組合數(shù)課件(1)高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

6.2.4組合數(shù)(1)從n個不同元素中取出m()個元素，，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.1.組合的定義：復習引入2.判斷一個計數(shù)問題是排列問題還是組合問題的方法：排列問題組合問題若交換某兩個元素的位置對結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān).若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關(guān).我們把從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號

表示.3.排列數(shù)的定義：類比排列數(shù)，我們引進組合數(shù)概念：組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.組合的第一個字母元素總數(shù)取出元素個數(shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.例如，從3個不同元素中任取2個元素的組合數(shù)為從4個不同元素中任取3個元素的組合數(shù)為探究：組合數(shù)及其公式

“一個組合”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組”，它不是一個數(shù)；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個非零自然數(shù).組合與組合數(shù)的區(qū)別：探究：前面已經(jīng)提到，組合和排列有關(guān)系，我們能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)

來求組合數(shù)

呢?從3個不同元素a,b,c中取出2個元素組合ab排列acbcabbaaccabccb觀察上圖，求“從3個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)”，可以看作由以下兩個步驟得到：第1步，從3個不同元素中取出2個元素作為一組，共有種不同的取法；第2步，將取出的2個元素作全排列，共有種不同的排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有以“元素相同”為標準將排列分組.從4個不同元素a,b,c,d中取出3個元素組合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb觀察上圖，求“從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)”，可以看作由以下兩個步驟得到：第1步，從4個不同元素中取出3個元素作為一組，共有種不同的取法；第2步，將取出的3個元素作全排列，共有種不同的排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有以“元素相同”為標準將排列分組.同樣地，求“從m個不同元素中取出n個元素的排列數(shù)”，可以看作由以下兩個步驟得到：第1步，從m個不同元素中取出n個元素作為一組，共有種不同的取法；第2步，將取出的m個元素作全排列，共有種不同的排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有這里的n,m∈N*，并且m≤n，這個公式叫做組合數(shù)公式.組合數(shù)公式：另外，我們規(guī)定所以上面的公式還可以寫成歸納總結(jié)解：例1：計算：例題思考：觀察（1）和（2），（3）和（4）的結(jié)果你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）和（2）分別用了不同組合數(shù)公式，你對公式的選擇有什么想法？課本P24對于組合數(shù)公式（1）（2）性質(zhì)1：組合數(shù)的性質(zhì)：一般地，從n個不同元素中取出m個元素后，剩下n－m個元素．因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下n－m個元素的每一個組合一一對應，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)

，等于從這n個元素中取出n－m個元素的組合數(shù)

，即(一種取法對應一種剩法)性質(zhì)2：組合數(shù)的性質(zhì)：在確定從(n+1)個不同元素中取m個元素的方法時，對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能.如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取出(m-1)個元素，所以共有種取法；如果不取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取出m個元素，所以共有種取法.由分類加法計數(shù)原理，得.解：1.計算：課本P25練習證明：2.求證：課本P25例2：一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽.按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問：（1）這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案？分析：根據(jù)題意，17名學員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個從17個不同元素中取出11個元素的組合問題.解：（1）由于上場學員沒有角色差異，所以可以形成的學員上場方案種數(shù)為例題例2：一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽.按照足球比賽規(guī)則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問：（2）如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有多秒種方式做這件事情？分析：守門員的位置是特殊的，其余上場學員的地位沒有差異，因此這是一個分步完成的組合問題.解：教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學員中選出11人組成上場小組，共有種選法.第2步，從選出的11人中選出1名守門員，共有種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，教練員做這件事情的方法種數(shù)為解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出的元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān).其次要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類與分步時，一定要注意有無重復和遺漏.反思歸納練習一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球.(1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？解：從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球.(3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多