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湖南省洞口縣九中2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.2.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.3.若函數(shù)在時(shí)取得極值,則()A. B. C. D.4.若變量,滿(mǎn)足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.105.設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若雙曲線右支上存在一點(diǎn),使(為坐標(biāo)原點(diǎn)),且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),所在直線的斜率為()A. B. C. D.7.已知為兩條不重合直線,為兩個(gè)不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.8.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.雙曲線的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn),與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知向量,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件12.小王因上班繁忙,來(lái)不及做午飯,所以叫了外賣(mài).假設(shè)小王和外賣(mài)小哥都在12:00~12:10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下,則小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知單位向量的夾角為,則=_________.14.已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為,則_______.15.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則的模為_(kāi)______________.16.某種賭博每局的規(guī)則是:賭客先在標(biāo)記有1,2,3,4,5的卡片中隨機(jī)摸取一張,將卡片上的數(shù)字作為其賭金;隨后放回該卡片,再隨機(jī)摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金.若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金,則D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè),求證:;(Ⅲ)若對(duì)于恒成立,求的最大值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,焦距為2,直線與橢圓交于兩點(diǎn)(均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)).當(dāng)直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí),四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線的斜率分別為.①若,求證:直線過(guò)定點(diǎn);②若直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),試判斷是否為定值,并說(shuō)明理由.19.(12分)某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品,獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng),同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)).年份年份代號(hào)年利潤(rùn)(單位:億元)(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司年(年份代號(hào)記為)的年利潤(rùn);(Ⅱ)當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí),稱(chēng)該年為級(jí)利潤(rùn)年,否則稱(chēng)為級(jí)利潤(rùn)年.將(Ⅰ)中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年,求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式:,.20.(12分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若求證:.21.(12分)如圖,在正四棱柱中,,,過(guò)頂點(diǎn),的平面與棱,分別交于,兩點(diǎn)(不在棱的端點(diǎn)處).(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)求證:與不垂直;(3)若平面與棱所在直線交于點(diǎn),當(dāng)四邊形為菱形時(shí),求長(zhǎng).22.(10分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對(duì)價(jià)格y(千克/噸)和利潤(rùn)z的影響,對(duì)近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元,假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣(mài)出,預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí),年利潤(rùn)w取到最大值?參考公式:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.2、D【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計(jì)算能力.3、D【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,又函?shù)在時(shí)取得極值,所以,解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問(wèn)題,屬于??碱}型.4、D【解析】
畫(huà)出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫(huà)出滿(mǎn)足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為,目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為,可行域內(nèi)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,由圖可知到原點(diǎn)的距離最大,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.5、D【解析】
利用向量運(yùn)算可得,即,由為的中位線,得到,所以,再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點(diǎn),則由得,即;在中,為的中位線,所以,所以;由雙曲線定義知,且,所以,解得,故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),難度一般.6、A【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長(zhǎng)最小時(shí)A,P位于同一水平線上,計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算斜率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長(zhǎng)最小值,即計(jì)算PA+PF最小值,結(jié)合拋物線性質(zhì)可知,PF=PN,所以,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處,三角形周長(zhǎng)最小,故此時(shí)M的坐標(biāo)為,所以斜率為,故選A.【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì),難度中等.7、D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng),,時(shí),則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng),,時(shí),則,故不能作為的充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng),,時(shí),則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng),,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當(dāng),不充分故是必要不充分條件,答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件,屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解析】
根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn),再利用,求出點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因?yàn)?,即可得到,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.10、C【解析】
令,可得,要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即和有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】令,可得,要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,即和有兩個(gè)交點(diǎn),,令,可得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,若直線和有兩個(gè)交點(diǎn),則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍,解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.11、A【解析】
向量,,,則,即,或者-1,判斷出即可.【詳解】解:向量,,,則,即,或者-1,所以是或者的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間,根據(jù)題意列出不等式組,利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣(mài)小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為,以12:00點(diǎn)為開(kāi)始算起,則有,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),如圖所示:圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,所以小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式,考查了不等式組表示的平面區(qū)域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為,所以,所以==.14、1【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由切線方程得切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得.【詳解】由題意,∵函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為,∴,解得,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出導(dǎo)函數(shù)是解題基礎(chǔ),15、【解析】
利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】解:由,得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、20.2【解析】
分別求出隨機(jī)變量ξ1和ξ2的分布列,根據(jù)期望和方差公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)a,b∈{1,2,1,4,5},則p(ξ1=a),其ξ1分布列為:ξ112145PE(ξ1)(1+2+1+4+5)=1.D(ξ1)[(1﹣1)2+(2﹣1)2+(1﹣1)2+(4﹣1)2+(5﹣1)2]=2.ξ2=1.4|a﹣b|的可能取值分別為:1.4,2.3,4.2,5.6,P(ξ2=1.4),P(ξ2=2.3),P(ξ2=4.2),P(ξ2=5.6),可得分布列.ξ21.42.34.25.6PE(ξ2)=1.42.34.25.62.3.∴E(ξ1)﹣E(ξ2)=0.2.故答案為:2,0.2.【點(diǎn)睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率,根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算期望和方差.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)利用二次求導(dǎo)可得,所以在上為增函數(shù),進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),所以函數(shù)在遞減,在,遞增,則,進(jìn)而可證;(Ⅲ)條件等價(jià)于對(duì)于恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性,即可得到的最小值為,再次構(gòu)造函數(shù)(a),,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得最大值.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則,所以,又因?yàn)?,所以在上為增函?shù),因?yàn)椋援?dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ),則令,則(1),,所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,則,且,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,,由,得,所以,由于,,從而;(Ⅲ)因?yàn)閷?duì)于恒成立,即對(duì)于恒成立,不妨令,因?yàn)椋?,所以的解為,則當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),所以的最小值為,則,不妨令(a),,則(a),解得,所以當(dāng)時(shí),(a),(a)為增函數(shù),當(dāng)時(shí),(a),(a)為減函數(shù),所以(a)的最大值為,則的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的解法,意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于較難題.18、(1);(2)①證明見(jiàn)解析;②【解析】
(1)由題意焦距為2,設(shè)點(diǎn),代入橢圓,解得,從而四邊形的面積,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,推導(dǎo)出,,,,由此猜想:直線過(guò)定點(diǎn),從而能證明,,三點(diǎn)共線,直線過(guò)定點(diǎn).②由題意設(shè),,,,直線,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:,得,推導(dǎo)出,,由此推導(dǎo)出(定值).【詳解】(1)由題意焦距為2,可設(shè)點(diǎn),代入橢圓,得,解得,四邊形的面積,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,,解得,從而,,,同理可得,,猜想:直線過(guò)定點(diǎn),下證之:,,,,三點(diǎn)共線,直線過(guò)定點(diǎn).②為定值,理由如下:由題意設(shè),,,,直線,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:,得,,,,(定值).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明,考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法,考查橢圓、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(Ⅰ),該公司年年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進(jìn)而可求得關(guān)于的線性回歸方程,然后將代入回歸直線方程,可得出該公司年年利潤(rùn)的估計(jì)值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸直線方程計(jì)算出從年至年這年被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的年數(shù),然后利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算可得,,,又,,,關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元),該公司年的年利潤(rùn)的預(yù)測(cè)值為億元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利潤(rùn)的估計(jì)值分別為、、、、、、、(單位:億元),其中實(shí)際利潤(rùn)大于相應(yīng)估計(jì)值的有年.故這年中被評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年,評(píng)為級(jí)利潤(rùn)年的有年.記“從年至年這年的年利潤(rùn)中隨機(jī)抽取年,恰有年為級(jí)利潤(rùn)年”的概率為,.【點(diǎn)睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,同時(shí)也考查了古典概型概率的計(jì)算,涉及組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)1;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得的最大值,進(jìn)而求得的值.(2)利用(1)的結(jié)論,將轉(zhuǎn)化為,求得的取值范圍,利用換元法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,證得,由此證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),取得最大值.(2)證明:由(1)得,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,令,則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的最值的求法,考查利用基本不等式進(jìn)行證明,屬于中檔題.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)
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