2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專(zhuān)題整合復(fù)習(xí)卷§13.3.1 角的平分線(xiàn)的性質(zhì)(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專(zhuān)題整合復(fù)習(xí)卷§13.3.1角的平分線(xiàn)的性質(zhì)(含答案)-13.3.1角的平分線(xiàn)的性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)1．角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：定理1．在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．定理2．到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．2．三角形的三條角平分線(xiàn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．典型例題例：三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，你知道這是為什么嗎？分析：我們知道兩條直線(xiàn)是交于一點(diǎn)的，因此可以想辦法證明第三條角平分線(xiàn)通過(guò)前兩條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)．已知：如圖，△ABC的角平分線(xiàn)AD與BE交于點(diǎn)I，求證：點(diǎn)I在∠ACB的平分線(xiàn)上．證明：過(guò)點(diǎn)I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分別是點(diǎn)H、G、F．∵點(diǎn)I在∠BAC的角平分線(xiàn)AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代換）又IG⊥AC、IF⊥BC∴點(diǎn)I在∠ACB的平分線(xiàn)上（到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上）即：三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)．同步練習(xí)（第一課時(shí)）一、選擇題1．下列說(shuō)法：①角的內(nèi)部任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上；③角的平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；④△ABC中∠BAC的平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等，其中正確的（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2.已知AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB于E,且DE=3cm,則點(diǎn)D到AC的距離是()A.2cm;B.3cm;C.4cm;D.6cm3．如圖1，已知CE、CF分別是△ABC的內(nèi)角和外角平分線(xiàn)，則圖中與∠BCE互余的角有（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)4．如圖2，已知點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，則下列說(shuō)法：①點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上；②點(diǎn)P在∠CBE的平分線(xiàn)上；③點(diǎn)P在∠BCD的平分線(xiàn)上；④點(diǎn)P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，其中正確的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③（1）(2)(3)二、填空題5．用直尺和圓規(guī)平分已知角的依據(jù)是______________．6．角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到_______________相等；到___________________________相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．7．如圖3，AB∥CD，AP、CP分別平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，則AB與CD之間的距離是___________．三、解題題8．請(qǐng)你畫(huà)一個(gè)角，并用直尺和圓規(guī)把這個(gè)角兩等分．9．如圖，四邊形ABCD中AB=AD，CB=CD，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求證PE=PF．10．如圖，四邊形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，求證：PB=PC．11．如圖，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于點(diǎn)O．①若OC=OB，求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上．②若點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上，求證：OC=OB．答案:1．B2．B3．C4．A5．SSS6．角的兩邊的距離；角的兩邊的距離7.4cm8．略9．證明AC平分∠BCD10．先證Rt△ABC≌Rt△ADC，再證△APB≌△APD11．①證明△COE≌△BOD得到OE=OD；②先由角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明OE=OD，再證明△COE≌△BOD§13.3.2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)（第二課時(shí)）一、選擇題1．如圖1，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，則下列結(jié)論：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正確的有（）A．①②③④B．①②③C．①③D．①③④(1)(2)(3)2．如圖2，三條公路兩兩交于點(diǎn)A、B、C，現(xiàn)要修一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求到三條公路距離相等，則可供選擇的地址有（）A．一處B．二處C．三處D．四處二、填空題3．三角形內(nèi)一點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等，則這個(gè)點(diǎn)是三角形_________的交點(diǎn)．4．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，則點(diǎn)D到AB的距離是__________．三、解題題5．如圖3,在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部設(shè)在S區(qū)內(nèi)，到公路和鐵路的距離相等，且離公路和鐵路的交叉處800米．如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在如圖所示的作戰(zhàn)地圖中標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置（比例尺1：2000）．6．如圖，已知點(diǎn)P是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．①當(dāng)PD=PE時(shí)，求證：AB=AC;②當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：PD=PE。7．如圖，BE和CD是△ABC的兩條高，在BE上截取BF=CA，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使HC=AB．求證：①AF=AH；②A(yíng)F⊥AH。8．如圖，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線(xiàn)。①求證：∠BPC=90°-∠BAC.②根據(jù)第①問(wèn)的結(jié)論猜想：三角形的三條外角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)形成的三角形按角分類(lèi)屬于什么三角形？答案:1．D2．D3．三條角平分線(xiàn)4．6cm5．略6．①連接AP，證明AD=AE和BD=CE；②證明AP平分∠BAC7．證明△ABF≌△HCA8．①略；②銳角三角形§13.4探究與整理知識(shí)要點(diǎn)本章主要內(nèi)容是三角形全等的判定和應(yīng)用．1．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．2．三角形全等的條件：（1）一般三角形：①三邊對(duì)應(yīng)相等（SSS）；②兩邊和夾角對(duì)應(yīng)相等（SAS）；③兩角和一條邊對(duì)應(yīng)相等（ASA或AAS）．（2）直角三角形：除一般三角形的判定方法外，另外：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）．3．角平分線(xiàn)性質(zhì)定理：在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．角平分線(xiàn)判定定理：到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．典型例題例：如圖，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC的平分線(xiàn)BD于D，BD交AC于E，求證：BE=2CD．分析：要證BE=2CD，想到要構(gòu)造等于2CD的線(xiàn)段，結(jié)合角平分線(xiàn)，利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重疊到BA所在的直線(xiàn)上，即構(gòu)造全等三角形（△BCD≌△BFD），然后證明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．證明：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)F∵BD⊥CF（已知）∴∠BDC=∠BDF=90°（垂直的定義）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2（角平分線(xiàn)的定義）在△BCD和△BFD中∴△BCD≌△BFD（ASA）∴CD=FD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90°∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°（直角三角形兩銳角互余）∴∠1=∠3（同角的余角相等）在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴BE=2CD（等量代換）同步練習(xí)一、選擇題1．到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)是三角形（）A．三條邊上的高的交點(diǎn)B．三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)C．三邊上的中線(xiàn)的交點(diǎn)D．以上結(jié)論都不對(duì)2．如圖1，△ABC中，AC⊥CB，CD平分∠ACB，點(diǎn)E在A(yíng)C上，且CE=CB，則下列結(jié)論：①CD平分∠BDE；②BD=DE；③∠B=∠CED；④∠A+∠CED=90°．其中正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（1）(2)(3)(4)3．如圖2，已知點(diǎn)D是△ABC中AC邊一點(diǎn)，點(diǎn)E在A(yíng)B延長(zhǎng)線(xiàn)上，且△ABC≌△DBE，∠BDA=∠A．若∠A：∠C=5：3，則∠DBE的度數(shù)是（）A．100°B．80°C．60°D．120°二、填空題4．△ABC中AB=AC，點(diǎn)D是∠BAC平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且BD=2cm，則點(diǎn)D與點(diǎn)C之間的距離是___________．5．如圖3，∠ABC=∠ADC=90°，要證明△ABC≌△ADC，可補(bǔ)充條件___________或____________（填寫(xiě)兩組適合的條件即可）．6．如圖4，△DEF由△ABC沿直線(xiàn)BC平移而得到的，則AB=______，CF=_______，∠A=_______．三、解題題7．如圖，D、E是△ABC中AB、AC邊上的點(diǎn)，且AD=AE，∠1=∠2，求證BD=CE．8．如圖，已知AB⊥AC于A(yíng)，BD⊥DC于D，要想得到AC=BD，你認(rèn)為需要補(bǔ)充什么條件？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．9．如圖，A、B兩點(diǎn)分別位于池塘兩側(cè)，小亮用下面的方法測(cè)量A、B之間的距離：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的C點(diǎn)，連接AC、BC，并分別延長(zhǎng)至D、E兩點(diǎn)，使DC=AC，EC=BC．那么量出DE的長(zhǎng)就是A、B間的距離．請(qǐng)說(shuō)明一下這樣做的道理．10．如圖1，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE和DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF．答案:1．B2．D3．A4．2cm5．AB=AD；∠BAC=∠DAC6．DE；BE；∠D7．先證△ABE≌△ACD得到AB=AC，再用等式性質(zhì)證明BD=CE8．比如：AB=DC或∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC9．證△ABC≌△DEC10．證△AEH≌△AFH達(dá)標(biāo)訓(xùn)練一、基礎(chǔ)·鞏固·達(dá)標(biāo)1.角平分線(xiàn)上的點(diǎn)________.反過(guò)來(lái)，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在________.2.如圖13-3-13，若點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，若應(yīng)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得PA＝PB，則必須添加的條件是________.圖13-3-13圖13-3-143.如圖13-3-14，已知∠AOB，求作射線(xiàn)OC，使OC平分∠AOB，作法的合理順序?yàn)椋ǎ僮魃渚€(xiàn)OC②在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD＝OE③分別以D、E為圓心，大于12DC為半徑作弧，兩弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)CA.①②③B.②①③C.②③①D.③②①4.如圖13-3-15，直線(xiàn)l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）圖13-3-15A.一處B.兩處C.三處D.四處5.到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)是（）A.三角形三條高的交點(diǎn)B.三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)C.三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)D.不存在這個(gè)點(diǎn)二、綜合·應(yīng)用·創(chuàng)新6.已知：如圖13316，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC＝21cm，且CD∶BD=4∶3.求點(diǎn)D到AB的距離.圖13-3-16.7.(用尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡)在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部設(shè)在如圖13-3-17所示A區(qū)內(nèi)，到公路、鐵路的距離相等，且離公路與鐵路交叉處B點(diǎn)700m，如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在所示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置.圖13-3-178.在學(xué)習(xí)“角的平分線(xiàn)”的課堂上，張老師要求同學(xué)們練習(xí)一道題，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC是∠ABC的平分線(xiàn).在同學(xué)們忙于畫(huà)圖和分析題目時(shí)，小明忽然興奮地大聲說(shuō)：“我有個(gè)發(fā)現(xiàn)！”原來(lái)他感到自己創(chuàng)造了一個(gè)在直角三角形中畫(huà)銳角的平分線(xiàn)的方法，他的方法是這樣的：如圖13-3-18，在A(yíng)B上取點(diǎn)E，使BE=BC，然后畫(huà)DE⊥AB交AC于點(diǎn)D，那么BD就是∠ABC的平分線(xiàn).有的同學(xué)對(duì)小明的畫(huà)法表示懷疑，你認(rèn)為他的畫(huà)法對(duì)不對(duì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖13-3-189.如圖13-3-19，△ABC中，AD是它的角平分線(xiàn)，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交BC于E，點(diǎn)F在BC上，連結(jié)PF，已知D到PE的距離與D到PF的距離相等.求證：PF∥AC.圖13-3-1910.（1）如圖13-3-20，AC為∠BAD的平分線(xiàn)，AD＝AE.把△DAC沿AC翻折180°，請(qǐng)結(jié)合圖形填空：①△DAC______△EAC;②DC與CE的大小關(guān)系是____________;③∠D與∠CEB的關(guān)系是____________.（2）用你得到的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：在四邊形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b，且BC＝DC，對(duì)角線(xiàn)AC平分∠BAD.問(wèn)a與b大小符合什么條件時(shí)，有∠D＋∠B＝180°?請(qǐng)畫(huà)圖并證明你的結(jié)論.圖13-3-20三、回顧·熱身·展望11.浙江寧波模擬如圖13-3-21，△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB；過(guò)點(diǎn)A作GE∥BC，角平分線(xiàn)BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交GE于點(diǎn)E、G.試在圖中找出3對(duì)全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明.圖13-3-21參考答案一、基礎(chǔ)·鞏固·達(dá)標(biāo)1.角平分線(xiàn)上的點(diǎn)________.反過(guò)來(lái)，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在________.答案：到角兩邊的距離相等在角的平分線(xiàn)上2.如圖13-3-13，若點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，若應(yīng)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得PA＝PB，則必須添加的條件是________.圖13-3-13圖13-3-14思路解析：應(yīng)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)時(shí)，一定注意“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”這個(gè)條件.答案：PA⊥OA于A(yíng)，PB⊥OB于B3.如圖13-3-14，已知∠AOB，求作射線(xiàn)OC，使OC平分∠AOB，作法的合理順序?yàn)椋ǎ僮魃渚€(xiàn)OC②在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD＝OE③分別以D、E為圓心，大于12DC為半徑作弧，兩弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)CA.①②③B.②①③C.②③①D.③②①思路解析：作已知角的平分線(xiàn)是幾何基本作圖之一.答案：C4.如圖13-3-15，直線(xiàn)l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）圖13-3-15A.一處B.兩處C.三處D.四處思路解析：外角平分線(xiàn)與不相鄰內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三條直線(xiàn)的距離也相等.答案：D5.到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)是（）A.三角形三條高的交點(diǎn)B.三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)C.三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)D.不存在這個(gè)點(diǎn)答案：C二、綜合·應(yīng)用·創(chuàng)新6.已知：如圖13316，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC＝21cm，且CD∶BD=4∶3.求點(diǎn)D到AB的距離.圖13-3-16.思路解析：點(diǎn)D到AB的距離和DC的長(zhǎng)實(shí)際就是角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離.過(guò)D作DE⊥AB于E，則DE=DC＝BC＝9cm.答案：9cm7.(用尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡)在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部設(shè)在如圖13-3-17所示A區(qū)內(nèi)，到公路、鐵路的距離相等，且離公路與鐵路交叉處B點(diǎn)700m，如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在所示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置.圖13-3-17答案：作A區(qū)所在公路與鐵路夾角的角平分線(xiàn)BM，在BM上截取BN=3.5cm,則N點(diǎn)即為所求.8.在學(xué)習(xí)“角的平分線(xiàn)”的課堂上，張老師要求同學(xué)們練習(xí)一道題，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC是∠ABC的平分線(xiàn).在同學(xué)們忙于畫(huà)圖和分析題目時(shí)，小明忽然興奮地大聲說(shuō)：“我有個(gè)發(fā)現(xiàn)！”原來(lái)他感到自己創(chuàng)造了一個(gè)在直角三角形中畫(huà)銳角的平分線(xiàn)的方法，他的方法是這樣的：如圖13-3-18，在A(yíng)B上取點(diǎn)E，使BE=BC，然后畫(huà)DE⊥AB交AC于點(diǎn)D，那么BD就是∠ABC的平分線(xiàn).有的同學(xué)對(duì)小明的畫(huà)法表示懷疑，你認(rèn)為他的畫(huà)法對(duì)不對(duì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖13-3-18思路解析：因?yàn)镈E、DC分別是點(diǎn)D到∠ABC兩邊的距離，可考慮證明DC=DE，從而判斷出點(diǎn)D在∠ABC的平分線(xiàn)上.解：小明的畫(huà)法正確.∵∠C＝∠DEB＝90°,又∵BC=BE,BD=BD,∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）.∴DC=DE.∴BD平分∠ABC.9.如圖13-3-19，△ABC中，AD是它的角平分線(xiàn)，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交BC于E，點(diǎn)F在BC上，連結(jié)PF，已知D到PE的距離與D到PF的距離相等.求證：PF∥AC.圖13-3-19思路解析：證明線(xiàn)段平行常用的方法是證明同位角相等或者內(nèi)錯(cuò)角相等.根據(jù)題意知道點(diǎn)D在∠EPF的平分線(xiàn)上，點(diǎn)D在∠BAC的平分線(xiàn)上，由平行的性質(zhì)還知道∠EPD=∠BAD，用“等量代換”即可得到∠FPD=∠CAD.證明：∵D到PE的距離等于D到PE的距離,∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線(xiàn)上.∴∠EPD=∠FPD.又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵PE∥AB,∴∠EPD=∠BAD.∴∠FPD=∠CAD.∴PF∥AC.10.（1）如圖13-3-20，AC為∠BAD的平