中考數(shù)學專項復習：相交線中求角（解析版）

專題02相交線中求角

【例題講解】

如圖，直線48,CD相交于點O,OE平分乙BOD,OF平分4COE.

(1)若乙40c=76。，求乙8。斤的度數(shù)；

(2)若乙8。9=36。，求乙4OC的度數(shù)；

(3)請?zhí)骄俊㎡C與N8。尸的數(shù)量關(guān)系.

解：(1)VZBOD=ZAOC=76°,又?：OE平分NBOD,ZDOE=|ZBOD=|x76°=38°.

ZCOE=180°-ZDOE=180°-38°=142°,尸平分/COE,NEOF=；NCOE=gx142°=71°,

ZBOF=ZEOF-ZBOE=71°-38°=33°.

(2);OE平分NBOD,O尸平分/COE,：.ZBOE=ZEOD,ZCOF=ZFOE,

...設Z8OE=X,貝！|ZDOE=x,故NCO/=2x,NEOF=NCOF=x+36°,

貝！|4OC+NCOF+N3OF=2x+;r+36°+36°=180°,解得：x=36°,故N/OC=72°.

(3)由(1)知NBOF=/EOF-NBOE=；NCOE-；NBOD

=-(l80°-ZDOE)--ZAOC=90°--NBOD---ZAOC=90°--ZAOC--ZAOC

224242

33

=90°一一ZAOC,BOZBOF=90°一一ZAOC.

44

【綜合解答】

1.如圖，直線AB、CD相交于點O,OE把/BOD分成兩部分,

⑴直接寫出圖中/AOC的對頂角為/BOE的鄰補角為

c

【答案】⑴430。；UOE；(2)152°

【分析】(1)根據(jù)對頂角和鄰補角的定義直接寫出即可；

(2)根據(jù)對頂角相等求出NBOD的度數(shù)，再根據(jù)NBOE：NE0D=2：3求出NBOE的度數(shù)，然后利用

互為鄰補角的兩個角的和等于180。即可求出NAOE的度數(shù).

【詳解】解：(1)NAOC的對頂角是4B0D,NEOB的鄰補角是NAOE,

故答案為NBOD,NAOE;

(2)??-ZAOC=70",

.-.ZBOD=ZAOC=70°,

???ZBOE：ZE0D=2：3,

2

.-.ZBOE=——X70°=28°,

3+2

.-.ZAOE=180°-28°=152°.

???NAOE的度數(shù)為152。.

【點睛】本題主要考查了對頂角和鄰補角的定義，利用對頂角相等的性質(zhì)和互為鄰補角的兩個角的

和等于180。求解是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖，直線AB、CD、EF相交于點0,0G平分NCOF,Zl=30°,Z2=45°.求N3的度數(shù).

D

【答案】乙3=52.5。

【詳解】試題分析：先求出NEOD的度數(shù)，從而得出NCOF=105。，再根據(jù)0G平分NCOF,可得N3的

度數(shù).

試題解析：?21=30°,N2=45°

???ZEOD=180°-Z1-Z.2=105°

.-?ZCOF=ZEOD=105"

又「OG平分NCOF,

.-.Z3=ZCOF=52.5°.

考點：對頂角、鄰補角.

3.如圖，直線/8、CD相交于點。，ADOE=ABOD,OF平分UOE.

C

⑴判斷。尸與的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若乙4OC：乙4。0=1：5,求NEO尸的度數(shù).

【答案】(1)0尸1。。，理由見解析；

(2)乙EO尸=60。

【分析】(1)利用角平分線的定義結(jié)合已知求出NFOD=90。即可得出答案；

(2)求出乙4OC的度數(shù)，再利用對頂角的性質(zhì)和角平分線的定義求出乙8OD=乙4OC=N￡O￡>

30°,進而得出乙EO尸的度數(shù).

(1)

解:OF1OD,

理由：???(?尸平分乙4OE,

-,.Z.AOF=Z-FOE,

?:乙DOE=CBOD,

.-.AAOF+ABOD=AFOE+ADOE=yxl80°=90°,即乙尸。。=90°,

.?.O尸與OD的位置關(guān)系是OFLOD；

(2)

'-'Z-AOC：Z-AOD=1：5,

1

.-.Z^OC=-xl80°=30°,

6

工乙BOD=UOC=LEOD=30°,

山OE=120。，

：./.EOF=^/-AOE=&0°.

【點睛】此題主要考查了角平分線的定義以及鄰補角的性質(zhì)，正確得出各角之間的關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

4.如圖，直線AB,CD相交于點。，EOVAB,垂足為O.

E

(1)若NEOC=35。，求Z4OD的度數(shù)；

(2)若NB0C=2NA0C,求ZDO￡的度數(shù).

【答案】(1)125°；(2)150°

【分析】⑴把/CO3的度數(shù)計算出來，再根據(jù)對頂角的性質(zhì)即可得到答案；

(2)根據(jù)Z8OC=24OC,^ZAOC=x,NBOC=2x得至lj/BOD=//OC=60°,最后根據(jù)

EO1AB即可得到答案；

【詳解】解：(1)VEOYAB,

AEOB=90°,

2COB=90°+NEOC=90°+35°=125°

ZAOD=ZCOB=1250-；

(2)VZBOC=2ZAOC,

.,.設N/OC=x,ZBOC=2x

又?:NBOC+ZAOC=180°

2x+x=180。,

x=60°,

/BOD=ZAOC=60°,

又?.?EOA.AB,

:.ZEOB=90°1

/DOE=/BOD+ZEOB=60°+90°=150°.

【點睛】本題主要考查了對頂角的性質(zhì)（對頂角相等）和鄰補角的性質(zhì)，熟練掌握鄰補角的性質(zhì)和

對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，直線AB,CD相交于。點，0M平分NAOB,

(1)若N1=N2,求NNOD的度數(shù)；

(2)若NBOC=4N1,求NAOC與NMOD的度數(shù).

【答案】(1)90°；(2)ZAOC=60°；ZMOD=150".

【分析】⑴根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得Nl+2OC=90。，再利用等量代換可得N2+2OC=90。，利

用鄰補角互補可得答案；

(2)根據(jù)條件可得90。+41=441,進而可得求出N1=30。，從而可得NNOC的度數(shù)，再利用鄰補

角互補可得NMOD的度數(shù).

【詳解】(1);(W平分乙402,.??41+乙4OC=90。.

???N1=N2,.1?Z2+Z^OC=90o,.1.zAf(9Z)=180o-90°=90°；

(2)-?■Z5(9C=4Z1,.?.9O°+Z1=4Z1,.-.zl=30o,山OC=90°-30。=60。，ZMOD=180°-30°=

150°.

【點睛】本題考查了角平分線和鄰補角，關(guān)鍵是掌握鄰補角互補.

6.如圖，直線AB,CD,EF相交于點O.

⑴寫出NCOE的鄰補角；

⑵分另U寫出NCOE和NBOE的對頂角；

(3)如果NBOD=60。，ZBOF=90°,求NAOF和NFOC的度數(shù).

【答案】(1)NCOE的令B補角為NCOF和NEOD;(2)NCOE和NBOE的對頂角分另U為NDOF和NAOF;

(3)ZFOC=150".

【分析】。)根據(jù)鄰補角的定義(兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這

種關(guān)系的兩個角)可得，NCOE的鄰補角有NCOF和NEOD兩個角；

(2)根據(jù)對頂角的定義(一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，且這兩個角有公共頂

點)可得，NCOE和NBOE的對頂角分另I］為4D0F和NAOF；

(3)由NBOF=90?？傻茫篈B1EF,所以NAOF=90。，由NAOC=NBOD可得：ZAOC=60",由

ZFOC=ZAOF+ZAOC即可求出NFOC的度數(shù)；

【詳解】(1)NCOE的鄰補角為NCOF和NEOD；

(2)ZCOE和NBOE的對頂角分別為NDOF和NAOF;

(3)???zBOF=90°,

???AB1EF

??.ZAOF=90°,

又,.2AOC=NBOD=60°

.-.ZF0C=ZA0F+ZA0C=900+60°=150o.

7.如圖，直線48、CD相交于點。，OE平分乙BOD,OF平分4cOE.

⑴若乙40c=76。，求N8O尸的度數(shù)；

(2)若乙8。尸=36。，求乙4OC的度數(shù)；

［答案］⑴ZBO尸=33。

⑵々OC=72°

【分析】(1)先根據(jù)對頂角相等求出NBOD=76。，再由角平分線定義得NDOE=NBOE=38。，由鄰補角

得NCOE=142。，再根據(jù)角平分線定義得NE0F=71。，從而可得結(jié)論.

(2)利用角平分的定義得出=ZCOF=AFOE,進而表示出各角求出答案.

【詳解】(1)“AOC、NBOD是對頂角，

.-.ZBOD=ZAOC=76",

???OE平分NBOD,

??.ZDOE=ZBOE=yZBOD=38"

??.ZCOE=142°,

尸平分NCOE.

.-.ZEOF=yZC0E=71°,

又NBOE+ZBOF=NEOF,

.?.NBOF=NEOF-ZBOE=71°-38°=33°,

（2）vOE平分乙BOD,OF平分乙COE,

NBOE=AEOD,NCOF=ZFOE,

:.設NBOE=x,貝ijNEOO=x,

故ACOA=lx,NEOF=NCOF=x+36°,

貝！JZAOC+ZCOF+ZBOF=2x+x+36°+36°=180°,

解得x=36。，

故乙4OC=72。.

【點睛】本題考查了角平分線的定義和對頂角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握對頂角的定義（從一

個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線）.

8.如圖，直線AB、CD相交于點O,OE平分/BOC,ZCOF=90°.

⑴若乙40尸=50。，求乙的度數(shù)；

（2）若乙BOD-ZBOE=1:4,求乙4。尸的度數(shù).

【答案】（1）ZBOE=70°；（2）ZAOF=70°.

【分析】（1）根據(jù)補角，余角的關(guān)系，可得NCO8,根據(jù)角平分線的定義，可得答案；

（2）根據(jù)鄰補角，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得乙4OC,再根據(jù)余角的定義，可得答

案.

【詳解】⑴,?NCO/與〃尸是鄰補角，

.-.ZCOF=180°-Z￡>OF=90°.

■■-^AOC與乙40尸互為余角，

.?.ZJOC=90°-ZJOF=90°-50°=40°.

■：/.AOC與乙BOC是鄰補角，

.."02=180°-^40c=180°-40°=140°.

■0E平分乙80C,

二乙BOE=g乙BOC=70°；

⑵480。:乙8OE=1:4,

設48OD=ZL4OC=X,/-BOE-Z-COE=4X.

"LAOC與乙BOC是鄰補角，

.?.乙4。。+乙20。=180°,

即x+4x+4x=180。，

解得x=20。.

■：/-AOC與乙4。尸互為余角，

.-.Z^OF=90o-Z^OC=90°-20o=70°.

【點睛】此題考查角平分線的定義，對頂角、鄰補角，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義.

1

9.如圖，N1=2N2,Zl+Z2=162°,求N3與44的度數(shù).

【答案】43=54。44=72°

【詳解】試題分析：本題首先根據(jù)方程思想，求出.41、N2的度數(shù)，再根據(jù)對頂角、鄰補角的關(guān)系

求出Z3與N4的度數(shù).

1

試題解析：由己知41=2/2,41+42=162°,

解得：21=54°,42=108°.

?.21與N3是對頂角，

-1=54°.

??Z2與N4是鄰補角，

.?24=180°-42=72°.回

考點：1二元一次方程組;2對頂角;3鄰補角.

10.如圖，直線46,CD相交于點O,￡0148,垂足為。.

E

cB

O

AD

⑴若NCO￡=35。，則乙4。。的度數(shù)為。(直接寫出結(jié)果)；

(2)若乙40D+NCOE=17O。，求NCOE的度數(shù).

【答案】(1)125

(2)40°

【分析】(1)先根據(jù)兩角互余求出乙40c的度數(shù)，再利用鄰補角即可求出乙1OD的度數(shù)；

(2)設44OC=x,則/40C=/BOD=x,再利用周角列出方程，解出x的值之后再利用互余即

可求出NCOE的度數(shù).

(1)

解：?."。￡=35。，EOVAB,

：.ZAOE=ZCOE+ZAOC=90°,

ZAOC=90°-35°=55°.

又,:UOD是乙40c的鄰補角，

ZAOD^180°-ZAOC=125°.

(2)

解：設N/OC=x,貝1叱/。。=48。。=工，

ZAOD+ZCOE+NAOC+ZBOD+ZBOE=360°,

即170°+90°+2x=360°,

解得x=50。.

.?./COE=90°-50°=40°.

【點睛】本題考查了兩角互余的關(guān)系和鄰補角以及周角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余、互補的概念

和對頂角相等以及周角為360。，互余是指兩角之和為90。，互補是指兩角之和為180。，并且熟知兩

個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，叫做鄰補角.

11.如圖，直線42,相交于點。，C史把分成兩部分.

A

D

（1）直接寫出圖中448的對頂角為,的鄰補角為.

（2）若//OC=90。，＞ABOE:AEOD=2:3.求/EOC的度數(shù).

【答案】（1）ZBOC,ZEOC；（2）126°

【分析】（1）根據(jù)對頂角和鄰補角的定義直接寫出即可；

（2）根據(jù)對頂角相等求出乙80。的度數(shù)，再根據(jù)乙BOE：^EOD=2：3求出乙8?！旰蚇E0D的度數(shù),

即可求出NEOC的度數(shù).

【詳解】解：（1）N/OD的對頂角為N80C,NOOE的鄰補角為/E0C.

（2）"BOE：Z￡OD=2：3,設NB0E=2x,ZE0D=3x,

貝（JZBOD=ZAOC=5x=90°

解得：x=18°.

???ZDOE=3x=54°.

???ZEOC=180°-ZDOE=126°.

【點睛】本題主要考查了對頂角與鄰補角的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

12.如圖，直線N8和。相交于點。，把々。C分成兩部分且乙4OE：N￡OC=3：5,。/平分

乙BOE.

(1)若/2?！?gt;=80°,求MOE；

(2)若N8OF="OC+14°,求乙EOF.

E

0

Z)

【答案】(1)150°；(2)78°

【分析】(1)根據(jù)對頂角相等，可得乙40c的度數(shù)，根據(jù)乙4?！辏阂褽OC=3：5,可得乙根據(jù)

鄰補角，可得答案；

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得4BOE,根據(jù)々OE：乙EOC=3：5,可得乙4OE,根據(jù)鄰補角的關(guān)

系，可得關(guān)于乙40c的方程，根據(jù)角的和差，可得以OE,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】解：(1)由對頂角相等，得\。。=乙8。。=80。，

???OE把乙4OC分成兩部分且乙4OE：乙EOC=3：5,

3

.,.乙AOE=UOCx力=30°,

8

由鄰補角，得乙BOE=180°-2LAOE=180°-30°=150°,

(2)OF平令(BOE,

.」BOE=2(BOF=2400+28°,

,-'Z.AOE：Z-EOC—3：5,

3

?，-Z-AOE=-Z.AOC,

8

3

由鄰補角，得乙8?！?4?！?180。，BP2z^OC+28°+-Z^OC=180°,

o

33

解得ZJOC=64°,/.AOE^-^LAOC^-x64=24°,

88

由角的和差，得乙BOE=180。-乙4?！?180。-24°=156°,

「OF平分乙BOE,

:/EOF=|乙BOE=yxl56°=78°.

【點睛】本題主要考查了對頂角、鄰補角的性質(zhì)和角平分線的定義以及角的和差倍分關(guān)系，解決本

題的關(guān)鍵是要熟練掌握角平分線的定義和角的和差倍分關(guān)系.

13.如圖，直線4B,CD相交于點O,OE1AB,垂足為O.

(1)直接寫出圖中/40C的對頂角為,的鄰補角為:

(2)若NBOD:NCOE=1:2,求440。的度數(shù).

【答案】(1)ZBOD-,/BOC,NAOD；(2)150°

【分析】(1)根據(jù)對頂角、鄰補角的定義尋找對頂角和鄰補角即可;

(2)設NBOD=x,則NC0E=2x,再根據(jù)NBOD與ZCOE互余可求得X的值，從而得出NAOC的大小,

進而得出NAOD的大小.

【詳解】(1)NAOC的對頂角為：ZBOD

ZBOD的鄰補角為：ZBOC,ZAOD

(2)???ZBOD:ZCOE=1:2

設NBOD=x,則NCOE=2x

???OE1AB

.-.ZEOB=90°

.-.ZCOE+ZBOD=90°,即x+2x=90°

解得：x=30。

.-.ZBOD=ZCOA=30"

???ZAOD=150°

【點睛】本題考查角度的簡單推導，解題關(guān)鍵是利用對頂角相等和補角為180。轉(zhuǎn)化求解.

14.如圖，直線兒CN相交于點O,。/是NM0C內(nèi)的一條射線，是XVOD內(nèi)的一條射線,

NMON=70°.

(1)若求N8ON的度數(shù)；

(2)若乙4。。=