專題06 橢圓、雙曲線、拋物線（含直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（考點清單+知識導圖+ 12個考點清單-題型解讀）（解析版）

清單06橢圓、雙曲線、拋物線（含直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】相交弦中點（點差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，【清單02】點差法：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：【清單03】弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）【清單04】三角形面積問題直線方程：【清單05】焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項系數(shù)【清單06】平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).【清單07】探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。常考題型：①與面積有關(guān)的定值問題；②與角度有關(guān)的定值問題；③與比值有關(guān)的定值問題；④與參數(shù)有關(guān)的定值問題；⑤與斜率有關(guān)的定值問題【考點題型一】根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)核心方法：聯(lián)立+判別法【例1】（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）已知橢圓C的兩焦點為，，P為橢圓上一點，且到兩個焦點的距離之和為6.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若已知直線，當m為何值時，直線與橢圓C有公共點？【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程【分析】（1）由焦點坐標得到c，由橢圓的定義求出a，進而求出b的值，即可得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，直線與橢圓C有公共點即所得一元二次方程有解，計算得出m的范圍.【詳解】（1）由題意可得：，即，可得，且橢圓焦點在x軸上，所以所求的橢圓方程為.（2）聯(lián)立方程，消去y得.由，得，則.所以當時，直線與橢圓有公共點.【變式1-1】（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知橢圓的短軸長和焦距均為.(1)求的方程；(2)若直線與沒有公共點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、求橢圓的長軸、短軸、求橢圓的焦點、焦距、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程【分析】（1）由已知條件求出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意得，得，則，所以的方程為.（2）解：聯(lián)立得，因為與沒有公共點，所以，得或，即的取值范圍為.【變式1-2】（24-25高二上·上?！て谥校┮阎p曲線過點且它的兩條漸近線方程為與.(1)求雙曲線的標準方程；(2)若直線與雙曲線右支交于不同兩點，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求共漸近線的雙曲線的標準方程、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍【分析】（1）利用共漸近線雙曲線系的方程可求雙曲線的方程；（2）聯(lián)系直線方程和雙曲線方程后利用判別式和韋達定理可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為雙曲線的漸近線方程為與,故設(shè)雙曲線方程為：，因為雙曲線過，故即，故雙曲線方程為：.（2）由可得，因為直線與雙曲線右支交于不同兩點，所以，故.【變式1-3】（24-25高三上·廣東·階段練習）已知拋物線的焦點為，以和的準線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形．(1)求的方程；(2)討論過點的直線與的交點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程、判斷直線與拋物線的位置關(guān)系【分析】（1）根據(jù)拋物線和等邊三角形的對稱性進行求解即可；（2）根據(jù)直線是否存在斜率，結(jié)合一元二次方程根的判別式分類討論進行求解即可.【詳解】（1）由題意得焦點，準線方程為，以焦點和的準線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形，而這個等邊三角形的高為，即焦點到準線的距離，解得（負值舍去），所以的方程為．（2）若直線的斜率存在，設(shè)的方程為．由方程組可得．（Ⅰ）當時，解得，此時方程只有一個實數(shù)解，與只有一個公共點；（Ⅱ）當時，方程的根的判別式為，（?。┯?，解得或，此時方程有兩個相等的實數(shù)解，與只有一個公共點；（ⅱ）由，解得或，此時方程有兩個不等的實數(shù)解，與有兩個公共點；（ⅲ）由，解得，或，此時方程沒有實數(shù)解，與沒有公共點；若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知與沒有公共點．綜上，當?shù)姆匠虨榛虻男甭驶驎r，與的交點個數(shù)為0；當?shù)男甭驶?或時，與的交點個數(shù)為1；當?shù)男甭蕰r，與的交點個數(shù)為2．【考點題型二】中點弦問題核心方法：點差法+韋達定理法【例2-1】（24-25高二上·陜西·期中）已知點，，動點Mx,y滿足直線與的斜率之積為2.記點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若，是曲線上兩點，試判斷點能否成為線段的中點，如果可以，求出直線的方程；如果不可以，請說明理由.【答案】(1)（且）(2)不可以，理由見解析【知識點】求雙曲線的軌跡方程、求弦中點所在的直線方程或斜率【分析】（1）由斜率公式化簡即可得解；（2）設(shè)在曲線上，且中點為，分是否相等兩種情況討論即可，注意用點差法求得斜率后，還應該檢驗是否和頂點重合，由此即可得解.【詳解】（1）由題意，顯然且，所以的方程為（且）；（2）設(shè)在曲線上（），且中點為，則（且），所以，所以直線為即，，聯(lián)立，整理得，，解得x=1或，但這與且矛盾，故不符合題意；設(shè)在曲線上（），且中點為，但根據(jù)雙曲線的對稱性可知，中點應該為，這與中點為，矛盾；綜上所述，不存在滿足題意的直線的方程.【例2-2】（24-25高二上·河南駐馬店·階段練習）已知橢圓的一個頂點為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過點能否作一條直線，使直線與橢圓交于，兩點，且使得是線段的中點，若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)．【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、求弦中點所在的直線方程或斜率【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點及離心率即可得出橢圓方程；（2）當直線斜率存在時，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系建立方程求斜率即可得解.【詳解】（1）橢圓的頂點為，，又，，，橢圓的方程為：．（2）當過點的直線斜率不存在時，顯然不成立，設(shè)直線的斜率為，則其方程為：，如圖，

聯(lián)立方程組，消去并整理，得：，由在橢圓內(nèi)部可知，方程有兩不等實根，設(shè)Ax，且點是線段的中點，，，故存在這樣的直線，方程為：，即，【變式2-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)過點作斜率為的直線交橢圓于，兩點，為弦的中點，求直線的斜率．【答案】(1)橢圓的方程為；拋物線的方程為(2)【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程、由弦中點求弦方程或斜率【分析】（1）根據(jù)橢圓方程和離心率可得，即可得橢圓方程，根據(jù)焦點可得拋物線方程；（2）設(shè)的坐標，利用點差法即可得斜率.【詳解】（1）由橢圓方程可知：，因為，解得，又因為，所以橢圓的方程為；可知橢圓的焦點為，則拋物線的焦點為1,0，可得，即所以拋物線的方程為.（2）顯然點在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓必相交，如圖所示：設(shè)，中點為，則，，，因為兩點在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理可得，即，可得，所以直線的斜率為.【變式2-2】（23-24高二上·河北邢臺·階段練習）設(shè)拋物線的焦點為，點在上，，已知.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【知識點】直線與拋物線交點相關(guān)問題、拋物線的中點弦、根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程【分析】（1）因為，所以，即軸，因為拋物線的通徑長為，代入即可得解；（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，然后利用點差法結(jié)合條件可得斜率進而即得,【詳解】（1）因為，所以，即軸.令，可得，，，所以，得，故拋物線的方程為.（2）如圖，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得.因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即.由直線過點，必和拋物線有兩個交點，所以直線的方程為.【考點題型三】求弦長（定值）核心方法：弦長公式【例3】（24-25高二上·吉林延邊·階段練習）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線的標準方程；(2)設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點，求的面積.(3)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求PQ.【答案】(1)(2)(3)【知識點】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標準方程、根據(jù)雙曲線過的點求標準方程、求雙曲線中的弦長、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】（1）由已知，再將點代入雙曲線方程可得解；（2）聯(lián)立雙曲線與圓可得點坐標，進而可得三角形面積；（3）由已知可得直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合韋達定理與弦長公式可得解.【詳解】（1）由已知雙曲線的實軸長為，即得，所以雙曲線方程為，又雙曲線過點，則，解得，則雙曲線方程；（2）聯(lián)立雙曲線與圓的方程，即，解得，由點在第一象限，則，又，所以；（3）由已知直線，即，

聯(lián)立直線與雙曲線，即，得，，且，，則弦長.【變式3-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓長軸長為，且橢圓的離心率，其左右焦點分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且過的直線與橢圓交于，兩點，求.【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、求橢圓中的弦長【分析】（1）由橢圓的基本性質(zhì)得到橢圓的值，寫出橢圓方程.（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達定理得到和，用交點弦長公式得到線段長，即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，則，因為，所以，得到，所以橢圓的方程為.（2），所以直線，聯(lián)立方程組消得到，設(shè)，則，，所以.【變式3-2】（陜西省漢中市2024-2025學年高二上學期11月期中校際聯(lián)考數(shù)學試題）已知動點到點的距離與點到直線的距離相等.(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)點，為軌跡上不同的兩點，若線段的中垂線方程為，求線段的長.【答案】(1)(2)【知識點】求平面軌跡方程、求直線與拋物線相交所得弦的弦長【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，化簡得到；（2）設(shè)Mx1,y1，求出，得到的中點坐標，求出直線的方程，聯(lián)立后，由弦長公式求出答案.【詳解】（1）設(shè)點Px,y，根據(jù)題意有，上式兩邊同時平方得：，化簡得，點的軌跡的方程為.（2）設(shè)Mx1,y1，N線段的中垂線方程為，直線的斜率，由點Mx1,y1，N兩式相減得，又，故，，故，直線的方程為，即，聯(lián)立方程消去整理得，易知，，即線段的長為.【考點題型四】求弦長（最值或范圍）核心方法：【例4】（2024·四川遂寧·模擬預測）已知過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線為，在點處的切線為，直線與直線交于點，當直線的傾斜角為時，．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)線段的中點為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求直線與拋物線相交所得弦的弦長、求拋物線的切線方程【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，根據(jù)弦長公式即可求解，（2）根據(jù)中點坐標公式可得，進而利用導數(shù)求解斜率，根據(jù)點斜式求解切線方程，即可聯(lián)立兩直線方程得，根據(jù)弦長公式求解，即可代入化簡求解.【詳解】（1）當?shù)男甭蕿闀r，則，不妨設(shè)Ax1,y由可得，，所以，,即，因為，解得：．從而拋物線的方程為（2）由題意可知直線有斜率，設(shè)直線，Ax1由可得，，則所以，于是，即而由，則，于是拋物線在點處的切線的方程為即同理可得，在點處的切線的方程為聯(lián)立，解得，于是則從而所以，的取值范圍是【變式4-1】（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知橢圓：的兩焦點，，且橢圓過.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作不與坐標軸垂直的直線交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線與軸負半軸交于點，若點的縱坐標的最大值為，求的取值范圍.【答案】(1)(2),．【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、根據(jù)橢圓過的點求標準方程、求橢圓中的弦長、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）由題意列出方程組，求解即可；（2）設(shè)直線的方程為為不等于0的實數(shù)），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理可得中點坐標，進而得線段的中垂線方程，求出的縱坐標，結(jié)合題意求得，由弦長公式可得，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其值域即得答案．【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓的方程為：；（2）因為左焦點，由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為為不等于0的實數(shù)），，，，，由，可得，則，，，所以，所以的中點為，，所以線段的中垂線方程為：，令，則，即點縱坐標為，又因為是與軸交于負半軸，所以，，又因為點的縱坐標的最大值為，所以，解得，又因為，因為，令，，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在,上單調(diào)遞增，所以，，所以，，即的取值范圍為：,．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【變式4-2】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）過雙曲線右焦點的直線與的左?右支分別交于點，與圓：交于（異于）兩點.(1)求直線斜率的取值范圍；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】求雙曲線中的弦長、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、圓的弦長與中點弦、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2（2）利用弦長公式求解，利用垂徑定理求得，從而求得的表達式，然后設(shè)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可.【詳解】（1）設(shè)Ax1,設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以，又兩點在軸同一側(cè)，所以.此時，即.圓的方程為，點到直線的距離，由得，由得，所以或因為直線的斜率，所以直線斜率的取值范圍是.（2）由（1）可得.，所以設(shè)，則，所以的取值范圍是.

【考點題型五】根據(jù)弦長求參數(shù)核心方法：【例5】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）平面直角坐標系中，已知點，動點C滿足條件：的周長為，記動點C的軌跡為曲線W.(1)求W的方程；(2)設(shè)過點B的直線l與曲線W交于兩點，如果，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、軌跡問題——橢圓、根據(jù)弦長求參數(shù)【分析】（1）利用橢圓的定義求解橢圓方程即可；（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況，直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式計算即可.【詳解】（1），因為的周長為，所以，所以點的軌跡滿足橢圓的定義，，又因為，所以，并且點不能在軸上，所以點的軌跡方程為.（2）當直線的斜率不存在時，，不合題意；當直線的斜率不存在時，設(shè)，直線的方程為y=kx?1，與橢圓方程聯(lián)立得：，所以，由弦長公式得解得，所以的方程為或.【變式5-1】（2025·安徽·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過點F且互相垂直的兩條動直線分別與E交于點A，B和點C，D，當時，．(1)求E的方程；(2)設(shè)線段AB，CD的中點分別為M，N，若直線AB的斜率為正，且，求直線AB和CD的方程．【答案】(1)(2)，【知識點】根據(jù)韋達定理求參數(shù)、由弦長求參數(shù)、拋物線的中點弦、根據(jù)拋物線方程求焦點或準線【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達定理結(jié)合弦長公式可得，分析可知，，代入運算即可；（2）根據(jù)（1）結(jié)論可得：，，利用弦長公式運算求解即可.【詳解】（1）由題意可知：，直線的斜率存在且不為0，此時直線AB、CD均與拋物線相交，

設(shè)，則，聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，若，根據(jù)拋物線的對稱性不妨令直線的傾斜角為，即，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）可知：，，，且，則，即，同理可得：，由題意可知：，則，因為，解得，則，，即，.【變式5-2】（2024·浙江寧波·一模）已知是雙曲線：上一點，的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)直線過點，且與的兩支分別交于，兩點.若，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)雙曲線過的點求標準方程、根據(jù)雙曲線的漸近線求標準方程、求雙曲線中的弦長、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點以及漸近線方程即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程可得韋達定理，根據(jù)兩點距離公式以及弦長公式可求解，即可代入化簡求解.【詳解】（1）由題意可得，解得，故雙曲線方程為（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，由韋達定理可得，由于，化簡得，故，,故，故，平方可得，解得或，由于與的兩支分別交于，兩點，故，當時，代入不符合，故舍去，將其代入，經(jīng)檢驗符合，綜上可得【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用兩點斜率公式以及弦長公式求解.【考點題型六】拋物線非焦點弦問題核心方法：【例6】（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過點且與軸垂直的直線交于兩點，是與的一個公共點，，.(1)求與的標準方程；(2)過點且與相切的直線與交于點，求.【答案】(1)的標準方程為，的標準方程為(2)【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、根據(jù)拋物線上的點求標準方程、求直線與拋物線相交所得弦的弦長【分析】（1）由拋物線的定義代入計算，即可求得的標準方程，再將點的坐標代入橢圓方程，即可得到的標準方程；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）記，則拋物線的方程為，其準線方程為.因為，所以，解得，則的標準方程為.不妨設(shè)點在第一象限，記，因為，所以，解得.因為，所以，即.由解得所以的標準方程為.（2）不妨設(shè)點在第一象限，則.設(shè)直線.聯(lián)立得.由，解得，則.設(shè).聯(lián)立得，則，故.【變式6-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點的縱坐標為4，點到焦點的距離為5，過點做兩條互相垂直的弦、．(1)求拋物線的方程．(2)求的最小值．【答案】(1)(2)16【知識點】拋物線定義的理解、根據(jù)拋物線方程求焦點或準線、根據(jù)拋物線上的點求標準方程、求直線與拋物線相交所得弦的弦長【分析】（1）首先得到拋物線的焦點坐標與準線方程，依題意根據(jù)拋物線的定義得到，解得即可；（2）設(shè)直線方程為，且，，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長，同理得到，再由基本不等式計算可得.【詳解】（1）拋物線的焦點為，準線方程為，由題可知，解得或（舍），所以，拋物線的方程為．（2）依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線方程為，且，，聯(lián)立，可得，顯然，所以，，則．同理，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為16．【考點題型七】拋物線焦點弦問題核心方法：【例7】（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知拋物線的焦點為，過的直線與交于兩點.當軸時，.(1)求的方程；(2)若，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【知識點】與拋物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)、拋物線的通徑問題【分析】（1）根據(jù)點坐標可得兩點坐標，利用可求的方程.（2）設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合過焦點的弦長公式可求直線的方程.【詳解】（1）由題意得，，把代入得，即，∴，解得，∴的方程為：.（2）由（1）得直線斜率存在，F(xiàn)1,0，設(shè)，由得，，∴，由得，，解得，∴直線的方程為或.【變式7-1】（23-24高二下·上海青浦·期中）已知拋物線的焦點為，直線經(jīng)過點且與交于點．(1)若直線的斜率為，求的面積；(2)若，求線段的中點到軸的距離．【答案】(1)(2)1【知識點】三角形面積公式及其應用、求直線與拋物線相交所得弦的弦長、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、與拋物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)【分析】（1）寫出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求出，的值，進而得出，則由求出的面積；（2）因為是焦點弦，所以能求出值，設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，解出直線方程，把中點橫坐標代入求出縱坐標即為所求.【詳解】（1）因為拋物線，焦點為F1,0，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立得，則，，，則，又所以，.（2）因為直線經(jīng)過點且與交于點，設(shè)，，因為，所以直線斜率一定存在，設(shè)方程為，組成方程組，則有，則，，，因為，所以，則，當時，直線方程為，且，所以中點縱坐標為，此時中點到軸的距離為，根據(jù)對稱性，當時，中點到軸的距離也為，所以線段的中點到軸的距離為.【考點題型八】圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積（定值問題）核心方法：面積公式+弦長公式+點到直線的距離【例8】（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓分別為左右焦點，短軸長為2，點為橢圓在第一象限的動點，的周長為.(1)求的標準方程；(2)若，求點的坐標；(3)若，直線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，且的面積為，求的值.【答案】(1)(2)(3)【知識點】余弦定理解三角形、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】（1）根據(jù)題意列式求，即可得方程；（2）利用余弦定理可得，設(shè)，利用面積和方程運算求解即可；（3）聯(lián)立方程，利用韋達定理可得，結(jié)合面積關(guān)系分析求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則，且，由題意可知：，解得，所以橢圓的標準方程.（2）由（1）可知：，且，由余弦定理可得，即，解得，設(shè)，由的面積可得，即，解得，且，則，可得，所以點的坐標為.（3）因為直線過定點，且點在橢圓C內(nèi)，則直線與橢圓C必相交，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，則的面積為，解得（負值舍去），所以的值為.【變式8-1】（24-25高三上·江西南昌·階段練習）已知雙曲線的右頂點，點到雙曲線一條漸近線的距離為.若過雙曲線上一點作直線與兩條漸近線相交，交點為，且分別在第一象限和第四象限(1)求雙曲線的方程；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2)【知識點】已知點到直線距離求參數(shù)、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標準方程、已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線距離公式求解即得.（2）設(shè)直線方程為，與雙曲線的漸近線方程結(jié)合求出點的坐標并代入雙曲線方程，再求出的縱坐標差的絕對值即可求出面積.【詳解】（1）依題意，，雙曲線的漸近線為，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，則直線交軸于點，由（1）知，雙曲線的漸近線為，設(shè)，由消去得，則，，有，由，得為線段中點，點，而點在雙曲線：上，于是，整理得，又，所以的面積.【變式8-2】（23-24高二下·重慶·期中）已知點，在拋物線上.(1)若，記線段的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離；(2)若點，在直線上，且滿足四邊形為正方形，求此正方形的面積.【答案】(1)點到軸的最短距離為，點的坐標為或(2)或【知識點】拋物線上的點到定點的距離及最值、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、直線與拋物線交點相關(guān)問題【分析】（1）利用拋物線定義以及三角形的邊長之間的不等式得到點到軸的最短距離，根據(jù)點到軸的最短距離可知三點共線，然后聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用韋達定理即可求解；（2）由題意可得，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用弦長公式求出AB，再根據(jù)直線和直線之間的距離等于AB，可求出，進而可得出答案.【詳解】（1）由拋物線方程可知，其焦點，準線方程：，從而，當且僅當三點共線時，不等式取等號，設(shè)線段的中點為到軸的距離為，由拋物線定義和梯形中位線性質(zhì)可知，，即，從而點到軸的最短距離為，不妨設(shè)，且此時三點共線，不妨設(shè)，，直線的方程為：，由，恒成立，則，，從而，即，從而，即，故點的坐標為或；（2）由題意可得，且，設(shè)直線的方程為，則直線和直線之間的距離，聯(lián)立，消得，，所以，設(shè)，，則，所以，所以，解得或，當時，，此時正方形的面積為，當時，，此時正方形的面積為，綜上所述，正方形的面積為或.【考點題型九】圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積（最值或范圍問題）核心方法：面積公式+弦長公式+點到直線的距離+基本不等式+一元二次函數(shù)【例9】（24-25高三上·湖南·階段練習）在平面直角坐標系中，已知動點滿足：．(1)求動點E的軌跡方程；(2)過作直線交曲線的y軸左側(cè)部分于A，B兩點，過作直線交曲線的y軸右側(cè)部分于C，D兩點，且，依次連接A，B，C，D四點得四邊形ABCD，求四邊形ABCD的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】利用雙曲線定義求方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義即可得到，即可得到軌跡方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達定理與弦長公式代入計算，即可得到面積的表達式，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得到其范圍.【詳解】（1）由，得，所以動點E的軌跡是以，為焦點，為長軸長的雙曲線，而且，，，所以所求軌跡方程為.（2）由題意可知且，∴四邊形ABCD為平行四邊形，直線AB，CD的斜率必不為0，所以可設(shè)直線為，，，聯(lián)立，化簡得，所以，解得，∴，原點O到直線的距離為，所以，令，又，則，記，易知在單調(diào)遞增，所以當，即時，有最小值6，時，，所以，故平行四邊形ABCD的面積的取值范圍為．【變式9-1】（24-25高二上·北京·期中）已知和為橢圓上的兩點.(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，求三角形AOB面積的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【知識點】根據(jù)橢圓過的點求標準方程、求橢圓中的弦長、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題【分析】（1）利用，兩點坐標，求出，再利用求出，進而得到橢圓方程與離心率；（2）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，求出AB弦長，再求出點O到AB的距離，求出三角形AOB面積，研究該函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）解：和為橢圓上的兩點，所以，解之得，，又因為，所以.所以橢圓C的方程為，離心率.（2）解：聯(lián)立方程，消去得，因為，所以設(shè)交點，，則，，所以.又因為點到直線的距離為，所以三角形AOB面積令，則（當且僅當即時，等號成立），也就是當時，三角形AOB面積取最大值又因為當時，，所以三角形AOB面積的取值范圍是.【變式9-2】（24-25高二上·江蘇揚州·期中）已知拋物線經(jīng)過點.(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)直線與E的交點為，直線與傾斜角互補.（i）求的值；（ii）若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【知識點】根據(jù)拋物線上的點求標準方程、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、拋物線中的定值問題、直線與拋物線交點相關(guān)問題【分析】（1）把點坐標代入拋物線方程，可求的值.（2）（i）把直線方程代入拋物線方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到和，把直線與傾斜角互補，轉(zhuǎn)化成，可求的值；（ii）先求弦長，再求到直線的距離，可表示出的面積，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為.（2）（i）如圖：設(shè)，將直線的方程代入得：，所以，因為直線與傾斜角互補，所以，即，所以，即，所以.（ii）由（i）可知，所以，則，因為，所以，即，又點到直線的距離為，所以，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以面積最大值為.【考點題型十】圓錐曲線中的向量問題【例10】（2024·陜西商洛·一模）已知雙曲線的左、右頂點分別是，點在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．(1)求雙曲線的標準方程；(2)斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點，為坐標原點，君，求點到直線的距離的最大值．【答案】(1)(2)【知識點】求點到直線的距離、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標準方程、求雙曲線中的最值問題、雙曲線中向量點乘問題【分析】（1）直線的斜率之積為3，構(gòu)造方程求出，再將點代入方程即可；（2）設(shè)直曲聯(lián)立，借助韋達定理，由，所以，結(jié)合韋達定理，求出，再用點到直線距離計算即可.【詳解】（1）由題意可得，則直線的斜率，直線的斜率．因為直線的斜率之積為3，所以，解得．因為點在雙曲線上，所以，解得．故雙曲線的標準方程為．（2）設(shè)直線聯(lián)立整理得則所以．因為，所以，所以即化簡得，故．由點到直線的距離公式可得，點到直線的距離．因為，所以，所以，即點到直線的距離的最大值是．【變式10-1】（24-25高二上·甘肅武威·期中）已知曲線的左右焦點為，P是曲線E上一動點(1)求△的周長；(2)過的直線與曲線E交于AB兩點，且，求直線AB的方程；【答案】(1)(2)【知識點】橢圓中向量共線比例問題、根據(jù)韋達定理求參數(shù)、橢圓中焦點三角形的周長問題【分析】（1）先由曲線E的標準方程求得，再利用橢圓的定義即可得解；（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，由題意設(shè)直線AB：，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理得到【詳解】（1）∵曲線E：∴，則∴∴，，故△的周長為.（2）依題意，知直線AB斜率存在且不為，設(shè)直線AB：，設(shè)A聯(lián)立，消去，得，恒成立，由韋達定理得：因為,F2所以

則，從而有,消去，得，即所以直線AB的方程為，即.

【變式10-2】（24-25高三上·上海·期中）已知拋物線經(jīng)過點，直線過點且與拋物線有兩個不同的交點，.(1)求拋物線的準線方程；(2)求直線的斜率的取值范圍；(3)若直線交軸于，直線交軸于，設(shè)為原點，，，求的值.【答案】(1)x=?1；(2)；(3)2.【知識點】根據(jù)拋物線上的點求標準方程、拋物線中的參數(shù)范圍問題、拋物線中的定值問題、直線與拋物線交點相關(guān)問題【分析】（1）將點代入求參數(shù)，即可得準線方程；（2）設(shè)且，聯(lián)立拋物線結(jié)合判別式求參數(shù)范圍；（3）根據(jù)題意，設(shè)直線，和，由向量的線性關(guān)系求得、，應用韋達定理化簡求值即可.【詳解】（1）由在拋物線上，可得，故，則準線為x=?1；（2）由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)且，聯(lián)立拋物線得，所以，則，故直線的斜率范圍是.（3）由題意，根據(jù)（2）易知，當直線與拋物線相切，即k=1時過，令，，且，且，，若，得，所以，同理得，而，故，，由題意，同理可得，所以，而，，所以.【考點題型十一】圓錐曲線中的定點問題【例11】（24-25高二上·浙江寧波·期中）設(shè)拋物線：，F(xiàn)是其焦點，已知拋物線上一點，且(1)求該拋物線的方程；(2)過點F作兩條互相垂直的直線和，分別交曲線C于點A，B和K，N.設(shè)線段AB，KN的中點分別為P，Q，求證:直線恒過一個定點.【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】拋物線定義的理解、根據(jù)拋物線上的點求標準方程、拋物線中的直線過定點問題【分析】（1）根據(jù)題意可得，進而求解即可；（2）分別建立的方程，再分別與拋物線聯(lián)立方程組，求出弦中點為的坐標，最后借助斜率的變化確定直線經(jīng)過定點.【詳解】（1）由題意，得，解得，，所以該拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)兩點坐標分別為，則點的坐標為.由題意可設(shè)直線的方程為.由，得，則，，所以點的坐標為.同理可得，點的坐標為.當時，有，此時直線的斜率.所以，直線的方程為，整理得.于是，直線恒過定點；當時，直線的方程為，也過點.綜上所述，直線恒過定點.

【變式11-1】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知橢圓的右焦點在直線上，分別為的左?右頂點，且.(1)求的標準方程；(2)設(shè)的右頂點為，點是上的兩個動點，且直線與的斜率之和為，證明：直線過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中的直線過定點問題【分析】（1）先求出點的坐標，得出橢圓的半焦距，進一步求得與的值，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可出答案.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程消去，利用韋達定理代入，然后可得，即可得證.【詳解】（1）由直線與軸的交點為1,0，得橢圓右焦點的坐標為1,0，故，由題意可得，得，.橢圓的方程為：；（2）由的方程可知，若直線的斜率不存在，則關(guān)于軸對稱，直線與的斜率互為相反數(shù)，不符合題意；故設(shè)直線的方程為，且均不與重合，由得，，，，，令，解得，直線的方程為，即，直線過定點2,3.【變式11-2】（24-25高二上·遼寧·期中）在平面直角坐標系中，，分別為雙曲線的左?右焦點，已知，為雙曲線上的兩動點，若點的橫坐標為3，則的長為.(1)求的方程；(2)設(shè)，，記的面積為，的面積為，若，求的取值范圍；(3)已知點在軸上方，直線過雙曲線的右焦點且與軸交于點，若的延長線與交于點，問是否存在軸上方的點，使得成立？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【知識點】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標準方程、求雙曲線的焦距、雙曲線中存在定點滿足某條件問題【分析】(1)由雙曲線基本性質(zhì)列式計算可得；(2)由面積公式，結(jié)合不等式計算求解可得；(3)根據(jù)向量坐標表示計算求解可得.【詳解】（1）設(shè)，由點為雙曲線上的一點，得①因為，所以，得②，又③，由①②③得，，所以雙曲線的方程為；（2）設(shè)，因為，，所以，.由，得，即，又，則，解得，所以，即的取值范圍是；（3）不存在軸上方的點使得成立.理由如下：設(shè)Ax1,y1，B①當直線的斜率大于零時，由圖象對稱性，可知，關(guān)于軸對稱，則，其中，，又，，所以，，，則，同理，由，得，因此，所以，設(shè)直線，由消去，得，且，所以，故，又，所以，，由，得，所以此時這樣的點不存在.②當直線的斜率小于零時，由圖象對稱性，可知，關(guān)于軸對稱，則，又，所以此時這樣的點不存在.綜上，不存在滿足條件的點.【考點題型十二】圓錐曲線中的定值問題【例12】（24-25高二上·云南大理·期中）如圖，已知圓，圓心是點，點是圓上的動點，點的坐標為，線段的垂直平分線交線段于點，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作一條直線與曲線相交于兩點，與軸相交于點，若，試探究是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值【知識點】利用橢圓定義求方程、軌跡問題——橢圓、橢圓中的定值問題、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合橢圓的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達定理，即可根據(jù)向量的坐標運算表示，且，代入化簡即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，半徑，因為線段的中垂線交線段于點，所以，所以，所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，所以，，，故曲線的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，其方程為，與軸不相交，不合題意，舍去，當直線的斜率存在時，設(shè)所在直線方程為，設(shè)Ax1,由消去整理得，恒成立，所以，又因為直線與軸的交點為，所以，所以，，，，又因為，所以，同理，所以，且，所以，整理后得，所以為定值，原題得證.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．【變式12-1】（24-25高三上·山東濟寧·階段練習）已知，，平面上有動點，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.(1)求動點的軌跡的方程.(2)過點的直線與交于點（在第一象限），過點的直線與交于點（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.①求證：直線過定點；②試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由．【答案】(1)，；(2)①證明見解析；②存在，.【知識點】雙曲線中的定值問題、雙曲線中的直線過定點問題、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、求雙曲線的軌跡方程【分析】（1）設(shè)點，結(jié)合斜率的兩點式及斜率乘積為1列方程求軌跡；（2）①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立曲線，應用韋達定理及求參數(shù)t，即可證定點；②應用面積公式即可判斷面積比是否為定值.【詳解】（1）設(shè)點，，故動點的軌跡方程為，.（2）由題意，而，即，①設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，得，，，且，∴，整理得，韋達公式代入并整理得，得或（直線過B點，舍），∴直線方程為，即直線過定點，得證；②此時，，故．【變式12-2】（24-25高二上·江蘇揚州·期中）已知拋物線的準線與軸的交點為．(1)求拋物線的方程；(2)若經(jīng)過點的直線與拋物線相切，求直線的方程；(3)若過點的直線與拋物線交于兩點，證明：為定值．【答案】(1)；(2)或；(3)證明見解析.【知識點】根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程、求拋物線的切線方程、拋物線中的定值問題、直線與拋物線交點相關(guān)問題【分析】（1）根據(jù)題設(shè)有，即可得拋物線方程；（2）討論斜率存在性，并設(shè)聯(lián)立拋物線，利用求參數(shù)，即可得直線方程；（3）令為，，聯(lián)立拋物線并應用韋達定理化簡，即可證.【詳解】（1）由題設(shè)知，則；（2）由題意，直線的斜率不存在時，與拋物線只有一個交點，但不相切，令，聯(lián)立拋物線得，所以，則或，所以直線為或.（3）由題意，斜率一定存在，令為，，聯(lián)立拋物線得，則，，而，，所以.提升訓練一、單選題1．（24-25高二上·云南昆明·期中）設(shè)是橢圓上的上頂點，點在上，則的最大值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【知識點】求橢圓中的最值問題【分析】設(shè)，則，把轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題求解.【詳解】設(shè)，則，，.易知，所以，.當時，有最大值，為：.所以的最大值為：.故選：A2．（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓，過點的直線交于、兩點，且是的中點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由弦中點求弦方程或斜率【分析】設(shè)、，利用點差法可求得直線的斜率.【詳解】若線段軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)、，由題意可得，，則，兩式相減可得，所以，，解得，因此，直線的斜率為.故選：A.3．（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的右焦點為，過點的直線與交于兩點，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)弦長求參數(shù)【分析】設(shè)出直線的橫截式方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求解出值，則結(jié)果可求.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，消去化簡整理得，所以，于是，解得，故直線的方程為，令，解得，所以直線在軸上的截距為，故選：D.4．（24-25高二上·河南·階段練習）已知橢圓的右焦點為，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數(shù)、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】求出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理列式求解即得.【詳解】直線的斜率，其方程為，由消去得，，由AB的中點坐標為，得，整理得，而，解得，此時，，所以C的方程為.故選：A5．（24-25高三上·湖南長沙·期中）已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交于兩點，在第一象限，若以為直徑的圓經(jīng)過(0,2)，則的面積為（

）A． B．C． D．5【答案】B【知識點】與拋物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)、拋物線中的三角形或四邊形面積問題、拋物線定義的理解【分析】根據(jù)焦點可得，即可根據(jù)圓心到軸距離以及圓的半徑可得圓與與相切，即可求解，可得，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得韋達定理，即可根據(jù)焦點弦公式以及點到直線距離求解面積.【詳解】由題意知，解得，所以拋物線，設(shè)坐標為,又拋物線的焦半徑可知,故圓的半徑為故以為直徑的圓的圓心圓心到軸的距離為以為直徑的圓的與相切，且切點為(0,2)，故因此，故，直線為，聯(lián)立，消去得，，所以，.O到直線AB的距離，所以的面積為故選：B6．（2024高三·全國·專題練習）定義：直線叫作雙曲線的準線．已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是（

）．A． B．C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍【分析】由橢圓和雙曲線的性質(zhì)求解參數(shù)，然后再由直線和橢圓聯(lián)立方程來研究至多一個交點的充要條件是，即可作出選項的判斷.【詳解】曲線的右準線是，它過橢圓的右焦點，所以，所以，所以橢圓方程為．①，把代入①，得，②，由②的判別式，得，得到，所以，直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是，故選：A．7．（24-25高二上·陜西西安·階段練習）已知雙曲線，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點．且，這樣的直線有4條，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求雙曲線中的弦長、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①直線只與雙曲線右支相交，②直線與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，可得答案．【詳解】設(shè)，令，則，過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于兩點，如果在同一支上，則有，如果在兩支上，則有，因為這樣的直線有4條，所以，解得，故選：B8．（24-25高三上·全國·階段練習）已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線交于異于原點的，兩點，若在直線上存在點，使得四邊形是平行