全等，點(diǎn)A,C分別與點(diǎn)8,。對(duì)應(yīng),

點(diǎn)C在BD上,4c與BE交于點(diǎn)、F.若N/2C=90。，ND=60。，則/尸：3。的值為

E

B

CD

【變式1】（2021?安徽安慶市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。4=2,ZAlOx=30°,

以為直角邊作RtaCMH，并使NZQK=60°,再以AH2為直角邊作RtA4HH，

并使Z444=60°,再以A2A3為直角邊作Rt△444,并使N444=60°,,按

此規(guī)律進(jìn)行下去，則A2020的坐標(biāo)是.

影響時(shí)間

【例1】如圖，有兩條公路0"、ON相交成30。角，沿公路0M方向離。點(diǎn)160加處有一所

醫(yī)院4當(dāng)卡車P沿道路ON方向行駛時(shí)，在以尸為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)

受到噪聲的影響.若已知卡車的速度為250米/分鐘，則卡車尸沿道路ON方向行駛一次時(shí),

給醫(yī)院/帶來(lái)噪聲影響的持續(xù)時(shí)間是分鐘.

30°

OA

【例2】（2021?四川資陽(yáng)期末）拖拉機(jī)行駛過(guò)程中會(huì)對(duì)周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響.如圖，有

一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路N3由點(diǎn)/向點(diǎn)3行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線N2上兩點(diǎn)

A,8的距離分別為150"?和200m，又AB=25Qm,拖拉機(jī)周圍130加以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)

域.

（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？

（2）若拖拉機(jī)的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？

【例3】（2021?重慶萬(wàn)州期末）“某市道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城市街路上行

駛速度不得超過(guò)40千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好

行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀N正前方18米的C處，過(guò)了2秒后到達(dá)8處GBCU/C）,測(cè)得小

汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為30米，請(qǐng)問(wèn)這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多

少？

B---------------------------------fC

觀測(cè)點(diǎn)

【變式1】（2021?重慶期末）如圖，公路AW和公路尸0在點(diǎn)尸處交匯，且NQPN=30。,

在/處有一所中學(xué)，/尸=120米，此時(shí)有一輛消防車在公路上沿PN方向以每秒5米

的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)有噪音影響.

（1）學(xué)校是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）如果受到影響，則影響時(shí)間是多長(zhǎng)?

【變式2】（2020?吉林長(zhǎng)春市期末）《城市交通管理?xiàng)l例》規(guī)定小汽車在城市街路上的行駛

速度不得超過(guò)70千米/時(shí).如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行

駛到車速檢測(cè)儀幺正前方30米的。處，過(guò)了2秒后，小汽車行駛至3處，若小汽車與觀

測(cè)點(diǎn)間的距離48為50米，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：這輛小汽車是否超速？

最值問(wèn)題

【例1】（2021?江蘇泰州市期末）已知△/8C中，AB=AC=5,BC=6,動(dòng)點(diǎn)尸在線段3c上從

2點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接/尸，則/P的最小值為等于

【例2】（2021?重慶渝北區(qū)期末）如圖，在等腰A/BC中，AB=AC=13,4D是AABC

的高，AD=12,BC=10,E、尸分別是4C、4D上一動(dòng)點(diǎn)，則CF+E尸的最小值為

【例3】（2021?江蘇連云港市期末）如圖，NMON=90。,已知A48C中，

AC=BC^\0,AB=12,A4BC的頂點(diǎn)2、3分別在邊（W、ON上,當(dāng)點(diǎn)2在邊

ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)幺隨之在邊（W上運(yùn)動(dòng)，ZU8C的形狀保持不變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C

到點(diǎn)。的最大距離為（）

新定義問(wèn)題

【例1】（2020?渠縣月考）閱讀下面的情景對(duì)話，然后解答問(wèn)題：

老師：我們新定義一種三角形，兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角

形.

小華：等邊三角形一定是奇異三角形！

小明：那直角三角形是否存在奇異三角形呢？

（1）根據(jù)奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華的說(shuō)法：“等邊三角形一定是奇異三角形"

正確（填“是”或“不是”）

（2）在火中，兩邊長(zhǎng)分別是。=5后、。=10,這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【例2】（2021?北京昌平區(qū)）定義點(diǎn)P是A/BC內(nèi)部的一點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和A/BC中的

一個(gè)頂點(diǎn)的直線把A/BC平分成兩個(gè)面積相等的圖形，則稱點(diǎn)P是關(guān)于這個(gè)頂點(diǎn)

的均分點(diǎn).例如圖中，點(diǎn)尸是A/BC關(guān)于頂點(diǎn)N的均分點(diǎn).

S1/S2

S1=S]

（1）下列圖形中，點(diǎn)。一定是關(guān)于頂點(diǎn)3的均分點(diǎn)的是_______；（填序號(hào)）

\EC

①NBAE=NCAE

@AE=CE

（2）如圖，在中，NA4C=90°,5c=10,點(diǎn)尸是A/BC關(guān)于頂點(diǎn)/的均分點(diǎn),

直線4P與交于點(diǎn)。，當(dāng)8尸，40時(shí)，BP=4,求C尸的長(zhǎng).

【例3】(2020?浙江嘉興市期末)我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方

差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，這兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn).

(1)特例感知

①等腰直角三角形勾股高三角形(請(qǐng)?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰?；

②如圖1,已知A/BC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，是A8邊上的高.若

BD=5AD=1,試求線段co的長(zhǎng)度.

(2)深入探究

如圖2,已知A4BC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且C4>C5,CO是A8邊上試

探究線段與C8的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

【變式1］我們知道，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.由此，我們可以引

入如下新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.

(1)如圖1,點(diǎn)P在線段8c上，ZABP^ZAPD=ZPCD=90°,BP=CD.求證點(diǎn)尸是

△4PD的準(zhǔn)外心；

(2)如圖2,在此△4BC中，ZBAC^90°,BC=5,AB=3,△48C的準(zhǔn)外心尸在△NBC

的直角邊上，試求/尸的長(zhǎng).

【變式2】2021?浙江寧波市)定義如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角分滿足a+2￡=90。,

那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”.

(1)若A/BC是“近直角三角形"，ZS>90°,NC=50。，則44=度；

(2)如圖，在中，ABAC=90°,AB=3,AC=4.若CO是N/C8的平分

線，

①求證：△ADC是“近直角三角形”；

②求BD的長(zhǎng).

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，邊4C上是否存在點(diǎn)￡,使得ABCE也是“近直角三角形”？若存

在，直接寫出CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式3】（2021?浙江寧波期末）定義：若一個(gè)三角形存在兩邊平方和等于第三邊平方的3

倍，則稱此三角形為“平方倍三角形”.

（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是行，而和2,次三角形是否為平方倍三角形？請(qǐng)你

作出判斷并說(shuō)明理由；

（2）若一個(gè)直角三角形是平方倍三角形，求該直角三角形的三邊之比（結(jié)果按從小到大的

順序排列）；

（3）如圖，RM4BC中,ZACB=90°,BC=5,為A/BC的中線，若△BCD是

平方倍三角形，求的面積.

C

【題型二】勾股定理逆定理及其應(yīng)用

判斷三角形形狀

【例1】（2021?江蘇蘇州市期末）在A/BC中，//、NB、/C的對(duì)邊分別為°、6、c,下

列條件不能判斷△NBC是直角三角形的是（）

A.ZB=ZC+ZA