2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)同步練習(含答案)

2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)同步練習(含答案)13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)一、選擇題（共8小題）1．如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA=5，則線段PB的長度為（）A．6B．5C．4D．3第1題圖第2題圖第5題圖2．如圖，AC=AD，BC=BD，則有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB3．下列說法中錯誤的是（）A．過“到線段兩端點距離相等的點”的直線是線段的垂直平分線B．線段垂直平分線的點到線段兩端點的距離相等C．線段有且只有一條垂直平分線D．線段的垂直平分線是一條直線4．到△ABC的三個頂點距離相等的點是△ABC的（）A．三邊垂直平分線的交點B．三條角平分線的交點C．三條高的交點D．三邊中線的交點5．如圖，∠ABC=50°，AD垂直平分線段BC于點D，∠ABC的平分線交AD于E，連接EC；則∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D．120°6．如圖，△ABC中，AD是BC的中垂線，若BC=8，AD=6，則圖中陰影部分的面積是（）A．48B．24C．12D．67．如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于E，交AC于F，交AB于D，連接BF．若BC=6cm，BD=5cm，則△BCF的周長為（）A．16cmB．15cmC．20cmD．無法計算8．如圖△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分線交AC于點D,交BC于點E，且∠EAB：∠CAE=3：1，則∠C=()A．28°B．25°C．22.5°D．20°第6題圖第7題圖第8題圖二、填空題（共10小題）9．到線段AB兩個端點距離相等的點的軌跡是_________．10．如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)是位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個休閑廣場，使廣場到三個小區(qū)的距離相等，則廣場應建在_________．第10題圖第12題圖第13題圖第14題圖11.在阿拉伯數(shù)字中，有且僅有一條對稱軸的數(shù)字是____________.12、如圖，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，則∠BCE=_________度．13、如圖，△ABC的周長為19cm，AC的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足，AE=3cm，則△ABD的周長為_________cm．14．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足為E，DE交AC于D，若△BDC的周長為16，則BC=_________．15．如圖，在△ABC中，∠B=30°，直線CD垂直平分AB，則∠ACD的度數(shù)為_____．16．已知如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于_________．17．如圖，AB=AC，AC的垂直平分線DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周長為15，則AC=_________．18．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分線分別交AB，AC于D，E兩點，連接CD．則∠BCD=_________度．第15題圖第16題圖第17題圖第18題圖三、解答題（共5小題）19．如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD于點O．（1）圖中有多少對全等三角形？請把它們都寫出來；（2）任選（1）中的一對全等三角形加以證明．20．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中點，且DE⊥AB，△BCE的周長為8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的長．21.如圖，已知：在中，AB、BC邊上的垂直平分線相交于點P.求證：點P在AC的垂直平分線上.22．如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求證：AD垂直平分EF．23．如圖，已知∠C=∠D=90°，AC與BD交于O，AC=BD．（1）求證：BC=AD；（2）求證：點O在線段AB的垂直平分線上．參考答案一、選擇題（共8小題）1．B2．A3．A4．A5．C6．C7．A8．A二．填空題（共10小題）9.線段AB的中垂線；10.三邊垂直平分線的交點處；11.3；12.50；3.13；14.615.60°；16.8；17.9；18.35°三．解答題（共5小題）19.（1）解：圖中有三對全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）證明△ABC≌△ADC．證明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD（中垂線的性質(zhì)），又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC．20.解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中點，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周長為8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．21.證明：∵P在AB、BC的垂直平分線上∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，∴P點在AC的垂直平分線上.22.證：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分EF（三線合一）23.證明：（1）∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA，∴AD=BC；（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上．第十四章生活中的軸對稱§14.1軸對稱知識要點1．軸對稱圖形和軸對稱（1）如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．（2）有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對稱軸．（3）有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點．兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱．

（4）圖形軸對稱的性質(zhì)：如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．（5）軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對稱的兩個圖形是全等形；軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形是全等形，并且成軸對稱．2．線段的垂直平分線（1）經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）．（2）線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個端點距離相等的所有點的集合．典型例題例：如圖，點D是△ABC中∠BAC的平分線和邊BC的垂直平分線DE的交點，DG⊥AB于點G，DH⊥AC交AC的延長線于點H，求證BG=CH．分析：由AD平分∠BAC及DG⊥AB、DH⊥AC可以得到DG=DH（角平分線的性質(zhì)），而DE是BC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得到BD=CD，于是可利用“HL”證明Rt△BDG≌Rt△CDH得到BG=CH．證明：連接BD、CD∵點D在∠BAC的平分線上，又DG⊥AB、DH⊥AC；∴DG=DH（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）∵DE是BC的垂直平分線∴DB=DC（線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）∵DG⊥AB、DH⊥AC∴∠BGD=∠CHD=90°在Rt△BDG和Rt△CDH中，∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL）∴BG=CH（全等三角形的對應邊相等）練習題(第一課時)一、選擇題1．下列說法錯誤的是（）A．關(guān)于某條直線對稱的兩個三角形一定全等;B．軸對稱圖形至少有一條對稱軸C．全等三角形一定能關(guān)于某條直線對稱;D．角是關(guān)于它的平分線對稱的圖形2．如圖，其中是軸對稱圖形的是（）3．如圖所示的圖案中，是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（）二、填空題4．把一個圖形沿某一條直線_________，如果它能夠與另一個圖形________，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線____________．5．如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做__________．6．觀察圖中的兩個圖案，是軸對稱圖形的是__________，它有________條對稱軸．7．如圖，△ABC與△AED關(guān)于直線1對稱，若AB=2cm，∠C=95°，則AE=____，∠D=___度．第9題8．坐標平面內(nèi)，點A和B關(guān)于x軸對稱，若點A到x軸的距離是3cm，則點B到x軸的距離是__________．第9題三、解答題9．上圖中的圖形都是軸對稱圖形，請你試著畫出它們的對稱軸．10．如圖，△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對稱．BC與DE的交點F在直線MN上．①指出兩個三角形中的對稱點；②指出圖中相等的線段和角；③圖中還有對稱的三角形嗎？四、探究題11．如圖，把一張紙片對折后，用筆尖在紙上扎出圖（3）所示的圖案，將紙打開后鋪平，觀察你所得的圖案．位于折痕兩側(cè)的部分有什么關(guān)系？與同伴交流你的想法．答案:1．C2．B3．D4．折疊；重合；對稱5．軸對稱圖形6．（2）67．2cm；958．3cm9．略10．①A與A，B與D，C與E是對稱點；②AB=AD、AC=AE、BC=DE、BF=DF、EF=CF；③△AEF與△ACF11．折痕兩側(cè)的部分關(guān)于折痕軸對稱練習題(第二課時)一、選擇題1．點P是△ABC中邊AB的垂直平分線上的點，則一定有（）A．PA=PBB．PA=PCC．PB=PCD．點P到∠ACB的兩邊的距離相等2．下列說法錯誤的是（）A．D、E是線段AB的垂直平分線上的兩點，則AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，則直線DE是線段AB的垂直平分線C．若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上D．若PA=PB，則過點P的直線是線段AB的垂直平分線3．在銳角△ABC內(nèi)一點P滿足PA=PB=PC，則點P是△ABC（）A．三條角平分線的交點B．三條中線的交點C．三條高的交點D．三邊垂直平分線的交點4．△ABC中AC>BC，邊AB的垂直平分線與AC交于點D，已知AC=5，BC=4，則△BCD的周長是（）A．9B．8C．7D．65．平面內(nèi)到不在同一條直線的三個點A、B、C的距離相等的點有（）A．0個B．1個C．2個D．3個二、填空題6．經(jīng)過線段的___________________的直線，叫做這條線段的垂直平分線．7．線段的垂直平分線上的點_______________________________；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的____________________上，因此線段的垂直平分線可以看成___________________的集合．8．線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是____________________．9．如圖1，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中點，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周長是24cm，則BC=_________．(1)(2)10．如圖1，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，若△ABC與△EBC的周長分別是26cm、18cm，則AC=_________．三、解答題:11．△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線交于點P，求證：點P在BC的垂直平分線上．12．如圖2，直線AD是線段BC的垂直平分線，求證：∠ABD=∠ACD.四、探究題13．如圖，△ABC中∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求證：直線AD是CE的垂直平分線．答案:1．A2．D3．D4．A5．B6．中點并且垂直于這條線段7．與這條線段兩個端點的距離相等；垂直平分線；與線段兩個端點距離相等的所有點8．這條線段的垂直平分線或這條線段所在的直線9．10cm10．811．證明PB=PC12．證明△ABD≌△ACD（SSS）13．證明AE=AC，DE=DC練習題(第三課時)一、選擇題1．如圖所示的標志中，是軸對稱圖形的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個2．如圖是用紙折疊成的圖案，其中是軸對稱圖形的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個3．剪紙是中國的民間藝術(shù)，剪紙的方法很多，下面是一種剪紙方法的圖示（如圖1，先將紙折疊，然后再剪，展開即得到圖案）：圖2中的四個圖案，不能用上述方法剪出的是（）(1)(2)二、填空題:4．軸對稱圖形中任意一組對應點的連線段的__________________是該圖形的對稱軸．5．如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的__________．6．角是軸對稱圖形，其對稱軸是________________________所在的直線．7．平面內(nèi)兩點A、B關(guān)于____________________________對稱．三、解答題:8．如圖，已知△ABC，請用直尺與圓規(guī)作圖，將三角形的面積兩等分．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）9．已知圖中的圖形都是軸對稱圖形，請你畫出它們的對稱軸．10．如圖，已知點M、N和∠AOB，求作一點P，使P到點M、N的距離相等，且到∠AOB的兩邊的距離相等．四、探究題11．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線m對稱．（1）結(jié)合圖形指出對稱點．（2）連接A、A′，直線m與線段AA′有什么關(guān)系？（3）延長線段AC與A′C′，它們的交點與直線m有怎樣的關(guān)系？其它對應線段（或其延長線）的交點呢？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，請敘述出來與同伴交流．答案:1．C2．C3．D4．垂直平分線5．垂直平分線6．角的平分線7．線段AB的垂直平分線8．略9．略10．作線段MN的垂直平分線和∠AOB的平分線，它們的交點即點P11．①m⊥AA′；③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．14.1軸對稱（1）【知能點分類訓練】知能點1軸對稱圖形1．圖中的圖形都可以看成軸對稱圖形，其中只有1條對稱軸的是______，有3條對稱軸的是_______，有2條對稱軸的是______．（只要求寫圖形序號）2．數(shù)軸上絕對值相同的不同兩點關(guān)于_________對稱．3．下列選項中右邊圖形與左邊圖形成軸對稱的是（）．4．如圖，下面四個圖形中，有一個不是軸對稱圖形，它是（）．5．圖中有兩條對稱軸的是（）．A．（1）和（3）B．（3）和（4）C．（4）和（6）D．（4），（5）和（6）6．下圖中的軸對稱圖形有（）．A．（1），（2）B．（1），（4）C．（2），（3）D．（3），（4）7．下圖中的四個圖案，是軸對稱圖形的有（）．A．4個B．3個C．2個D．1個知能點2成軸對稱圖形8．如圖所示，哪一個選項的右邊圖形與左邊圖形成軸對稱？【綜合應用提高】9．如圖，下圖中的兩個四邊形關(guān)于某直線對稱，根據(jù)圖形提供的條件，求x，y的值．10．如圖所示，某地某日下午3時發(fā)生了一起案件，警察很快抓住了犯罪嫌疑人，但此人提供了不在現(xiàn)場的證據(jù)，一張當天下午3時他在鐘樓游覽時的照片．照片上的大鐘指針正指向下午3時，但熟悉周圍環(huán)境的警察卻發(fā)現(xiàn)照片并不是下午3時照的，你知道是什么時間照的嗎？為什么？11．如圖，從軸對稱的角度來看，你覺得哪一個圖形比較獨特？簡單說明你的道理．【開放探索創(chuàng)新】12．小明家中客廳的南北長度是6m，在客廳西墻上裝了一面很大很大的鏡子，客廳的門在東墻．某日小敏去小明家，剛進門就說：“呀，你家客廳好大呀，估計有50多平方米吧？”小說：“沒有，不足30平方米．”請你解釋，兩人的估算怎么會差別如此之大？究竟誰說錯了呢？答案:1．（1）（2）（3）2．原點3．C4．A5．C點撥：（1）有無數(shù)條對稱軸；（2）有5條對稱軸；（3）有無數(shù)條對稱軸；（5）有1條對稱軸．6．B點撥：（2），（3）是中心對稱圖形．7．A8．D，F(xiàn)的右邊與左邊成軸對稱．9．x=40°，y=3．10．犯罪嫌疑人的照片是反著沖洗的，故將上午9時變成了下午3時．11．丁比較獨特，丁圖形有無數(shù)條對稱軸，而其他圖形只有兩條對稱軸．12．都對，小敏把鏡子里看到的都算在一起了，小明說的是實際面積．14.1軸對稱（2）【知能點分類訓練】知能點1線段的垂直平分線1．如圖1，MN既是線段AB的垂直平分線，也是線段CD的垂直平分線，則線段AC_____BD．（填“>”、“＝”或“<”）(1)(2)(3)2．一條線段的垂直平分線必定經(jīng)過這條線段的________點，一條線段只有____條垂直平分線．3．有下列說法：①對稱軸上沒有對稱點；②如果△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線L對稱，那么S△ABC=S△A`B`C`；③如果線段AB=A′B′，直線L垂直平分AA′，則AB和A′B′關(guān)于直線L對稱；④射線不是軸對稱圖形．A．②B．①④C．②④D．②③知能點2線段垂直平分線的性質(zhì)4．如果線段AB的垂直平分線與AB相交于點D，C是垂直平分線上任意一點，那么AC與CD的大小關(guān)系是________．5．如圖2所示，用兩根鋼索加固直立的電線桿，若要使鋼索AB與AC的長度相等，需加________條件，理由是_________．6．如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿著過點B的一條直線BE折疊△ABC使點C恰好落在AB邊的中點D處，則∠A的度數(shù)等于________．7．如圖4所示，CD是AB的垂直平分線，若AC=1.6cm，BD=2.3cm，則四邊形ABCD的周長是（）．A．3.9cmB．7.8cmC．4cmD．4.6cm(4)(5)8．如圖5，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于D，連接AD，若∠CAD=20°，則∠B=（）．A．20°B．30°C．35°D．40°知能點3畫軸對稱圖形的對稱軸9．畫出下面各軸對稱圖形所有的對稱軸．10．利用圖形中的對稱點，畫出圖形的對稱軸．【綜合應用提高】11．如圖，在△ABC中，BC=10，邊BC的垂直平分線交AB，BC于E，D，BE=6，求△BEC的周長．12．如圖所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長為13cm，求△ABC的周長．【開放探索創(chuàng)新】13．如圖所示，AB=AC，DB=DC，E是AD延長線上的一點，BE是否與CE相等？試說明理由．14．如圖所示，已知AB比AC長2cm，BC的垂直平分線交AB于D，交BC于E，△ACD的周長是14cm，求AB和AC的長．答案:1．=點撥：該圖形是軸對稱圖形，AC與BD是對應線段．2．中點一3．A4．相等5．BD=DC線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等6．30°點撥：△AED≌△BED≌△BEC．∴∠A=∠2=∠1．又∵∠A+∠2+∠1=90°，∴∠A=30°．7．B8．C9．圖略10．圖略11．解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE．∵BE=6，∴CE=6，∴△BEC周長=BE+CE+BC=6+6+10=22．12．解：DE是AC的垂直平分線．∴AD=CD，AC=2AE=6cm．又∵△ABD的周長=AB+BD+AD=13cm．∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm．∴△ABC的周長=AB+BC+AC=13+6=19cm．13．解：連接BC，∵AB=AC．∴點A在線段BC的垂直平分線上．同理，D點也在線段BC的垂直平分線上，∵兩點確定一條直線，∴AD是線段BC的垂直平分線．∵E是AD延長線上的一點，∴BE=EC．14．解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．∵AC+AD+DC=14cm，∴AC+AD+BD=14cm，即AC+AB=14cm．又∵AB-AC=2cm，設(shè)AB=xcm，AC=ycm．根據(jù)題意，得答：AB長為8cm，AC長為6cm．14.1軸對稱點擊要點判定一個圖形是不是軸對稱圖形的方法是_________．判定兩個圖形是否關(guān)于某條直線對稱的方法是_________；對應點所連線段與對稱軸的關(guān)系是__________；線段垂直平分線上的點與_________的距離相等；與一條線段兩個端點的距離相等的點在_________上．例題如圖所示，△ABC中，EF是AB的垂直平分線，M，N是BC的垂直平分線，EF與MN相交于點O，求證點O必在AC的垂直平分線上．[分析]從問題的結(jié)論出發(fā)，若O在AC的垂直平分線上，需證OA=OC，由已知EF垂直平分AB，MN垂直平分BC，可得OA=OB，OB=OC，則可證出OA=OC．證明：連接AO，BO，CO，因為EF垂直平分AB，O在EF上，所以O(shè)A=OB，又因為MN垂直平分BC，O在MN上，所以O(shè)B=OC，所以O(shè)A=OC，所以點O必在AC的垂直平分線上．[老師點評]解答本節(jié)習題應把握以下幾個方面：（1）軸對稱來源于現(xiàn)實生活，所以軸對稱的知識也能解決現(xiàn)實生活中的具體問題．（2）要區(qū)別軸對稱和軸對稱圖形這兩個概念．（3）要注意對稱軸總是一條直線，而不是線段．中考展望中考對這部分知識的基本要求是：能正確判斷出軸對稱圖形，以及用垂直平分線的兩條結(jié)論證明線段相等．多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)．今后的中考題也可能圍繞軸對稱出一些開放探索性的題目．隨堂測評（時間：40分鐘滿分：100分）一、訓練平臺（1～5小題每題4分，6～7小題每題8分，共36分）1．下列圖形中，不一定是軸對稱圖形的是（）A．線段B．角C．有一個內(nèi)角是45°的三角形D．正方形2．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）3．下列英文字母中，是軸對稱圖形的是（）SETQURAN①②③④⑤⑥⑦⑧A．①②③④B．②②⑤⑦B．①②③⑤⑦D．②③⑤⑦⑧4．線段的中垂線是（）A．直線B．線段C．射線D．以上都不對5．長方形有________條對稱軸．6．請畫