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文檔簡介
陜西省渭南市合陽縣2025屆高考考前模擬數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線(,)的左、右焦點分別為,以(為坐標原點)為直徑的圓交雙曲線于兩點,若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.若,,則的值為()A. B. C. D.3.設集合A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z},則A∩B=()A.(﹣1,3] B.[﹣1,3] C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}4.已知α,β表示兩個不同的平面,l為α內的一條直線,則“α∥β是“l(fā)∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.6.中國古代用算籌來進行記數(shù),算籌的擺放形式有縱橫兩種形式(如圖所示),表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯記數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,其中個位、百位、方位……用縱式表示,十位、千位、十萬位……用橫式表示,則56846可用算籌表示為()A. B. C. D.7.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.48.若復數(shù)在復平面內對應的點在第二象限,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.10.已知函數(shù)是上的減函數(shù),當最小時,若函數(shù)恰有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.11.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上是增函數(shù)的是().A. B.C. D.12.已知,,則等于().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.甲,乙兩隊參加關于“一帶一路”知識競賽,甲隊有編號為1,2,3的三名運動員,乙隊有編號為1,2,3,4的四名運動員,若兩隊各出一名隊員進行比賽,則出場的兩名運動員編號相同的概率為______.14.在正方體中,已知點在直線上運動,則下列四個命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當為中點時,二面角的余弦值為;④若正方體的棱長為2,則的最小值為;其中說法正確的是____________(寫出所有說法正確的編號)15.在中,內角的對邊分別為,已知,則的面積為___________.16.已知,,,則的最小值是__.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,橢圓的長軸長為,點、、為橢圓上的三個點,為橢圓的右端點,過中心,且,.(1)求橢圓的標準方程;(2)設、是橢圓上位于直線同側的兩個動點(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關系,并求證直線的斜率為定值.18.(12分)設函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調性;(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點,求證:.19.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當時,求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.20.(12分)設函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設為的三個內角,若,求的值;21.(12分)4月23日是“世界讀書日”,某中學開展了一系列的讀書教育活動.學校為了解高三學生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組(每名學生只能參加一個讀書小組)學生抽取12名學生參加問卷調查.各組人數(shù)統(tǒng)計如下:小組甲乙丙丁人數(shù)12969(1)從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人,求這2人來自同一個小組的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人,用表示抽得甲組學生的人數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大?。唬?)若△ABC外接圓的半徑為,求△ABC面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
連接,可得,在中,由余弦定理得,結合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的性質及雙曲線的離心率,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.2、A【解析】
取,得到,取,則,計算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,取和是解題的關鍵.3、C【解析】
先求集合A,再用列舉法表示出集合B,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解:∵集合A={y|y=2x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2,3},故選:C.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,屬于基礎題.4、A【解析】試題分析:利用面面平行和線面平行的定義和性質,結合充分條件和必要條件的定義進行判斷.解:根據(jù)題意,由于α,β表示兩個不同的平面,l為α內的一條直線,由于“α∥β,則根據(jù)面面平行的性質定理可知,則必然α中任何一條直線平行于另一個平面,條件可以推出結論,反之不成立,∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件.故選A.考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷;平面與平面平行的判定.5、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應選.6、B【解析】
根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應的算籌即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意可得,各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個位,百位,萬位用縱式表示;十位,千位,十萬位用橫式表示,用算籌表示應為:縱5橫6縱8橫4縱6,從題目中所給出的信息找出對應算籌表示為中的.故選:.【點睛】本題主要考查學生的合情推理與演繹推理,屬于基礎題.7、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.8、B【解析】
復數(shù),在復平面內對應的點在第二象限,可得關于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復平面對應的點在第二象限,得,則.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題.9、C【解析】
分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.10、A【解析】
首先根據(jù)為上的減函數(shù),列出不等式組,求得,所以當最小時,,之后將函數(shù)零點個數(shù)轉化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題,畫出圖形,數(shù)形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數(shù),則有,可得,所以當最小時,,函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根,等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點.畫出函數(shù)的簡圖如下,而函數(shù)恒過定點,數(shù)形結合可得的取值范圍為.故選:A.【點睛】該題考查的是有關函數(shù)的問題,涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調減求參數(shù)的取值范圍,根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,數(shù)形結合思想的應用,屬于中檔題目.11、B【解析】
奇函數(shù)滿足定義域關于原點對稱且,在上即可.【詳解】A:因為定義域為,所以不可能時奇函數(shù),錯誤;B:定義域關于原點對稱,且滿足奇函數(shù),又,所以在上,正確;C:定義域關于原點對稱,且滿足奇函數(shù),,在上,因為,所以在上不是增函數(shù),錯誤;D:定義域關于原點對稱,且,滿足奇函數(shù),在上很明顯存在變號零點,所以在上不是增函數(shù),錯誤;故選:B【點睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調性,注意奇偶性的前提定義域關于原點對稱,屬于簡單題目.12、B【解析】
由已知條件利用誘導公式得,再利用三角函數(shù)的平方關系和象限角的符號,即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結合解得,所以,故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式、同角三角函數(shù)的平方關系以及三角函數(shù)的符號與位置關系,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
出場運動員編號相同的事件顯然有3種,計算出總的基本事件數(shù),由古典概型概率計算公式求得答案.【詳解】甲隊有編號為1,2,3的三名運動員,乙隊有編號為1,2,3,4的四名運動員,出場的兩名運動員編號相同的事件數(shù)為3,出現(xiàn)的基本事件總數(shù),則出場的兩名運動員編號相同的概率為.故答案為:【點睛】本題考查求古典概率的概率問題,屬于基礎題.14、①②④【解析】
①∵,∴平面
,得出上任意一點到平面的距離相等,所以判斷命題①;②由已知得出點P在面上的射影在上,根據(jù)線面垂直的判定和性質或三垂線定理,可判斷命題②;③當為中點時,以點D為坐標原點,建立空間直角系,如下圖所示,運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判斷命題③;④過作平面交于點,做點關于面對稱的點,使得點在平面內,根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短,可求得當點在點時,在一條直線上,取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵,∴平面
,所以上任意一點到平面的距離相等,所以三棱錐的體積不變,所以①正確;
②在直線上運動時,點P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正確;③當為中點時,以點D為坐標原點,建立空間直角系,如下圖所示,設正方體的棱長為2.則:,,所以,設面的法向量為,則,即,令,則,設面的法向量為,,即,,由圖示可知,二面角是銳二面角,所以二面角的余弦值為,所以③不正確;④過作平面交于點,做點關于面對稱的點,使得點在平面內,則,所以,當點在點時,在一條直線上,取得最小值.因為正方體的棱長為2,所以設點的坐標為,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正確.
故答案為:①②④.【點睛】本題考查空間里的線線,線面,面面關系,幾何體的體積,在求解空間里的兩線段的和的最小值,仍可以運用對稱的思想,兩點之間線段最短進行求解,屬于難度題.15、【解析】
由余弦定理先算出c,再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學生的計算能力,是一道基礎題.16、.【解析】
因為,展開后利用基本不等式,即可得到本題答案.【詳解】由,得,所以,當且僅當,取等號.故答案為:【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值,考查學生的轉化能力和運算求解能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)詳見解析.【解析】試題分析:(1)利用題中條件先得出的值,然后利用條件,結合橢圓的對稱性得到點的坐標,然后將點的坐標代入橢圓方程求出的值,從而確定橢圓的方程;(2)將條件得到直線與的斜率直線的關系(互為相反數(shù)),然后設直線的方程為,將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點的坐標,注意到直線與的斜率之間的關系得到點的坐標,最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.(1),,又是等腰三角形,所以,把點代入橢圓方程,求得,所以橢圓方程為;(2)由題易得直線、斜率均存在,又,所以,設直線代入橢圓方程,化簡得,其一解為,另一解為,可求,用代入得,,為定值.考點:1.橢圓的方程;2.直線與橢圓的位置關系;3.兩點間連線的斜率18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)求導得到,討論,,三種情況得到單調區(qū)間.(Ⅱ)設,要證,即證,,設,根據(jù)函數(shù)單調性得到證明.【詳解】(Ⅰ),令,,(1)當,即時,,,在上單調遞增;(2)當,即時,設的兩根為(),,①若,,時,,所以在和上單調遞增,時,,所以在上單調遞減,②若,,時,,所以在上單調遞減,時,,所以在上單調遞增.綜上,當時,在上單調遞增;當時,在和上單調遞增,在上單調遞減;當時,在上單調遞減,在上單調遞增.(Ⅱ)不妨設,要證,即證,即證,由(Ⅰ)可知,,,可得,,所以有,令,,所以在單調遞增,所以,因為,所以,所以.【點睛】本題考查了函數(shù)單調性,證明不等式,意在考查學生的分類討論能力和計算能力.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導,代入,求出在處的導數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當時,,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當時,恒成立,此時函數(shù)在上單調遞減,∴函數(shù)無極值;②當時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調遞增,在,上單調遞減,∴;③當時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調遞增,在,上單調遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求切線方程,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)將,利用三角恒等變換轉化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質求解,(2)根據(jù),得,又為的內角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域為;(2)由,得,又為的內角,所以,又因為在中,,所以,所以.【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,21、(1)(2)見解析,【解析】
(1)采用分層抽樣的方法甲組抽取4人,乙組抽取3人,丙組抽取2人,丁組抽取3人,從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人,基本事件總數(shù)為,這兩人來自同一小組取法共有,由此可求出所求的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人,而甲、丙兩個小組學生分別有4人和2人,所以抽取的兩人中是甲組的學生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率,由此能求出隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【詳解】(1)由題設易得,問卷
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