重慶市某中學(xué)2025屆高三年級(jí)上冊(cè)11月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

西南大學(xué)附中高2025屆高三上11月階段性檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

（滿分：150分：考試時(shí)間：120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答題前、考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2、答選擇題時(shí)、必須使用2B鉛筆填涂：答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書

寫；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講）.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

A=Jx|—<2X<8LB=（X|X2+5X>O）

1.已知集合I16JJ則4口3=（）

A.（T,3）B.（0,3）C.（-3,0）D.（T,0）

【答案】B

【解析】

【分析】先分別求出集合AB,再進(jìn)行集合的交集運(yùn)算

【詳解】由‘<2'<8解得-4〈尤<3,A={x|—4<尤<3},

由f+5x>0解得x>0或％<—5，

所以3={尤>?；颍?lt;-5},

所以AnB=（0,3）

故選：B.

2.己知點(diǎn)A（L2）,3（—l,4）C（x,l）,若A,B,C三點(diǎn)共線，則x的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】因?yàn)锳（l,2）,5（—l,4）,C（x,l）,

所以初=（一2,2）,*=（%_1,_1）,

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，則無反前共線，

則一2x（—l）=2x（x—1）,解得尤=2.

故選：B.

3.“無>1”是“一工<1”的（）

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】將-工<1化簡(jiǎn)，再根據(jù)充分必要條件關(guān)系判斷.

X

1尤+1

【詳解】—v10---->0。x（x+l）>0=%<一1或%>。，

xx

由犬>1成立可以推出x<-1或0,但x<-1或0成立不能推出x>l,

所以%>1是-4<1的充分不必要條件.

X

故選：A.

4.若a==,c=log3-1,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解析】

【分析】首先化解。力，再根據(jù)中間值1,以及幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小，即可判斷.

【詳解】。=（『=3。」>1，bc=log3|G（0,l）,

丁=%°」在（0,+”）上單調(diào)遞增，3>|,所以a>6,

所以a>Z?>c.

故選：D

5.設(shè)%，〃是不同的直線，。，分為不同的平面，下列命題正確的是（）

N.若a，B，ac/3=n,m，n,則mJ_a.

B,若aCBIIa,則zn//〃.

C.若7口燙a,mlI/3,n/1/3,則。///?.

D.若m」ln,mLa,n1/3,則o//〃.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷.

【詳解】對(duì)于A,直線機(jī)與平面々可能平行、相交或直線機(jī)在平面a內(nèi)，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,ml巾或muB,故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,平面a與平面夕平行或相交，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,m//",m_La,則〃J_tz,又“」分，所以a///7,D正確；

故選：D.

1sintz-costz

6.若曲線/'(X)=1M+1在x=2處的切線的傾斜角為a,則cosc(l_sin2a)=()

175175A/17

A.——B.——C.——D.

126517

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出函數(shù)/(%)在x=2處的導(dǎo)數(shù)值，即可得到在尤=2處切線的斜率，進(jìn)而

得到傾斜角a的正切值，再根據(jù)tana求出題中式子的值.

【詳解】由題意得，/f(x)=--4-所以/■'(2)=」一工=」，

x%244

于是/(%)在尤=2處切線的斜率為：，tan?=-.

44

sina-cos。_sina-cosa

又cosa(l-sin2a)cos6Z(sin2a-Ismacosa+cos2a)

_sina-cosa_1

cosa(sina-cosa)2cosa(sina-cosa)

s.m2a+cos2a

~~sinacosa-cos2a'

將原式分子分母同時(shí)除以cos?a得,

si?n2a+cos2atan7+11

2='

sinacosa-cosatana-I

I17

代入tana=—可得最終答案為----.

412

故選：A.

7.已知數(shù)列｛〃/的首項(xiàng)為=2025,前〃項(xiàng)和S〃，滿足S〃="2Q〃，則。2024=()

]-------B.-------C.-------D.-------

2025202410121013

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)S“=〃2q,得到s,T=(〃-1)241，兩式相減得到4=〃2a“=("11)2%_1，求出4即可求解,

【詳解】因?yàn)?"=成小所以S“T=("—l)2qi(〃22),

兩式相減得a”——

an—1_.ciu,da0〃一1〃-23—12—12

所以工n------5z22),所以^——?二.二=-----------LT--------------

n〃〃

%i〃+1an_xan_2a2al〃+13+12+1(+l)

所吟二小(心2),所以4=黑(〃”，

1^7以“2024=,

20241012

故選：C.

8.已知X]是函數(shù)/(X)=%-2-111(%—1)的零點(diǎn)，%是函數(shù)g(x)=%2+2ax-6a-6的零點(diǎn)，且滿足

歸一々|<j則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[0—3,+oo)B.6一3,得)

7125)

D.后TJ

【答案】B

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可證明函數(shù)八％)存在唯一零點(diǎn)，即%=2,可得g(x)在弓,?)有零

點(diǎn)，利用參變分離可求解.

1r_2

【詳解】由y(x)=x—2—ln(x—1),X>1,可得尸(x)=l-----=——

x—1x—1

當(dāng)l<x<2時(shí)，此時(shí)/(%)在。,2)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時(shí)，/'(x)>0,此時(shí)了(%)在(2,y)單調(diào)遞增；

又因?yàn)?(2)=0,所以函數(shù)八％)存在唯一的零點(diǎn)，即%=2.

因?yàn)闅w_工21=〔2—司<；,解得々eg，?)

即g(x)=x2+2ax—6a—6在甘,上有零點(diǎn),

故方程2a=———在|r|上有解，

x-3144J

A_2orQ-

而匚土=-3-x---=-6+(3-%)+——,

3—xx—33—x

511

因?yàn)閤e，故3-故2G<(3-%)H--—<—，

4'T(44；3-%4

所以20—642a〈生，故6—3Va(生

48

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的題型常見解法有兩個(gè)：一是對(duì)于未知量為不做限

制的題型可以直接運(yùn)用判別式解答(本題屬于這種類型)；二是未知量在區(qū)間(加,〃)上的題型，一般采取

列不等式組(主要考慮判別式、對(duì)稱軸、/(加),/(")的符號(hào))的方法解答.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在下列函數(shù)中，最小正周期為久且在為減函數(shù)的是()

A./(x)=|cosx|B./(x)=sin|

C.f(x)=cos2%-sin2xD./(x)=tan

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,/(x)=|cosR的最小正周期為兀，當(dāng)時(shí)，cosx>0,

/(x)=|cosx|=COSX,

根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故A正確；

對(duì)于B,/(￡)=5由［5%一三)的最小正周期一工一"，故B不正確；

2兀

對(duì)于C,f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,所以最小正周期T=《-=兀,

當(dāng)時(shí)，2xe(0,71),根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故C正確；

F兀(71I71［7171)

對(duì)于D,最小正周期丁=問=兀，當(dāng)時(shí)，--,-J,

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法可知，此時(shí)/(x)=tan［；-x］單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ACD.

10.VABC中，BC=2叵,邊上的中線AD=2，則下列說法正確的有()

A.|AB+AC|=4B.zg.就為定值

c.AC-+AB2=20D.的最大值為45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】由中線的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運(yùn)算判斷A選項(xiàng)；由中線的性質(zhì)和向量數(shù)量積的運(yùn)算有

AB-AC=AD2-DB?求值判斷B選項(xiàng)；C選項(xiàng)，由NAD5+NADC=兀，結(jié)合余弦定理求AC?+人笈的

Ao2.0

值；D選項(xiàng)，中，余弦定理得cosNBAD=,結(jié)合均值不等式求解.

4AB

【詳解】A.|須+%@=|2汨卜4,故A正確;

B.AB-AC^(AD+DB)-(AD+DQ=(AD+DB)■(AD-i5B)=AD-DB^4-2^2^故B正確;

C.ZADB+ZADC-Ti,cosZADB+cosZADC=0,

AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC24+2-64+2-3

由余弦定理知,---------------1---------------0,即472+4&=0,

2AD-BD2ADCD

化簡(jiǎn)得4。2+刈2=12,故C錯(cuò)誤；

D..“。s/BAD;6+22―?+2；2及AB二0,當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)等號(hào)成立，

4c4AB4AB2

由于0<NR4￡><90°，所以NR4T）的最大值為45°，故D正確;

故選：ABD.

11.在正方體ABC?！?5cl2中，AB=6,P,Q分別為GA和。2的中點(diǎn)，M為線段4c上一動(dòng)

點(diǎn)，N為空間中任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.直線Bq,平面4G。

兀兀

B.異面直線40與4。所成角的取值范圍是

C.過點(diǎn)5RQ的截面周長(zhǎng)為6而+30

D.當(dāng)ANL3N時(shí)，三棱錐A-NBC體積最大時(shí)其外接球的體積為720兀

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)可判斷A正確；由||與C轉(zhuǎn)化異面直線所成的

角，在等邊4c中分析可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤；找出截面圖形，利用幾何特征計(jì)算周長(zhǎng)可得選項(xiàng)C正確；確

定三棱錐體積最大時(shí)點(diǎn)N的位置，利用公式可求外接球的半徑和體積，得到選項(xiàng)D正確.

【詳解】A.

46-LB[Dy1BB[,BRQBBX=4，

BAu平面BDD[B[,BB[u平面BDDXBX,

：.AG_L平面，

BD[u平面BDD[B],

：.AG_LBD1,

同理可證，DC]LBD],

AGcD￡=￡,4Gu平面AG。，。。]<=平面4￡。，

，直線22J?平面4G。，選項(xiàng)A正確.

B.如圖,連接AB”AC,

由題意得，AD||BXC,AB]=AC=B[C=6拒,

直線AM與\D所成的角等于直線AM與四C所成的角,

JT

在等邊△?14c中，當(dāng)點(diǎn)M與四,C兩點(diǎn)重合時(shí)，直線40與50所成的角為

TT

當(dāng)點(diǎn)v與3。中點(diǎn)重合時(shí)，AMLB{C,此時(shí)直線AM與3。所成的角為J,

故直線AM與4。所成角的取值范圍是[g,1],選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

C.如圖，作直線尸。分別與直線CG，C。交于點(diǎn)S,T,連接3S與瓦G交于點(diǎn)E，連接與AD交于

點(diǎn)、F,則五邊形3EPQ尸即是截面.

由題意得，△SPG為等腰直角三角形，PG=SG=3,

BB,B.E?

由即〃CS得，一L=^=2,

1eGSCE

：.B[E=4,GE=2,

BE=742+62=A/52=2713>PE=M+m=岳,

同理可得，BF=2岳,QF=岳,

vp,Q分別為￡4和DD,的中點(diǎn)，

/.PQ=3A/2,

截面周長(zhǎng)為6g+3應(yīng)，選項(xiàng)C正確.

D.

當(dāng)ANL5N時(shí)，點(diǎn)N的軌跡為以A3為直徑的球，球心為中點(diǎn)，半徑為3,

三棱錐A-NBC的體積即為三棱錐N—ABC的體積，

點(diǎn)N到平面ABC距離的最大值為球的半徑，此時(shí)點(diǎn)N在正方形的中心處，三棱錐A-體

積有最大值.

由題意得，平面Ml5A平面ABC,ANAB,VA3C均為等腰直角三角形，的外接圓半徑為

AnAri—

^i=—=3,VABC的外接圓半徑為馬二三二30,

三棱錐A-NBC的外接球半徑7?=X2+^2-牛=J9+18-y=372，

二外接球體積為^兀代=：兀？(3四了72叵兀,選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題為立體幾何綜合問題，求三棱錐外接球半徑方法為：

心

(1)在三棱錐A—BCD中若有ABL平面5CD,設(shè)三棱錐外接球半徑為R,貝|7?2=/+一，其中r

4

為底面△BCD的外接圓半徑，〃為三棱錐的高即的長(zhǎng).

(2)在三棱錐A-BCD中若有平面平面5CD,設(shè)三棱錐外接球半徑為R,則

H2=T+$-J,其中K2分別為AABC,△及力的外接圓半徑，/為△/屹。心3。公共邊3C的長(zhǎng).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.復(fù)數(shù)z=2-一—(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為.

1-1

【答案】V2

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

22(l+i),、

【詳解】z=2--=2-\=2-1+i=l-i,

l-i(l-i)(l+i)

|z|=A/1+1=V2.

故答案為：也.

13.在數(shù)列｛an｝中，％=19+1=32+4,若對(duì)于任意的〃€川,上(4+2)23〃一5恒成立，則實(shí)數(shù)4的最

小值為.

4

【答案】一

27

【解析】

【分析】利用構(gòu)造法分析得數(shù)列｛4+2｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求得4+2,從而將問題轉(zhuǎn)化為左2號(hào)「恒成

立,令〃〃)=今。("eN*),分析數(shù)列｛/(叫的最值,從而得解.

【詳解】由4+1=3。”+4,得a.+2=3(。“+2),又%+2=1+2=3,

故數(shù)列｛4+2｝為首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，

所以?！?2=3x3"T=3",

則不等式k(an+i)>3n-5可化為k>與°,令f(n)=與eN*),

當(dāng)”=1時(shí)，/(?)<0；當(dāng)“22時(shí)，/⑺>0；

_x3n-23n-513-6n

又小+1)-0=后——歹=下廠，

則當(dāng)〃=2時(shí)，/(3)>/(2),當(dāng)“23時(shí)，/(?+1)</(?),

3x3-5444

所以〃小<八3)=——,則%>——，即實(shí)數(shù)上的最小值為一.

v4*78v733272727

4

故答案為：—.

27

14.若定義在(0,+8)的函數(shù)/(%)滿足/(%+y)=/(x)+/(y)+6盯，且有對(duì)〃wN*恒成

8

立，則E于①的最小值為.

1=1

【答案】612

【解析】

【分析】由條件等式變形為〃x+y)—3(x+y)2=/(x)—3V+/(y)_3y2,再構(gòu)造函數(shù)

g(%)=/(%)-3x2,得到g(x+y)=g(x)+g(y),并迭代得到g(")=〃"⑴一3],由此得到

f(n)=3n2+\_f(l)-3]n>3n,,并求和，利用放縮法，即可求解最小值.

【詳解】因?yàn)椤▁+y)=〃尤)+〃y)+6孫,

所以/(x+y)-3(x+y)2=/(%)-3/+/(丁)一3y%

設(shè)g(x)=/(%)-3x?,則g(x+y)=g(x)+g(y)，

因此g(〃)=g(〃_l)+g(l)=g(〃_2)+g(l)+g(l)=g(〃_2)+2g(l)

=...=g(2)+(n-2)g(l)=ng(1)=?[/(1)-3],

所以/(〃)=3而—3]〃N3〃,

取〃=1,得/⑴23,

8888

所以之/。)=3之產(chǎn)+[/(1)-3]22=612,

z=lz=li=lz=l

8

所以27⑺的最小值為612.

Z=1

故答案：612.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.平面四邊形ABCD中，已知AB=4BC,NABC=120°,AC=JiT

(1)求VA3C的面積；

(2)若NBC￡>=150°,AD=36，求ZADC的大小.

【答案】(1)V3

(2)60°

【解析】

【分析】(1)由已知，設(shè)BC=x,則AB=4x,由余弦定理，可得x=l,利用三角形的面積公式即可求

得VABC的面積；

(2)在VA6C中，由正弦定理，可求得sinNAC3=2互，進(jìn)而求得cosNACB=亙，進(jìn)而求得

77

sin/ACD=2旦，在AACD中，由正弦定理，求得sin/ADC=走，即可求得NAOC的大小.

142

【小問1詳解】

由已知，設(shè)JBC=X,則AB=4X,

在VA3C中，由余弦定理，AC2=AB2+BC--2AB-BCcosZABC;

因?yàn)镹ABC=120°,AC=V21，

所以21=16/+為2+4%2=252,

解得x=l,所以BC=1,AB=4,

所以S△A/ID”C=-AB-BCsinZABC=-x4xlx

22

【小問2詳解】

sinZACBsinZABC

在VA5C中，由正弦定理,

ABAC

因?yàn)?43。=120。,4。=9，AB=4,

出

所?…3*產(chǎn)=4嗡一

又在VABC中，ZABC=120°,貝U0。<NACB<60。,

所以cosZACB=Vl-Sin2ZACB=包

7

因?yàn)?CD=150。,

所以sinZACD=sin(150°-ZACB)

=sin150°cosZACB-cos150°sinZACB

1A/212幣3A/21

=-X---------X---------二-------------

27714

sinZADCsinZACD

在△ACO中，由正弦定理,

ACAD

3721

又AD=36,則sin/ADC_14

V213百

解得sinNADC=走,

2

又因?yàn)槔习?gt;也，所以N4CD>60°,

142

因?yàn)?°<NAZ)C<180°,

則NADC=60°.

16.如圖，在直三棱柱ABC耳G中，AB，AC,AC=3,AB=4^=4,211,N,P分別為AB,8c小男的

中點(diǎn).

(1)求證：BP//平面G"N；

(2)求二面角P—V?！狽的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)J店.

65

【解析】

【分析】(1)先證明”,N,￡,A四點(diǎn)共面，再證明MAII5P,由線面平行的判定定理可證；

(2)以A為原點(diǎn)，分別以AB,AC,A4所在直線為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)

算以及二面角公式，帶入求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接4加，因?yàn)镸,N分別為A58c的中點(diǎn)，則"N〃人C,

在三棱柱A3C—4與。］中，?.?AC〃4G，則MN〃4G，則M,N，A，G四點(diǎn)共面，

AB=A.B,,且48〃44，分別為A3，A4的中點(diǎn)，則5Mli總且5M=24］，

則四邊形9P為平行四邊形，則MAII3P,???BPa平面GMN,平面GMN,

則BP//平面G"N.

【小問2詳解】

在直棱柱ABC—A§IG中，LAB,LAC,ABLAC,

則以A為原點(diǎn)，分別以AB,AC,A&所在直線為蒼y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系：

3

則有A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,3,0),M(2,0,0),NQ,-,0),尸(2,0,4),G(0,3,4),

——?—?3—?

MC]=(—2,3,4),MN=(0,-,0),MP=(0,0,4),

設(shè)平面MPCi的一個(gè)法向量為機(jī)=(x,y,z)，平面MNCi的一個(gè)法向量為3=(。,仇。)，

ri-MC]=—2a+3b+4c=0

m-MCX=-lx+3y+4z=0

則及《―?3，

m-MP=4z=0n-MN=-b=0

<2

令％=3,c=l,則有方=(3,2,0),為=(2,0,1),

玩,五_6_6^/65

/同同A/32+22^22+1265

因?yàn)槎娼荘-MC.-N為鈍角，則所求二面角的余弦值為—殳叵.

65

17.已知雙曲線。：[—與=1(?！?]〉0)的一條漸近線方程為｝；=@%,點(diǎn)。(4,3)在雙曲線。上.

ab2

(1)求雙曲線。的方程.

(2)設(shè)過點(diǎn)(-1,0)的直線/與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，問在無軸上是否存在定點(diǎn)。，使得西?西為

常數(shù)？若存在，求出。點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由.

22

【答案】(1)二-匕=1;

43

(2)存在，。(—§,0),誓.

864

【解析】

b

【分析】(1)根據(jù)題意由雙曲線的漸近線方程得到一的值，再根據(jù)尸(4,3)在雙曲線上，將坐標(biāo)代入雙曲線

a

方程即可解得。涉的值.

(2)設(shè)出直線/方程與M,N點(diǎn)坐標(biāo)(石,%),(%，%)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可表示出

%+%2、占々、%+%、%%，再設(shè)出。坐標(biāo)"，。)，則可以表示出麗'，的坐標(biāo)，即可用坐標(biāo)表示出

西?西的值，再結(jié)合具體代數(shù)式分析當(dāng)QM-QN為常數(shù)時(shí)t的值.

【小問1詳解】

由題意得，因?yàn)殡p曲線漸近線方程為y=@x，

2

所以2力二b;也a，

a22

169

又點(diǎn)P(4,3)在雙曲線上，所以將坐標(biāo)代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：三-5=1，

ab

169

~~----產(chǎn)-1a=2I-

聯(lián)立兩式解得/是,5=6，

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：土-匕=1.

43

【小問2詳解】

如圖所示，

點(diǎn)E(-1,0),直線/與雙曲線交于監(jiān)N兩點(diǎn),

由題意得，設(shè)直線/的方程為工=沖-1,。點(diǎn)坐標(biāo)為0,0),

[22

土-匕=1

聯(lián)立＜43得，(3/w2-4)y2-6/W-9=0,

x=my—1

設(shè)Af(X，y),設(shè)孫為)，

6m-9

則%+為

3療一4

6nr2_8

X]+9=(切1-1)+(rny_1)=m{y+y)-2=

2x23m2-43m2-4

-12療-4

為々=(my-l)(mj-1)=m2yy-m(%+y)+l=

l2l223m2-4

M=(%—/,%),QN=(x2-t,y2),

xx

所以QM-QN=（xl一。（w-o+X%=\2-f（i+%）+/+y1y2

-12m2-48-92

=----2-------t----2-----1----7-----t

3m—43m—43m—4

-12療-13-8/2_-4（3布—4）-8-292

3療-4-4

8%+292

=-4-----------+r,

3m2-4

所以若要使得上式為常數(shù)，則8/+29=0,

2Q____CQC

即”—一-,此時(shí)兩k?麗=上，

864

2Q____kCQC

所以存在定點(diǎn)。（-七,0）,使得函■?麗為常數(shù)K.

864

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）問解題關(guān)鍵首先在用適當(dāng)?shù)男问皆O(shè)出直線/的方程，當(dāng)已知直線過x軸上

的定點(diǎn)5,0）時(shí)，可設(shè)直線方程為X=〃9+“，這樣可簡(jiǎn)化運(yùn)算，其次在于化簡(jiǎn)西?西時(shí)計(jì)算要仔細(xì),

最后判斷何時(shí)為常數(shù)時(shí)要抓住“消掉機(jī)”這個(gè)關(guān)鍵，即最后的代數(shù)式中沒有我們?cè)O(shè)出的機(jī)

18.已知函數(shù)/'（x）=2sinx-xcosx-x.

（1）求八％）在X=7T處的切線方程；

⑵證明：“X）在（0,2兀）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若xe（0,+oo）時(shí)，g（x）=sin￥的圖象恒在妝工）=加+x的圖象上方,求。的取值范圍.

【答案】（1）2x+y-27r=0

（2）證明見解析（3）a<--

兀

【解析】

分析】（1）根據(jù)解析式求出切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出斜率，點(diǎn)斜式可得到切線方程；

（2）先分析函數(shù)的單調(diào)性，需要二次求導(dǎo)，再結(jié)合函數(shù)值的情況進(jìn)行判斷；

（3）對(duì)于函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，可先特值探路求出參數(shù)的取值范圍，再證明在該條件不等式恒成立即

可.

【小問1詳解】

/（x）=2siax-%co&x-x,當(dāng)彳=兀時(shí)，/（兀）=2sin兀一兀cos兀一兀=0,

所以切點(diǎn)為（兀,0）,

所以斜線方程的斜率左=/'（兀）=cos兀+兀sin7i—l=-2,

根據(jù)點(diǎn)斜式可得y—0=-2（%—兀）可得2x+y—2兀=0,

所以"%）在》=兀處的切線方程為2x+y—2%=0；

【小問2詳解】

由（1）可得/'（x）=cosx+xsinx-l,

令g（x）=/'（x）=c0sx+xsinx—1,

所以（x）=-sinx+sin%+xcosx=xcos%,

當(dāng)m和xe（與,2兀）時(shí),cosx>0,g<x）>0,g（x）單調(diào)遞增;

（兀3兀?

當(dāng)工,［于耳）時(shí)’cosx<0,g'（x）<0,g（x）單調(diào)遞減;

717t7t.7C.7t.?

g（0）=cosO+0xsinO_1=0,g=cos—+—xsin----1=----1>0,

2222

g（2TI）=cos2TI+2TIsin2兀一1二0,

存在天￡仁,可使得g（%o）=0,

所以/（X）在（0,%）上單調(diào)遞增，在（％,2兀）單調(diào)遞減，

X/（0）=2sin0-0xcos0=0,/（7i）=2sin7i-7Lxcos7i-7r=0,

f（2兀）=2sin2兀-2兀cos2兀-2兀=-4兀,

所以/（同在（0,2兀）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

【小問3詳解】

因?yàn)閤￡（0,+e）時(shí)，g（x）=sinx的圖象恒在/?（X）=依2十%的圖象上方,

即sinx>ox?+%恒成立，等價(jià)于a<‘in：>恒成立,

x

、“、一sin7i-7i1

當(dāng)x=兀時(shí)，有。<------=—，

7171

下證：X>-—即證sinx一%〉一工工2,x￡(O,+a?)恒成立，

X7171

令s(犬)=sin%一%十一12,

兀

1

當(dāng)xN2兀時(shí)，sinx-x+—x9>sin九一2兀+4兀>0,

71

2

當(dāng)工￡(0,2兀)時(shí)，s'(x)=COSX-1+—X,

71

22

設(shè)小%)=cosx-l+—x,則f(x)=-sinx+—,

兀兀

此時(shí)%'(同=0在(0,2兀)有兩個(gè)不同解玉<兀，

且當(dāng)0<%<%或馬<犬<2兀時(shí)，f(%)>0,

當(dāng)玉vxv/時(shí)，f(%)<0,

故力(%)在(冷％2)上為減函數(shù)，在(。，石)，(%2,2兀)上為增函數(shù),

而%(0)="d=M71)=。/(2兀)=4>0,

故當(dāng)0<%〈工時(shí)，r(x)>0,當(dāng)四<%<兀時(shí)，?(%)<0,

22

當(dāng)兀<%<2兀時(shí)，］(x)>0,

故s(x)在］o,|J上為增函數(shù)，在g兀］為減函數(shù)，在(兀,2兀)為增函數(shù)，

而s(0)=s㈤=0,故］e(0,2兀)時(shí)，s(x)。。恒成立,

綜上a<—.

兀

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖

象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與左軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形

結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線丁=。與函數(shù)y=g(x)

的圖象的交點(diǎn)問題.

19.數(shù)列也｝滿足4+；■+*H---卜2"‘i="'也｝前〃項(xiàng)和為北，等差數(shù)列｛"〃｝滿足

%=4，%=n，等差數(shù)列前〃項(xiàng)和為s“.

（1）求數(shù)列｛%｝,｛,｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列｛??｝中的項(xiàng)落在區(qū)間8+1,a,+1）中的項(xiàng)數(shù)為cm（meN*）,求數(shù)列｛cm｝的前〃和Hn.

S+T

（3）是否存在正整數(shù)相，使得Y~詈是｛4｝或抄“｝中的項(xiàng).若有，請(qǐng)求出全部的“并說明理由；若

沒有，請(qǐng)給出證明.

【答案】（1）4=2〃-1,b“=2"T

r\2m+li

（2）H=------2m+-

m33

（3）m=1■m=2或根=5

【解析】

【分析】（1）先利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求出勿=2"i,然后得到a=2〃T為等差數(shù)列，求得I,,

再求得a】,%，計(jì)算數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式即可；

（2）先求出區(qū)間（7；+1，5“+1）的端點(diǎn)值，然后明確｛%J的項(xiàng)為奇數(shù)，得到（1,+1,十?,+1）中奇數(shù)的個(gè)數(shù),

得到％（meN*）通項(xiàng)公式，然后求和即可；

S+T

（3）先假設(shè)存在，由（1）求得S“=〃2,丁=2"—1,令T~十二L