安徽省亳州市2024屆高三上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省毫州市2024屆高三上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.2.已知復數(shù)，則“”是“的實部小于0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為若其實部小于0，則，即，顯然是的必要不充分條件，則“”是“的實部小于0”的必要不充分條件，故選：B.3.如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（）A.140 B.240 C.280 D.320【答案】C【解析】由已知得，所以，因為第五組的員工人數(shù)為80，所以第二組的員工人數(shù)為.故選：C.4.在等差數(shù)列中，已知，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】設(shè)的公差為.由已知可得，所以，則.故選：B.5.如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，已知為棱的中點，分別在棱上，，記四棱錐，三棱錐與三棱錐的體積分別為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.6.已知直線和曲線，當時，直線與曲線的交點個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無法確定【答案】B【解析】直線的方程可化為，所以直線恒過點，曲線即，表示圓心為坐標原點，半徑為3的圓的上半部分（如圖），由圖可知，當時，直線與曲線的交點個數(shù)為1.故選：B.7.在三棱錐中，已知，平面平面，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】分別取的中點為，連接.因為，所以,則,又則,又平面平面，平面平面，，則,平面，所以平面，又平面,所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,故為二面角的平面角，所以，所以，三棱錐外接球的球心在直線上.設(shè)，則，即，解得（負值舍），所以三棱錐外接球的半徑為，表面積為.故選：A.8.當時，函數(shù)在上的零點的個數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】令，則，即.構(gòu)造函數(shù)，則問題等價于討論方程的根的個數(shù).因為函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，故問題進一步等價于討論方程的根的問題，即可轉(zhuǎn)化為根的問題，即等價于當時，函數(shù)與直線在上交點個數(shù).因為函數(shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)單調(diào)遞增，故.又因為當時，所以當時，方程只有一根，所以函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1.故選：D二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知向量滿足，且，則的坐標可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】設(shè)為坐標原點，則由可知三點共線，且在之間，選項A：，，與不平行，選項A錯誤；選項B：，，與平行，且在之間，選項B正確；選項C：，，與平行，且在之間，選項C正確；選項D：，，與平行，但不在之間，選項D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象關(guān)于點對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】設(shè)的最小正周期為，由圖象可得到，故，因為，所以，解得，故A正確；將代入，得，則，解得，因為，所以當時，，所以，故B錯誤；因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD11.將正數(shù)用科學記數(shù)法表示為，則，我們把，分別叫做的首數(shù)和尾數(shù)，若將的首數(shù)記為，尾數(shù)記為，則下列說法正確的是（）A.B.是周期函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，若，必有，不可能存在非零常數(shù)，使得恒成立，不符合周期函數(shù)的定義，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，若10，則，若，則，所以，故C正確；對于D，設(shè)同選項，若，則，若，則，所以，故D錯誤.故選：AC12.已知拋物線的焦點到點的距離為，直線經(jīng)過點，且與交于點（位于第一象限），為拋物線上之間的一點，為點關(guān)于軸的對稱點，則下列說法正確的是（）A.B.若的斜率為1，則當?shù)降木嚯x最大時，（為坐標原點）為直角三角形C.若，則的斜率為3D.若不重合，則直線經(jīng)過定點【答案】ABD【解析】對于A，因為拋物線的焦點的坐標為，由已知得，解得，故A正確；對于B，當?shù)降木嚯x最大時，以為切點的的切線斜率也為1，因為，所以只需考慮，則，令，得，則，則此時，又的坐標為，所以軸，所以為直角三角形，故B正確；對于C，如圖，設(shè)的準線為，過點分別作，過點作，當時，設(shè)，所以，所以，即的斜率為，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，設(shè)的方程為，代入，得0，易得，所以，直線的方程為，則，所以經(jīng)過定點，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線的斜率為2，且與曲線相切，則的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)，令，得，則切點為，故所求的方程為.故答案為：.14.已知隨機變量，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因，所以，所以.故答案為：.15.已知，則__________.【答案】【解析】將兩式平方,相加得，即，因為，所以，所以.故答案為：16.已知橢圓的左?右焦點分別為為坐標原點，點在上，且，則__________.【答案】【解析】由題意知橢圓方程為，則，設(shè)，則，而，由余弦定理得，即，所以.因為O為的中點，故，所以，，所以，即，故答案為：四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，點在邊上，，且，求.解：（1）因為，由余弦定理得，整理得，所以，因為，所以.（2）由題意知，所以，由（1）的過程可得，代入的值整理得，解得或.當時，，此時為鈍角，不符合條件，當時，，符合條件，所以.18.記正項等比數(shù)列?等差數(shù)列的前項和分別為，已知，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)集合，求中元素的個數(shù).解：（1）設(shè)的公比為的公差為，因為，所以，解得或（舍去），所以.因為，所以，即，因為，所以，所以.（2）因為，所以，因為，從四個數(shù)中任取兩個數(shù)（可重復）有種取法，易知不同取法中的兩個數(shù)之和都互不相等，故集合中的元素有10個.19.如圖，直四棱柱的棱長均為為棱的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.證明：（1）在直四棱柱中，平面，而平面，所以，因為四棱柱的各棱長均相等，故四邊形是菱形，所以，又因為，，所以平面.因為平面，所以平面平面.解：（2）設(shè)與的交點為，則，根據(jù)直四棱柱可以為坐標原點，所在直線為軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標系.易知，則.設(shè)平面的法向量為，則即，取.設(shè)平面法向量為，則即，取.因為，所以二面角的正弦值為.20.小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張需要通過“抽小球”的方式?jīng)Q定要答的題目難度類型：一個箱子里裝有質(zhì)地?大小一樣的5個球，3個標有字母A，另外2個標有字母B，小張從中任取3個小球，若取出的A球比B球多，則答A類題，否則答B(yǎng)類題.（1）設(shè)小張抽到A球的個數(shù)為X，求X的分布列及.（2）已知A類題里有4道論述題和1道計算題，B類題里有3道論述題和2道計算題，小張確定題目的難度類型后需要從相應(yīng)題目中任選一道題回答.（i）求小張回答論述題的概率；（ii）若已知小張回答的是論述題，求小張回答的是A類題的概率.解：（1）的所有可能取值為，所以的分布列為123故.（2）記事件“小張回答類題”，“小張回答類題”，“小張回答論述題”.（i）由（1）知，由題意知，所以.（ii），所以.21.已知函數(shù).（1）若，求的極小值；（2）若對任意的和，不等式恒成立，求的最大值.解：（1）當時，，所以，易知在上單調(diào)遞增，且，所以當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值.（2）因為，所以恒成立等價于恒成立.設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，且當時，，當時，，所以在內(nèi)存在唯一零點，即，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，所以.結(jié)合式，可知：，當且僅當時取等號，即當時，的最小值為2，要使恒成立，須，即的最大值為2.22.已知雙曲線經(jīng)過點，直線與交于