萬有引力與航天知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

萬有引力與航天知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)萬有引力與航天知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)萬有引力與航天知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月萬有引力與航天知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：萬有引力與航天一、基本概念1.開普勒三定律：軌道定律面積定律周期定律2.萬有引力定律表達(dá)式：(G為引力常量：G＝×10－11N·m2/kg2?？ㄎ牡显S測(cè)出)適用條件：(1)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離。3.第一宇宙速度(又叫環(huán)繞速度)，其數(shù)值為km/s計(jì)算方法：(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))＝km/s(2)由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝km/s第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度、最大環(huán)繞速度。4.第二、三宇宙速度第二宇宙速度：v2＝km/s，是衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。第三宇宙速度：v3＝km/s，是衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。5．時(shí)空觀經(jīng)典時(shí)空觀(1)在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量是不隨運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而改變的。(2)在經(jīng)典力學(xué)中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是相同的。相對(duì)論時(shí)空觀(1)在狹義相對(duì)論中，物體的質(zhì)量是隨物體運(yùn)動(dòng)速度的增大而增大的，用公式表示為m＝eq\f(m0,\r(1－\f(v2,c2)))。(2)在狹義相對(duì)論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對(duì)應(yīng)時(shí)間的測(cè)量結(jié)果在不同的參考系中是不同的。狹義相對(duì)論的兩條基本假設(shè)(1)相對(duì)性原理：在不同的慣性參考系中，一切物理規(guī)律都是不同的。(2)光速不變?cè)恚翰还茉谀膫€(gè)慣性系中，測(cè)得的真空中的光速都是不變的。二、?？键c(diǎn)1.星體表面上的重力加速度問題計(jì)算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝eq\f(GmM,(R＋h)2)，得g′＝eq\f(GM,(R＋h)2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f((R＋h)2,R2)(3)其他星球上的物體，可參考地球上的情況做相應(yīng)分析。2.天體質(zhì)量和密度的估算估算天體問題應(yīng)注意三點(diǎn)(1)天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24h，公轉(zhuǎn)周期為365天等。(2)注意黃金代換式GM＝gR2的應(yīng)用。(3)注意密度公式ρ＝eq\f(3π,GT2)的理解和應(yīng)用。中心天體質(zhì)量和密度的計(jì)算方法(1)若已知衛(wèi)星在某一高度的加速度g和環(huán)繞的半徑r，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mg得M＝eq\f(gr2,G)；(2)若已知衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和半徑r，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(rv2,G)；(3)若已知衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和半徑r，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得M＝eq\f(4π2r3,GT2)；(4)若已知衛(wèi)星運(yùn)行的線速度v和周期T，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mveq\f(2π,T)和r＝eq\f(vT,2π)得M＝eq\f(v3T,2πG)。（5）.要想求中心天體的密度，還要知道中心天體的半徑R，由M＝ρV和V＝eq\f(4,3)πR3求天體的密度。3.衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析與計(jì)算（1）．衛(wèi)星的線速度、角速度、周期與軌道半徑的關(guān)系eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(v＝\r(\f(GM,r)),ω＝\r(\f(GM,r3)),T＝\r(\f(4π2r3,GM)),an＝G\f(M,r2)))當(dāng)r增大時(shí)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v減小,ω減小,T增大,an減小))（2）近地衛(wèi)星：近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認(rèn)為等于地球半徑R，又因?yàn)榈孛娓浇?，所以有。它們分別是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。（3）地球同步衛(wèi)星：（通訊衛(wèi)星）（1）運(yùn)動(dòng)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，且T=24h；（2）運(yùn)轉(zhuǎn)角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度，周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期；（3）同步衛(wèi)星高度不變，運(yùn)行速率不變（因?yàn)門不變）；（4）同步衛(wèi)星的軌道平面必須與赤道平面平行，在赤道正上方。對(duì)同步衛(wèi)星：運(yùn)動(dòng)規(guī)律：4.雙星模型雙星的特點(diǎn)(1)兩星的角速度、周期相等；(2)兩星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力相等，都等于兩者之間的萬有引力；(3)兩星之間的距離不變，且兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離。2.三星模型(1)三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行。其中一個(gè)環(huán)繞星由其余兩顆星的引力提供向心力：eq\f(Gm2,R2)＋eq\f(Gm2,（2R）2)＝ma。(2)三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)。每顆行星運(yùn)動(dòng)所需向心力都由其余兩顆行星對(duì)其萬有引力的合力來提供。2×eq\f(Gm2,L2)cos30°＝ma，其中L＝2Rcos30°。除滿足各星的角速度相等以外，還要注意分析各星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小和軌道半徑。三、利用萬有引力定律解決衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的一般思路(1)一個(gè)模型天體(包括衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型。(2)兩組公式F引=F向F引=G重Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝mamg＝eq\f(GMm,R2)(g為星體表面處的重力加速度)四、天體運(yùn)動(dòng)中的“四大難點(diǎn)”1.近地衛(wèi)星、赤道上物體及同步衛(wèi)星的運(yùn)行問題（1）．軌道半徑：近地衛(wèi)星與赤道上物體的軌道半徑相同，同步衛(wèi)星的軌道半徑較大，即r同>r近＝r物。（2）．運(yùn)行周期：同步衛(wèi)星與赤道上物體的運(yùn)行周期相同。由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知，T近<T同＝T物。（3）．向心加速度：由Geq\f(Mm,r2)＝ma知，同步衛(wèi)星的加速度小于近地衛(wèi)星的加速度。由a＝rω2＝req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2知，a近>a同>a物。（4）．動(dòng)力學(xué)規(guī)律：(1)近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星滿足eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝ma。(2)赤道上的物體不滿足萬有引力充當(dāng)向心力即eq\f(GMm,r2)≠meq\f(v2,r)。2.衛(wèi)星的變軌問題衛(wèi)星變軌的原因：(1)由于對(duì)接引起的變軌(2)由于空氣阻力引起的變軌衛(wèi)星變軌的實(shí)質(zhì)：(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增加時(shí)，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速率比原軌道時(shí)減小。(2)當(dāng)衛(wèi)星的速率突然減小時(shí)，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速率比原軌道時(shí)增大。衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理。3.天體運(yùn)動(dòng)中的能量問題（1）．衛(wèi)星(或航天器)在同一圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能不變。（2）．航天器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大。衛(wèi)星速率增大(發(fā)動(dòng)機(jī)做正功)會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑增大，萬有引力做負(fù)功，衛(wèi)星動(dòng)能減小，由于變軌時(shí)遵從能量守恒，穩(wěn)定在圓軌道上時(shí)需滿足Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，致使衛(wèi)星在較高軌道上的運(yùn)行速率小于在較低軌道上的運(yùn)行速率，但機(jī)械能增大；相反，衛(wèi)星由于速率減小(發(fā)動(dòng)機(jī)做負(fù)功)會(huì)做向心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑減小，萬有引力做正功，衛(wèi)星動(dòng)能增大，同樣原因致使衛(wèi)星在較低軌道上的運(yùn)行速率大于在較高軌道上的運(yùn)行速率，但機(jī)械能減小。4.衛(wèi)星的追及相遇問題某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠(yuǎn)之分，但它們都處在同一條直線上。由于它們的軌道不是重合的，因此在最近和最遠(yuǎn)的相遇問題上不能通過位移或弧長(zhǎng)相等來處理，而是通過衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的圓心角來衡量，若它們初始位置在同一直線上，實(shí)際上內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為π的整數(shù)倍時(shí)就是出現(xiàn)最近或最遠(yuǎn)的時(shí)刻。五、選擇題1.對(duì)于環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星來說，它們繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期會(huì)隨著軌道半徑的變化而變化，某同學(xué)根據(jù)測(cè)得的不同衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與周期T關(guān)系作出如圖所示圖象，則可求得地球質(zhì)量為(已知引力常量為G)(A)\f(4π2a,Gb)\f(4π2b,Ga)\f(Ga,4π2b)\f(Gb,4π2a)2..(多選)在發(fā)射一顆質(zhì)量為m的人造地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將其發(fā)射到貼近地球表面運(yùn)行的圓軌道Ⅰ上(離地面高度忽略不計(jì))，再通過一橢圓軌道Ⅱ變軌后到達(dá)距地面高為h的預(yù)定圓軌道Ⅲ上。已知它在圓形軌道Ⅰ上運(yùn)行的加速度為g，地球半徑為R，圖2中PQ長(zhǎng)約為8R，衛(wèi)星在變軌過程中質(zhì)量不變，則(bc)A．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行的加速度為(eq\f(h,R＋h))2gB．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行的線速度為v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)經(jīng)過P點(diǎn)的速率大于在軌道Ⅱ上運(yùn)行時(shí)經(jīng)過P點(diǎn)的速率D．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的動(dòng)能大于在軌道Ⅰ上的動(dòng)能“靜止”在赤道上空的地球同步氣象衛(wèi)星把廣闊視野內(nèi)的氣象數(shù)據(jù)發(fā)回地面，為天氣預(yù)報(bào)提供準(zhǔn)確、全面和及時(shí)的氣象資料。設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說法正確的是(C)A.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是第一宇宙速度的eq\f(1,n)B.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)獲得速度的eq\f(1,n)C.同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是第一宇宙速度的eq\r(\f(1,n))D.同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的eq\r(\f(1,n))4.如圖所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，已知甲衛(wèi)星的周期為N小時(shí)，每過9N小時(shí)，乙衛(wèi)星都要運(yùn)動(dòng)到與甲衛(wèi)星同居于地球一側(cè)且三者共線的位置上，則甲、乙兩顆衛(wèi)星的線速度之比為(A)\f(\r(3,9),2)\f(\r(3,3),2)\f(2,\r(3,3))\f(2,\r(3,9))年我國相繼完成“神十”與“天宮”對(duì)接、“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大航天工程。某航天愛好者提出“玉兔”回家的設(shè)想：如圖，將攜帶“玉兔”的返回系統(tǒng)由月球表面發(fā)射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的飛船對(duì)接，然后由飛船送“玉兔”返回地球。設(shè)“玉兔”質(zhì)量為m，月球半徑為R，月面的重力加速度為g月，以月面為零勢(shì)能面?！坝裢谩痹趆高度的引力勢(shì)能可表示為Ep＝eq\f(GMmh,R(R＋h))，其中G為引力常量，M為月球質(zhì)量。若忽略月球的自轉(zhuǎn)，從開始發(fā)射到對(duì)接完成需要對(duì)“玉兔”做的功為(D)\f(mg月R,R＋h)(h＋2R)\f(mg月R,R＋h)(h＋eq\r(2)R)\f(mg月R,R＋h)(h＋eq\f(\r(2),2)R)\f(mg月R,R＋h)(h＋eq\f(1,2)R)6.我國即將發(fā)射“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室，之后發(fā)射“神舟十一號(hào)”飛船與“天宮二號(hào)”對(duì)接。假設(shè)“天宮二號(hào)”與“神舟十一號(hào)”都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為了實(shí)現(xiàn)飛船與空間實(shí)驗(yàn)室的對(duì)接，下列措施可行的是(C)A.使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行，然后飛船加速追上空間實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)對(duì)接B.使飛船與空間實(shí)驗(yàn)室在同一軌道上運(yùn)行，然后空間實(shí)驗(yàn)室減速等待飛船實(shí)現(xiàn)對(duì)接C.飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室，兩者速度接近時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)接D.飛船先在比空間實(shí)驗(yàn)室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實(shí)驗(yàn)室，兩者速度接近時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)接7.美國宇航局利用開普勒太空望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的雙星系統(tǒng)，命名為“開普勒－47”，該系統(tǒng)位于天鵝座內(nèi)，距離地球大約5000光年。這一新的系統(tǒng)有一對(duì)互相圍繞運(yùn)行的恒星，運(yùn)行周期為T，其中一顆大恒星的質(zhì)量為M，另一顆小恒星質(zhì)量只有大恒星質(zhì)量的三分之一。已知引力常量為G，則下列判斷正確的是(CA．兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為1∶1