2024北京海淀初三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

第1頁/共1頁2024北京海淀初三（上）期末數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共7頁，共兩部分，28道題，滿分100分．考試時(shí)間120分鐘．2．在試卷和答題紙上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、姓名和準(zhǔn)考證號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題紙上，在試卷上作答無效．4．在答題紙上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答．第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．下圖為部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為1，則的值為（）A.3 B.0 C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線如圖所示，則關(guān)于的方程的根的情況為（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.有實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根5.如圖，在中，為直徑，，為圓上的點(diǎn)，若，則的大小為（）A. B. C. D.6.如圖，的半徑為2，將的內(nèi)接正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一次與自身重合時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為（）A.2 B. C. D.7.林業(yè)部門考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：移植總數(shù)1027075015003500700014000成活數(shù)823566213353180629212628成活的頻率結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列說法正確的是（）A.若移植10棵幼樹，成活數(shù)將為8棵B.若移植270棵幼樹，成活數(shù)不會(huì)超過235棵C.移植的幼樹越多，成活率越高D.隨著移植總數(shù)的增加，幼樹移植成活的頻率總在0.900左右擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)該幼樹在同等條件下移植成活的概率為0.9008.如果一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有一邊的長度等于半徑，那么稱其為該圓的“半徑三角形”．給出下面四個(gè)結(jié)論：①一個(gè)圓的“半徑三角形”有無數(shù)個(gè)；②一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形；③當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是，或；④若一個(gè)圓的半徑為，則它的“半徑三角形”面積最大值為．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向下平移1個(gè)單位，得到的拋物線表達(dá)式為________．10.如圖，由個(gè)相同的正方形組成的十字形紙片沿直線和剪開后重組可得到矩形，那么②可看作①通過一次________得到（填“平移”“旋轉(zhuǎn)”或“軸對稱”）．11.若關(guān)于的一元二次方程有整數(shù)根，則整數(shù)的值可以是________（寫出一個(gè)即可）．12.已知是的二次函數(shù)，表中列出了部分與的對應(yīng)值：01201則該二次函數(shù)有________（填“最小值”或“最大值”）．13.“青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個(gè)竹筒水容器，圖為該竹筒水容器的截面．已知截面的半徑為，開口寬為，這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是________．14.如圖，，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，．若的半徑為3，則圖中陰影部分的面積為________（結(jié)果保留）．15.如圖，將面積為25的正方形的邊的長度增加，變?yōu)槊娣e為22的矩形．若正方形和矩形的周長相等，則的值是________．16.小云將9張點(diǎn)數(shù)分別為的撲克牌以某種分配方式全部放入，兩個(gè)不透明的袋子中（每個(gè)袋子至少放一張撲克牌），從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)抽取一張撲克牌，將兩張撲克牌的點(diǎn)數(shù)之和為這一事件的概率記為．（1）若將點(diǎn)數(shù)為1和2的撲克牌放入袋，其余撲克牌放入袋，則________；（2）對于所有可能的分配方式以及所有的，的最大值是________．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，20題6分，第21-23題，每題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.解方程：．18.已知，求代數(shù)式的值．19.如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)在的延長線上．求證：．20.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若為符合條件的最小整數(shù)，且該方程的較大根是較小根的2倍，求的值．21.如圖，是外一點(diǎn)，與相切，切點(diǎn)為．畫出的另一條切線，切點(diǎn)為．小云的畫法是：①連接，過點(diǎn)畫出的垂線交于點(diǎn)；②畫出直線．直線即為所求．（1）根據(jù)小云的畫法，補(bǔ)全圖形；（2）補(bǔ)全下面的證明．證明：連接，．，，垂直平分，．．．．是的切線，為切點(diǎn)，．．．于點(diǎn)．是的半徑，是的切線（）（填推理的依據(jù)）．22.不透明袋子中裝有1個(gè)紅球，1個(gè)綠球和2個(gè)黃球，這些球除顏色外無其他差別．（1）從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球是黃球的概率為________；（2）從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球后，不放回，再從剩余的球中隨機(jī)摸出一個(gè)．請利用列表或畫樹狀圖的方法，求摸出的兩個(gè)球恰好是一個(gè)紅球和一個(gè)黃球的概率．23.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)與軸垂直的直線與拋物線交于點(diǎn)，，其中，與直線交于點(diǎn)．若，直接寫出的取值范圍．24.如圖，在邊長為的正方形各邊上取點(diǎn)，，，（可與，，，重合），使得四邊形為正方形．設(shè)為，正方形的面積為．（1）關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是________，自變量的取值范圍是________；（2）在下面的平面直角坐標(biāo)系中，畫出（1）中函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)________時(shí)，正方形面積有最小值________．25.如圖，為半圓的直徑，點(diǎn)，在半圓上，直線與半圓相切于點(diǎn)，．（1）若，求的大小（用含的式子表示）；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的長．26.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．設(shè)拋物線的對稱軸為直線．（1）當(dāng)時(shí)，①直接寫出與滿足的等量關(guān)系；②比較，的大小，并說明理由；（2）已知點(diǎn)在該拋物線上，若對于，都有，求的取值范圍．27.如圖，在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，．（1）求證：；（2）連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，．①依題意補(bǔ)全圖形；②若，求的大小．28.在平面直角坐標(biāo)系中，將中心為的正方形記作正方形，對于正方形和點(diǎn)（不與重合）給出如下定義：若正方形的邊上存在點(diǎn)，使得直線與以為半徑的相切于點(diǎn)，則稱點(diǎn)為正方形的“伴隨切點(diǎn)”．（1）如圖、正方形的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，．①在點(diǎn)，，中，正方形的“伴隨切點(diǎn)”是；②若直線上存在正方形的“伴隨切點(diǎn)”，求的取值范圍；（2）已知點(diǎn)，正方形的邊長為．若存在正方形的兩個(gè)“伴隨切點(diǎn)”，，使得為等邊三角形，直接寫出的取值范圍．

參考答案第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.【答案】A【分析】本題考查中心對稱圖形的識別，掌握把圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能和自身重合的圖形是中心對稱圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】A.是中心對稱圖形，符合題意；B.不是中心對稱圖形，不符合題意；C.不是中心對稱圖形，不符合題意；D.不是中心對稱圖形，不符合題意；故選A．2.【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】∵拋物線，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：，故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，此題型是中考查重點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握.3.【答案】A【分析】把代入，轉(zhuǎn)化為m的方程求解即可．本題考查了方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，轉(zhuǎn)化求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】把代入，得，解得，故選A．4.【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與一元二次方程的關(guān)系；依題意，關(guān)于的方程的根即拋物線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：依題意，與無交點(diǎn)，即關(guān)于的方程的根的情況為沒有實(shí)數(shù)根，故選：D．5.【答案】D【分析】本題考查了圓周角定理，由直徑所對的圓周角是得出，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余結(jié)合圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】∵在中，為直徑，∴，∵，∴，故選D．6.【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，解題的關(guān)鍵是求出第一次重合的旋轉(zhuǎn)角，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的內(nèi)接正六邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一次與自身重合時(shí)旋轉(zhuǎn)角為，∴點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為，故選C．7.【答案】D【分析】題考查了利用頻率估計(jì)概率，概率的意義．概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率．【詳解】解：∵概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率，∴所以這種幼樹移植成活率的概率約為，故選D．8.【答案】C【分析】根據(jù)圓的“半徑三角形”的概念判斷①②；根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的概念判斷③；根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理求出，求出的最大面積，判斷④．【詳解】如圖，，即的長度等于半徑，，即的長度等于半徑，以為邊的圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個(gè)，故①結(jié)論正確；為等邊三角形，，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，可能是，一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形，直角三角形或鈍角三角形，故②正確；由以上可知，可以是或，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是，或，故③正確；過作于，，，當(dāng)點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，，故④錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解本題的關(guān)鍵．第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象平移規(guī)律是：左加右減，上加下減．【詳解】解：拋物線向下平移1個(gè)單位，得到的拋物線表達(dá)式為，故答案為：．10.【答案】旋轉(zhuǎn)【分析】本題考查幾何變換類型，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：觀察圖形可知，②可看作①繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故答案為：旋轉(zhuǎn)．11.【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了直接開平方法解方程，答案不唯一，【詳解】一元二次方程有整數(shù)根，則整數(shù)，故答案為：1（答案不唯一）．12.【答案】最大值【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的最值判斷，設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意，得，解得，根據(jù)解析式判斷即可．【詳解】，設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意，得，解得，故解析式為，∵，∴拋物線有最大值，故答案為：最大值．13.【答案】【分析】連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)而可得出的長．本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，如圖所示：∵，∴，由題意得：，在中，，∴，即水的最大深度為，故答案為：．14.【答案】【分析】題考查了切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，扇形的面積．先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到，再根據(jù)扇形面積公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是的兩條切線，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．15.【答案】【分析】本題考查了矩形、正方形的性質(zhì)，一元二次方程的解法等．根據(jù)正方形的面積可得正方形的邊長為，再根據(jù)正方形和矩形的周長相等，可得，再由矩形的面積建立方程求解即可得出答案．【詳解】∵正方形的面積為，∴正方形的邊長為，由題意得：，∵正方形和矩形的周長相等，，，∵矩形的面積為，，即，解得：，，，故答案為：16.【答案】①.②.【分析】本題考查列表法或樹狀圖法求簡單隨機(jī)事件發(fā)生的概率，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵.（1）用列表法表示將點(diǎn)數(shù)為和的撲克牌放入袋，其余撲克牌放入袋，從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)抽取一張撲克牌，將兩張撲克牌的點(diǎn)數(shù)之和為的所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再由概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）用列表法表示將點(diǎn)數(shù)為和的撲克牌放入袋，其余撲克牌放入袋，從兩個(gè)袋子中各隨機(jī)抽取一張撲克牌，將兩張撲克牌的點(diǎn)數(shù)之和為的所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：34567891456789102567891011共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩張撲克牌的點(diǎn)數(shù)之和為的有種，所以兩張撲克牌的點(diǎn)數(shù)之和為8的概率，即，故答案為：；（2）當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，袋中、袋中各含有個(gè)數(shù)、個(gè)數(shù)，此時(shí)共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果,兩張撲克牌的點(diǎn)數(shù)之和為出現(xiàn)的次數(shù)最多為次,因此的最大值為，故答案為：．三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，20題6分，第21-23題，每題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分）解答寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.【答案】【分析】利用公式法求解即可．本題考查了解方程，選擇適當(dāng)解方程的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴，解得．18.【答案】8【分析】本題考查了已知式子的值，求代數(shù)式的值及完全平方公式，正確變形，整體代入計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∴．19.【答案】見解析【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，即可得到，，根據(jù)等邊對等角得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∴，∴，∴．20.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)方程的根的判別式即可．（2）根據(jù)根的判別式，結(jié)合根的整數(shù)性質(zhì)，根與系數(shù)關(guān)系定理，解答即可，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】∵方程，，∴，∴，解得．【小問2詳解】∵的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，且，∴，∵，∴，∵為符合條件的最小整數(shù)，∴，∴，∴，解得，∴或，∴或（舍去），故．21.【答案】(1)見解析(2)，，過半徑的外端點(diǎn)并垂直于半徑的直線是圓的切線【分析】本題考查了切線的基本作圖，切線的證明．(1)根據(jù)垂線的基本作圖，作圖即可．(2)根據(jù)切線的判定證明即可．【詳解】(1)根據(jù)垂線的基本作圖，作圖如下：直線即為所求．(2)證明：連接，．，，垂直平分，．．．．是的切線，為切點(diǎn)，．．．于點(diǎn)．是的半徑，是的切線（過半徑的外端點(diǎn)并垂直于半徑的直線是圓的切線）．故答案為：，，過半徑的外端點(diǎn)并垂直于半徑的直線是圓的切線．22.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了概率公式計(jì)算，畫樹狀圖法計(jì)算，正確選擇方法是解題的關(guān)鍵．(1)利用公式計(jì)算即可．(2)不放回型的概率計(jì)算，利用畫樹狀圖法計(jì)算即可．【小問1詳解】一共有4種等可能性，摸出的球是黃球有2種等可能性，故摸出的球是黃球的概率為，故答案為：．【小問2詳解】根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：一共有12種等可能性，其中，摸出的兩個(gè)球恰好是一個(gè)紅球和一個(gè)黃球的等可能性有4種．故摸出的兩個(gè)球恰好是一個(gè)紅球和一個(gè)黃球的概率是．23.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的性質(zhì)求字母的范圍．（1）把點(diǎn)，分別代入解析式，聯(lián)立構(gòu)成方程組，解答即可．（2）利用數(shù)形結(jié)合思想，解答即可．【小問1詳解】把點(diǎn)，分別代入，得，解得，故拋物線的解析式為．【小問2詳解】根據(jù)題意，得點(diǎn)N在A，B之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足了，此時(shí)函數(shù)值，故．24.【答案】（1），（2）見解析（3）2；8【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）由正方形的性質(zhì)得到，證明，得到，則，利用勾股定理得到，則；（2）根據(jù)（1）所求畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：∵四邊形為正方形，四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：，；【小問2詳解】解；如圖所示函數(shù)圖象即為所求；【小問3詳解】解：，∴當(dāng)時(shí)，最小，最小值為8，∴當(dāng)時(shí)，正方形面積有最小值，故答案為：2；8．25.【答案】（1）（2）【分析】(1)根據(jù)得，結(jié)合圓周角定理，得到，求解即可．(2)根據(jù)得，結(jié)合圓周角定理，得到，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求解即可．【小問1詳解】∵，∴，∴．【小問2詳解】根據(jù)(1)的證明，得，∵，，∴，∵直線與半圓相切于點(diǎn)，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∵，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，特殊角的正切值，熟練掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．26.【答案】（1）①②（2）【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）①利用對稱軸公式求得即可；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；（2）由題意可知點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，點(diǎn)到對稱軸的距離大于點(diǎn)到對稱軸的距離，據(jù)此即可得到，解得【小問1詳解】①，∴；②∵拋物線中，，∴拋物線開口向上，∵點(diǎn)點(diǎn)在拋物線上，對稱軸為直線，∴點(diǎn)到對稱軸的距離大于點(diǎn)到對稱軸的距離，∴；【小問2詳解】由題意可知，點(diǎn))在對稱軸的左側(cè),點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，，都有，∴點(diǎn)到對稱軸的距離大于點(diǎn)到對稱軸的距離，，解得，∴的取值范圍是．27.【答案】（1）見解析（2）①見解析②【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對等角得到，進(jìn)而得到再根據(jù)等校對等邊即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)圖即可；②延長至點(diǎn)，使，連接，則四邊形是平行四邊形，然后推導(dǎo)，得到，然后得到，即可得到結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵，∴，又∵，∴∴；【小問2詳解】①如圖所示,②延長至點(diǎn)，使，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，