專題12 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 7個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

清單12導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．【清單02】函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)【考點(diǎn)題型一】判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【例1】（23-24高二下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù).(1)求的極值點(diǎn)；(2)判斷方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)，并說明理由.【變式1-1】（23-24高二下·廣西桂林·期末）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)判斷在1,2上是否有零點(diǎn)，并說明理由．【變式1-2】（23-24高二下·河南鄭州）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.【考點(diǎn)題型二】證明函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的唯一性【例2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn).【變式2-1】（24-25高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：函數(shù)存在唯一零點(diǎn)．【變式2-2】（24-25高三上·浙江金華）設(shè)，已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)．【考點(diǎn)題型三】討論函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).【變式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函數(shù).(1)若在處取得極大值，求的值；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【變式3-2】（23-24高三上·云南·階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)性；(2)若，令，討論方程的解的個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)題型四】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例4】（24-25高三上·廣東梅州·期中）已知函數(shù)在處取得極大值.(1)求的值；(2)若有且只有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【變式4-2】（23-24高二下·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上有解，求的取值范圍.【考點(diǎn)題型五】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例5】（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.【變式5-1】（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn).求的取值范圍【變式5-2】（2024·貴州貴陽）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí).求在處的切線方程;(2)若方程存兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【變式5-3】（2024高二·河南南陽·專題練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)題型六】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）【例6】（24-25高三上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）設(shè)，若不等式在時(shí)恒成立，則k的最大值為【變式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是．【變式6-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）若a>0且關(guān)于的不等式在0,+∞上恒成立，則的取值范圍是．【考點(diǎn)題型七】導(dǎo)數(shù)中新定義題【例7】（24-25高三上·山東菏澤·期中）若函數(shù)在上存在，使得，則稱為在區(qū)間上的“奇點(diǎn)”，若存在、，使得，，則稱是上的“雙奇點(diǎn)函數(shù)”，其中、也稱為在上的奇點(diǎn).(1)已知函數(shù)是區(qū)間上的雙奇點(diǎn)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)，；（i）當(dāng)時(shí)，若為在區(qū)間上的“奇點(diǎn)”，證明：；（ii）求證：對(duì)任意的，在區(qū)間上存在唯一“奇點(diǎn)”.【變式7-1】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知的子集和定義域同為的函數(shù)，．若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，總有，則稱是的一個(gè)“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．(1)求的所有關(guān)聯(lián)函數(shù)；(2)若是其自身的一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對(duì)定義在R上的函數(shù)，證明：“對(duì)任意x∈R成立”的充分必要條件是“存在函數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都是的一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)”．【變式7-2】（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）定義：記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f′x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).(1)求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；(2)若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．0 C．3 D．22．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C． D．3．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知函數(shù).若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·山東菏澤·期中）若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山東·開學(xué)考試）若函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·山東東營·期末）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）若點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且均在函數(shù)的圖象上，則稱是函數(shù)的一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”）.已知恰有兩個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”，則的取值范圍是.8．（23-24高三下·安徽黃山·階段練習(xí)）已知，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.三、解答題9．（24-25高三上·山東臨沂·期中）已知函數(shù).(1)求的導(dǎo)函數(shù)的極值；(2)不等式對(duì)任意恒成立，求k的取值范圍；(3)對(duì)任意，直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍.10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，且過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）設(shè)f′x是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f″x是函數(shù)f′x的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″x=0有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)x(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).13．（24-25高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14．（22-23高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知.(1)求的圖象的以為切點(diǎn)的切線方程；(2)過點(diǎn)可對(duì)的圖象作出三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.15．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知定義：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間I上的二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的