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2024年年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷及答案(共三套)2024年年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷及答案(一)(考試時(shí)間:120分鐘總分:150分)★友情提示:要把所有答案都寫(xiě)在答題卷上,寫(xiě)在試卷上的答案無(wú)效。一、選擇題(每題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在空間直角坐標(biāo)系中,A(0,2,4),B(1,4,6),則|AB|等于()A.2B.2eq\r(2)C.eq\r(7)D.32.直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(-1,2),傾斜角為135°,則直線(xiàn)l的方程為()A.x+y-1=0B.x-y+1=0C.x+y-3=0D.x-y+3=03.下列命題正確的是()A.若兩個(gè)平面平行于同一條直線(xiàn),則這兩個(gè)平面平行B.若有兩條直線(xiàn)與兩個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面平行C.若有一條直線(xiàn)與兩個(gè)平面都垂直,則這兩個(gè)平面平行D.若有一條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面所成的角相等,則這兩個(gè)平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=eq\f(\r(3),2),那么原△ABC是一個(gè)()A.等邊三角形B.直角三角形C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D.三邊互不相等的三角形5.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的側(cè)面積等于()A.12πcm2B.15πcm2C.24πcm2D.30πcm26.若三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面ABC所成角都相等,則頂點(diǎn)P在底面的射影為的()A.外心B.重心C.內(nèi)心D.垂心7.圓:與圓:的位置關(guān)系為()A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切8.若P(2,-1)為圓的弦AB的中點(diǎn),則直線(xiàn)AB的方程是()A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=09.已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)Q(6,0),點(diǎn)M是線(xiàn)段PQ靠近Q點(diǎn)的三等分點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-4)2+y2=C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=110.若圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是方程是()A.B.C.D.11.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足方程2x+y+5=0,那么的最小值為()A.2eq\r(10)B.eq\r(10)C.2eq\r(5)D.eq\r(5)12.函數(shù)的值域?yàn)?)A.B.C.D.二、填空題(每小題5分,共20分)13.如圖,在正方體中,分別為,,,的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成的角等于14.已知直線(xiàn)和直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)M(2,1)對(duì)稱(chēng),則的方程為15.如果直線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),那么16.已知⊙M:Q是軸上的動(dòng)點(diǎn),QA,QB分別切⊙M于A,B兩點(diǎn),求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為三、解答題。(本大題共6小題,滿(mǎn)分70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,推理過(guò)程或演算步驟)17.(本小題滿(mǎn)分10分)求經(jīng)過(guò)直線(xiàn):與直線(xiàn):的交點(diǎn),且滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)的方程:(1)與直線(xiàn)平行;(2)與直線(xiàn)垂直。18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且與底面ABCD垂直,E為PA的中點(diǎn).(1)求證:DE∥平面PBC(2)求PB與平面ABCD所成角的正弦值;
19.(本小題滿(mǎn)分12分)已知ABC的頂點(diǎn)A(2,3),B(-2,1),重心G(1,2)(1)求BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)求AB邊的高線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程;(3)求ABC的面積;20.(本小題滿(mǎn)分12分)已知圓C:(x-2)2+(y-3)2=16及直線(xiàn)l:(m+2)x+(3m+1)y=15m+10(m∈R).(1)證明:不論m取什么實(shí)數(shù),直線(xiàn)l與圓C恒相交;(2)當(dāng)直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最短時(shí),求此時(shí)直線(xiàn)l方程.21、(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,已知四邊形是正方形,平面ABCD,//,,,,分別為,,的中點(diǎn).(1)求四棱錐P—BCD外接球(即P,B,C,D四點(diǎn)都在球面上)的表面積;(2)求證:平面平面;(3)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn),使平面?若存在,求出線(xiàn)段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22、(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,已知圓C:x2+y2-4x-14y+45=0及點(diǎn)Q(-2,3)(1)若點(diǎn)P(m,m+1)在圓C上,求直線(xiàn)PQ的斜率以及直線(xiàn)PQ與圓C的相交弦PE的長(zhǎng)度;(2)若N(x,y)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn),過(guò)N作圓C的切線(xiàn),切點(diǎn)為A,當(dāng)切線(xiàn)長(zhǎng)最小時(shí),求N點(diǎn)的坐標(biāo),并求出這個(gè)最小值.(3)若M(x,y)是圓上任意一點(diǎn),求eq\f(y-3,x+2)的最大值和最小值.高一數(shù)學(xué)科試題參考答案一、選擇題1—5:DACAB6—10:CCABB11—12:CD二、13.60°14.15.16.三、解答題17:解:(1)交點(diǎn)M(-3,-2.5)…………3分…………6分(2)…………10分18.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是直角梯形ABCD,其中AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且與底面ABCD垂直,E為PA的中點(diǎn).(1)求證:DE∥平面PBC(2)求PB與平面ABCD所成角的余弦值;(3)求點(diǎn)D到平面PBC的距離;18:(1)解:取PB中點(diǎn)F,連EF,CF,四邊形DEFC為平行四邊形∥CF…………2分又∵平面PBC,平面PBC∴DE∥現(xiàn)面PBC…………4分(2)作PO⊥AD于O,連BO∵側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且與底面ABCD垂直∴AO=DO又∵側(cè)面PAD與底面ABCD垂直,且交線(xiàn)為AD∴PO⊥底面ABCD∴∠PBO就是PB與平面ABCD所成角…………6分∵在直角中,,∴…………8分19.解:(1)∵ABC的重心為G∴…………1分設(shè)D(a,b),則a=0.5b=1.5…………4分[(2)C(3,2),…………5分即∴AB邊的高線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為…………8分(3)…………9分直線(xiàn)AB方程:…………10分點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離…………11分…………12分20:解:(1)證明:直線(xiàn)l可化為2x+y-10+m(x+3y-15)=0,即不論m取什么實(shí)數(shù),它恒過(guò)兩直線(xiàn)2x+y-10=0與x+3y-15=0的交點(diǎn).兩方程聯(lián)立,解得交點(diǎn)為(3,4).又有(3-2)2+(4-3)2=2<16,∴點(diǎn)(3,4)在圓內(nèi)部,∴不論m為何實(shí)數(shù),直線(xiàn)l與圓恒相交.…………6分(2)解:從(1)的結(jié)論和直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)M(3,4)且與過(guò)此點(diǎn)的圓C的半徑垂直時(shí),l被圓所截的弦長(zhǎng)|AB|最短,…………8分此時(shí),kl=-eq\f(1,kCM),從而kl=-eq\f(1,\f(4-3,3-2))=-1,……10分∴l(xiāng)的方程為y-4=-(x-3),即x+y=7.………12分21證明:(Ⅰ)四棱錐P—BCD外接球半徑…………2分
四棱錐P—BCD外接球的表面積為…………4分(Ⅱ)因?yàn)槠矫?所以.
又因?yàn)?,
所以平面.…………6分
由已知,分別為線(xiàn)段,的中點(diǎn),所以//.
則平面.而平面,所以平面平面……….8
(Ⅲ)在線(xiàn)段上存在一點(diǎn),使平面.證明如下:在直角三角形中,因?yàn)?,所以.在直角梯形中,因?yàn)?,所以,
所以.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.要使平面,只需使.
因?yàn)槠矫?所以,又因?yàn)?,
所以平面,而平面,所以.
若,則∽,可得.由已知可求得,,,所以……….1222.解:(1)∵點(diǎn)P(m,m+1)在圓C上,代入圓C的方程,解得m=4,∴P(4,5)故直線(xiàn)PQ的斜率k=eq\f(5-3,4--2)=eq\f(1,3).因此直線(xiàn)PQ的方程為y-5=eq\f(1,3)(x-4).即x-3y+11=0,而圓心(2,7)到直線(xiàn)的距離d=eq\f(|2-3×7+11|,\r(10))=eq\f(8,\r(10))=eq\f(4\r(10),5),所以PE=2eq\r(r2-d2)=2eq\r(8-\f(32,5))=eq\f(2\r(40),5)=eq\f(4\r(10),5).………4分(2)∵∴當(dāng)NC最小時(shí),NA最小又知當(dāng)NC時(shí),NC最小∴…………6分過(guò)C且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程:∴N(-3,2)……8分(3)∵kMQ=eq\f(y-3,x+2),∴題目所求即為直線(xiàn)MQ的斜率k的最值,且當(dāng)直線(xiàn)MQ為圓的切線(xiàn)時(shí),斜率取最值.設(shè)直線(xiàn)MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí),圓心到直線(xiàn)的距離d=eq\f(|2k-7+2k+3|,\r(1+k2))=r=2eq\r(2).兩邊平方,即(4k-4)2=8(1+k2),解得k=2-eq\r(3),或k=2+eq\r(3).所以eq\f(y-3,x+2)的最大值和最小值分別為2+eq\r(3)和2-eq\r(3).…………12分2024年年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷及答案(二)一、選擇題:(每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合要求)1.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(3,0),則它的斜率為()A. B. C.﹣ D.﹣2.直線(xiàn)x﹣y+a=0(a為常數(shù))的傾斜角為()A.30° B.60° C.150° D.120°3.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線(xiàn)x﹣2y﹣2=0平行的直線(xiàn)方程是()A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=04.與直線(xiàn)3x﹣4y+5=0關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程是()A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x﹣4y+5=0 D.3x﹣4y﹣5=05.一個(gè)水平放置的三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′,若O′B′=1,那么原△ABO的面積是()A. B. C. D.26.如圖,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn),F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且==,則()A.EF與GH互相平行B.EF與GH異面C.EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線(xiàn)AC上,也可能不在直線(xiàn)AC上D.EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線(xiàn)AC上7.設(shè)m、n是兩條不同的直線(xiàn),α,β是兩個(gè)不同的平面,則()A.若m⊥n,n∥α,則m⊥α B.若m∥β,β⊥α,則m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α8.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線(xiàn)l,若直線(xiàn)l與連接A(﹣,﹣1),B(2,0)的線(xiàn)段總有公共點(diǎn),則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,下列四個(gè)條件中能推出α∥β的是()①存在一條直線(xiàn)m,m⊥α,m⊥β;②存在一個(gè)平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在兩條平行直線(xiàn)m,n,m?α,n?β,m∥β,n∥α;④存在兩條異面直線(xiàn)m,n,m?α,n?β,m∥β,n∥α.A.①③ B.②④ C.①④ D.②③10.圖中,小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形,圖中粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A.8﹣π B.8﹣π C.8﹣π D.8﹣π11.正方形ABCD,沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角A﹣BD﹣C,則折后的異面直線(xiàn)AB與CD所成的角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°12.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖),則球的半徑是()A.cm B.2cm C.3cm D.4cm二、填空題:(本大題6小題,每小題5分,共30分)13.兩平行直線(xiàn)3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距離為.14.直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,﹣1),且在第四象限與兩坐標(biāo)軸圍成等腰三角形,則直線(xiàn)l的方程為.15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(﹣1,0),則△ABC的面積為.16.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1cm、3cm,且側(cè)面積等于兩底面積之和,則圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為cm.17.長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別是a,b,c,則長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)AC1的長(zhǎng)是.18.如圖所示,在四面體VABC木塊中,P為△VAC的重心,這點(diǎn)P作截面EFGH,若截面EFGH是平行四邊形,則該截面把木塊分成兩部分體積之比為.(埴體積小與體積大之比)三、解答題:(本大題共5題,滿(mǎn)分60分)19.已知兩條直線(xiàn)l1:4x+(a+3)y+(3a﹣5)=0,l2:(a+5)x+2y﹣8=0,問(wèn)a為何值時(shí),l1與l2:(Ⅰ)平行;(Ⅱ)相交;(Ⅲ)垂直.20.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,5),AB邊上的中線(xiàn)CM所在直線(xiàn)方程為x﹣2y+5=0,AC邊上的高BH所在直線(xiàn)方程為2x﹣y+5=0,求:(Ⅰ)頂點(diǎn)C的坐標(biāo);(Ⅱ)直線(xiàn)BC的方程.21.如圖,在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中,AB=AC,D、E分別是棱BC、CC'上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥BC,F(xiàn)為B'C'的中點(diǎn).求證:(Ⅰ)平面ADE⊥平面BCC'B';(Ⅱ)直線(xiàn)A'F∥平面ADE.22.如圖,在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中,E為DD'的中點(diǎn).(Ⅰ)求證BD'∥平面AEC;(Ⅱ)如圖,設(shè)F為上底面A'B'C'D'一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F在上底面畫(huà)一條直線(xiàn)與CF垂直,并說(shuō)明理由.23.如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面α,C是圓周上不同于A、B的點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面PAC⊥平面PBC;(Ⅱ)過(guò)A作AD⊥PC(D為垂足),過(guò)D作DE⊥PB(E為垂足),求證:PB⊥平面ADE.
參考答案與試題解析一、選擇題:(每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合要求)1.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(3,0),則它的斜率為()A. B. C.﹣ D.﹣【考點(diǎn)】I3:直線(xiàn)的斜率.【分析】直接利用直線(xiàn)的斜率公式求出直線(xiàn)l的斜率.【解答】解:直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(3,0),則直線(xiàn)l的斜率是k==﹣故選:C.2.直線(xiàn)x﹣y+a=0(a為常數(shù))的傾斜角為()A.30° B.60° C.150° D.120°【考點(diǎn)】I2:直線(xiàn)的傾斜角.【分析】由直線(xiàn)的傾斜角α與斜率k的關(guān)系,可以求出α的值.【解答】解:設(shè)直線(xiàn)x﹣y+a=0的傾斜角是α,則直線(xiàn)的方程可化為y=x+a,直線(xiàn)的斜率k=tanα=,∵0°≤α<180°,∴α=60°.故選:B.3.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線(xiàn)x﹣2y﹣2=0平行的直線(xiàn)方程是()A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0【考點(diǎn)】I7:兩條直線(xiàn)平行的判定;IG:直線(xiàn)的一般式方程.【分析】因?yàn)樗笾本€(xiàn)與直線(xiàn)x﹣2y﹣2=0平行,所以設(shè)平行直線(xiàn)系方程為x﹣2y+c=0,代入此直線(xiàn)所過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo),得參數(shù)值【解答】解:設(shè)直線(xiàn)方程為x﹣2y+c=0,又經(jīng)過(guò)(1,0),∴1﹣0+c=0故c=﹣1,∴所求方程為x﹣2y﹣1=0;故選A.4.與直線(xiàn)3x﹣4y+5=0關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程是()A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x﹣4y+5=0 D.3x﹣4y﹣5=0【考點(diǎn)】IQ:與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程.【分析】令x=0,可得直線(xiàn)3x﹣4y+5=0與y軸的交點(diǎn).令y=0,可得直線(xiàn)3x﹣4y+5=0與x軸的交點(diǎn),此點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.可得:與直線(xiàn)3x﹣4y+5=0關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn):,.利用截距式即可得出.【解答】解:令x=0,則y=,可得直線(xiàn)3x﹣4y+5=0與y軸的交點(diǎn).令y=0,可得x=﹣,可得直線(xiàn)3x﹣4y+5=0與x軸的交點(diǎn),此點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.∴與直線(xiàn)3x﹣4y+5=0關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn):,.其方程為:=1,化為:3x+4y﹣5=0.故選:A.5.一個(gè)水平放置的三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′,若O′B′=1,那么原△ABO的面積是()A. B. C. D.2【考點(diǎn)】LD:斜二測(cè)法畫(huà)直觀圖.【分析】可根據(jù)直觀圖和原圖面積之間的關(guān)系求解,也可作出原圖,直接求面積.【解答】解:由題意,直觀圖的面積為,因?yàn)橹庇^圖和原圖面積之間的關(guān)系為,故原△ABO的面積是故選C6.如圖,在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn),F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且==,則()A.EF與GH互相平行B.EF與GH異面C.EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線(xiàn)AC上,也可能不在直線(xiàn)AC上D.EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線(xiàn)AC上【考點(diǎn)】LJ:平面的基本性質(zhì)及推論.【分析】利用三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊;平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理,得到FG、EH都平行于BD,利用平行線(xiàn)的傳遞性得到GF∥EH,再利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上,得證.【解答】證明:因?yàn)镕、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且==,所以GF∥BD,并且GF=BD,因?yàn)辄c(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn),所以EH∥BD,并且EH=BD,所以EH∥GF,并且EH≠GF,所以EF與GH相交,設(shè)其交點(diǎn)為M,所以M∈面ABC內(nèi),同理M∈面ACD,又∵面ABC∩面DAC=AC∴M在直線(xiàn)AC上.故選D.7.設(shè)m、n是兩條不同的直線(xiàn),α,β是兩個(gè)不同的平面,則()A.若m⊥n,n∥α,則m⊥α B.若m∥β,β⊥α,則m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α【考點(diǎn)】LP:空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系.【分析】根據(jù)空間線(xiàn)線(xiàn),線(xiàn)面,面面之間的位置關(guān)系分別進(jìn)行判定即可得到結(jié)論.【解答】解:A.若m⊥n,n∥α,則m⊥α或m?α或m∥α,故A錯(cuò)誤.B.若m∥β,β⊥α,則m⊥α或m?α或m∥α,故B錯(cuò)誤.C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α,正確.D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α或m?α或m∥α,故D錯(cuò)誤.故選:C8.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線(xiàn)l,若直線(xiàn)l與連接A(﹣,﹣1),B(2,0)的線(xiàn)段總有公共點(diǎn),則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是()A. B. C. D.【考點(diǎn)】I3:直線(xiàn)的斜率.【分析】直線(xiàn)l與連接A(﹣,﹣1),B(2,0)的線(xiàn)段總有公共點(diǎn),則直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是:k<kPB,或k>kPA.【解答】解:kPA=,kPB=﹣1.∵直線(xiàn)l與連接A(﹣,﹣1),B(2,0)的線(xiàn)段總有公共點(diǎn),∴直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是(﹣∞,﹣1]∪.故選:D.9.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,下列四個(gè)條件中能推出α∥β的是()①存在一條直線(xiàn)m,m⊥α,m⊥β;②存在一個(gè)平面γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在兩條平行直線(xiàn)m,n,m?α,n?β,m∥β,n∥α;④存在兩條異面直線(xiàn)m,n,m?α,n?β,m∥β,n∥α.A.①③ B.②④ C.①④ D.②③【考點(diǎn)】LP:空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系.【分析】利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)判斷①,根據(jù)幾何體模型判斷②,舉反例判斷③,反證法判斷④.【解答】解:對(duì)于①,由“垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行”可知①正確;對(duì)于②,以直三棱柱為例,直三棱柱的任意兩個(gè)側(cè)面都與底面垂直,但兩個(gè)側(cè)面不平行,故②不正確;對(duì)于③,若α∩β=l,且m∥l,n∥l,顯然符合條件,但平面α,β不平行,故③不正確;對(duì)于④,假設(shè)α與β相交,交線(xiàn)為l,∵m?α,α∩β=l,則m∥l,同理可得n∥l,故m∥n,與m,n為異面直線(xiàn)矛盾,故假設(shè)錯(cuò)誤,故④正確.故選C.10.圖中,小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形,圖中粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A.8﹣π B.8﹣π C.8﹣π D.8﹣π【考點(diǎn)】L!:由三視圖求面積、體積.【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知:該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體,挖去半個(gè)圓錐體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積即可.【解答】解:根據(jù)幾何體的三視圖知,該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體,挖去半個(gè)圓錐體,如圖所示;結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積為V=23﹣××π×12×2=8﹣.故選:D.11.正方形ABCD,沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角A﹣BD﹣C,則折后的異面直線(xiàn)AB與CD所成的角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°【考點(diǎn)】LM:異面直線(xiàn)及其所成的角.【分析】取BD中點(diǎn)O,連結(jié)AO、CO,以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OD為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出折后的異面直線(xiàn)AB與CD所成的角.【解答】解:取BD中點(diǎn)O,連結(jié)AO、CO,設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為,∵沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角A﹣BD﹣C,∴AO⊥BD,CO⊥BD,AO⊥CO,以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OD為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,A(0,0,1),B(0,﹣1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),=(0,﹣1,﹣1),=(﹣1,1,0),設(shè)折后的異面直線(xiàn)AB與CD所成的角為θ,則cosθ=|cos<>|===,∴θ=60°.∴折后的異面直線(xiàn)AB與CD所成的角為60°.故選:C.12.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖),則球的半徑是()A.cm B.2cm C.3cm D.4cm【考點(diǎn)】L5:旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)).【分析】根據(jù)體積公式列方程解出球的r即可.【解答】解:設(shè)球的半徑為r,則V水=8πr2,V球=4πr3,加入小球后,液面高度為6r,∴πr2?6r=8πr2+4πr3,解得r=4.故選D.二、填空題:(本大題6小題,每小題5分,共30分)13.兩平行直線(xiàn)3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距離為2.【考點(diǎn)】IU:兩條平行直線(xiàn)間的距離.【分析】利用直線(xiàn)平行求出m,然后求解平行線(xiàn)之間的距離.【解答】解:兩平行直線(xiàn)3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0,可得m=6,則兩條平行線(xiàn)之間的距離為:=2.故答案為:2.14.直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,﹣1),且在第四象限與兩坐標(biāo)軸圍成等腰三角形,則直線(xiàn)l的方程為x﹣y﹣4=0.【考點(diǎn)】IK:待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程.【分析】設(shè)直線(xiàn)l的方程為y+1=k(x﹣3),k>0,根據(jù)題意在第四象限與兩坐標(biāo)軸圍成等腰三角形,可得+3=3k+1,由此求得k的值,可得直線(xiàn)l的方程.【解答】解:∵直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,﹣1),設(shè)直線(xiàn)l的方程為y+1=k(x﹣3),k>0,則直線(xiàn)和x軸的交點(diǎn)為(+3,0),和y軸的交點(diǎn)為(0,﹣3k﹣1),根據(jù)題意可得+3=3k+1,即3k2﹣2k﹣1=0,求得k=1,或k=﹣(舍去),故直線(xiàn)l的方程為y+1=1(x﹣3),即x﹣y﹣4=0,故答案為:x﹣y﹣4=0.15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(﹣1,0),則△ABC的面積為5.【考點(diǎn)】HT:三角形中的幾何計(jì)算.【分析】根據(jù)A(1,3),B(3,1),求出AB的直線(xiàn)方程,和AB的距離,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離就是AB為底的高,即可得△ABC的面積.【解答】解:由A(1,3),B(3,1),設(shè)AB的直線(xiàn)方程為y=kx+b,則,解得:k=﹣1,b=4.AB的直線(xiàn)方程為x+y﹣4=0.C(﹣1,0)到直線(xiàn)AB的距離h=.AB的距離d==2.則△ABC的面積S=×=5.故答案為:5.16.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1cm、3cm,且側(cè)面積等于兩底面積之和,則圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為cm.【考點(diǎn)】L5:旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)).【分析】根據(jù)側(cè)面積公式列方程解出.【解答】解:S=π,S′=9π,∴π(1+3)l=π+9π=10π,∴l(xiāng)=.故答案為:.17.長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別是a,b,c,則長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)AC1的長(zhǎng)是.【考點(diǎn)】MK:點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算;L2:棱柱的結(jié)構(gòu)特征.【分析】設(shè)長(zhǎng)方體具有公共頂點(diǎn)的棱長(zhǎng)分別為x,y,z,由題意建立方程組,三式相加可得結(jié)論.【解答】解:設(shè)長(zhǎng)方體具有公共頂點(diǎn)的棱長(zhǎng)分別為x,y,z,則三式相加可得x2+y2+z2=∴長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)AC1的長(zhǎng)是=故答案為:18.如圖所示,在四面體VABC木塊中,P為△VAC的重心,這點(diǎn)P作截面EFGH,若截面EFGH是平行四邊形,則該截面把木塊分成兩部分體積之比為.(埴體積小與體積大之比)【考點(diǎn)】LF:棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】由已知可得EH∥AC∥FG,且VH:VC=VE:VA=EH:AC=2:3,連接VF、VG、AG、AH,則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐V﹣EFGH的體積與三棱錐V﹣BFG的體積和,多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A﹣EFGH的體積與三棱錐H﹣AGC的體積和.找出各多面體體積的關(guān)系得答案.【解答】解:如圖,∵四邊形EFGH為平行四邊形,∴EH=FG,且EH∥FG,∴EH∥平面ABC,又EH?平面VAC,平面VAC∩平面ABC=AC,∴EH∥AC,則EH∥AC∥FG,∵P為△VAC的中心,∴VH:VC=VE:VA=EH:AC=2:3,而EH=FG,∴BF:BA=BG:BC=FG:AC=2:3.連接VF、VG、AG、AH,則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐V﹣EFGH的體積與三棱錐V﹣BFG的體積和,多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A﹣EFGH的體積與三棱錐H﹣AGC的體積和.∵四棱錐V﹣EFGH的高是四棱錐A﹣EFGH的高的2倍,底面積相等,∴四棱錐V﹣EFGH的體積是四棱錐A﹣EFGH的體積的2倍;∵三棱錐V﹣BFG的底面積是三棱錐H﹣AGC的底面積的倍,高是3倍,∴三棱錐V﹣BFG的體積是三棱錐H﹣AGC的體積的4倍.設(shè)棱錐H﹣AGC的體積為V1,則三棱錐H﹣AFG的體積為,有四棱錐A﹣EFGH的體積是.∴多面體EFGHAC的體積等于,多面體EFGHVB的體積等于,∴多面體EFGHAC的體積與多面體EFGHVB的體積比等于.故答案為:.三、解答題:(本大題共5題,滿(mǎn)分60分)19.已知兩條直線(xiàn)l1:4x+(a+3)y+(3a﹣5)=0,l2:(a+5)x+2y﹣8=0,問(wèn)a為何值時(shí),l1與l2:(Ⅰ)平行;(Ⅱ)相交;(Ⅲ)垂直.【考點(diǎn)】IG:直線(xiàn)的一般式方程.【分析】(Ⅰ)通過(guò)直線(xiàn)的斜率相等,截距不相等,判斷直線(xiàn)平行,求出a的值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)直線(xiàn)不平行,直線(xiàn)即可相交,推出a的范圍;(Ⅲ)當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率乘積是﹣1時(shí),兩條直線(xiàn)垂直,求出a的值.【解答】解:(Ⅰ)直線(xiàn)l1:4x+(a+3)y+(3a﹣5)=0的斜率為﹣,直線(xiàn)l2:(a+5)x+2y﹣8=0的斜率為﹣,∴﹣=﹣,解得a=﹣1,或a=﹣7,當(dāng)a=﹣1時(shí)兩條直線(xiàn)重合,舍去,∴a=﹣7時(shí)兩條直線(xiàn)平行;(Ⅱ)兩條直線(xiàn)相交,則兩條直線(xiàn)不重合,不平行,∴a∈(﹣∞,﹣7)∪(﹣7,﹣1)∪(﹣1,+∞);(Ⅲ)兩條直線(xiàn)垂直,∴(﹣)(﹣)=﹣1,解得a=﹣.20.已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,5),AB邊上的中線(xiàn)CM所在直線(xiàn)方程為x﹣2y+5=0,AC邊上的高BH所在直線(xiàn)方程為2x﹣y+5=0,求:(Ⅰ)頂點(diǎn)C的坐標(biāo);(Ⅱ)直線(xiàn)BC的方程.【考點(diǎn)】IK:待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程.【分析】(Ⅰ)設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,n),利用條件以及線(xiàn)段的中點(diǎn)公式、兩條直線(xiàn)垂直的性質(zhì),求得m、n的值,可得點(diǎn)C的坐標(biāo).(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(e,f),利用條件線(xiàn)段的中點(diǎn)公式,求得e、f的值,可得B的坐標(biāo),再利用式求得直線(xiàn)BC的方程.【解答】解:(Ⅰ)設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,n),則由點(diǎn)C在直線(xiàn)CM上,可得m﹣2n+5=0①.再根據(jù)AC⊥BH,可得?2=﹣1②,由①②求得,∴C(3,4).(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(e,f),則AB的中點(diǎn)(,)在CM:x﹣2y+5=0上,∴﹣2?+5=0,即e﹣2f﹣4=0③.再根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(e,f)滿(mǎn)足BH所在直線(xiàn)方程2x﹣y+5=0,可得2e﹣f+5=0④,由③④求得,∴B(﹣,﹣),由兩點(diǎn)式求得直線(xiàn)BC的方程為=,即25x﹣23y+17=0.21.如圖,在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中,AB=AC,D、E分別是棱BC、CC'上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥BC,F(xiàn)為B'C'的中點(diǎn).求證:(Ⅰ)平面ADE⊥平面BCC'B';(Ⅱ)直線(xiàn)A'F∥平面ADE.【考點(diǎn)】LY:平面與平面垂直的判定;LS:直線(xiàn)與平面平行的判定.【分析】(I)根據(jù)AD⊥BC,AD⊥BB′得出AD⊥平面BCC′B′,于是平面ADE⊥平面BCC'B';(II)連結(jié)DF,證明四邊形ADFA′是平行四邊形得出A′F∥AD,于是A'F∥平面ADE.【解答】證明:(I)∵BB′⊥平面ABC,AD?平面ABC,∴AD⊥BB′,∵AD⊥BC,BB′∩BC=B,BB′?平面BCC′B′,BC?平面BCC′B′,∴AD⊥平面BCC′B′,又AD?平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCC'B'.(II)連結(jié)DF,∵AB=AC,AD⊥BC,∴D是BC的中點(diǎn),又F是B′C′的中點(diǎn),∴B′FBD,∴四邊形BDFB′是平行四邊形,∴DFBB′,又BB′AA′,∴DFAA′,∴四邊形ADFA′是平行四邊形,∴A′F∥AD,又A′F?平面ADE,AD?平面ADE,∴A′F∥平面ADE.22.如圖,在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中,E為DD'的中點(diǎn).(Ⅰ)求證BD'∥平面AEC;(Ⅱ)如圖,設(shè)F為上底面A'B'C'D'一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F在上底面畫(huà)一條直線(xiàn)與CF垂直,并說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】LS:直線(xiàn)與平面平行的判定.【分析】(I)連接BD交AC于O,連接EO,則由中位線(xiàn)定理得OE∥BD′,故BD'∥平面AEC;(II)連結(jié)C′F,在上底面內(nèi)過(guò)F作直線(xiàn)FM⊥C′F,則直線(xiàn)FM即為所求的直線(xiàn);通過(guò)證明FM⊥平面CC′F即可得出結(jié)論.【解答】(I)證明:連接BD交AC于O,連接EO,∵四邊形ABCD是正方形,∴O是BD的中點(diǎn),又E是DD′的中點(diǎn),∴OE∥BD′,又OE?平面AEC,BD′?平面AEC,∴BD'∥平面AEC.(II)解:連結(jié)C′F,在上底面內(nèi)過(guò)F作直線(xiàn)FM⊥C′F,則直線(xiàn)FM即為所求的直線(xiàn).證明:∵CC′⊥平面A′B′C′D′,F(xiàn)M?平面A′B′C′D′,∴CC′⊥FM,又FM⊥C′F,C′F∩CC′=C′,∴FM⊥平面CC′F,又CF?平面CC′F,∴FM⊥CF.23.如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面α,C是圓周上不同于A、B的點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面PAC⊥平面PBC;(Ⅱ)過(guò)A作AD⊥PC(D為垂足),過(guò)D作DE⊥PB(E為垂足),求證:PB⊥平面ADE.【考點(diǎn)】LW:直線(xiàn)與平面垂直的判定;LY:平面與平面垂直的判定.【分析】(I)由PA⊥平面ABC得PA⊥BC,結(jié)合AC⊥BC得出BC⊥平面PAC,于是平面PAC⊥平面PBC;(II)由BC⊥平面PAC得BC⊥AD,結(jié)合AD⊥PC得出AD⊥平面PBC,于是AD⊥PB,結(jié)合PB⊥DE得出PB⊥平面ADE.【解答】證明:(I)∵AB是圓O的直徑,∴BC⊥AC,∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC,又BC?平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.(II)由(I)可知BC⊥平面PAC,AD?平面PAC,∴BC⊥AD,又AD⊥PC,PC∩BC=C,PC?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD⊥平面PBC,又PB?平面PBC,∴AD⊥PB,又PB⊥DE,AD∩DE=D,AD?平面ADE,DE?平面ADE,∴PB⊥平面ADE.2024年年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷及答案(三)考試時(shí)間:120分鐘試卷滿(mǎn)分:100分一、選擇題1.點(diǎn)(1,-1)到直線(xiàn)x-y+1=0的距離是().A. B. C. D.2.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線(xiàn)x-2y-2=0平行的直線(xiàn)方程是().A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=03.下列直線(xiàn)中與直線(xiàn)2x+y+1=0垂直的一條是().A.2x―y―1=0 B.x-2y+1=0C.x+2y+1=0 D.x+y-1=04.已知圓的方程為x2+y2-2x+6y+8=0,那么通過(guò)圓心的一條直線(xiàn)方程是().A.2x-y-1=0 B.2x+y+1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y-1=05.如圖(1)、(2)、(3)、(4)為四個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)三視圖可以判斷這四個(gè)幾何體依次分別為().(4)(4)(3)(1)(2)A.三棱臺(tái)、三棱柱、圓錐、圓臺(tái) B.三棱臺(tái)、三棱錐、圓錐、圓臺(tái)C.三棱柱、四棱錐、圓錐、圓臺(tái) D.三棱柱、三棱臺(tái)、圓錐、圓臺(tái)6.直線(xiàn)3x+4y-5=0與圓2x2+2y2―4x―2y+1=0的位置關(guān)系是().A.相離 B.相切C.相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心 D.相交且直線(xiàn)過(guò)圓心7.過(guò)點(diǎn)P(a,5)作圓(x+2)2+(y-1)2=4的切線(xiàn),切線(xiàn)長(zhǎng)為,則a等于().A.-1 B.-2 C.-3 D.08.圓A:x2+y2+4x+2y+1=0與圓B:x2+y2―2x―6y+1=0的位置關(guān)系是().A.相交 B.相離 C.相切 D.內(nèi)含9.已知點(diǎn)A(2,3,5),B(-2,1,3),則|AB|=().A. B.2 C. D.210.如果一個(gè)正四面體的體積為9dm3,則其表面積S的值為().A.18dm2 B.18dm2 C.12dm2 D.12dm211.如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F(xiàn),G分別是DD1,AB,CC1的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)A1E與GF所成角余弦值是().((第11題)A. B. C. D.012.正六棱錐底面邊長(zhǎng)為a,體積為a3,則側(cè)棱與底面所成的角為().A.30° B.45° C.60° D.75°13.直角梯形的一個(gè)內(nèi)角為45°,下底長(zhǎng)為上底長(zhǎng)的,此梯形繞下底所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體表面積為(5+),則旋轉(zhuǎn)體的體積為().A.2 B. C. D.PABCDE(第14題)14.在棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐P-ABCD中,點(diǎn)PABCDE(第14題)A.BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為B.BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的
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