山東省泰安市肥城市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市肥城市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為集合，，所以，所以.故選：A.2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，所以.所以，對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選:C.3.已知向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，因為，所以，則故選：B.4.已知，，則（）A. B. C.5 D.-5【答案】D【解析】根據(jù)題意，由兩角和與差的正弦公式，可得：，，聯(lián)立方程組，可得，又由.故選：D.5.已知兩個圓臺甲、乙的上底面半徑均為r，下底面半徑均為2r，圓臺的母線長分別為3r和5r，則圓臺甲、乙的體積之比為（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】設(shè)甲圓臺的高為，乙圓臺的高為，則，，所以圓臺甲的體積，圓臺乙的體積，所以圓臺甲、乙的體積之比為.故選：B.6.若函數(shù)（其中，且）的最小值是3，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函數(shù)（其中，且）的最小值是3，當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，則當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則且滿足，即，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：D.7.曲線與交點個數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】作出曲線與大致圖象，可知，而，由曲線與圖象知，曲線與有個交點.故選：A.8.已知函數(shù)，的定義域為R，的圖象關(guān)于直線對稱，且，，若，則（）A.－5 B.－6 C.5 D.6【答案】C【解析】因為的圖象關(guān)于直線對稱，則①，又，即，結(jié)合①得②，因為，則，結(jié)合②得，則，令，得，令，得，由，得，由，得，則，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在某市舉行的一次期末質(zhì)量檢測中，經(jīng)抽樣分析，該市某學(xué)校的數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布，且．該校有1000人參加此次考試，則（）A.B.C.估計成績不低于90分的有200人D.估計成績不低于86分的有300人【答案】BC【解析】因為數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，所以數(shù)學(xué)成績關(guān)于對稱，已知，所以，，故A錯誤；所以，故B正確；估計成績不低于90分的有人，故C正確；，估計成績不低于90分的有人，故D錯誤；故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，是上減函數(shù)B.當(dāng)時，是的極小值點C.當(dāng)時，取到最小值D.當(dāng)時，恒成立【答案】ACD【解析】由題意，函數(shù)，定義域為，則導(dǎo)函數(shù)為，對于A，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則函數(shù)在單調(diào)遞減；所以為的極小值點，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減；所以函數(shù)的最小值為，故C正確；對于D，由B選項知，函數(shù)在取最小值，則，假設(shè)，則，即在恒成立，令，則，令，則，單調(diào)遞增，令，則，在單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，故D正確.故選：ACD.11.已知拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線與軸交于點，過點作斜率為直線與交于，兩點．若直線經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】因為拋物線的焦點為，且直線經(jīng)過點，所以，則，解得：，故A正確；所以拋物線方程為：，則，設(shè)過點作斜率為直線的方程為：，聯(lián)立：，消去可得：，顯然，，解得或，故C錯誤；由韋達(dá)定理可得：，，故B正確；因為，，所以，令，則，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若雙曲線的一個焦點，一條漸近線方程為，則________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，又為雙曲線的一條漸近線，所以，設(shè)雙曲線的半焦距為，因為為其一個焦點，所以，又，所以，所以.13.若函數(shù)為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為________．【答案】【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，所以，，所以曲線在點處的切線的斜率為，所以曲線在點處的切線方程為：，則化簡為：.14.為了將課堂所學(xué)的專業(yè)理論知識與實際生活相結(jié)合，提升學(xué)生的個人綜合素質(zhì)，增強(qiáng)社會責(zé)任感和使命感，某知名大學(xué)的校團(tuán)委安排該校一個大學(xué)生志愿服務(wù)團(tuán)體在暑假期間開展“環(huán)境保護(hù)”、“社區(qū)文化”、“便民服務(wù)”、“法律援助”、“教育服務(wù)”、“公益慈善”六項社區(qū)服務(wù)活動，并對活動開展順序提出了如下要求，重點活動“法律援助”必須排在前三位，且“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”兩項活動必須排在一起，則這六項活動完成順序的不同安排方案種數(shù)是________．【答案】【解析】根據(jù)題意,由于活動“法律援助”必須排在前三位，分種情況討論:①“法律援助”排在第一位，活動“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”必須排在一起，則活動“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”相鄰的位置有個,考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個活動全排列，安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種安排方案；②“法律援助”排在第二位，活動“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”必須排在一起，則活動“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”相鄰的位置有個，考慮兩者的順序,有種情況，將剩下的個活動全排列，安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種安排方案；③“法律援助”排在第三位，活動“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”必須排在一起，則活動“便民服務(wù)”和“教育服務(wù)”相鄰的位置有個,考慮兩者的順序，有種情況，將剩下的個活動全排列，安排在其他三個位置，有種安排方法，則此時有種安排方案；故符合題意的安排方案有種.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，且．（1）求的面積；（2）若時，求邊c和角B．解：（1）由已知可得，可得由，可求得，所以.（2）因為，可得.由余弦定理得，可得.由正弦定理,可得，由于，所以，可得.16.設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，點在C上，且軸．（1）求C的方程．（2）過左焦點作傾斜角為60°的直線l．直線l與C相交于A，B兩點，求的周長和面積．解：（1）由已知軸且P1,22，知，，由橢圓的定義，所以，，的方程為.（2）可知直線的斜率，的方程為.設(shè)Ax1,y1,Bx2,y可得，可得，點F21,0到直線的距離，所以的周長為，.17.如圖，在三棱柱中，為的中點，，，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：取的中點，連接、，為的中點，，，，，又因為，平面，因此平面，又是三棱柱，是平行四邊形，，，、均為等邊三角形，，則，，，，平面，平面，平面，，，在中，，，，又，，即，又平面，平面，平面，.（2）解：由（1）可知、、兩兩垂直，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，A3,0,0，，由于是的中點，得，又由可得，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，即平面與平面夾角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，.（1）解：函數(shù)的定義域是，可得.當(dāng)時，可知，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，可得時，有，時，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)時，要證成立，只需證成立，只需證即可.因為，由（1）知，.令，則，可得時，有；時，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知，則有，所以有，所以當(dāng)時，成立.19.數(shù)列滿足是常數(shù)．（1）當(dāng)時，求及的值；（2）數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（3）求的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)時總有．解：（1）由于，且，所以當(dāng)時，得，解得，從而；