《數(shù)字信號處理》課件-第9章

9.1引言9.2正交移相器設(shè)計及實現(xiàn)9.3以單頻正弦信號為激勵測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)9.4數(shù)字上、下變頻器

數(shù)字信號處理技術(shù)具備精度高、靈活性大、抗干擾性強，便于大規(guī)模集成等優(yōu)點，目前已廣泛地應(yīng)用在語音、雷達、聲納、地震、圖像、通信、控制、生物醫(yī)學(xué)、遙感遙測、

地質(zhì)勘探、航空航天、自動化儀表等領(lǐng)域。本章以前八章的知識為基礎(chǔ)，主要介紹數(shù)字信號處理在通信與信息處理中的幾個典型應(yīng)用，例如正交變換，測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，數(shù)字

上、下變頻等。其余領(lǐng)域的應(yīng)用如語音、圖像等信號處理在其他專用教材中有詳細介紹。9.1引言根據(jù)信號與系統(tǒng)及本書第2章所學(xué)知識，我們知道無論是連續(xù)時間的實信號，還是離散時間的實信號，其傅里葉變換都是共軛對稱的即

9.2正交移相器設(shè)計及實現(xiàn)也即實信號的幅度分量是偶對稱的，相位分量是奇對稱的。所以對于實信號而言，正負頻率的頻譜分量包含的信息是一樣的。在第2章中我們講到對一個最高頻率為fmax的實信號，當采樣頻率Fs≥2fmax時，不產(chǎn)生頻譜混疊，可以由采樣信號恢復(fù)出模擬信號。如果我們將信息冗余的負頻率分量去掉僅保留正頻率分量，則信號帶寬減小一半，可以用更低的采樣頻率來表示同一個信號。用正交移相器(也稱Hilbert變換)即可構(gòu)造出僅含單邊頻率分量的信號。下面主要介紹離散Hilbert變換，連續(xù)時間信號的Hilbert變換請參考相關(guān)教材。9.2.1離散時間信號的正交移相器

設(shè)某一信號z(n)的序列傅里葉變換為Z(ejω)，如果我們要求Z(ejω)的負頻率分量為零(也可以要求其正頻率分量為零)，即令

(9.2.1)此時與負頻率分量為零的Z(ejω)相對應(yīng)的序列z(n)必須是復(fù)序列。令

(9.2.2)上式中，x(n)和均為實序列，z(n)稱為x(n)的解析信號。

設(shè)x(n)和的傅里葉變換分別為X(ejω)和，則z(n)的傅里葉變換為

(9.2.3)

上式中X(ejω)和均為共軛對稱函數(shù)，

的傅里葉變換為共軛反對稱函數(shù)。根據(jù)第2章式(2.2.16)共軛對稱分解定理，有

(9.2.4)

和

如果當-π<ω<0時，Z(ejω)=0，則有

(9.2.5)

及

(9.2.6)由式(9.2.3)、式(9.2.5)和式(9.2.6)可得

(9.2.7)

上式也可表示為

(9.2.8)

式中

(9.2.9)設(shè)x(n)和的廣義傅里葉變換X(ω)和如圖9.2.1(a)所示，z(n)的廣義傅里葉變換Z(ω)如圖9.2.1(b)所示。

由圖可以看出，復(fù)序列的實部和虛部的廣義傅里葉變換均為雙邊譜，而復(fù)序列本身為單邊譜，其幅度為實部或虛部傅里葉變換單邊譜的兩倍。圖9.2.1x(n)、和z(n)的傅里葉變換(a)實、虛部的傅里葉變換;(b)復(fù)序列的傅里葉變換觀察式(9.2.9)與式(6.3.9)相同，其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如圖9.2.2所示。由圖可見正交移相器要求幅度全通，所有頻率(0和π除外)相移為π/2。圖9.2.2正交移相器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)通過對式(9.2.9)作序列傅里葉反變換，可得理想正交移相器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)為

(9.2.10)9.2.2離散時間信號正交移相器的實現(xiàn)

觀察式(9.2.10)，hd(n)是關(guān)于n=0奇對稱的無限長非因果序列，且隨著|n|的增大，|hd(n)|的取值減小，可以用窗函數(shù)法設(shè)計出符合一定指標要求的h(n)，即為實際正交移相器的單位脈沖響應(yīng)。h(n)的長度N一般都為奇數(shù)，若設(shè)N=2M+1，則h(n)關(guān)于n=M奇對稱，根據(jù)6.2節(jié)的結(jié)論可知實際正交移相器具有第二類線性相位。圖9.2.3和圖9.2.4分別畫出了N=31和N=91時選擇矩形窗設(shè)計出的實際正交移相器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。圖9.2.330階正交移相器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)圖9.2.490階正交移相器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)圖9.2.5用移相器產(chǎn)生正交信號結(jié)合6.3節(jié)窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的結(jié)論，從圖9.2.3(a)和圖9.2.4(a)中可以看到加窗截短對濾波器幅頻響應(yīng)帶來的吉布斯效應(yīng)，并且隨著濾波器階數(shù)的增加，過渡帶變窄，帶內(nèi)波動的頻率增加，但波動的幅度卻沒有改變。若要改變波動幅度，則需要選擇其他類型的窗對hd(n)進行截短。

圖9.2.3(b)和圖9.2.4(b)則表明正交移相器除了給信號帶來90°的相移以外，由于移位M的影響還附加了一個線性相位。因此，利用正交移相器產(chǎn)生正交信號時要依照圖9.2.5所示的模型，從圖中可以看出只有當正交移相器的長度N為奇數(shù)時，輸入信號x(n)經(jīng)過的延時M才是整數(shù)，從而得到正交的兩路信號x(n-M)和。

此外，由于正交移相器的幅頻響應(yīng)(一個周期內(nèi))在ω=0處取值等于零，也就是說正交移相器具有隔直的作用，所以正交移相器的輸入信號中不能含有直流分量。下面給出一

個單頻正弦信號sin(0.0625πn)經(jīng)過圖9.2.5所示系統(tǒng)的Matlab實例。

【例9.2.1】設(shè)輸入信號x(n)=sin(0.0625πn)，30階正交移相器的單位脈沖響應(yīng)為

求正交移相器的輸出y(n)，并驗證y(n)與x(n)是正交的。

解

Matlab程序如下:

N1=200; %信號長度

N=31;

%正交移相器階數(shù)

M=(N-1)/2;

%延時單元長度

h(1：N)=0;

h(1：2：31)=2./(((0：2：30)-15)*pi);

x=sin(0.0625*pi*(0：N1-1)); %輸入信號

y=conv(h，x); %求正交移相器輸出

x1(1：N1+M)=0;x1(M+1：N1+M)=x;

%將輸入信號延時

a=0：N1-101;

figure;plot(a，x1(1：N1-100)，′b′，a，y(1：N1-100)，′g′);gridon;

xlabel(′n′);ylabel(′時域波形′)；運行程序，結(jié)果如圖9.2.6所示，由圖可以看出，虛線表示的輸入信號與實線表示的輸出信號相位相差90°，同時也可看出輸出信號的幅度稍大于輸入信號。參照圖9.2.3(a)發(fā)現(xiàn)，當數(shù)字角頻率為0.0625π時，該正交移相器的幅頻響應(yīng)曲線恰好在波動大于0dB的位置，所以輸出信號的幅度增大。為了保證任意頻率的信號經(jīng)過正交移相器后幅度不發(fā)生較大變化，應(yīng)該選擇帶內(nèi)波動幅度小的窗函數(shù)設(shè)計正交移相器。圖9.2.6正交移相器實現(xiàn)的正交變換

Matlab信號處理工具箱函數(shù)提供了正交移相器的庫函數(shù)，調(diào)用格式如下:

x=HILBERT(xr)

xr為輸入實信號，輸出為復(fù)信號，即x=xr+jxi，xi為xr的Hilbert變換。如果輸入xr為復(fù)信號，該函數(shù)僅用其實部即xr=real(xr)。如果xr是矩陣，則xi是xr按列做的Hilbert變換。隨著數(shù)字信號處理應(yīng)用領(lǐng)域的拓展，我們在處理信號時越來越多地遇到需要對信道進行幅相均衡的需求。例如在陣列信號處理中為了保證信道的幅度相位一致性需要對信道進

行幅相測量后進行校正，由于該信道具有非快變的特點，若采用閉環(huán)的自適應(yīng)均衡算法反而不容易收斂，此時利用直接測量信道的頻率響應(yīng)并結(jié)合均衡的思想，可以獲得很好的校

正效果。9.3以單頻正弦信號為激勵測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)9.3.1實LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的測量

通過2.4節(jié)的學(xué)習(xí)我們知道，設(shè)線性時不變(LTI)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，其頻率響應(yīng)H(ejω)是系統(tǒng)對單位復(fù)指數(shù)輸入ejωn的增益，即若LTI系統(tǒng)的輸入為，則其輸出y(n)也是同頻率的復(fù)指數(shù)序列，且

(9.3.1)若LTI為實系統(tǒng)，則當輸入時，輸出y(n)為

(9.3.2)

其中H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)。

利用以上結(jié)論可以測量出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)，測量系統(tǒng)如圖9.3.1所示。圖9.3.1測量系統(tǒng)頻率響應(yīng)框圖設(shè)h(n)為LTI實系統(tǒng)，為了測量H(ejω)在ω0處的取值，構(gòu)造輸入信號x(n)=Acos(ω0n+φ0),則x(n)過系統(tǒng)后的輸出如式(9.3.2)所示。對y(n)作序列傅里葉變換可得

(9.3.3)若x(n)的幅度A、數(shù)字角頻率ω0以及初始相位φ0準確已知，就可以從式(9.3.3)中求出。由于實系統(tǒng)h(n)滿足，因而只需測量0≤ω≤π內(nèi)的H(ejω)就可以得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。然而，實際測量時對y(n)進行的是DFT運算，按照3.4節(jié)中DFT與SFT的關(guān)系式(3.4.4)，選擇恰當?shù)腄FT點數(shù)N，使得

(k為整數(shù))，同時將y(n)的采樣點數(shù)也選擇為N，由3.7節(jié)式(3.7.11)可知y(n)的DFTY(k)只在k及N-k處有非零

值，并且

(9.3.5)因此，可通過下式求得：

(9.3.6)

當N為偶數(shù)時需要測量的頻率有

(9.3.7a)當N為奇數(shù)時需要測量的頻率有

(9.3.7b)

【例9.3.1】設(shè)某LTI實數(shù)字系統(tǒng)具有帶通特性，通帶為［21kHz，29kHz］，采樣頻率為100kHz。為了仿真實際信號環(huán)境，在測量信號中加入白噪聲，使得信噪比為25dB，為保證通帶內(nèi)的測量效果，將測量頻率的范圍拓寬至［11kHz，39kHz］。

解

Matlab程序如下:

snr=25

%在測量信號中引入噪聲，定義信噪比

amp=2*10^(snr/20); %信號幅度

w=11000：100：39000;

%測量信號的一組頻率，單位為Hz

Fs=100000;

%采樣頻率，單位為Hz

N=Fs/100;

%保證對測量信號進行DFT時頻率對應(yīng)整數(shù)k

k0=w(1)/Fs*N %起始頻率所對應(yīng)DFT中的k

%channel

［b1，a1］=ellip(2，1，50，［21900/(Fs/2)27900/(Fs/2)］);

［b2，a2］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);

bb1=conv(b1，b2);ba1=conv(a1，a2);

%兩個不同通帶的濾波器級聯(lián)后構(gòu)造成的信道

fori=1：length(w)

x=amp*cos(2*pi*w(i)/Fs*(0：1999)′)+randn(2000，1)；%產(chǎn)生測量信號

y=filter(bb1，ba1，x); %獲得系統(tǒng)輸出信號

fy=fft(y(150：N+149)); %去除暫態(tài)

hf2(i)=2*fy(k0+i)/(amp*N)*exp(-j*149*(k0+i-1)/N*2*pi);

%計算系統(tǒng)頻率響應(yīng)

end

%構(gòu)造實的h(n)

hf(1：k0)=0;hf(k0+1：k0+length(w))=hf2;hf(k0+length(w)+1：N/2+1)=0;

hf(N/2+2：N)=conj(hf(N/2：-1：2));

%頻率響應(yīng)具有共軛對稱性

hc=real(ifft(hf)); %所得系統(tǒng)為實系統(tǒng)

%比較測量所得系統(tǒng)與已知系統(tǒng)的頻率響應(yīng)誤差

N1=2000; %頻譜分辨率為50Hz

hff=fft(hc，N1);

w1=21000：Fs/N1：29000; %通帶內(nèi)的一組頻率

hf11=freqz(bb1，ba1，w1/Fs*2*pi);hf22=hff(w1/Fs*N1+1);

hf33=freqz(bb1，ba1，w/Fs*2*pi);hf44=hff(w/Fs*N1+1);

運行程序結(jié)果如圖9.3.2和圖9.3.3所示。圖9.3.2為待測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，由兩個4階橢圓帶通濾波器級聯(lián)組成。圖9.3.2待測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)圖9.3.3通帶內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)誤差(a)幅頻響應(yīng)誤差;(b)相頻響應(yīng)誤差由于系統(tǒng)的采樣頻率為100kHz，頻率分辨率為100Hz，因此選擇DFT點數(shù)N=1000，對輸出變量y作DFT時去除了前150點以保證輸出穩(wěn)定。為了衡量測量的效果，將所得系統(tǒng)

的頻率響應(yīng)hf作反變換得到系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hc，比較測量所得系統(tǒng)與原系統(tǒng)的誤差，取頻率分辨率為50Hz。圖9.3.3(a)和圖9.3.3(b)所示通帶內(nèi)測量得到的系統(tǒng)與原系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)在10-3數(shù)量級，相頻響應(yīng)誤差在0.5°以內(nèi)。9.3.2陣列信號處理中的多通道幅相一致性校正

在陣列信號處理中，一般是多路傳感器的信號經(jīng)過一個多通道接收系統(tǒng)(h1(n)、h2(n)、…、hM(n))之后再進行陣列信號處理，系統(tǒng)模型如圖9.3.4所示。為了保留在信號處理端多路傳感器信號的原始信息，多通道接收系統(tǒng)的幅度和相位必須一致。然而在實際應(yīng)用中，由于器件的不一致性等多種原因，多通道接收系統(tǒng)的幅度和相位必然存在著較大的

差異，因此需要進行多通道幅相一致性校正。圖9.3.4陣列信號處理系統(tǒng)模型下面以兩個通道為例，詳細講解信道校正過程。在信道校正時，設(shè)需要測量兩個信道的頻率響應(yīng)分別為H1(ejω)和H2(ejω)，測量信號x(n)一分為二輸入信道1、信道2后的輸出

分別為y1(n)和y2(n)，如圖9.3.5所示。圖9.3.5測量系統(tǒng)頻率響應(yīng)時的輸入、輸出關(guān)系由于進入信道1和信道2的測量信號完全一致，由式(9.3.6)可得

(9.3.9)

實際測量時，每個頻點測量信號的初始相位φ0是隨機的，所以無法獲得信道頻率響應(yīng)的準確值H1(k)和H2(k)。此時，以其中一個信道(如信道1)為基準，按下列兩式計算：

(9.3.11)則Hc1(k)的相頻響應(yīng)為零，Hc2(k)的相頻響應(yīng)就是信道2相對于信道1的相位差，即θ2(ω)-θ1(ω)|ω=2πk/N,測量信號的初始相位φ0抵消掉了，而幅頻響應(yīng)仍為各信道幅頻響應(yīng)

的準確值。利用Hc1(k)和Hc2(k)中的幅度和相位信息，通過校正算法可使兩信道幅相一致。如圖9.3.6所示，設(shè)實際信號xs1(n)和xs2(n)經(jīng)過校正后的信道輸出分別為ys1(n)和ys2(n)，按照校正后兩信道幅相一致的要求，校正系統(tǒng)z1(n)和z2(n)的頻率響應(yīng)應(yīng)該滿足條件

(9.3.12)

(9.3.13)

其中H(ejω)為預(yù)設(shè)系統(tǒng)h(n)的頻率響應(yīng)。圖9.3.6帶校正的信道輸入輸出關(guān)系由于測量時得到式(9.3.10)和式(9.3.11)所示結(jié)果，因此校正系統(tǒng)的頻率響應(yīng)取值為

(9.3.14)

(9.3.15)其中H(k)為h(n)的SFT在頻率處的取值。因此，校正后的信道輸出為

(9.3.16)

(9.3.17)

可以看出，校正后兩個信道的幅相是一致的。按照以上方法，將式(9.3.7)列出的頻率都測量一遍，并利用共軛對稱關(guān)系構(gòu)造未測量部分的值，由頻率域采樣法可得校正系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

z1(n)=IDFT［Z1(k)］

(9.3.18)

z2(n)=IDFT［Z2(k)］

(9.3.19)結(jié)合上述分析過程，信道校正的具體步驟如下:

(1)確定信號的采樣點數(shù)及DFT點數(shù)N;

(2)根據(jù)N的奇偶按照式(9.3.7a)或式(9.3.7b)計算所需的頻率ωi;

(3)構(gòu)造該頻率下的單頻正弦信號x(n);

(4)將x(n)輸入至圖9.3.5所示系統(tǒng)，采集信道的輸出分別作N點DFT;

(5)按照式(9.3.14)和式(9.3.15)計算Z1(m)、Z2(m);

(6)重復(fù)步驟(2)~(5)直至所有頻率都計算完成;

(7)根據(jù)實系統(tǒng)頻率響應(yīng)的共軛對稱性求出完整的Z1(k)、Z2(k)，并由式(9.3.18)和式(9.3.19)計算校正系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。

需要說明的是，在上述測量過程中第一步確定N是非常關(guān)鍵的，它需要結(jié)合實際應(yīng)用場合根據(jù)頻率分辨率要求選擇適合的點數(shù)。另外，N點輸出y1(n)和y2(n)必須是系統(tǒng)穩(wěn)定

以后的輸出，否則測量結(jié)果不正確。下例是一個信道校正的Matlab實例。

【例9.3.2】設(shè)兩個具有帶通特性(通帶位于［21kHz，29kHz］)的信道是線性時不變、穩(wěn)定的實系統(tǒng)，它們的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別如圖9.3.7(a)和圖9.3.7(b)所示。為了仿真實際信號環(huán)境在測量信號中加入白噪聲，使得信噪比為25dB，系統(tǒng)采樣頻率為100kHz。圖9.3.7信道1和信道2的響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)

解

Matlab程序如下：

clear；snr=25; %在測量信號中引入噪聲，定義信噪比amp=2*10^(snr/20); %信號幅度

w=21000：200：29000;

%測量信號的一組頻率，單位為Hz

Fs=100000;

%采樣頻率，單位為Hz

N=Fs/200;

%保證對測量信號進行DFT時頻率對應(yīng)整數(shù)k

k0=w(1)/Fs*N; %起始頻率所對應(yīng)DFT中的k

%idealchannel［bi1，ai1］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);［bi2，ai2］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);

bbi=conv(bi1，bi2);

bai=conv(ai1，ai2);

h=freqz(bbi，bai，w/Fs*2*pi);

%channel1［b1，a1］=ellip(2，1，50，［21900/(Fs/2)27900/(Fs/2)］);

［b2，a2］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);bb1=conv(b1，b2);

ba1=conv(a1，a2); %構(gòu)造的信道1

h1=freqz(bb1，ba1，w/Fs*2*pi);

%channel2

［b1，a1］=ellip(2，1，50，［22500/(Fs/2)28500/(Fs/2)］

［b2，a2］=ellip(2，1，50，［22000/(Fs/2)28000/(Fs/2)］);bb2=conv(b1，b2);ba2=conv(a1，a2); %構(gòu)造的信道2

h2=freqz(bb2，ba2，w/Fs*2*pi);

fori=1：length(w)

x=amp*cos(2*pi*w(i)/Fs*(0：1299)′+2*randn)+randn(1300，1);

%產(chǎn)生測量信號(附加隨機初始相位)y1=filter(bb1，ba1，x); %獲得系統(tǒng)輸出信號

fy1=fft(y1(150：N+149)); %去除暫態(tài)

y2=filter(bb2，ba2，x); %獲得系統(tǒng)輸出信號

fy2=fft(y2(150：N+149)); %去除暫態(tài)

f1=2*fy1(k0+i)/(amp*N);

f2=2*fy2(k0+i)/(amp*N);

fc1(i)=h(i)/abs(f1);

fc2(i)=h(i)/(abs(f1)*f2/f1);

end%構(gòu)造實的h(n)

hfc1(1：k0)=0;

hfc1(k0+1：k0+length(w))=fc1;

hfc1(k0+length(w)+1：N/2+1)=0;

hfc1(N/2+2：N)=conj(hfc1(N/2：-1：2));

%頻率響應(yīng)具有共軛對稱性

hc1=real(ifft(hfc1)); %所得系統(tǒng)為實系統(tǒng)

hfc2(1：k0)=0;

hfc2(k0+1：k0+length(w))=fc2;

hfc2(k0+length(w)+1：N/2+1)=0;hfc2(N/2+2：N)=conj(hfc2(N/2：-1：2));

%頻率響應(yīng)具有共軛對稱性

hc2=real(ifft(hfc2)); %所得系統(tǒng)為實系統(tǒng)

%信號過系統(tǒng)的校正效果

snr=15;

%實際信號的信噪比

amp=2*10^(snr/20); %信號幅度

w1=21047：47：28800; %實際信號的頻率

%w1=w;

fori=1：length(w1)xs=amp*cos(2*pi*w1(i)/Fs*(0：1299)′+5*randn)+randn(1300，1);

xs1=filter(bb1，ba1，xs);

xs2=filter(bb2，ba2，xs);

ys1=filter(hc1，1，xs1(150：1100));

ys2=filter(hc2，1，xs2(150：1100));

ss1=hilbert(ys1(200：600));

ss2=hilbert(ys2(200：600));ea(i)=mean(20*log10(abs(ss2(150：250)))-20*log10(abs(ss1(150：250))));

ej(i)=mean(unwrap(angle(ss2(150：250)))-unwrap(angle(ss1(150：250))))/pi*180;

ifabs(abs(ej(i))-360)<10

ej(i)=ej(i)-sign(ej(i))*360;

end

end運行程序，結(jié)果如圖9.3.8和圖9.3.9所示。圖9.3.8為兩個原信道的幅度誤差和相位誤差。

圖9.3.9為通過校正后的兩個信道的幅度誤差和相位誤差。由圖可見校正后，幅度誤差在±0.15dB之內(nèi)，相位在±1°之內(nèi)。圖9.3.8兩個原信道的幅相差(a)幅度誤差;(b)相位誤差圖9.3.9校正后兩個信道的幅相差(a)幅度誤差;(b)相位誤差數(shù)字上、下變頻指的是使用數(shù)字信號處理的方法將數(shù)字信號搬移到更高或更低的頻率上，同時將數(shù)字信號的采樣速率提高或降低。數(shù)字變頻與模擬變頻的最大區(qū)別在于，數(shù)字變頻需要在頻率搬移的同時改變采樣速率，否則將不滿足采樣定理。9.4數(shù)字上、下變頻器但是，數(shù)字變頻和模擬變頻在頻率搬移時的處理卻是相同的，都需要混頻器和頻率可調(diào)的振蕩器，因此，在系

統(tǒng)組成上，數(shù)字變頻器由乘法器、數(shù)字控制振蕩器(NumericallyControlledOsillator，NCO)、內(nèi)插單元或抽取單元組成，如圖9.4.1和圖9.4.2分別為數(shù)字上變頻器和數(shù)字下變頻器的基本組成原理框圖。典型的數(shù)字上變頻器(DigitalUpConverter，DUC)有AnalogDevices公司的AD9857和Intersil公司的ISL5215等，典型的數(shù)字下變頻器(DigitalDownConverter，DDC)有AnalogDevices公司的AD6620和Intersil公司的ISL5216等。圖9.4.1數(shù)字上變頻器的組成圖9.4.2數(shù)字下變頻器的組成在圖9.4.1和圖9.4.2中，NCO的頻率ω0必須是可隨信號載頻改變而改變的，并且圖9.4.1和圖9.4.2僅從原理上描述了信號在數(shù)字上、下變頻器中的處理過程，實際的數(shù)字上、

下變頻器在濾波器使用和實現(xiàn)結(jié)構(gòu)上都有變化。例9.4.1和例9.4.2分別對數(shù)字上、下變頻的原理進行仿真。9.4.1數(shù)字上、下變頻原理的Matlab仿真

【例9.4.1】數(shù)字上變頻器的原理框圖如圖9.4.1所示，設(shè)輸入信號，其中f1=5kHz、Fs=50kHz，

且I=4、，f0=30kHz。

用Matlab畫出框圖中各功能模塊輸出信號的幅頻特性。

解

Matlab程序如下:

closeall;clear;

Fs=50; %采樣頻率(kHz)

f1=5;

%信號頻率(kHz)

f0=30;

%NCO的頻率(kHz)

n=1024;

%樣點數(shù)

x=exp(j*2*pi*f1/Fs*(0：n-1));

I=4;

%內(nèi)插因子

y1=zeros(1，I*length(x));

y1(1：I：length(y1))=x; %內(nèi)插后的序列

b=I*fir1(62，12/(Fs*I)); %設(shè)計通帶截止頻率為

π/I，增益為I的低通

y3=conv(b，y1);y2=y3(64：length(y3)-64);fy2=fft(y2);

y=y2.*exp(j*2*pi*f0/(I*Fs)*(0：length(y2)-1));fy=fft(y);程序中繪圖部分略。運行程序，結(jié)果如圖9.4.3所示。本例選擇了有限脈沖響應(yīng)濾波器，濾波后需要將暫態(tài)除去。圖9.4.3例9.4.1數(shù)字上變頻過程圖例(a)原始信號及其頻譜；(b)內(nèi)插零后信號頻譜;(c)低通濾波后信號的頻譜；(d)數(shù)字上變頻輸出信號的頻譜由圖9.4.3(b)可以看出，原信號兩個樣點經(jīng)過內(nèi)插3(I-1)個零之后，采樣頻率提高了4(I)倍，內(nèi)插后的信號通過增益為I，通帶截止頻率為π/I的低通濾波器之后，再將頻率搬移到35kHz。

【例9.4.2】采用圖9.4.4所示系統(tǒng)實現(xiàn)數(shù)字下變頻并濾除指定頻率處的信號。設(shè)輸入信號

，其中載波f1=200kHz、調(diào)制頻率fm=10kHz的調(diào)幅信號需要保留并搬至零中頻，f2=500kHz的單頻信號需要濾除，且Fs=4MHz，D=20，。

用Matlab畫出框圖中各功能模塊輸出信號的幅頻特性。圖9.4.4數(shù)字下變頻及濾波

解

Matlab程序如下:

closeall;

clear;

Fs=4000; %采樣頻率(kHz)

fm=10;f1=200;f2=500; %信號的調(diào)制頻率及載波

頻率(kHz)

f0=f1; %NCO的頻率

n=4096 %樣點數(shù)

D=20; %抽取因子

x=((1+0.5*sin(2*pi*fm/Fs*(0：n-1))).*sin(2*pi*f1/Fs*(0：n-1))+0.4*sin(2*pi*f2/Fs*(0：n-1)));

fx=abs(fft(x));

nf=exp(-j*2*pi*f0/Fs*(0：n-1))；

x1=x.*nf; %數(shù)字下變頻

fx1=abs(fft(x1));

cicb=5/D*ones(1，D);x2=conv(cicb，x1); %通過CIC數(shù)字低通濾波器

fx2=fft(x2(D：length(x2)-D)，n);

x3=x2(D：D：length(x2)-D); %去暫態(tài)并抽取

fx3=fft(x3);

b=fir1(31，20/50);x5=conv(b，x3);

x4=x5(32：length(x5)-32);

fx4=fft(x4);

程序中繪圖部分略。運行程序，結(jié)果如圖9.4.5所示。圖9.4.5例9.4.2數(shù)字下變頻過程圖例(a)原始信號及其頻譜；(b)搬頻到零中頻后的信號頻譜；(c)過CIC濾波后的頻譜(d)抽取后的頻譜；(e)數(shù)字下變頻輸出信號的頻譜例9.4.2中序列x(n)的采樣速率由4MHz降低到200kHz，載波搬移到零中頻，這樣頻率為500kHz的單頻信號就落在帶外，需要濾除。由于使用的CIC濾波器帶外衰減不大，未能有效濾除該信號(如圖9.4.5(d)所示)，增加一30階的線性相位濾波器最終將該信號濾除(如圖9.4.5(e)所示)。

在以上兩例中，數(shù)字上變頻在整數(shù)倍內(nèi)插后使用濾波器濾出所需頻帶內(nèi)的信號分量然后再將載頻上移，而數(shù)字下變頻則在載波頻率移低之后、整數(shù)倍抽取前使用濾波器濾除引起頻譜混疊的信號分量，實現(xiàn)這些頻率選擇功能的數(shù)字濾波器稱為采樣率轉(zhuǎn)換濾波器。采樣率轉(zhuǎn)換濾波器可以利用第6章和第7章學(xué)習(xí)的濾波器設(shè)計知識設(shè)計出來。由于內(nèi)插零之后或降采樣頻率之前，采樣頻率比較高，用一般低通濾波器不僅需要加法還需要大量的乘法，必然帶來處理速度的壓力，因此實際應(yīng)用中常常使用級聯(lián)積分梳狀(CascadedIntegratorComb，CIC)濾波器和半帶(HalfBand，HB)濾波器，以便取消乘法運算(如CIC濾波器)或減少乘法運算(如半帶濾波器)。例如，AD6620中采用了CIC濾波器和一般的FIR濾波器，ISL5216采用了CIC濾波器、HB濾波器和一般的FIR濾波器。下面我們將討論CIC濾波器和HB濾波器的實現(xiàn)方法和性能指標，然后再介紹幾種常用數(shù)字上、下變頻器的工作原理和參數(shù)設(shè)置。9.4.2CIC濾波器

CIC濾波器就是系數(shù)全為1的FIR數(shù)字濾波器，長度為D時，其單位脈沖響應(yīng)為

h(n)=1，0≤n≤D-1

(9.4.1)

因此，根據(jù)FIR濾波器的橫向濾波器結(jié)構(gòu)，CIC濾波器對信號濾波時僅僅需要延時器和加法器(見圖9.4.6)，尤其適合采用FPGA和專用集成電路來實現(xiàn)。圖9.4.6CIC濾波器的直接實現(xiàn)方法對CIC濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)進行Z變換可以得到該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：

(9.4.2)

若將式(9.4.2)的分子看成某一子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)，其余部分作為另一子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)，則CIC濾波器是由H1(z)與H2(z)級聯(lián)獲得的，即

H(z)=H1(z)H2(z)其中，稱為積分器；H2(z)=1-z-D稱為梳狀濾波器。因此，得出CIC濾波器的級聯(lián)實現(xiàn)方法如圖9.4.7所示。根據(jù)CIC濾波器的級聯(lián)實現(xiàn)方法，如果將CIC濾波器用作整數(shù)倍抽取中的抗混疊濾波器，則圖3.8.6可重畫為圖9.4.8。圖9.4.7CIC濾波器的級聯(lián)實現(xiàn)方法圖9.4.8使用CIC濾波器的整數(shù)倍抽取實現(xiàn)框圖設(shè)圖9.4.8中系統(tǒng)的輸入為x(n)，輸出為y(n)，x(n)經(jīng)積分器以后的輸出為x1(n),且SFT［x(n)］=X(ejω)、SFT［x1(n)］=X1(ejω)、SFT［y(n)］=Y(ejω)、SFT［v(n)］=V(ejω),則當CIC濾波器的長度等于抽取因子D時，有

V(ejω)=X1(ejω)-X1(ejω)e-jωD

因此

(9.4.3)

由于，因此式(9.4.3)可寫成

(9.4.4)由式(9.4.4)可知，對積分器的輸出x1(n)先進行D倍抽取，再通過一個一階的梳狀濾波器同樣可以獲得輸出y(n)，如圖9.4.9所示。按照圖9.4.9所示的實現(xiàn)過程，D倍抽取由積分級、抽取級和梳狀級級聯(lián)而成，整個流程僅需要兩個延時器、兩個加法器和一個D倍抽取單元，資源耗費少、運算效率高，很多數(shù)字下變頻芯片都采用了這種結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)抽取。圖9.4.9使用CIC濾波器的整數(shù)倍抽取快速實現(xiàn)框圖然而，單級CIC濾波器的帶外衰減較小，一般難以滿足實際濾波要求。對式(9.4.1)所示的h(n)進行序列傅里葉變換可得單級CIC濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω):

(9.4.5)由于H(ejω)以2π為周期，在一個周期-π≤ω≤π內(nèi)，當ω=0時，|H(ejω)|取得最大值D，將內(nèi)的曲線稱為主瓣;當

取值為零，將主瓣以外相鄰零點界定的曲線稱為副瓣。由于主瓣電平最大，且隨著副瓣離主瓣距離的增加，副瓣電平逐漸減小，因此h(n)可作為低通濾波器，并且其廣義相頻響應(yīng)θ(ω)是線性相位的，如圖9.4.10所示。圖9.4.10D=8時CIC濾波器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)根據(jù)第5章濾波器概論中的知識，濾波器的阻帶最小衰減αs通過式(5.3.3)計算，若以為通帶截止頻率，

阻帶起始頻率，則Amax=D，As可計算如下：

當D>>1時，。所以

(9.4.6)

可見，單級CIC濾波器的阻帶最小衰減αs與階數(shù)無關(guān)，近似為常數(shù)13.46dB，為了進一步降低副瓣電平，提高阻帶衰減，實際中經(jīng)常采用多級CIC濾波器級聯(lián)的方法，如圖9.4.11所示。圖9.4.11級聯(lián)CIC濾波器的整數(shù)倍抽取實現(xiàn)框圖設(shè)圖9.4.11中共有N級CIC濾波器級聯(lián)，則系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)為

(9.4.7)

所以，N級級聯(lián)CIC濾波器的阻帶最小衰減αs可達到

(9.4.8)是單級CIC濾波器的N倍，例如5級級聯(lián)CIC濾波器的阻帶衰減有67dB左右，基本滿足實際要求。

通過以上的分析有一點需要明確，即D倍抽取系統(tǒng)中CIC濾波器的長度是D，因此N級級聯(lián)CIC濾波器中每一級的長度也都等于抽取因子D，只有這樣才能使用圖9.4.11所示的運算結(jié)構(gòu)。并且，N級級聯(lián)CIC濾波器具有處理增益DN，隨著級數(shù)N的增多和抽取因子D的增大，處理增益DN也越大。所以，在用軟件或硬件實現(xiàn)時，常常會將式(9.4.1)中h(n)的系數(shù)除以D，使得每一級都保留足夠的運算精度以防止溢出。圖9.4.12畫出了D=8的CIC濾波器5級級聯(lián)后的幅頻響應(yīng)。圖9.4.12

5級級聯(lián)CIC濾波器的幅頻響應(yīng)當CIC濾波器作為D倍抽取濾波器時，以圖9.4.12所示濾波器(N=5、D=8)為例，頻譜混疊情況如圖9.4.13所示，圖中的橫坐標為降采樣頻率之前的數(shù)字角頻率。當

(D倍抽取后的主值區(qū)間)時,與虛線所示H(ejω)混疊的主要有H(ej(ω-2π/D))(幅度大的實線)以及H(ej(ω-4π/D))(幅度小的實線)，其他頻移分量由于電平小可以忽略。由圖9.4.13可以看出,并非所有信號都適合以該濾波器作為D倍抽取濾波器，例如當信號的數(shù)字角頻率0≤ω≤0.1π時，由于0.05π≤ω≤0.1π內(nèi)濾波器對需要的頻率成分衰減過大，對混疊的頻率成分抑制不夠，抽取后信號損失會很大。因此，使用CIC濾波器時，對不同帶寬的信

號常引入帶寬比例因子b，根據(jù)頻譜混疊情況，并結(jié)合信號帶寬內(nèi)的最大衰減和對混疊的最小抑制指標，來選擇抽取倍數(shù)D及級聯(lián)數(shù)N。圖9.4.13

5級級聯(lián)CIC濾波器的頻譜混疊設(shè)信號的絕對帶寬為B，降采樣頻率之前的采樣頻率為Fs，則帶寬比例因子為

(9.4.9)

在圖9.4.13中，為了保證抽取后不損失信號信息，要求對信號的最大衰減小于3dB，對混疊的最小抑制大于70dB，則信號的數(shù)字角頻率0≤ω≤0.05π，此時信號帶寬B=0.025Fs、D=8，按式(9.4.9)計算可得帶寬比例因子b=0.2。一般地，當以N及D表示某抽取用CIC濾波器(系數(shù)對D進行歸一化)時，設(shè)信號的數(shù)字角頻率(未降采樣頻率)為0≤ω≤ω1，則混疊頻率為，因此

該濾波器對信號的最大衰減δ1及對混疊的最小抑制δ2分別發(fā)生在ω1和處。若,則δ1和δ2計算如下：

(9.4.10)

(9.4.11)當b1，D<<1時，，

δ2≈-N·20lgb。可見，在使用CIC濾波器時，信號的帶寬比例因子b越小，就能獲得更小的信號衰減和更大的混疊抑制。根據(jù)式(9.4.9)可知，當信號絕對帶寬B一定時，采用較小的抽取倍數(shù)D或者提高采樣頻率Fs都可以減小b。此外，增大CIC濾波器的級聯(lián)數(shù)N雖然可以增大對混疊的抑制δ2，但同時也增大了對信號的衰減δ1，所以N一般不大于5。另外，CIC濾波器也可以作為整數(shù)倍內(nèi)插之后的濾波器，與整數(shù)倍抽取的實現(xiàn)過程相對應(yīng)。整數(shù)倍內(nèi)插CIC濾波器的結(jié)構(gòu)是N個梳狀級、內(nèi)插級和N個積分級的級聯(lián)，如圖9.4.14所示。圖9.4.14級聯(lián)CIC濾波器的整數(shù)倍內(nèi)插實現(xiàn)框圖9.4.3HB濾波器

除CIC濾波器外，半帶(HB)濾波器也是一種運算效率高、實時性強且具有線性相位的FIR濾波器，特別適合2M倍(M為整數(shù))的抽取或內(nèi)插。

設(shè)理想半帶濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)如圖9.4.15所示，圖中ωp為通帶截止頻率，ωs為阻帶起始頻率，Hd(ejω)為實偶函數(shù)，即

Hd(ejω)=Hd(e-jω)

(9.4.12)另外，Hd(ejω)還滿足

Hd(ejω)=1-Hd(ej(π-ω))(9.4.13)

ωp=π-ωs

(9.4.14)

δp=δs

(9.4.15)

其中，δp為通帶波紋，δs為阻帶波紋，由此可得如圖9.4.16所示。圖9.4.15理想半帶濾波器的頻率響應(yīng)圖9.4.16理想半帶濾波器頻率響應(yīng)的性質(zhì)對式(9.4.12)和式(9.4.13)進行序列傅里葉反變換，則理想半帶濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)滿足條件

hd(n)+(-1)nhd(-n)=δ(n)

(9.4.16)

hd(n)=hd(-n)

(9.4.17)按照式(9.4.16)，根據(jù)n的奇偶分情況討論，可得

結(jié)合式(9.4.17)，則半帶濾波器的單位脈沖響應(yīng)為

(9.4.18)所以，理想半帶濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)是關(guān)于n=0偶對稱的無限長非因果序列，且只在n=0和n為奇數(shù)時有非零值。用6.3節(jié)介紹的窗函數(shù)法，根據(jù)濾波器指標設(shè)計實際的h(n)，若所得實際濾波器的長度為N，那么該濾波器的系數(shù)是關(guān)于偶對稱的，為第一類線性相位FIR濾波器。

例如ISL5216中提供了一個N=7的半帶濾波器HB1的系數(shù)：h(0)=-0.031303406，

h(1)=0.0，h(2)=0.281280518，h(3)=0.499954224，h(4)=0.281280518，h(5)=0.0，h(6)=-0.031303406。顯然，h(n)關(guān)于n=3偶對稱，且當n=1和5時

h(n)=0，該濾波器的頻率響應(yīng)如圖9.4.17所示。

若將半帶濾波器h(n)作為2倍抽取的抗混疊濾波器，則抽取系統(tǒng)的實現(xiàn)框圖如圖9.4.18所示。

圖9.4.17

N=7時半帶濾波器的頻率響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)圖9.4.18使用半帶濾波器的整數(shù)倍抽取實現(xiàn)框圖設(shè)系統(tǒng)的輸入為x(n)，輸出為y(n)，x(n)經(jīng)過半帶濾波器后的輸出為x1(n)，且

(9.4.20)(9.4.19)以ISL5216中的HB1為例，雖然其頻率響應(yīng)H(ejω)不滿足圖9.4.19中2倍抽取理想濾波器的頻率響應(yīng)要求，但當它作為2倍抽取濾波器時，頻譜混疊情況如圖9.4.20所示，圖中橫坐標為降采樣頻率之前的數(shù)字角頻率。雖然圖中區(qū)間實線部分H(ej(ω-π))與虛線部分H(ejω)發(fā)生了混疊，但是如果信號x(n)的頻率分量均位于［0，ωp］內(nèi)，若ωp≤0.1π則由圖9.4.20可知造成混疊的頻率成分會被衰減50dB以上，因此將x(n)2倍抽取后還可以正確表示原信號。若x(n)的帶寬更寬，則用HB1作為2倍抽取濾波器的效果就不好，必須選擇其他階數(shù)更高的半帶濾波器。圖9.4.192倍抽取理想濾波器的頻率響應(yīng)圖9.4.20半帶濾波器的頻譜混疊9.4.4典型數(shù)字上、下變頻芯片功能介紹及參數(shù)設(shè)置

以上討論的都是D倍抽取或I倍內(nèi)插一次完成的情