2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷7.4 課題學(xué)習(xí)鑲嵌 達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷7.4課題學(xué)習(xí)鑲嵌達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(含答案)7.4課題學(xué)習(xí)鑲嵌達(dá)標(biāo)訓(xùn)練一、基礎(chǔ)·鞏固1.用相同的正多邊形拼地板時(shí)，只有_________、________、________三種正多邊形可以單獨(dú)拼成.2.如圖7-4-7是由６個(gè)完全相同的正多邊形拼成的無縫隙、不重疊的圖形的一部分，那么，這種正多邊形是_______________.圖7-4-7圖7-4-83.小明家裝修房屋，用同樣的正多邊形瓷磚鋪地，頂點(diǎn)連著頂點(diǎn).為鋪滿地面而不重疊，瓷磚的形狀可能有（）A.正三角形、正方形、正六邊形B.正三角形、正方形、正五邊形C.正方形、正五邊形D.正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形4.用m個(gè)正方形和n個(gè)正八邊形鋪設(shè)地面，則m、n滿足的關(guān)系式是（）A.2m+3n=8B.3m+2n=8C.m+n=4D.m+2n=65.如圖7-4-8，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)矩形地面，則每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是（）A.48cm,12cmB.48cm,16cmC.44cm,16cmD.45cm,15cm二、綜合·應(yīng)用6.閱讀下列情景，并回答問題.圖7-4-9他們的話對(duì)嗎？分析原因，并畫出草圖.7.試著用兩種不同的正多邊形設(shè)計(jì)一個(gè)密鋪的方案，你能想出幾種方法？8.只用同一種正多邊形鋪滿地面，請(qǐng)你寫出一種這樣的正多邊形：____________.9.幼兒園的小朋友們打算選擇一種形狀、大小都相同的多邊形塑膠板鋪活動(dòng)室的地面，為了保證鋪地時(shí)既無縫隙又不重疊，請(qǐng)你告訴他們下面形狀的塑膠板可以選擇的是（）①三角形②四邊形③正五邊形④正六邊形⑤正八邊形A.③④⑤B.①②④C.①④D.①③④⑤參考答案一、基礎(chǔ)·鞏固1.用相同的正多邊形拼地板時(shí)，只有_________、________、________三種正多邊形可以單獨(dú)拼成.解析：要能單獨(dú)拼成地板，要求此正多邊形的內(nèi)角是360°的約數(shù).答案：正三角形正方形正六邊形2.如圖7-4-7是由６個(gè)完全相同的正多邊形拼成的無縫隙、不重疊的圖形的一部分，那么，這種正多邊形是_______________.圖7-4-7解析：正多邊形的各角相等,又由題意知,六個(gè)相等的角加在一起等于360°,所以每個(gè)角等于60°,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可以求出正多邊形的邊數(shù).答案：等邊三角形3.小明家裝修房屋，用同樣的正多邊形瓷磚鋪地，頂點(diǎn)連著頂點(diǎn).為鋪滿地面而不重疊，瓷磚的形狀可能有（）A.正三角形、正方形、正六邊形B.正三角形、正方形、正五邊形C.正方形、正五邊形D.正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形解析：要鋪滿地面而不重疊,就要求拼在一個(gè)頂點(diǎn)的四個(gè)角的和等于360°,因此正多邊形的內(nèi)角度數(shù)只能是360的約數(shù),正五邊形的內(nèi)角度數(shù)等于108°,不滿足這個(gè)條件.答案：A4.用m個(gè)正方形和n個(gè)正八邊形鋪設(shè)地面，則m、n滿足的關(guān)系式是（）A.2m+3n=8B.3m+2n=8C.m+n=4D.m+2n=6解析：能鋪設(shè)地面的要求是拼在一個(gè)頂點(diǎn)處的多邊形的角的和為360°,因此有：90m+135n=360,化簡(jiǎn)得2m+3n=8.答案：A5.如圖7-4-8，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)矩形地面，則每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是（）圖7-4-8A.48cm,12cmB.48cm,16cmC.44cm,16cmD.45cm,15cm解析：設(shè)地磚長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，由圖形有4y=60,所以y=15，又x+y=60，所以x=45.答案：D二、綜合·應(yīng)用6.閱讀下列情景，并回答問題.圖7-4-9他們的話對(duì)嗎？分析原因，并畫出草圖.解析：平面鑲嵌的一個(gè)基本條件是拼在一個(gè)頂點(diǎn)的各個(gè)角的和等于360°.答案：對(duì).因?yàn)槿切蝺?nèi)角和等于180°，把3個(gè)形狀相同的三角形的3個(gè)不同角放在一起，就等于180°，再這樣放三個(gè)就可以得到360°,如下圖所示.因?yàn)橥顾倪呅蔚膬?nèi)角和等于360°，因此，任意形狀的凸四邊形的四個(gè)不同頂點(diǎn)拼在一起都可以拼成360°，如下圖所示.7.試著用兩種不同的正多邊形設(shè)計(jì)一個(gè)密鋪的方案，你能想出幾種方法？解析：平面鑲嵌的一個(gè)基本條件是拼在一個(gè)頂點(diǎn)的各個(gè)角的和等于360°.答案：正三角形和正六邊形、正三角形和正十二邊形、正四邊形和正八邊形都能進(jìn)行平面鑲嵌.方法如圖所示：（還有很多）8.只用同一種正多邊形鋪滿地面，請(qǐng)你寫出一種這樣的正多邊形：____________.解析：限用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌時(shí)，有三種情況：正三角形、正四邊形、正六邊形.答案：正三角形、正四邊形、正六邊形（填一種即可）.9.幼兒園的小朋友們打算選擇一種形狀、大小都相同的多邊形塑膠板鋪活動(dòng)室的地面，為了保證鋪地時(shí)既無縫隙又不重疊，請(qǐng)你告訴他們下面形狀的塑膠板可以選擇的是（）①三角形②四邊形③正五邊形④正六邊形⑤正八邊形A.③④⑤B.①②④C.①④D.①③④⑤解析：限用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌時(shí)，有三種情況：正三角形、正四邊形、正六邊形.另外任意形狀的三角形和四邊形也能進(jìn)行平面鑲嵌.所以在①三角形，②四邊形，③正五邊形，④正六邊形，⑤正八邊形五種圖形中：①三角形②四邊形④正六邊形這三種圖形可以用來進(jìn)行平面鑲嵌.答案：B 11.3多邊形及其內(nèi)角和專題一根據(jù)正多邊形的內(nèi)角或外角求值1．若一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．12B．11C．10D．92．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則該多邊形的內(nèi)角和等于________°．3．已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．專題二求多個(gè)角的和4．如圖為某公司的產(chǎn)品標(biāo)志圖案，圖中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．如圖，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如圖，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1．多邊形及相關(guān)概念多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．2．多邊形的內(nèi)角和與外角和內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°．外角和：多邊形的外角和等于360°．【溫馨提示】1．從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以做(n－3)條對(duì)角線，它們將n邊形分為(n－2)個(gè)三角形．對(duì)角線的條數(shù)與分成的三角形的個(gè)數(shù)不要弄錯(cuò)．2．多邊形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．連接多邊形的對(duì)角線，將多邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決．2．多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，但外角和不變，都等于360°，可利用多邊形的外角和不變求多邊形的邊數(shù)等．參考答案2．1440解析：∵多邊形的邊數(shù)為360°÷36°=10，多邊形的內(nèi)角為180°－36°=144°，∴多邊形的內(nèi)角和等于144°×10=1440°．3．解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20．4．B解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故選B．5．360°解析：在四邊形BEFG中，∵∠EBG=∠C+∠D，∠BGF=∠A+∠ABC，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．6．解：∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．同理：∠BPO=∠D+∠C．∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．11.3多邊形及其內(nèi)角和1．多邊形及其有關(guān)概念(1)多邊形定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形按組成它的線段的條數(shù)分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形、……由n條線段組成的多邊形就叫做n邊形．如圖，是一個(gè)五邊形，可表示為五邊形ABCDE.三角形是最簡(jiǎn)單，邊數(shù)最少的多邊形.(2)多邊形的邊：組成多邊形的線段叫做多邊形的邊．(3)多邊形的內(nèi)角、外角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，也稱為多邊形的角；多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角．如圖，∠B，∠C，∠D，…是五邊形的內(nèi)角，∠1是五邊形的外角．談重點(diǎn)多邊形外角的理解多邊形每一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，并且同頂點(diǎn)的外角與內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角．(4)多邊形的對(duì)角線：①定義：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．如圖，AC，AD就是五邊形ABCDE中的兩條對(duì)角線．②拓展理解：一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線，把n邊形分成(n－2)個(gè)三角形．一個(gè)n邊形一共有eq\f(n(n－3),2)條對(duì)角線．析規(guī)律多邊形的對(duì)角線條數(shù)與頂點(diǎn)數(shù)的關(guān)系①從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線能將多邊形分割成不同的三角形，這就把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來研究；②所有的四邊形都有2條對(duì)角線，五邊形有5條對(duì)角線，也就是說一個(gè)邊數(shù)一定的多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是一定的．(5)凸多邊形和凹多邊形：①在圖(1)中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；②在圖(2)中，畫出DC(或BC)所在直線，整個(gè)四邊形不都在這條直線的同一側(cè)，我們稱這個(gè)四邊形為凹四邊形，像這樣的多邊形稱為凹多邊形．談重點(diǎn)凸多邊形的認(rèn)識(shí)沒有特殊說明，今后學(xué)習(xí)中所指的多邊形都是凸多邊形．【例1】填空：(1)十邊形有________個(gè)頂點(diǎn)，________個(gè)內(nèi)角，________個(gè)外角，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫________條對(duì)角線，它共有________條對(duì)角線．(2)從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫對(duì)角線將它分成了四個(gè)三角形，這個(gè)多邊形是________邊形．解析：(1)一個(gè)n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，n個(gè)角，2n個(gè)外角，從一個(gè)頂點(diǎn)能畫出(n－3)條對(duì)角線，共有eq\f(n(n－3),2)條對(duì)角線；(2)一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線，把n邊形分成(n－2)個(gè)三角形，所以n－2＝4，n＝6，這個(gè)多邊形是六邊形．答案：(1)101020735(2)六2．正多邊形(1)定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．如等邊三角形、正方形等．(2)特點(diǎn)：不僅邊都相等，角也都相等，兩個(gè)條件必須同時(shí)具備才是正多邊形．如長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角，都相等，但邊不等，所以不是正多邊形．析規(guī)律正多邊形外角的特征因?yàn)檫厰?shù)相同的正多邊形各個(gè)內(nèi)角都相等，同頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，所以邊數(shù)相同的正多邊形的各個(gè)外角也相等．【例2】下列說法正確的個(gè)數(shù)有()．(1)由四條線段首尾順次相接組成的圖形是四邊形；(2)各邊都相等的多邊形是正多邊形；(3)各角都相等的多邊形一定是正多邊形；(4)正多邊形的各個(gè)外角都相等．A．1 B．2 C．3 D．4解析：(1)不正確，一是要在同一平面內(nèi)，二是不能在同一條直線上；(2)不正確，各邊都相等，各角也都相等的多邊形才是正多邊形，這兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，如菱形雖然四邊都相等，但它不是正多邊形；(3)不正確，如長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角，都相等，但邊不一定相等，所以不是正多邊形；(4)正確，因?yàn)檫厰?shù)相同的正多邊形各個(gè)內(nèi)角都相等，同頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，所以邊數(shù)相同的正多邊形的各個(gè)外角也相等．故選A.答案：A3．多邊形的內(nèi)角和(1)公式：n邊形內(nèi)角和等于(n－2)×180°.(2)探究過程：如圖，以五邊形、六邊形為例．①從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫2條對(duì)角線，它們將五邊形分成3個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×3＝540°；②從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫3條對(duì)角線，它們將六邊形分成4個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×4＝720°；③從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫(n－3)條對(duì)角線，它們將n邊形分成(n－2)個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°×(n－2)．所以多邊形內(nèi)角和等于(n－2)×180°.析規(guī)律多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和公式的方法很多，但都是將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和進(jìn)行推導(dǎo)的，這也是研究問題的一種思路方法，將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決．(3)應(yīng)用：①運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式可以求出任何邊數(shù)的多邊形的內(nèi)角和；②由多邊形內(nèi)角和公式可知，邊數(shù)相同的多邊形內(nèi)角和也相等，因此已知多邊形內(nèi)角和也能求出邊數(shù)．【例3】選擇：(1)十邊形的內(nèi)角和為()．A．1260° B．1440°C．1620° D．1800°(2)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線共有()．A．6條B．7條C．8條D．9條解析：(1)運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式計(jì)算：180°×(10－2)＝1440°，故選B；(2)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，即180°×(n－2)＝720°，解得n＝6，所以該多邊形是六邊形，六邊形有eq\f(6×(6－3),2)＝9條對(duì)角線，故選D.答案：(1)B(2)D4．多邊形的外角和(1)公式：多邊形的外角和等于360°.(2)探究過程：如圖，以六邊形為例．①外角和：在每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它們的和為外角和．②因?yàn)橥旤c(diǎn)處的一個(gè)內(nèi)角和外角互為鄰補(bǔ)角，所以六邊形內(nèi)、外角和等于180°×6＝1080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1080°－180°×(6－2)＝360°.③n邊形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多邊形的外角和是一個(gè)恒值，即任何多邊形的外角和都是360°，與邊數(shù)無關(guān)．②多邊形的外角和與多邊形所有外角的和不是一回事，多邊形的外角和是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角的和．解技巧多邊形的內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑年P(guān)系的運(yùn)用同頂點(diǎn)的每一個(gè)內(nèi)角和外角互為鄰補(bǔ)角是解決含內(nèi)、外角問題的關(guān)鍵，是內(nèi)、外角轉(zhuǎn)換的紐帶．【例4】填空：(1)一個(gè)多邊形每個(gè)外角都是60°，這個(gè)多邊形是__________邊形，它的內(nèi)角和是__________度，外角和是__________度；(2)多邊形邊數(shù)每增加一條，它的內(nèi)角和會(huì)增加__________，外角和增加__________．解析：(1)因?yàn)槊總€(gè)外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六邊形．根據(jù)內(nèi)角和公式計(jì)算出內(nèi)角和是720°，外角和是恒值為360°(也可以由每個(gè)外角都是60°，得每個(gè)內(nèi)角都是120°，進(jìn)而得到內(nèi)角和是720°)；(2)多邊形邊數(shù)每增加一條，它的內(nèi)角和會(huì)增加180°，但外角和不變．答案：(1)六720360(2)180°0°5．多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用多邊形內(nèi)角和只與邊數(shù)有關(guān)，因此當(dāng)一個(gè)多邊形的邊數(shù)確定時(shí)，多邊形的內(nèi)角和就是一定的，所以多邊形內(nèi)角和公式就有兩個(gè)作用：(1)已知多邊形邊數(shù)(頂點(diǎn)數(shù)、內(nèi)角個(gè)數(shù))就可以求出多邊形內(nèi)角和度數(shù)，方法是直接將邊數(shù)n代入公式(n－2)×180°求出．(2)已知多邊形內(nèi)角和求多邊形邊數(shù)，只要根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列出以n為未知數(shù)的方程，解方程，求出n即可得到邊數(shù)．破疑點(diǎn)多邊形內(nèi)角和的理解①用內(nèi)角和除以180°得到的是n－2的值，不是邊數(shù)，邊數(shù)是n，這點(diǎn)要注意．②熟記多邊形內(nèi)角和公式是這部分內(nèi)容應(yīng)用的關(guān)鍵．【例5－1】若一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為3∶4∶5∶6，則這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為__________．解析：設(shè)每一份為x°，那么四個(gè)角分別為3x°，4x°，5x°，6x°.根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360°，列出方程3x＋4x＋5x＋6x＝360，解得x＝20，然后求出各角；也可以用360°÷18＝20°，每一份是20°，然后求解．答案：60°，80°，100°，120°【例5－2】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1440°，則它的邊數(shù)為__________．解析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列出以n為未知數(shù)的方程(n－2)×180＝1440，解方程得n＝10.所以這個(gè)多邊形為十邊形．答案：10【例5－3】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和不可能是()．A．1800° B．540°C．720° D．810°解析：因?yàn)檫厰?shù)只能是整數(shù)，所以多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍，故選D.答案：D6.多邊形外角、外角和公式的應(yīng)用多邊形外角和是360°，它是一個(gè)恒值，不論多邊形是幾邊形，它的外角和都是360°，與邊數(shù)無關(guān)，所以對(duì)于普通多邊形，根據(jù)多邊形外角和無法判斷多邊形的邊數(shù)，因此多邊形外角很少單獨(dú)考查，它一般應(yīng)用于正多邊形中或各角都相等時(shí)的情況，因?yàn)檎噙呅蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角都相等，所以正多邊形的每一個(gè)外角也都相等，因此只要知道正多邊形中任一個(gè)外角的度數(shù)就能求出邊數(shù)，或知道外角的個(gè)數(shù)也能求出每一個(gè)外角的度數(shù)，進(jìn)而能求出內(nèi)角度數(shù)和內(nèi)角和的度數(shù)．同頂點(diǎn)的外角和內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，所以多邊形外角和內(nèi)角又是相互聯(lián)系的，知道內(nèi)角能求外角，知道外角也能求內(nèi)角，它們之間能相互轉(zhuǎn)換．破疑點(diǎn)多邊形外角和與外角的關(guān)系多邊形的外角和與多邊形所有外角的和不是一回事，多邊形的外角和是每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角的和，是360°，而多邊形所有外角的和是360°的2倍，是720°，這點(diǎn)要注意．【例6－1】如圖所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，則∠DAB＝__________.解析：方法一：根據(jù)同頂點(diǎn)的外角和內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，求出已知角的鄰補(bǔ)角．根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，求出∠A；方法二：根據(jù)四邊形外角和為360°，求出與∠A同頂點(diǎn)的鄰補(bǔ)角(A點(diǎn)處的外角)，再求出∠A.答案：125°【例6－2】如圖，在四邊形ABCD中，∠1，∠2分別是∠BCD和∠BAD的鄰補(bǔ)角，且∠B＋∠ADC＝140°，則∠1＋∠2等于()．A．140° B．40°C．260° D．不能確定解析：方法一：因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和是360°，且∠B＋∠ADC＝140°，所以∠DAB＋∠DCB＝220°，∠1＋∠2＋∠DAB＋∠DCB＝180°×2，所以∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法二：可求出與∠B，∠ADC同頂點(diǎn)的兩外角和為220°，根據(jù)四邊形外角和是360°，得出∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法三：連接BD，根據(jù)三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，求出∠1＋∠2的度數(shù)．答案：A7.正多邊形知識(shí)的應(yīng)用正多邊形是特殊的多邊形，它特殊在每一個(gè)內(nèi)角、外角、每一條邊都相等，所以在正多邊形中，只要知道一個(gè)角的度數(shù)，就能知道所有角的度數(shù)，包括每一個(gè)外角的度數(shù)．知道一邊的長(zhǎng)度，就能知道每一邊的長(zhǎng)度．因此它的應(yīng)用主要包括兩個(gè)方面：(1)已知內(nèi)角(或外角)能求邊數(shù)、內(nèi)角和；已知邊數(shù)能求每一個(gè)外角(或內(nèi)角)的度數(shù)及內(nèi)角和，即在內(nèi)角和、邊數(shù)、內(nèi)角度數(shù)、外角度數(shù)四個(gè)量中知道一個(gè)量就能求出其他三個(gè)量．(2)因?yàn)檎噙呅蚊恳粭l邊都相等，所以知道周長(zhǎng)能求邊長(zhǎng)，知道邊長(zhǎng)能求周長(zhǎng)(因較簡(jiǎn)單所以考查較少)．解技巧利用方程思想求多邊形的邊數(shù)正多邊形中已知一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求邊數(shù)時(shí)，一是將內(nèi)角根據(jù)“同頂點(diǎn)的內(nèi)、外角互補(bǔ)”轉(zhuǎn)化為外角，再根據(jù)外角和是360°，由360°除以一個(gè)外角的度數(shù)得到邊數(shù)；二是根據(jù)內(nèi)角和公式和每個(gè)角度數(shù)都相等列方程解出邊數(shù)n.【例7－1】若八邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，則其每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是__________．解析：由多邊形內(nèi)角和定理知，八邊形的內(nèi)角和是1080°，每個(gè)內(nèi)角都相等，所以1080°÷8＝135°.答案：135°【例7－2】一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是__________，它的內(nèi)角和是__________．解析：多邊形的外角和是360°，每個(gè)外角都是30°，所以360°÷30°＝12，所以該多邊形是十二邊形，內(nèi)角和是1800°，本題也可根據(jù)共頂點(diǎn)的內(nèi)、外角互補(bǔ)，求出內(nèi)角和．答案：121800°【例7－3】一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于144°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．分析：方法一：可設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，那么內(nèi)角和就是(n－2)×180°，因?yàn)槊恳粋€(gè)內(nèi)角都是144°，所以內(nèi)角和為144°×n，根據(jù)“表示同一個(gè)量的兩個(gè)式子相等”列方程解出；方法二：因?yàn)槊恳粋€(gè)內(nèi)角都等于144°，所以每一個(gè)外角都是36°.根據(jù)多邊形外角和為360°，用360°÷36°＝10，也可以得出這個(gè)多邊形為十邊形．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則(n－2)×180°＝n×144°，解得n＝10.答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10.8．邊數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、內(nèi)角和、對(duì)角線條數(shù)之間關(guān)系的綜合應(yīng)用在多邊形問題中，當(dāng)多邊形的邊數(shù)n一定時(shí)，不論多邊形形狀如何，多邊形的內(nèi)角和也是一定的，是(n－2)×180°，多邊形對(duì)角線的條數(shù)也是一定的，是eq\f(n(n－3),2)，并且從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線的條數(shù)也是一定的，是(n－3)條，所以在多邊形問題中，在這些量中，只要知道其中一個(gè)量，就可以求出所有的量．在多邊形問題的綜合應(yīng)用中，一般是邊數(shù)、對(duì)角線的條數(shù)、內(nèi)角和之間的關(guān)系應(yīng)用較多，有時(shí)還與正多邊形知識(shí)相結(jié)合．因知識(shí)限制，一般是給出內(nèi)角和，求邊數(shù)或?qū)蔷€條數(shù)題目較多，如：已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和是1080°，它有幾條對(duì)角線？根據(jù)內(nèi)角和公式列方程，(n－2)×180＝1080求出邊數(shù)，再根據(jù)對(duì)角線公式求出對(duì)角線條數(shù)．【例8－1】過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，把多邊形分成8個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()．A．8 B．9 C．10 D．11解析：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線將一個(gè)多邊形分成(n－2)個(gè)三角形，所以n－2＝8，解得n＝10，即這個(gè)多邊形是十邊形，故選C.答案：C【例8－2】多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是150°，則此多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線的條數(shù)是()．A．7 B．8 C．9 D．10解析：根據(jù)每一個(gè)內(nèi)角都是150°，求出這個(gè)多邊形是十二邊形，它的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線的條數(shù)是n－3＝12－3＝9，故選C.答案：C【例8－3】一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)等于它的邊數(shù)的4倍，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和．分析：設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)對(duì)角線的條數(shù)是邊數(shù)的4倍，列方程求出邊數(shù)，再代入多邊形內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得eq\f(n(n－3),2)＝4n，解得n＝11，所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：(n－2)×180°＝(11－2)×180°＝1620°.9.將多邊形截去一個(gè)角問題的探討在多邊形問題中，有一類問題是將多邊形截去一個(gè)角后，探討多邊形邊數(shù)變化和內(nèi)角和變化的問題．在這類問題中，因截法不同，會(huì)出現(xiàn)不同的變化，現(xiàn)以四邊形為例加以說明．如圖所示，將正方形的桌面截去一個(gè)角，那么余下的多邊形的內(nèi)角和度數(shù)將怎樣變化？因截法有三種情況，所以內(nèi)角和也就有三種情況：(1)當(dāng)是圖①所示情況時(shí)，不過任何一個(gè)頂點(diǎn)，四邊形變?yōu)槲暹呅?，邊?shù)增加1，所以內(nèi)角和為540°.(2)當(dāng)是圖②所示情況時(shí)，過一個(gè)頂點(diǎn)，四邊形邊數(shù)不變，所以內(nèi)角和也不變，為360°.(3)當(dāng)是圖③所示情況時(shí)，過兩個(gè)頂點(diǎn)，四邊形變?yōu)槿切危厰?shù)減少1，所以內(nèi)角和也變?yōu)?80°.析規(guī)律分類解決問題對(duì)于其他多邊形(三角形除外，因?yàn)槿切沃挥袃煞N情況)也有這樣的三種情況，并且截法相同，解法也相同．【例9－1】一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變?yōu)槭呅危瑒t原來的多邊形的邊數(shù)為()．A．15或17 B．16或17C．16或18 D．15或16或17解析：因截法不同，所以有三種可能，①當(dāng)不過任何一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，截完后邊數(shù)會(huì)增加1，因此原來多邊形應(yīng)為十五邊形；②當(dāng)過一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，截完后邊數(shù)不變，所以這種情況下原來的多邊形為十六邊形；③當(dāng)過兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，邊數(shù)比原來減少1，所以原來就是十七邊形，所以原來的多邊形的邊數(shù)為15或16或17，故選D.答案：D【例9－2】一個(gè)多邊形截去一個(gè)角(截線不過頂點(diǎn))之后，所形成的一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是2520°，那么原多邊形的邊數(shù)是()．A．13 B．15 C．17 D．19解析：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角，因截線不過任何頂點(diǎn)，所以新得到的多邊形邊數(shù)比原來的多邊形的邊數(shù)應(yīng)該增加1.因?yàn)樾碌玫降亩噙呅蝺?nèi)角和是2520°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程得(n－2)×180°＝2520°，解得n＝16，新多邊形為十六邊形，所以原多邊形為十五邊形，故選B.答案：B【例9－3】如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和是2880°，那么原來的多邊形的邊數(shù)是()．A．10 B．9 C．8 D．7解析：現(xiàn)在的多邊形的內(nèi)角和是2880°，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式(n－2)×180°＝2880°，求出n＝18，所以原來的多邊形的邊數(shù)就是18÷2＝9，因此是九邊形，故選B.答案：B10.多邊形內(nèi)角和少算或多算一個(gè)角類型題目探索因?yàn)槎噙呅蔚倪厰?shù)只能是整數(shù)，由多邊形內(nèi)角和公式(n－2)×180°可知，n－2是正整數(shù)，所以多邊形的內(nèi)角和必定是180°的整數(shù)倍，因此：①當(dāng)所給內(nèi)角和是多計(jì)算一個(gè)角的情況時(shí)，用所給內(nèi)角和除以180°，因?yàn)槎嗉拥慕谴笥?°小于180°，所以得到的余數(shù)部分就是多加角的度數(shù)，得到的整數(shù)部分加2就是邊數(shù)；②當(dāng)所給內(nèi)角和是少計(jì)算一個(gè)角的情況時(shí)，因?yàn)樯偌恿私牵缘玫降恼麛?shù)部分加2比實(shí)際的角個(gè)數(shù)少1，所以用所給內(nèi)角和除以180°，整數(shù)部分加3才是邊數(shù)，180°減余數(shù)部分就是少加的角的度數(shù)．破疑點(diǎn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系內(nèi)角和除以180°所得到的整數(shù)并不是邊數(shù)(或角的個(gè)數(shù))n，而是n－2的值，所以得到的整數(shù)加2才是邊數(shù)，這是易錯(cuò)點(diǎn)，要注意．【例10－1】一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角之外，其余內(nèi)角之和為2670°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和少加的內(nèi)角的大小．分析：因?yàn)檫@個(gè)多邊形的內(nèi)角和少加了一個(gè)內(nèi)角，所以內(nèi)角和實(shí)際要大于2670°，并且加上這個(gè)角后就是180°的整數(shù)倍，2670°÷180°＝14……150°，所以n－2＝14，n＝16，因少加一個(gè)角，所以實(shí)際有16＋1＝17個(gè)角，所以邊數(shù)是17條，少加的內(nèi)角是180°－150°＝30°.解：因?yàn)?670°÷180°＝14……150°，所以n－2＝14＋1，n＝17.所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是17.少加的內(nèi)角是180°－150°＝30°.【例10－2】若多邊形所有內(nèi)角與它的一個(gè)外角的和為600°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和．分析：由已知可知，600°是多加了一個(gè)外角后的內(nèi)角和，減去多加的角就應(yīng)是180°的整數(shù)倍，因此600°÷180°＝3……60°，因此n－2＝3，所以n＝5，這個(gè)多邊形為五邊形，邊數(shù)是5，代入多邊形內(nèi)角和公式即可求出內(nèi)角和．因?yàn)槎嗉恿艘粋€(gè)角，并且多加的角是余數(shù)60°，也可以用600°減去余數(shù)(60°)得到內(nèi)角和度數(shù)．解：由題意，得600°÷180°＝3……60°，所以n－2＝3，n＝5.所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是5.所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180°×(5－2)＝540°.答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是5，內(nèi)角和是540°.11.3.1多邊形一、選擇題1.下列圖形中，是正多邊形的是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.長(zhǎng)方形D.正方形2.九邊形的對(duì)角線有（）A.25條B.31條C.27條D.30條3.如圖，下面四邊形的表示方法：①四邊形ABCD；②四邊形ACBD；③四邊形ABDC；④四邊形ADCB．其中正確的有（）第7題A．1種 B．2種 C．3種 D．4種第7題第3題第3題4.四邊形沒有穩(wěn)定性，當(dāng)四邊形形狀改變時(shí)，發(fā)生變化的是（）A．四邊形的邊長(zhǎng) B．四邊形的周長(zhǎng)C．四邊形的某些角的大小 D．四邊形的內(nèi)角和5.下列圖中不是凸多邊形的是（）ＡＡＢＣＤ6．把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個(gè)角，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來的形狀不可能是（）A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形7．如圖，木工師傅從邊長(zhǎng)為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木塊，那么正六邊形木板的邊長(zhǎng)為（）A．34cmB．32cmC．30cmD．28cm8．下列圖形中具有穩(wěn)定性的有（）A．正方形 B．長(zhǎng)方形C．梯形D．直角三角形二、填空題9．以線段a=7，b=8，c=9，d=11為邊作四邊形，可作_________個(gè).10．把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個(gè)角，剩下的部分是一個(gè)四邊形，則這張紙片原來的形狀不可能是_________邊形.11．在平面內(nèi)，由一些線段________________相接組成的_____________叫做多邊形。12．多邊形_________組成的角叫做多邊形的內(nèi)角。13．多邊形的邊與它的的鄰邊的__________組成的角叫做多邊形的外角。14．連接多邊形_________的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。15．_________都相等，_________都相等的多邊形叫做正多邊形。16．在四邊形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，BD=10cm，則四邊形ABCD的面積等于_________．17．將一個(gè)正方形截去一個(gè)角，則其邊數(shù)_________．18．如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是_________．三、解答題：教師備課札記19．（1）從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫_____條對(duì)角線，把四邊形分成了個(gè)三角形；四邊形共有____條對(duì)角線．教師備課札記（2）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫_____條對(duì)角線，把五邊形分成了個(gè)三角形；五邊形共有____條對(duì)角線．（3）從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫_____條對(duì)角線，把六邊形分成了個(gè)三角形；六邊形共有____條對(duì)角線．（4）猜想：①從100邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫_____條對(duì)角線，把100邊形分成了個(gè)三角形；100邊形共有___條對(duì)角線．②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫_____條對(duì)角線，把n分成了個(gè)三角形；n邊形共有_____條對(duì)角線．20．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于P，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD的面積為：S四邊形ABCD=AC?BD，并給予證明．解：添加的條件：_________21．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），確定這個(gè)四邊形的面積．22．四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)．只要善于觀察、樂于探索，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．（1）四邊形一條對(duì)角線上任意一點(diǎn)與另外兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，將四邊形分成四個(gè)三角形（如圖①），其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等．你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？試試看．已知：在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)．（如圖①）求證：S△OBC?S△OAD=S△OAB?S△OCD；（2）在三角形中（如圖②），你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫出你猜想的結(jié)論，并證明：若不能，說明理由．23．用兩個(gè)一樣大小的含30°角的三角板可以拼成多少個(gè)形狀不同的四邊形？請(qǐng)畫圖說明．

參考答案一、選擇題1．D2．C3．B4．C5．A6．A7．C8.D二、填空題9.無數(shù)10.六11．首尾順次，圖形12．相鄰兩邊13．延長(zhǎng)線14．不相鄰15．各邊，各角16．30cm217．3或4或518．（n+1）2－1或n2+2n三、解答題19．⑴1，2，2⑵2，3，5⑶3，4，9⑷①97，98，4750②n－3,n－2,20．解：添加的條件：AC⊥BD理由：解：條件：AC⊥BD，理由：∵AC⊥BD，∴，，∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ACB=+==．21．解：分別過B、C作x軸的垂線BE、CG，垂足為E，G．所以SABCD=S△ABE+S梯形BEGC+S△CGD=×3×6+×（6+8）×11+×2×8=94．22．證明：（1）分別過點(diǎn)A、C，做AE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線于E，CF⊥BD于F，則有：S△AOB=BO?AE，S△COD=DO?CF，S△AOD=DO?AE，S△BOC=BO?CF，∴S△AOB?S△COD=BO?DO?AE?CF，S△AOD?S△BOC=BO?DO?CF?AE，∴S△AOB?S△COD=S△AOD?S△BOC．；（2）能．從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊上任意一點(diǎn)的連線上任取一點(diǎn)，與三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線，將三角形分成四個(gè)小三角形，其中相對(duì)的兩對(duì)三角形的面積之積相等．或S△AOD?S△BOC=S△AOB?S△DOC，已知：在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，O為BD上一點(diǎn)，求證：S△AOD?S△BOC=S△AOB?S△DOC．證明：分別過點(diǎn)A、C，作AE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于E，作CF⊥BD于F，則有：S△AOD=DO?AE，S△BOC=BO?CF，S△OAB=OB?AE，S△DOC=OD?CF，∴S△AOD?S△BOC=OB?OD?AE?CF，S△OAB?S△DOC=BO?OD?AE?CF，∴S△AOD?S△BOC=S△OAB?S△DOC．23.解：四個(gè)．如圖所示：

11.3.2多邊形的內(nèi)角和一、選擇題1．（2012?鐵嶺）七邊形內(nèi)角和的度數(shù)是（）A．1080°B．1260°C．1620°D．900°2．（2013?長(zhǎng)沙）下列多邊形中，內(nèi)角和與外角和相等的是（）A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形3．（2013?寧波）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于72°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．5B．6C．7D．84．（2012?深圳）如圖所示，一個(gè)60°角的三角形紙片，剪去這個(gè)60°角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1+