安徽省合肥市普通高中聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市普通高中聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得經(jīng)過，兩點的直線的斜率為，而直線傾斜角范圍為，故經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為，故選：C2.已知向量，，則向量（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.3.在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】因為是等差數(shù)列，，，所以，即，解得.故選：B.4.如果直線與互相垂直，那么a的值等于（）A.－1 B. C. D.2【答案】C【解析】因為直線與互相垂直，所以，解得.故選：C.5.直線被圓截得的弦長為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】由題意可得圓的圓心為O(0,0)，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：B.6.大衍數(shù)列來源于乾坤譜中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，則該數(shù)列第18項為A.200 B.162 C.144 D.128【答案】B【解析】偶數(shù)項分別為2，8，18，32，50，即，，，，，即偶數(shù)項對應的通項公式為，則數(shù)列的第18項為第9個偶數(shù)即，故選B．7.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以D點為坐標原點，以DA、DC、所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）∴=（-2，0，1），=（-2，2，0），且為平面BB1D1D的一個法向量．∴．∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為8.如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()A B. C. D.3【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的定義，可得|是等邊三角形，即即，又∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，即解之得由此可得雙曲線C的離心率故選C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.滿足下列條件的數(shù)列是遞增數(shù)列的為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】A．因為，所以是遞減數(shù)列；B．因為，所以是遞增數(shù)列；C．因為，所以是遞減數(shù)列；D．因為，所以是遞增數(shù)列；故選：BD.10.下列說法正確的是（）A.直線必過定點B.直線在y軸上截距為1C.過點且垂直于直線的直線方程為D.直線的傾斜角為120°【答案】AC【解析】對于A，由直線方程，整理可得，當時，，故A正確；對于B，將代入直線方程，可得，解得，故B錯誤；對于C，由直線方程，則其垂線的方程可設為，將點代入上式，可得，解得，則方程為，故C正確；對于D，由直線方程，可得其斜率為，設其傾斜角為，則，解得，故D錯誤.故選：AC.11.已知曲線C：，則（）A.存在m，使C表示圓B.當時，則C的漸近線方程為C.當時，則C的焦點是，D.當C表示雙曲線時，則或【答案】AD【解析】A選項，當，即時，為圓，故A正確；B選項，當時，，故漸近線方程為，故B錯誤；C選項，當時，則，顯然C的焦點在軸上，故C錯誤；D選項，當C表示雙曲線時，，則或，故D正確.故選：AD.12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分別為PC、PB的中點.則（）A. B. C.平面ANMD D.BD與平面ANMD所在的角為30°【答案】CD【解析】對A，若，又，則面，與底面ABCD矛盾，故A錯誤；對B，若，則平面，則，在題中給出的直角梯形中，顯然不可能，故B錯誤；對C，，，所以平面ANMD，故C正確；對D，連接DN，因為平面ADMN，所以是BD與平面ADMN所成的角在中，，所以BD與平面ADMN所成的角為，故D正確；故選：CD.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知為坐標原點，，若，則的坐標是_______．【答案】【解析】為坐標原點，，則..故答案為：.14.已知拋物線上一點的距離到焦點的距離為5，則這點的坐標為_______．【答案】【解析】由拋物線定義得,即這點的坐標為15.已知等差數(shù)列的公差，若成等比數(shù)列，則的值為______.【答案】【解析】由得,所以,故答案為：16.光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為________．【答案】【解析】由得即直線與直線交點為在直線上取點設點關于的對稱點為則即則反射光線所在直線的方程為故答案為：四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項和為，，其中．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．解：（1）因為，當時，有，當時，有，所以，經(jīng)檢驗，滿足上式，所以，；（2）因為，；所以，因此.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設，，.（1）試用表示向量；（2）求BM的長.解：（1）（2），所以，則BM的長為.19.已知雙曲線的漸近線方程為，且雙曲線C過點.（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線與雙曲線C只有一個公共點，求實數(shù)k的值.解：（1）由題意得，解得,所以雙曲線方程為.（2）由，得，由題意得，解得.當，即時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線l與雙曲線C只有一個公共點，所以或.20.如圖，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．（1）求證：BE∥平面DCF；（2）求點B到平面DCF的距離．解：（1）∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，∵平面ABE,平面ABE,∴平面ABE∥平面DFC，∵BE?平面ABE，∴BE∥平面DCF．（2）如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系．∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，則△ADB∽△BCD?，∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，，．設平面DCF的法向量為，則，∴，令x＝1，y＝2，z＝0．∴.∴．∴B到平面DCF的距離為2．21.已知數(shù)列滿足，（1）證明是等比數(shù)列，并