2024成都中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題 圖形的旋轉(zhuǎn) (含解析)

2024成都中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題圖形的旋轉(zhuǎn)

一、單選題

1.（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，「ABC中，N84C=55。，將A8C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0°＜。＜55。）,得

到VADE,DE交AC于F.當(dāng)a=40。時(shí)，點(diǎn)。恰好落在BC上，此時(shí)/4FE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

2.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）如圖，把ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到VAO以點(diǎn)&2的對應(yīng)點(diǎn)分

別是點(diǎn)。，E,且點(diǎn)E在6c的延長線上，連接80,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.4CAE=4BEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

3.12023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，A8C和ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，ADE

以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為射線B。、CE的交點(diǎn).若AB=6,AD=l.以下結(jié)論：

①BD=CE；②8O_LCE：

③當(dāng)點(diǎn)E在84的延長線上時(shí)，MC=±二叵；

2

④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段癡最短時(shí)，M8C的面積為

其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.12023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰直角ABC,ZACB=90°,AB=6，點(diǎn)、C是矩形ECGF

與ABC的公共頂點(diǎn)，且8=1,CG=3：點(diǎn)。是C8延長線上一點(diǎn)，且CT>=2.連接8G,DF,在矩形ECGF

繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)線段8G達(dá)到最長和最短時(shí)，線段。尸對應(yīng)的長度分別為m和〃，

則”的值為（)

c.MD.x/13

二、填空題

5.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）以正五邊形A3CQE的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得

新五邊形AECDE的頂點(diǎn)庾落在直線8c上，則正五邊A8CDE旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為

6.（2023?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題）如圖，AO為/B4C的平分線，且NBAC=50。，將四邊形A8OC繞

點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形4TO。，且NO47W00。，則四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)的角度是,

7.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在RtZ\A8C中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是A8上一

點(diǎn)，且AZ）=2,過點(diǎn)。作。E〃BC交AC于后將VAD七繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.則圖2中空

CE

的值為.

8.（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）己知曲線C、G分別是函數(shù)）=一2￡。<0），>'=k々（%>。，1>0）的圖像，邊

XX

長為6的正M8c的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)8、C在X軸二（8在C的左側(cè)），現(xiàn)將48c繞原點(diǎn)。順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)3在曲線C1上時(shí)，點(diǎn)A恰好在曲線C?上，則A的值為.

9.（2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，線段A8=8,點(diǎn)C是線段A8上的動點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

12。。得到線段8。，連接C7）,在48的上方作RWE,使NDCE=90,NE=30,點(diǎn)尸為。后的中點(diǎn)，連接

AF,當(dāng)A尸最小時(shí)，A778的面積為.

10.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在YA8C。中，/8=60。，BC=2AB,將48繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角。

（0。<^<360。）得到4P,連接PC,PD.當(dāng)；尸CQ為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為.

11.（2023?上海.統(tǒng)考中考真題）如圖，在“2C中,ZC=35°,將48c繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)a（00<a<180。）,

旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)8落在8c上，點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)為。，連接ADAO是N84C的角平分線，則。=.

c

12.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZMC=90°,AB=3cm,ZB=60°.將從BC

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△48'C,若點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)*恰好落在線段上，則點(diǎn)C的運(yùn)動路徑長是

cm（結(jié)果用含乃的式子表不）.

13.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZSABC中，4C8=90。,AC=3,8。=1,將一ABC繞點(diǎn)A逆

An

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到△A&C,連接BB',交AC于點(diǎn)D,則工;的值為.

14.（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）已知等腰AABC,ZA=120°,AB=2.現(xiàn)將以點(diǎn)3為旋轉(zhuǎn)中

心旋轉(zhuǎn)45。，得到△A8C,延長CA'交直線8C于點(diǎn)D則AO的長度為.

15.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）一副三角板48C和/無產(chǎn)中，

ZC=ZD=90°,ZB=30°,ZE=45°,BC=EF=12.將它們疊合在一起，邊與放重合，CD與44相

交于點(diǎn)G（如圖I）,此時(shí)線段CG的長是___________,現(xiàn)將一尸繞點(diǎn)QF）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,

邊M與A8相交于點(diǎn)H,連結(jié)在旋轉(zhuǎn)（）。至IJ60。的過程中，線段掃過的面積是___________.

三、解答題

16.（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）在乂BC中、Z^=ZC=a（0°<a<45°）,/\M_L8C于點(diǎn)M,O是線段

上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M,。重合），將線段0M繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段。石.

A

4DC

圖2

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段4c上時(shí)，求證：。是MC的中點(diǎn);

（2）如圖2,若在線段8M上存在點(diǎn)尸（不與點(diǎn)從何重合）滿足=￡心，連接AE,EF,直接寫出律

的大小，并證明.

17.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖1,一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，N分別是斜

（1）珞6石繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點(diǎn)用，N距離的最大值和最小值;

⑵瘠CD&繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。（如圖2）,求例N的長.

18.(2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題)如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1,A8C的頂點(diǎn)均在小正方形

的格點(diǎn)上.

(1)洛A8C向下平移3個(gè)單位長度得到到G，畫出△A/G；

(2)洛A8c繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△人與G，畫出△&優(yōu)G;

(3)在(2)的運(yùn)動過程中請計(jì)算出掃過的面積.

19.(2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題)在RIA4BC中，NACB=90。，C4=CB,點(diǎn)。為A4的中點(diǎn)，點(diǎn)。在直線力/6

上(不與點(diǎn)4B重合)，連接CD,線段CO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段CE,過點(diǎn)“作直線

過點(diǎn)E作EFJJ,垂足為點(diǎn)尸，直線律交直線OC于點(diǎn)G.

⑴如圖，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，請直接寫出線段AO與線段E/的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段44上時(shí)，求證：CG+BD=yfiBC；

⑶連接。E,CDE的面積記為S,A8C的面積記為其，當(dāng)￡":3。=1:3時(shí)，請直接寫出卷的值.

20.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活

動

【問題情境】

劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級下冊第⑵蟲“探索”部分內(nèi)容：

如圖，將一個(gè)三角形紙板ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。到達(dá)△AB'C的位置，那么可以得到：=

AC=AC,BC=B^CxN84C=N82C,ZABC=ZABC,NAC3=ZAC5（）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動變化規(guī)律中，即‘'變''中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應(yīng)填理由：；

（2）如圖，小王將一個(gè)半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板八8c繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到達(dá)扇形紙板

A'B'C的位置.

①請?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；

②如果88三6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另

一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時(shí)靜止，此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是

多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個(gè)問題.

R

21.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題)在平行四邊形4BCO中(頂點(diǎn)4,￡C,。按逆時(shí)針方向排列),

4

AB=12,4O=10,/8為銳角，且$inB=g.

(1)如圖1,求邊上的高CH的長.

(2)P是邊A5上的一動點(diǎn)，點(diǎn)CQ同時(shí)繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得點(diǎn)U。'.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。'落在射線C4上時(shí)，求8P的長.

②當(dāng)△47。是直角三角形時(shí)，求8P的長.

22.(2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題)如圖，正方形A8CO中，點(diǎn)M在邊BC上,點(diǎn)E是AM的中點(diǎn)，連接即,

EC.

(1)求證：ED=EC；

⑵洛班?繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)B'落在AC上，連接當(dāng)點(diǎn)“在邊8c上運(yùn)動時(shí)(點(diǎn)M不

與8,。重合)，判斷,.CM廳的形狀，并說明理由.

⑶在(2)的條件下，已知A6=l,當(dāng)NOEB，=45。時(shí)，求8M的長.

23.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題)【問題情境】

在綜合實(shí)踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30。的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板

分別記作二ADB和AA'DC,ZADB=ZA'O'C=90。,ZB=ZC=30°,設(shè)AB=2.

【操作探究】

如圖1,先將.ADB和▲A'O'C的邊A。、AD重合，再將"A'D'C繞著點(diǎn)A按摩時(shí)H?方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

cr(0°<?<360°),旋轉(zhuǎn)過程中一4)8保持不動，連接8C.

(2)當(dāng)。=90。時(shí)，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；

(3)如圖2,取的中點(diǎn)F,將aA'O'C繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)尸的運(yùn)動路徑長為

24.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）⑴［問題探究］

如圖1,在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.在線段40上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外）,連接PD、PB.

②將線段。P繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在始的延長線上的點(diǎn)Q處.當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上的位置發(fā)生變

化時(shí)，NQP。的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）［遷移探究］

如圖2,將正方形ABC。換成菱形A8CQ,旦NAAC=60。，其他條件不變.試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

圖2

25.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一

條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,&C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家

托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)''或"托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營''問題.

(I)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)48c的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將△APC繞,點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到.WPC,連接PP',

由PC=〃C,NPC產(chǎn)=60。，可知戶為①一三角形,故PP=PC,又=故

PA+PB+PC=PA!+PB+PP1>AI3,

由②可知,當(dāng)8,Ptp,A在同一條直線上時(shí)，A4+依+PC取最小值，如圖2,最小值為A8,此時(shí)

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有NAPC=N5PC=NA"=W_；

已知當(dāng)A8C有一個(gè)內(nèi)角大于或等于12()。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若/朋CN120。，

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為應(yīng)點(diǎn).

(2)如圖4,在二ABC"三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,己知點(diǎn)P為“的"費(fèi)

馬點(diǎn)”，求Q4+PB+PC的值；

(3)如圖5,設(shè)村莊A,B,。的連線構(gòu)成一個(gè)三角形,且已知AC=4km,BC=25/3km,ZACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜,已知由中轉(zhuǎn)站P至IJ村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為。

元/km,。元/km,億元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果

用含。的式子表示)

26.(2023?四川?統(tǒng)考中考真題)如圖1,已知線段AB,AC,線段AC繞點(diǎn)A在直線上方旋轉(zhuǎn),連接5C,

以BC為邊在8C上方作RlBDC,且NP8C=300.

(1)若/8口090°,以A8為邊在A8上方作RtZ\84￡,且N4m=90。，ZEfiA=30°,連接OE,用等式表

示線段AC與OE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DEJLAB,AB=4,AC=2,求8c的長；

(3)如圖3,若NBCQ=90。，AB=4,AC=2,當(dāng)AO的值最大時(shí)，求此時(shí)tan/CBA的值.

27.(2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題)【問題呈現(xiàn)】

△C44和CDE都是直角三角形，NACB=NDCE=90o,CB=?nCA,CE=mCD,連接AO,BE,探窕AO,

庭的位置關(guān)系.

⑴如圖I,當(dāng)〃?=1時(shí)，直接寫出AO,踮的位置關(guān)系：:

(2)如圖2,當(dāng)〃?工1時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應(yīng)用1

(3)當(dāng)〃?=G,AB=4x/7,DE=4時(shí)，將.?(、￡＞石繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使AD,E三點(diǎn)恰好在同一直線上，求應(yīng):的長.

28.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個(gè)含有45。角的三

角尺放在正方形A8CQ中，使45。角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45。角的兩

邊CM,CN始終與正方形的邊A。，A8所在直線分別相交于點(diǎn)M,N,連接MN,可得.CMN.

【探究一】如圖②，把VCOM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到..C8H,同時(shí)得到點(diǎn)〃在直線A8上.求證：

/CNM=NCNH；

【探究二】在圖②中，連接出），分別交CM，CN于點(diǎn)￡,F.求證：ACEFsACNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線4。與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點(diǎn)E,F.連

FF

接AC交8。于點(diǎn)。，求總的值.

NM

29.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：

在正方形48co的邊8c上任意取一點(diǎn)G,以BG為邊長向外作正方形8EFG,將正方形BEAG繞點(diǎn)B順時(shí)針

圖①圖②圖③

特例感知:

(1)當(dāng)8G在8c上時(shí)，連接OFAC相交于點(diǎn)P,小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)尸恰為。產(chǎn)的中點(diǎn)，如圖①.針對小紅發(fā)現(xiàn)

的結(jié)論，請給出證明；

(2)小紅繼續(xù)連接EG,并延長與。尸相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是。尸中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，

請判斷VA依的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

(3)如圖③，將正方形3MG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。，連接OQ點(diǎn)。是。尸中點(diǎn)，連接”，EP,AE,NAPE

的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由.

30.(2023?貴州?統(tǒng)考中考真題)如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了二角形相關(guān)知識后，對等腰直角二角形進(jìn)行了探究,

在等腰直角三角形ABC中，C4=Cfi,ZC=90",過點(diǎn)3作射線BO_ZA4,垂足為9,點(diǎn)尸在CA上.

圖③

如圖②，若點(diǎn)尸在線段C8上，畫出射線Q4,并將射線/>4繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與8。交于點(diǎn)E,根據(jù)題意

在圖中畫出圖形，圖中NP5E的度數(shù)為.度;

(2)【問題探究】

根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段以與莊的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)【拓展延伸】

如圖③，若點(diǎn)。在射線a上移動，將射線Q4繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。與8。交于點(diǎn)E,探究線段利研/石之

間的數(shù)最關(guān)系，并說明理由.

參考答案

一、單選題

1.【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得"=/4用=4小，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角儀=40。即可求解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：NB4C=ZZME=55。，A13=AD,

Va=40°,

/.ZZMF=15°,NB=ZADB=ZADE=70。，

???ZAFE=ZDAF+ZADE=85°,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了幾何一旋轉(zhuǎn)問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

2.【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

可得=AC=AE,BC=DE,故B選項(xiàng)和D選項(xiàng)不符合題意,

ZABC=ZADE

^\CE=ABC+1BAC

^\CE=ADE+?BAC,故C選項(xiàng)不符合題意,

伊C8=AED

?徐CB=C4E+?CEA

?飽ED=CEA+?BED

WAE=BED,故A選項(xiàng)符合題意,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】D

【分析】證明,84度..C4E即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明N3CMs/￡C4得出

MCV3-I

,即可判斷③；以A為圓心，A。為半徑畫圓，當(dāng)CE在A的下方與相切時(shí)，A始的值最

小，可得四邊形ARWD是正方形，在RtMBC中MC=[BC2—MB2=血+1，然后根據(jù)三角形的面積公式

即可判斷④.

【詳解】解：:A8C和,ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,

,BA=。,DA=EA,N84C=NDAE=90°,

???ABAD=ZCAE,

???BAD^CAE,

ZABD=ZACE,BD=CE,故①正確；

設(shè)乙43￡>=NACE=a,

NDBC=450-a,

J/EMB=NDBC+4BCM=NDBC+4BCA+ZACE=450-a+45。+a=90°,

???BD1CE,故②正確：

當(dāng)點(diǎn)石在明的延長線上時(shí)，如圖所示

3CM=NECA,ZDMC=ZE4C=90°,

/DCMs/ECA

,MCCD

**AC=￡C

VAB=V3,AD=\.

：-CD=AC-AD=^-\,CE=^AE2+AC2=2

.MCV3-1

?飛二丁

，楊。=土］叵，故③正確；

2

④如圖所示，以A為圓心，AO為半徑畫圓,

?I/BMC=90。,

???當(dāng)CE在：A的下方與：A相切時(shí)，MB的值最小，ZADM=ADAE=ZAEM=90°

，四邊形AEMO是矩形，

又AE=AD,

:.四邊形是正方形，

***MD=AE=1,

,:BD=EC=y]AC2-AE2=72?

:.MB=BD-MD=4i-\，

在RlMBC中,MC=dBC2-MB。

取得最小值時(shí)，MC=ylAI32+AC2-MB2=^3+3-(V2-lf=6+1

???^,Wc=1^xMC=l(V2-l)(x/2+l)=l

故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形

的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】D

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可求得AC=8C=1,當(dāng)線段8G達(dá)到最長時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)。的下方，且6,C,

G三點(diǎn)共線，求得8G=4,DG=5,根據(jù)勾股定理求得。尸=瘍，即〃?=伍，當(dāng)線段BG達(dá)到最短時(shí),

此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)。的上方，且3,C,G三點(diǎn)共線，則灰；=2,7X7=1,根據(jù)勾股定理求得叱=應(yīng)，即〃=夜，

即可求得'=JR.

n

【詳解】???A8C為等腰直角三角形，=AAC=BC=ABsin45°=x/2x^=l,

2

當(dāng)線段8G達(dá)到最長時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)C的下方，且“，C,G三點(diǎn)共線，如圖:

D

則BG=BC+CG=4,DG=DB+BG=5,

在RtZ\OG產(chǎn)中，DF=ylDG?+GF2=后+尸=病，

BPm=>/26,

當(dāng)線段5G達(dá)到最短時(shí)，此時(shí)點(diǎn)G在點(diǎn)C的上方，且8,C,G三點(diǎn)共線，如圖:

則BG=CG-BC=2,DG=BG-DB=\,

在Rl^OG尸中，DF=\lDG2+GF2=V12+12=V2?

即八=正，

故里一華一萬，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，根據(jù)旋轉(zhuǎn)推出線段BG最長和最短時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.【答案】72

【分析】依據(jù)正五邊形的外角性質(zhì)，即可得到的度數(shù)，進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)的角度.

【詳解】解：???五邊形是正五邊形，

AZZ)CF=36()°^-5=72°,

???新五邊形A*C￡>'￡的頂點(diǎn)D0落在直線BC上,則旋轉(zhuǎn)的最小角度是72。，

故答案為：72.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了正多邊形、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握正多邊形的外角和公式的運(yùn)用.

6.【答案】75°

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得N3AO=NOAC=25。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得N3AC=zJTAC=50。,

ZB,AO=ZO,AC=25°,求得NQ4O=75。，即可求得旋轉(zhuǎn)的角度.

【詳解】YAO為N84。的平分線，ZBAC=50°,

二NB4O=NQ4C=25。，

???將四邊形ABOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形ABVC,

2BAC=ZB'AC=50°，NK'AO="AC=25°，

：.Z.OA(y=Z.OAC-Z(7AC=l(X)°-25°=75°,

故答案為：75°.

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4

7.【答案】y

【分析】首先根據(jù)勾股定理得到AC=JAB2+BC2=10,然后證明出△ADESAABC,得到笠，進(jìn)

ADAC

AnAR

而得到k就.然后證明出ABD-ACE,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】???在RtZ\ABC中，ZA?C=90°,A〃=8,BC=6,

???AC=y[ABr+BC2=10

■:DE//BC

???ZA￡>E=ZA3C=90。，ZAED=ZACB

???l\ADEs4ABe

.ADAE

**AB-AC

.ADAB

*'~\E~~AC

*/￡BAC=^DAE

???ABAC+ACAD=ZDAE+ZCAD

???4AD=/CAE

???ABD?ACE

.KD84

**CD-7C_1O-5

4

故答案為：—.

【點(diǎn)撥】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理.

8.【答案】6

【分析】畫出變換后的圖像即可（畫.AO3即可），當(dāng)點(diǎn)人在丁加上，點(diǎn)8、C在x軸上時(shí)，根據(jù)ABC為等

OB1

邊三角形且AO/BC,nf—=—f=,過點(diǎn)A、3分別作x軸垂線構(gòu)造相似，貝LAR9sOEA,根據(jù)相似

URy3

三角形的性質(zhì)得出S~0E=3,進(jìn)而根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，即可求解.

【洋解】當(dāng)點(diǎn)A在丁軸上，點(diǎn)8、C在％軸上時(shí)，連接AO,

ABC為等邊三角形且AOIBC,則NB4O=30°,

tanZBAO=tan30°二絲=正，

OA3

如圖所示，過點(diǎn)4A分別作入釉的垂線，交人軸分別于點(diǎn)日尸，

AO±BO,NBFO=ZAEO=ZAOB=90。,

???ABOF=90。-ZAOE=ZEAO,

：.BFOSOEA,

SAOE【川3,

【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相

似三角形是解題關(guān)鍵.

9.【答案】百

【分析】連接CF,BF,BF,⑦交于點(diǎn)尸，由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得M垂直平分CF,

45/=60。為定角，可得點(diǎn)尸在射線3/上運(yùn)動，當(dāng)時(shí)，的最小，由含30度角直角三角形的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】解：連接Cr,BF,BF,CD交于y、P,如圖，

VZDCE=90,點(diǎn)尸為OE的中點(diǎn)，

/.FC=FD,

VZE=30,

J/FDC=60。，

???。尸8是等邊三角形，

:.NDFC=4FCD=60。；

?：線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段BD,

/.BC=BD,

?/FC=FD,

垂直平分NA8/=60。，

，點(diǎn)尸在射線B尸上運(yùn)動，

，當(dāng)'時(shí)，質(zhì)最小，

此時(shí)ZMB=90°-NABF=30°,

:.BF=-AB=4；

2

,?土BFC=-NDFC=30°,

2

???Z.FCB=NBFC+ZABF=90°,

:.BC=、BF=2,

2

???PB^-BC=\,

2

工由勾股定理得。C=1以3-/寄=6，

:?CD=2PC=2S

?，?4=；SPB=：x26x1=6

故答案為：&.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，斜邊中線性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平

分線的判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定點(diǎn)尸的運(yùn)動路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn).

10.【答案】90?；?70?；?80。

【分析】連接AC,根據(jù)已知條件可得N84C=90。，進(jìn)而分類討論即可求解.

【詳解】解：連接AC,取8。的中點(diǎn)E,連接AE,如圖所示，

???在YA8C。中，N8=60。，BC=2AB,

：.BE=CE=-BC=AB

2f

???一/WE是等邊三角形，

/.^BAE=ZAEB=(^°,AE=BE,

/.AE=EC

，ZE4C=NECA=-ZAEB=30°,

2

，Zf?AC=90°

AACLCD,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)。在AC上時(shí)，此時(shí)N8"=/B4C=90。，則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為90。,

當(dāng)點(diǎn)P在C4的延長線上時(shí)，如圖所示，則a=360。-90。=270。

當(dāng)。在班的延長線上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角”的度數(shù)為18()。，如圖所示,

VPA=PB=CD.PB//CD,

，四邊形尸AC。是平行四邊形，

*/AC.LAB

，四邊形248是矩形，

/.ZPZX?=90°

即△2￡心是直角三角形，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為90?；?70?；?80。

故答案為；伙)?；?70?；?80。.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】（產(chǎn)）。

【分析】如圖，AB=AD,4BAD=a,根據(jù)角平分線的定義可得NC4￡>==a,根據(jù)三角形的外角

性質(zhì)可得圮=35。+a，即得="）8=35。+。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可得：AB=AD,=

VAD是NBAC的角平分線，

:.^CAD=ZBAD=a,

VZADB=ZC+ZC4D=35°+a,AB=AD,

/.Z/?=ZADB=35°+?,

則在.ABC中，???NC+NC48+/8=180。，

:.35。+勿+35°+a=180。，

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識，熟

練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】信

【分析】由于AC旋轉(zhuǎn)到AC',故C的運(yùn)動路徑長是CC的圓弧長度，根據(jù)弧長公式求解即可.

【詳解】以A為圓心作圓弧CC,如圖所示.

則BC=244=2x3=6(cm).

，AC=\lBC2-AB2=V62-32=3x/3(cm).

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AB=AB,,又/B=60。，

是等邊三角形.

/

AZJBAB=60°.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，ZQtC=60°.

故弧CC的長度為：毀x2x；rxAC=fx3\/5=J5;r(cm)；

36()3

故答案為：△兀

【點(diǎn)撥】本題考查了含30角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵

是明確(？點(diǎn)的運(yùn)動軌跡.

13.【答案】5

【分析】過點(diǎn)。作。產(chǎn)_L八4于點(diǎn)F,利用勾股定理求得48=可，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證言人84'、△。尸8是

等腰直角三角形，可得DF=M,再由=得從。=加。產(chǎn)，證明

AFDAC3,可得竺="，^AF=3DF,再由4尸=如-。尸，求得。尸;巫，從而求得4。=:，

BCAC42

CD=1,即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)。作"_LA8J：點(diǎn)凡

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

,*AB=\)32+r=\/10,

???將ABC繞點(diǎn)、A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△AB'C,

AAB=A"=痛，々43'=90°,

???_ABB'是等腰直角三角形,

???乙鉆”=45。，

又；DF1AB,

???41犯=45。，

:.△。日8是等腰直角三角形，

/.DF=BF,

'：SADB=^xBCxAD=^xDFxABt即AD=\f\ODF,

ZC=ZAFD=90°,ZCAB=ZFADt

,AFDACB,

,即A/=3力產(chǎn)，

BCAC

又；AF=VlO-DF,

??DF----,

4

..?ITTA/105「八_5_1

??AD=V10x---=—,CD=3Q---------,

4222

5

A。2

-----5

c力1

-

2

【點(diǎn)撥】小題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟

練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】4+26或4-26

［分析］根據(jù)題意，先求得BC=26，當(dāng)ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)8作8E_LA8交AfD

于點(diǎn)石，當(dāng)ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)。作交8C于點(diǎn)尸，分別畫出圖形，

根據(jù)勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AMJ.8c于點(diǎn)

???等腰ABC,ZBAC=120°,AB=2.

:.ZAHC=^ACB=30",

22

AAM=^AB=ltBM=CM=y/AB-AM=75,

:.BC=2。,

如圖所示，當(dāng).ABC以點(diǎn)3為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)3作8EJ_AB交A7)于點(diǎn)E,

??ZBAC=120°,

AZDAfB=60°,N4'￡4=30。，

在RlABE中，AE=2A8=4，BE=JAE-A?=2技

丁等腰ABC,ZBAC=120°,AB=2.

：.ZABC=^ACB=30°,

?I/BC以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，

/.乙4BA'=45。，

/.￡DBE=1800-9(F-45°-30°=15°,ZA'HD=\800-45°-30°=105°

在,43。中，ZD=180°-ZZ14^-Z4,/?D=180o-60o-105o=15%

:?力=/EBD,

:.EB=ED=2。

，TO=AE+OE=4+2G，

如圖所示，當(dāng)48c以點(diǎn)3為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)、D乍DF上BC交BC'于點(diǎn)、F,

A

:.DF=BF

在RtOCR中，ZC=30°

，DF=—FC'

3

，BC=BF+yf3BF=2yf3

/.DF=BF=3

，DC=2DF=()-2y/3

，*。=。7)-4(7=6-2>/5-2=4-25

綜上所述，4。的長度為4-2月或4+26,

故答案為：4-2百或4+2右.

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類

討論是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】6G-6&；12^-1873+18

【分析】如圖1，過點(diǎn)G作G〃_L8C于y，根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出

BH=6GH,GH=CH,然后由8C=12可求出G"的長，進(jìn)而可得線段CG的長；如圖2,將DEF繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到DRF,陽與4B交于G-連接DQ,人。，2當(dāng)戶是。EF旋轉(zhuǎn)0°到60。的過程

中任意位置，作DN1S于N,過點(diǎn)B作BM1DQ交D}D的延長線于M,首先證明C。。是等邊三角形，

點(diǎn)。在直線A8上，然后可得線段DH掃過的面積是弓形他聲的面積加上，?DB的面積，求巴力N和8M,

然后根據(jù)線段OH掃過的面積=%形卬”+5出以卬廣SQD+S卬泗列式計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖1,過點(diǎn)G作G〃_L8C于，,

C（F）

H

D

圖1

*/ZABC=30°,Z1DEF=ZDFE=45°,/GHB=Z1GHC=900,

:?BH<GH,GH=CH,

*/BC=BH+CH=y/3GH+GH=\2,

GH=6>/3-6?

ACG=V2GH=V2x（6V3-6）=6x/6-6x/2；

如圖2,將W?"繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到尸，五后與AR交干G，連接RD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：NECB=NDC5=60。,CD=CDlf

???COR是等邊三角形，

*/NA3c=30。，

ZCG.B=90°,

???CG=；8C,

VCEl=BC,

:.CG尸;CE「即AB垂直平分CE,,

?.?，8E是等腰直角三角形，

???點(diǎn)R在直線A8上，

連接AR,2G廠是/）所旋轉(zhuǎn)。。到60。的過程中任意位置，

則線段DH掃過的面積是弓形24。的面積加上.QDB的面積，

VBC=EF=\2,

，DC=DB=—BC=6x/2,

2

/.D\C=D、D=6叵,

作DN工CD1于N,則NR=NC=36

:.DN=yjD\DND：=J（6可廚=3限,

過點(diǎn)B作BM10,0交DQ的延長線于M,則NM=90。,

?.?卬。。=60。，ZCDB=90°,

???Z.BDM=180°-ZD,DC-NCDB=30°,

,BM=、BD=3網(wǎng),

2

工線段O”掃過的面積=s；形皿/+S卬陽，

=S地形-Ss力+S功環(huán),

60萬?(60『i1

=--------------x6V2x3V6+-K6V2x3V2，

36022

=12^-1873+18,

故答案為：6#-6點(diǎn)，12^-1873+18.

圖2

【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，解直角三角形，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計(jì)算等知識，作出圖形，證明點(diǎn)。?在直線力8上是本題的突破點(diǎn)，

靈活運(yùn)用各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.【答案】（1）見解析

（2）乙4EF=90°,證明見解析

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OM=Q￡,ZMDE=2a,利用三角形外角的性質(zhì)求出NOEC=a=/C,可

得DE=DC,等量代換得到DM=OC即可：

(2)延長所到"使莊=￡H,連接C4,AH,可得OE是V」為夕的中位線，然后求出N8二/ACH,設(shè)

DM=DE=m,CD=n,求出BF=2〃?=CH,證明ABF^ACH(SAS),得到A尸=再根據(jù)等腰三

角形三線合一證明AE_L”即可.

【洋解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,/MDE=2a,

*/NC=a,

???ZDEC=NMDE-/C=a,

:./C=/DEC,

:.DE=DC,

DM=DC,即。是MC的中點(diǎn)；

(2)NAEF=90°；

證明：如圖2,延長莊到H使用=47,連接C〃，AH,

DF=DC,

???DE是VA%的中位線，

ADE//CH,CH=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,NMDE=2a,

:./FCH=2a,

,:乙B=4C=a,

:.ZACH=a,ABC是等腰三角形，

:?/B=NACH,AB=ACf

設(shè)0M=Z)E=m,CD=n,則CH=2〃?，CM=m+n,

：,DF=CD=n,

FM=DF-DM=n—tn,

*：AMIBC,

BM=CM=m+n,

/.BF=I3M-FM=m+n-(n—m)=2fn,

：?CH=BF,

AB=AC

在AABF和‘AC"中，＜NB=ZACH,

BF=CH

???AMmAC”(SAS),

，AF=AH,

'：FE=EH,

AAE±FH,KPZ4EF=90°.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及

全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】（1）最大值為3,最小值為1

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出CM,CN的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求

解；

（2）過點(diǎn)N作NP工MC,交MC的延長線于點(diǎn)P,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得ZA/GV=I2O0,進(jìn)而得出Z/VCP=60°,

進(jìn)而可得CP=1,勾股定理解RLNCRR【工MCP,即可求解.

【詳解】（1）解：依題意，CM=gDE=1,CN=14B=2,

當(dāng)〃在NC的延長線上時(shí)，M,N的距離最大，最大值為CM+CN=l+2=3,

當(dāng)M在線段CN上時(shí)，M,N的距離最小，最小值為CN-CN=2-1=1；

（2）解：如圖所示，過點(diǎn)N作NQJ.MC,交MC的延長線于點(diǎn)P,

??....CDE繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，

:.ZBCE=120°,

,/4BCN=/ECM=45。,

???/LMCN=ZBCM-^ECM=ZBCE=120°,

???Z/VCP=60°,

???ZCVP-300,

：,CP=-CN=\,

2

在RlCM5中，NPZNC-C產(chǎn)=5

在RtzMWP中，MP=MC+CP=\+\=2,

工/WZV=JN尸+M尸="

【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶等

【分析】（1）先作出點(diǎn)AA。平移后的對應(yīng)點(diǎn)A，司、C，然后順次連接即可；

（2）先作出點(diǎn)A.8繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的對■應(yīng)點(diǎn)&,當(dāng)，然后順次連接即可；

（3）證明ABC為等腰直角三角形，求出SA8C=2ABX8C==，s_帥'（屈）

=2_,根據(jù)旋轉(zhuǎn)

2

過程中ABC掃過的面積等于ABC的面積加扇形C4A的面積即可得出答案.

【詳解】（1）解：作出點(diǎn)A.B.C平移后的對應(yīng)點(diǎn)A，片、C,,順次連接，則△A4G即為所求，如圖所示:

(2)解：作出點(diǎn)44繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的對應(yīng)點(diǎn)&,生，順次連接，則即為