福建省部分學(xué)校2025屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分學(xué)校2025屆高三12月聯(lián)考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，所以.故選：B．2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得或，故“”是“”充分不必要條件．故選：A3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題，由得，即，.故選：D．4.已知函數(shù)，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】，令，得，得，則，得，故選：C5.若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則與相交【答案】C【解析】對(duì)于A，若，，則，或與相交，或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則或與相交，或與異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，故C正確；對(duì)于D，若，，則與相交，或與異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.如圖，在平行六面體中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)榱骟w是平行六面體，所以，因?yàn)?，代入?jì)算可得：，故有：，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：B7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為 B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的最小值為【答案】A【解析】對(duì)于A：令，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，，單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：的最小值為-2，故D正確.故選：A.8.在正方形中，，為中點(diǎn)，將沿直線翻折至位置，點(diǎn)為線段中點(diǎn).在翻折的過(guò)程中，若為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.三棱錐的體積最大值為B.異面直線、所成角始終為C.翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得大小為D.點(diǎn)在某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)二面角為直二面角，過(guò)作于，所以平面平面．又平面平面，所以平面．由題意可得，．由勾股定理可得．由，即，解得．因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以到平面的距離為．又，所以，即三棱錐的體積最大值為，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B、C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，則，且，，所以．因?yàn)椋允钱惷嬷本€，所成的角．取的中點(diǎn)，連接，，可得，，所以．在中，可得．由余弦定理可得，所以．在中，由余弦定理可得，所以，所以異面直線，所成的角為，故B，C均錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)，由B，C選項(xiàng)可知，，均為定值，則的軌跡為以，為球心的球面的交線，即點(diǎn)在某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，故D正確．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分.9.在的展開式中（）A.所有系數(shù)的絕對(duì)值之和為 B.項(xiàng)的系數(shù)為C.系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng) D.有理項(xiàng)共有5項(xiàng)【答案】BCD【解析】對(duì)于A：在的展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值之和與的展開式中所有系數(shù)的和相等，故令，可知展開式的系數(shù)之和為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式，，令，解得，可得，即項(xiàng)的系數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：由通項(xiàng)公式可得：第項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；取為偶數(shù)，令，則，整理得，所以，所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)，故C正確；對(duì)于D：令，則，所以有理項(xiàng)共有5項(xiàng)，故D正確；故選：BCD.10.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.的最大值是1【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)AB：由，時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，且，可得，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可得，，所以等比?shù)列，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，由基本不等式可得，而，，?dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最大值是，故D正確；故選：BCD．11.（多選）泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓.已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是（）A.點(diǎn)P的軌跡方程是B.直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C.平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5D.點(diǎn)P的軌跡與圓是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點(diǎn)）【答案】ABC【解析】對(duì)于A，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l距離的一半，所以，化簡(jiǎn)可得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，聯(lián)立方程組，可得，解得，故存在點(diǎn)，所以直線是“最遠(yuǎn)距離直線”，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)P作垂直直線，垂足為B，由題意可得，，則，由圖象可知，的最小值即為點(diǎn)A到直線的距離5，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由可得，即圓心為，半徑為1，易得點(diǎn)P的軌跡與圓C交于點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記樣本數(shù)據(jù)10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位數(shù)為a，平均數(shù)為b，則=______．【答案】【解析】將樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位數(shù)，由平均數(shù)的計(jì)算公式得，所以.故答案為：.13.已知方程所表示的曲線為雙曲線，則的取值范圍為______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，顯然不為雙曲線；當(dāng)時(shí)，可化為，若雙曲線的焦點(diǎn)在軸，則滿足解得，若雙曲線的焦點(diǎn)在軸，則滿足解得.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，且，使得，則的最大值為______.【答案】【解析】根據(jù)題意作出函數(shù)y=fx令，解得或，令，解得或或，由題意可知：與y=fx有三個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)，且，所以，令，則恒成立，所以在單增，的最大值為，即的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A的大??；（2）若，求邊a的長(zhǎng)度最小時(shí)的周長(zhǎng)．解:（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫驗(yàn)?，所以，從而．由題易知，所以．因?yàn)?，所．?）由余弦定理可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以邊a的長(zhǎng)度最小時(shí)的周長(zhǎng)為．16.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．解:（1）由題知，，，所以，所以．如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，則，又，所以，所以,因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．?）由（1）知兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以為平面的法向量的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，令，則，則．設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，則，所以，故平面與平面所成二面角的正弦值為．17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性;（2）若恒成立，求a的取值范圍.解:（1）因?yàn)?，，①若，則恒成立，在0,+∞上單調(diào)遞增，②若，令，得，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，所以又趨向于0時(shí)，趨向于，故不恒成立；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由恒成立，可得，因?yàn)?，所以，解得綜上，a的取值范圍為.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)M到定直線的距離小1，直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)．（點(diǎn)A在第一象限）（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）若過(guò)且與垂直的直線與曲線C交于C，D兩點(diǎn)：（點(diǎn)C在第一象限）（i）求四邊形面積的最小值．（ii）設(shè)，的中點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．解:（1）由題意知，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到定直線的距離，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線；因?yàn)椋話佄锞€的方程為，即點(diǎn)M的軌跡C的方程為.（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，，，由（1）知拋物線的準(zhǔn)線為，，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，所以，，由題意知直線過(guò)且與直線交于點(diǎn)，所以四邊形的面積，由，消去后得，所以，由韋達(dá)定理可知，所以，由題意得直線：，同理，聯(lián)立，消去可得，所以，由韋達(dá)定理可知，所以，所以四邊形的面積，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形面積最小值為32.（ii）由（i）知，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入直線可得，所以，同理可得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，所以直線過(guò)定點(diǎn).19.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項(xiàng)數(shù)列，由所有項(xiàng)0數(shù)列組成集合.（1）若是12項(xiàng)0數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；（2）從集合中任意取出兩個(gè)不同數(shù)列，記.①若，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；②證明：.解:（1）因?yàn)槭?2項(xiàng)數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)和時(shí)，.設(shè)數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則所以數(shù)列的所有項(xiàng)的和為0.（2）①若，則中的數(shù)列有；；；；；；；；，故的取值有1，2，3，從8個(gè)數(shù)列中任選2個(gè)，共有種情況，其中當(dāng)時(shí)，若選擇，可從；；任選1個(gè)，共有3種情況，若選擇，可以從；；任選1個(gè)，共有3種情況，另外和，兩者之一滿足要求，和，兩者之一滿足要求，和，兩者之一滿足要求，共有種情況，故，當(dāng)時(shí)，和滿足要求，和滿足要求，和滿足要求，和