2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章拔高點突破02極值點偏移問題與拐點偏移問題(七大題型)(學(xué)生版+解析)

拔高點突破02極值點偏移問題與拐點偏移問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：極值點偏移:加法型 3題型二：極值點偏移:減法型 5題型三：極值點偏移:乘積型 6題型四：極值點偏移:商型 7題型五：極值點偏移:平方型 9題型六：極值點偏移:混合型 10題型七：拐點偏移問題 1103過關(guān)測試 12

1、極值點偏移的相關(guān)概念所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點，則的中點為，而往往。如下圖所示。圖1極值點不偏移圖2極值點偏移極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏。2、對稱變換主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)，若證，則令.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號問題，還需進一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.題型一：極值點偏移:加法型【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函數(shù)有兩個不同的零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【典例1-2】（2024·安徽馬鞍山·一模）設(shè)函數(shù).(1)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個不同的根、，求證：，其中為自然對數(shù)的底數(shù).【變式1-1】（2024·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若（為的導(dǎo)函數(shù)），方程有兩個不等實根、，求證：．【變式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函數(shù)．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)恰有三個零點，證明：．【變式1-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)有兩個零點，且，證明：.題型二：極值點偏移:減法型【典例2-1】已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若方程有三個不相等的實數(shù)根，且，證明：.【典例2-2】（2024·湖南邵陽·一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，方程有三個不相等的實數(shù)根，分別記為.①求的取值范圍；②證明.【變式2-1】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個極值點為，且存在，使得的圖象與有三個公共點；①求證：；②求證：．題型三：極值點偏移:乘積型【典例3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，，且，求證：．【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.【變式3-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．【變式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個相異零點為，，求證：．【變式3-3】（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．【變式3-4】（2024·高三·重慶·期末）已知函數(shù)有兩個不同的零點.(1)求的最值；(2)證明：.題型四：極值點偏移:商型【典例4-1】（2024·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【典例4-2】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【變式4-1】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【變式4-2】（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)校考三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【變式4-3】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.(1)若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個零點，求證：.題型五：極值點偏移:平方型【典例5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．【典例5-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，，求證：.【變式5-1】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點（），求證：.【變式5-2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；題型六：極值點偏移:混合型【典例6-1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，．(1)當(dāng)時，若函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)時，若函數(shù)有兩個極值點，，現(xiàn)有如下三個命題：①；②；③；請從①②③中任選一個進行證明．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【典例6-2】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若時，都有，求實數(shù)的取值范圍；(3)若有不相等的兩個正實數(shù)滿足，求證：.【變式6-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若有兩個零點，的取值范圍；(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.題型七：拐點偏移問題【典例7-1】已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，若存在實數(shù)，滿足，求證：．【典例7-2】已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對實數(shù)，令，正實數(shù)，滿足，求的最小值.【變式7-1】已知函數(shù)，.（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，若存在正實數(shù)滿足，求證：.【變式7-2】已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程.（2）若正實數(shù)滿足，求證：.【變式7-3】已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．1．已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個不同的正實數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．6．（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點，且，證明:.7．已知函數(shù)有兩個零點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：．8．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明.9．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若為兩個不相等的實數(shù)，且滿足，求證：.10．已知函數(shù).(1)若有唯一極值，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，若，，求證：.11．（2024·吉林·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點在軸上，另一個頂點在函數(shù)圖象上(1)當(dāng)頂點在軸上方時，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；(2)已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個不等實根.（i）求實數(shù)的取值范圍;（ii）證明：.12．已知函數(shù).若有兩個零點，證明：.13．已知函數(shù)的圖像與直線交于不同的兩點，，求證：．14．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)和的圖象都與平行于軸的同一條直線相切，求的值；(2)若函數(shù)有兩個零點，證明：．拔高點突破02極值點偏移問題與拐點偏移問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：極值點偏移:加法型 3題型二：極值點偏移:減法型 8題型三：極值點偏移:乘積型 13題型四：極值點偏移:商型 20題型五：極值點偏移:平方型 28題型六：極值點偏移:混合型 33題型七：拐點偏移問題 3903過關(guān)測試 44

1、極值點偏移的相關(guān)概念所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點，則的中點為，而往往。如下圖所示。圖1極值點不偏移圖2極值點偏移極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏。2、對稱變換主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點x0.(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)，若證，則令.(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．(4)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號問題，還需進一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.題型一：極值點偏移:加法型【典例1-1】（2024·四川南充·一模）已知函數(shù)有兩個不同的零點.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【解析】（1）的定義域為，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值.又當(dāng)x趨近于0或時，趨于，所以，要使有兩個不同的零點，只需滿足，即.所以實數(shù)的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，由（1）可知，，則，要證，只需證，又在上單調(diào)遞增，所以只需證，即證.記，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以，即.所以.【典例1-2】（2024·安徽馬鞍山·一模）設(shè)函數(shù).(1)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個不同的根、，求證：，其中為自然對數(shù)的底數(shù).【解析】（1）由，得.令，，則，令，則.所以，函數(shù)在上單增，故.①當(dāng)時，則，所以在上單增，，此時對恒成立，符合題意；②當(dāng)時，，，故存在使得，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，此時，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍.（2）證明：由（1）中結(jié)論，取，有，即.不妨設(shè)，，則，整理得.于是，即.【變式1-1】（2024·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若（為的導(dǎo)函數(shù)），方程有兩個不等實根、，求證：．【解析】（1）因為，則，所以，，，所以，曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：因為，，所以．因為為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由方程有兩個不等實根、，則可設(shè)，欲證，即證，即證，而，即，即，設(shè)，其中，則，設(shè)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故得證．【變式1-2】（2024·安徽淮南·二模）已知函數(shù)．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)恰有三個零點，證明：．【解析】（1）時，函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，所以．（2），顯然為函數(shù)的一個零點，設(shè)為；設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由已知，必有兩個零點，且，下證：．設(shè)函數(shù)，則，，由于，則，由（1）有，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，由于，且在上單調(diào)遞增，所以，所以．【變式1-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)有兩個零點，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，.①當(dāng)時，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：因為為的兩個零點，所以，，兩式相減，可得，即，，因此，，.令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.因為，所以，故得證.題型二：極值點偏移:減法型【典例2-1】已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若方程有三個不相等的實數(shù)根，且，證明：.【解析】（1）由題意可知：的定義域為，，令，可得，且，即，，可知在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，可得，，或故在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，由題意可得：，因為，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得在內(nèi)恒成立，因為，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減則，即；令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得在內(nèi)恒成立，因為，則，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；由和可得.【典例2-2】（2024·湖南邵陽·一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，方程有三個不相等的實數(shù)根，分別記為.①求的取值范圍；②證明.【解析】（1）函數(shù)的定義域為.又，令，得.當(dāng)，即時，在恒成立，.當(dāng)，即時，方程有兩根，可求得：，因為所以，當(dāng)和時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù).綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，.①方程有三個不相等的實數(shù)根，即方程在上有三個不相等的實數(shù)根.令，則，令，求得：或，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，存在極大值為，存在極小值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.要使方程有三個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為.②證明：設(shè)方程三個不相等的實數(shù)根分別為：，且，由①可得，要證，只需證，即證，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.由，構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立，又，則有：，又，且在上單調(diào)遞減，，即.構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時在上單調(diào)遞增.，即在上恒成立.又，則.即，由，則.在上單調(diào)遞增，.又，則可證得：.【變式2-1】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個極值點為，且存在，使得的圖象與有三個公共點；①求證：；②求證：．【解析】（1），，其中，，當(dāng)時，即，此時恒成立，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時，即或，當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，得或，當(dāng)，或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）①由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，、是方程的兩根，有，，又的圖象與有三個公共點，故，則，要證，即證，又，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可證，又，即可證，令，，由，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，即，即恒成立，即得證；②由，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，即，即當(dāng)時，，由，故，又，故，由，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，又由①知，故，又，故.題型三：極值點偏移:乘積型【典例3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，，且，求證：．【解析】（1）因為函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因為是函的兩個零點，由（1）知，因為，設(shè)，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．又因為，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因為，所以在上單調(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因為，所以在上單調(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．【典例3-2】（2024·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.【解析】（1）因為，所以.所以，又f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域為當(dāng)時，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個零點的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個零點（）.當(dāng)時，，所以在（，+∞）上存在一個零點，綜上函數(shù)有兩個零點，實數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個零點由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.【變式3-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若存在，，使，求證：．【解析】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，不存在極值點；當(dāng)時，令，則總成立，故函數(shù)即在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故在上存在唯一極值點，綜上，當(dāng)時，函數(shù)的極值點有且僅有一個．（2）由知，整理得，（*），不妨令，則，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有，即，那么，因此，（*）即轉(zhuǎn)化為，接下來證明，等價于證明，不妨令（），建構(gòu)新函數(shù)，，則在上單調(diào)遞減，所以，故即得證，由不等式的傳遞性知，即．【變式3-2】（2024·江西南昌·二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個相異零點為，，求證：．【解析】（1）當(dāng)時，恒成立，即當(dāng)時，恒成立，設(shè)，所以，即，，設(shè)，則，所以，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，所以，若恒成立，則．所以時，恒成立，a的取值范圍為.（2）由題意知，，不妨設(shè)，由得，則，令，則，即：．要證，只需證，只需證，即證，即證（），令（），因為，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以成立，故．【變式3-3】（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若存在兩個不同的正數(shù)，使得，證明：．【解析】（1），當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以，解得，即的取值范圍為．（2）證明：不妨設(shè)，則，要證，即證，則證，則證，所以只需證，即．令，則，．當(dāng)時，，則，所以在上單調(diào)遞減，則．所以．由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，從而成立．【變式3-4】（2024·高三·重慶·期末）已知函數(shù)有兩個不同的零點.(1)求的最值；(2)證明：.【解析】（1），有兩個不同的零點，∴在內(nèi)必不單調(diào)，故，令，解得，∴在上單增，上單減，∴，無最小值．（2）由題知兩式相減得，即，故要證，即證，即證，不妨設(shè)，令，則只需證，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在上單減，∴，∴在上單增，∴，即在時恒成立，原不等式得證．題型四：極值點偏移:商型【典例4-1】（2024·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，證明：.【解析】（1），是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，∵，∴時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減.（2）由題意得，，即，，設(shè)，，則由得，，且.不妨設(shè)，則即證，由及的單調(diào)性知，.令，，則，∵，∴，，∴，取，則，又，則，又，，且在單調(diào)遞減，∴，.下證：.（i）當(dāng)時，由得，；（ii）當(dāng)時，令，，則，記，，則，又在為減函數(shù)，∴，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞增，又，，∴，又，從而，由零點存在定理得，存在唯一，使得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以，，又，，所以，，顯然，，所以，，即，取，則，又，則，結(jié)合，，以及在單調(diào)遞增，得到，從而.【典例4-2】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】(1)的定義域為．由得，，當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)椋谑敲}轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.【變式4-1】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）因為，故，即，故，設(shè)，則，不妨設(shè)，由（1）可知原命題等價于：已知，證明：.

證明如下：若，恒成立；若，即時，要證：，即證，而，即證，即證：，其中設(shè)，，則，因為，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.【變式4-2】（2024·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根、，（?。┣髮崝?shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【解析】（1）因為，所以，其中.①當(dāng)時，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當(dāng)時，由得，由可得.所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）（i）方程可化為，即．令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)的值域為，結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個不等的實根．又因為不是方程（*）的實根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時，；當(dāng)時，則.作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，所以，實數(shù)的取值范圍是.（ii）要證，只需證，即證．因為，所以只需證．由（?。┲环猎O(shè)．因為，所以，即，作差可得．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．【變式4-3】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.(1)若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個零點，求證：.【解析】（1）結(jié)合題意：對于任意，都有，所以，因為，所以只需，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以只需；（2）等價于，設(shè)函數(shù)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，由知且，，設(shè)函數(shù)，其中，知，知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即時，即時，，即，又由已知由且，有且，由在上單調(diào)遞減，所以，即.題型五：極值點偏移:平方型【典例5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若對任意的都有，求實數(shù)的取值范圍；(2)若且，，證明：．【解析】（1）由，，得，，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，的最大值為．當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，的最小值為．所以，故實數(shù)的取值范圍為．（2）由得，兩邊取對數(shù)并整理，得，即，即．由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（技巧：注意對第（1）問結(jié)論的應(yīng)用）而，當(dāng)時，恒成立，不妨設(shè)，則．記，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，，于是，，又在上單調(diào)遞減，因此，即，所以．【典例5-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，，求證：.【解析】（1）當(dāng)時，，導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，且，所以切線的方程為，即為；（2）證明：由題意可得，若，則，所以在遞增，因此不存在，使得，所以；設(shè)，，則，令，，所以在遞減，又，所以在恒成立，從而在遞減，從而.①又由，可得，所以.②由①②可得.又因為，所以，因此要證，只需證明，即證，③設(shè)，，則，所以在上為增函數(shù)，又因為，所以，即③式成立.所以獲證.【變式5-1】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點（），求證：.【解析】（1）因為函數(shù)的定義域為，所以成立，等價于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實數(shù)的取值范圍為.（2）有2個不同的零點等價于有2個不同的實數(shù)根.令，則，當(dāng)時，解得.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，.且時，.所以，且.因為是方程的2個不同實數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因為，，因此要證，只需證.因為，所以只需證，即證.因為，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，成立，命題得證.【變式5-2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實根，求證：；【解析】（1）由題意得，函數(shù)的定義域為.由得：，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因為是方程的兩不等實根，，即是方程的兩不等實根，令，則，即是方程的兩不等實根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時，；當(dāng)時，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對稱化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因為，所以，所以，即，所以.題型六：極值點偏移:混合型【典例6-1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，．(1)當(dāng)時，若函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)時，若函數(shù)有兩個極值點，，現(xiàn)有如下三個命題：①；②；③；請從①②③中任選一個進行證明．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，所以此時不合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，要，只需，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，則由得，所以，故實數(shù)b的取值范圍為．（2）當(dāng)時，，，令，則，因為函數(shù)有兩個極值點，，所以有兩個零點，若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，所以，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，因為有兩個零點，所以，則，設(shè)，因為，，則，因為，所以，，則，取對數(shù)得，令，，則，即①令，則，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，亦即，因為，，在上單調(diào)遞增，所以，則，整理得，所以，故①成立②令，則，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，即，因為，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，即，故②成立．③令，，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，則，兩邊約去后化簡整理得，即，故③成立．【典例6-2】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若時，都有，求實數(shù)的取值范圍；(3)若有不相等的兩個正實數(shù)滿足，求證：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，.①當(dāng)時，令，即，解得：.令，解得：；令，解得：；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，都有，即，亦即對恒成立.令，只需..令，則，所以當(dāng)時，，所以在上單增，所以，所以當(dāng)時，.所以，所以在上單減，所以.所以.綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.（3）可化為：.令，上式即為.由（1）可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為的兩根，其中.不妨設(shè)，要證，只需，即，只需證.令.則當(dāng)時，；當(dāng)時，.由零點存在定理可得：存在，使得.當(dāng)時，，單增；當(dāng)時，，單減；又，所以..因為，，所以.所以恒成立.所以.所以.所以即證.【變式6-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若有兩個零點，的取值范圍；(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為.當(dāng)時，函數(shù)無零點，不合乎題意，所以，，由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，由可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：且當(dāng)時，，由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故實數(shù)的取值范圍是.（2）證明：因為，則，令，其中，則有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為方程有兩個實根、，令，，則關(guān)于的方程也有兩個實根、，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，，整理可得，不妨設(shè)，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故原不等式成立.題型七：拐點偏移問題【典例7-1】已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，若存在實數(shù)，滿足，求證：．【解析】（1）因為，所以，因為在處取得極值，所以，解得：．驗證：當(dāng)時，，易得在處取得極大值．（2）因為，所以，①若，則當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若，，當(dāng)時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）證明：當(dāng)時，因為，所以，所以，令，，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)在時，取得最小值，最小值為1，所以，即，所以，當(dāng)時，此時不存在，滿足等號成立條件，所以．【典例7-2】已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對實數(shù)，令，正實數(shù)，滿足，求的最小值.【解析】（1）.若，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.若，當(dāng)時，，即在（，上均單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.若，則，即在上單調(diào)遞增.若，當(dāng)時，，即在，上均單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)實數(shù)時，，，，，令，，由于，知當(dāng)時，，即單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即單調(diào)遞增.從而，，于是，，即，而，所以，而當(dāng)，時，取最小值6.【變式7-1】已知函數(shù)，.（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，若存在正實數(shù)滿足，求證：.【解析】（1）因為，所以，因為在處取得極值，所以，解得．

驗證：當(dāng)時，在處取得極大值．

（2）因為所以．①若，則當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．②若，，當(dāng)時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（3）證明：當(dāng)時，，因為，所以，即，所以．

令，，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)在時，取得最小值，最小值為．

所以，即，所以或．因為為正實數(shù)，所以．當(dāng)時，，此時不存在滿足條件，所以．【變式7-2】已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程.（2）若正實數(shù)滿足，求證：.【解析】（1），切點為.，.切線為：，即.（2）.令，，，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，所以.即.得：，得到，即：.【變式7-3】已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．【解析】（1）根據(jù)題意，可知的定義域為，而，當(dāng)時，，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，存在大于1的實數(shù)，使得，當(dāng)時，成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；不可能成立，所以，即的取值范圍為.（2）證明：不妨設(shè)，正實數(shù)、滿足，有（1）可知，，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又，所以只要證明：，設(shè)，則，可得，當(dāng)時，成立，在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，又，當(dāng)時，成立，即，所以不等式成立，所以.1．已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個不同的正實數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．【解析】（1）當(dāng)時，，則；令，解得：或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）由得：，恰有個正實數(shù)根，恰有個正實數(shù)根，令，則與有兩個不同交點，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)從的右側(cè)無限趨近于時，趨近于；當(dāng)無限趨近于時，的增速遠(yuǎn)大于的增速，則趨近于；則圖象如下圖所示，當(dāng)時，與有兩個不同交點，實數(shù)的取值范圍為；（ii）由（i）知：，，，，，不妨設(shè)，則，要證，只需證，，，，則只需證，令，則只需證當(dāng)時，恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，恒成立，原不等式得證.2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，證明：.【解析】（1），令，則，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，又，，，使得，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又當(dāng)時，，；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知：若，則，要證，只需證，，，又在上單調(diào)遞減，則只需證，，則只需證，即證，則需證，又，只需證，即證，令，則，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，，，原不等式得證.3．（2024·安徽淮北·一模）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上有兩個不相等的零點，求證：.【解析】（1），.①當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得，，單調(diào)遞增，由得，，單調(diào)遞減.綜上：當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵在上有兩個不相等的零點，，不妨設(shè)，∴在上有兩個不相等的實根，令，，∴，由得，，單調(diào)遞減，由得，，單調(diào)遞增，，，，，∴要證，即證，又∵，只要證，即證，∵，即證即證，即證，即證令，，∴，令，，則，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，∴，∴，∴∴在上遞增，∴，∴∴.4．已知函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．【解析】（1）根據(jù)題意，可知的定義域為，而，當(dāng)時，，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，存在大于1的實數(shù)，使得，當(dāng)時，成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；不可能成立，所以，即的取值范圍為.（2）證明：不妨設(shè)，正實數(shù)、滿足，有（1）可知，，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又，所以只要證明：，設(shè)，則，可得，當(dāng)時，成立，在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，又，當(dāng)時，成立，即，所以不等式成立，所以.5．已知函數(shù).(1)若的極小值為-4，求的值；(2)若有兩個不同的極值點，證明：.【解析】（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，取得極小值，由，解得或（舍去）.故的值為。（2）由題意可知，方程有兩個不同的正實數(shù)根，即有兩個不同的實數(shù)根.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.驗證可知，，由得，所以.當(dāng)時，方程，即方程，則有兩個不同的正實數(shù)根.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，所以又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，因為，故.6．（2024·云南·二模）已知常數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)若、是的零點，且，證明:.【解析】（1）由已知得的定義域為，且，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增.所以在處取得極小值即最小值，，，，即的取值范圍為.（2）由（1）知，的定義域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且是的極小值點.、是的零點，且，、分別在、上，不妨設(shè)，設(shè)，則當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.，，即