山東省泰安市肥城市2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市肥城市2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，，所以，所?故選：A.2.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因?yàn)椋?所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選:C.3.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)椋?，則故選：B.4.已知，，則（）A. B. C.5 D.-5【答案】D【解析】根據(jù)題意，由兩角和與差的正弦公式，可得：，，聯(lián)立方程組，可得，又由.故選：D.5.已知兩個(gè)圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r，下底面半徑均為2r，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為3r和5r，則圓臺(tái)甲、乙的體積之比為（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】設(shè)甲圓臺(tái)的高為，乙圓臺(tái)的高為，則，，所以圓臺(tái)甲的體積，圓臺(tái)乙的體積，所以圓臺(tái)甲、乙的體積之比為.故選：B.6.若函數(shù)（其中，且）的最小值是3，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)（其中，且）的最小值是3，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則且滿(mǎn)足，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.7.曲線與交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】作出曲線與大致圖象，可知，而，由曲線與圖象知，曲線與有個(gè)交點(diǎn).故選：A.8.已知函數(shù)，的定義域?yàn)镽，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且，，若，則（）A.－5 B.－6 C.5 D.6【答案】C【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則①，又，即，結(jié)合①得②，因?yàn)?，則，結(jié)合②得，則，令，得，令，得，由，得，由，得，則，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在某市舉行的一次期末質(zhì)量檢測(cè)中，經(jīng)抽樣分析，該市某學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，且．該校有1000人參加此次考試，則（）A.B.C.估計(jì)成績(jī)不低于90分的有200人D.估計(jì)成績(jī)不低于86分的有300人【答案】BC【解析】因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，所以數(shù)學(xué)成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，已知，所以，，故A錯(cuò)誤；所以，故B正確；估計(jì)成績(jī)不低于90分的有人，故C正確；，估計(jì)成績(jī)不低于90分的有人，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，是上減函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，是的極小值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，取到最小值D.當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】ACD【解析】由題意，函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞減；所以為的極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減；所以函數(shù)的最小值為，故C正確；對(duì)于D，由B選項(xiàng)知，函數(shù)在取最小值，則，假設(shè)，則，即在恒成立，令，則，令，則，單調(diào)遞增，令，則，在單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，故D正確.故選：ACD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為直線與交于，兩點(diǎn)．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.C. D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，則，解得：，故A正確；所以?huà)佄锞€方程為：，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)作斜率為直線的方程為：，聯(lián)立：，消去可得：，顯然，，解得或，故C錯(cuò)誤；由韋達(dá)定理可得：，，故B正確；因?yàn)?，，所以，令，則，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，一條漸近線方程為，則________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，又為雙曲線的一條漸近線，所以，設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)闉槠湟粋€(gè)焦點(diǎn)，所以，又，所以，所以.13.若函數(shù)為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______．【答案】【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，則化簡(jiǎn)為：.14.為了將課堂所學(xué)的專(zhuān)業(yè)理論知識(shí)與實(shí)際生活相結(jié)合，提升學(xué)生的個(gè)人綜合素質(zhì)，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感和使命感，某知名大學(xué)的校團(tuán)委安排該校一個(gè)大學(xué)生志愿服務(wù)團(tuán)體在暑假期間開(kāi)展“環(huán)境保護(hù)”、“社區(qū)文化”、“便民服務(wù)”、“法律援助”、“教育服務(wù)”、“公益慈善”六項(xiàng)社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，并對(duì)活動(dòng)開(kāi)展順序提出了如下要求，重點(diǎn)活動(dòng)“法律援助”必須排在前三位，且“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”兩項(xiàng)活動(dòng)必須排在一起，則這六項(xiàng)活動(dòng)完成順序的不同安排方案種數(shù)是________．【答案】【解析】根據(jù)題意,由于活動(dòng)“法律援助”必須排在前三位，分種情況討論:①“法律援助”排在第一位，活動(dòng)“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”必須排在一起，則活動(dòng)“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”相鄰的位置有個(gè),考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個(gè)活動(dòng)全排列，安排在其他三個(gè)位置，有種安排方法，則此時(shí)有種安排方案；②“法律援助”排在第二位，活動(dòng)“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”必須排在一起，則活動(dòng)“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”相鄰的位置有個(gè)，考慮兩者的順序,有種情況，將剩下的個(gè)活動(dòng)全排列，安排在其他三個(gè)位置，有種安排方法，則此時(shí)有種安排方案；③“法律援助”排在第三位，活動(dòng)“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”必須排在一起，則活動(dòng)“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”相鄰的位置有個(gè),考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個(gè)活動(dòng)全排列，安排在其他三個(gè)位置，有種安排方法，則此時(shí)有種安排方案；故符合題意的安排方案有種.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，，且．（1）求的面積；（2）若時(shí)，求邊c和角B．解：（1）由已知可得，可得由，可求得，所以.（2）因?yàn)?，可?由余弦定理得，可得.由正弦定理,可得，由于，所以，可得.16.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在C上，且軸．（1）求C的方程．（2）過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為60°的直線l．直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng)和面積．解：（1）由已知軸且P1,22，知，，由橢圓的定義，所以，，的方程為.（2）可知直線的斜率，的方程為.設(shè)Ax1,y1,Bx2,y可得，可得，點(diǎn)F21,0到直線的距離，所以的周長(zhǎng)為，.17.如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，為的中點(diǎn)，，，，，又因?yàn)?，平面，因此平面，又是三棱柱，是平行四邊形，，，、均為等邊三角形，，則，，，，平面，平面，平面，，，在中，，，，又，，即，又平面，平面，平面，.（2）解：由（1）可知、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，A3,0,0，，由于是的中點(diǎn)，得，又由可得，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，即平面與平面夾角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：函數(shù)的定義域是，可得.當(dāng)時(shí)，可知，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，可得時(shí)，有，時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證成立，只需證成立，只需證即可.因?yàn)?，由?）知，.令，則，可得時(shí)，有；時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知，則有，所以有，所以當(dāng)時(shí)，成立.19.數(shù)列滿(mǎn)足是常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求及的值；（2）數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；（3）求的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)時(shí)總有．解：（1）由于，且，所以當(dāng)時(shí)，得，解得，從而；