2021年高中高考數學總復習

集合概念及其基本理論，是近代數學最基本的內容之一，集合的語言、思想、觀點滲透算之中，學習關于邏輯的有關知識，可以使我們對數學的有關概念理解更透徹，表達更準性質等都有很重要的應用.關注本專題內容在其他各專題中的應用是學習這一專題內容時要注意的.1．集合中的元素具有確定性、互異性、無序性.2．集合常用的兩種表示方法：列舉法和描述法，另外還有大寫字母表示法，圖示法(韋恩圖)，一些數集也可以用區(qū)間的形式表示.(1)從屬關系——元素與集合間的關系；(2)包含關系——兩個集合間的關系(相等是包含關系的特殊情況).4．集合的三種運算：交集、并集、補集.1．對于給定的集合能認識它表示什么集合．在中學常見的集合有兩類：數集和點集.2．能正確區(qū)分和表示元素與集合，集合與集合兩類不同的關系.3．掌握集合的交、并、補運算．能使用韋恩圖表達集合的關系及運算.4．把集合作為工具正確地表示函數的定義域、值域、方程與不等式的解集等.其中正確的關系是 .2．明確元素與集合的關系及符號表示：如果a是集合A的元素，記作：a∈A；如如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一個元素不屬于A，那么，集合A叫做集提示：空集是任何非空集合的真子集.于是，韋恩圖中的陰影部分應填數字3，5，7.對于兩個給定的集合A、B，由既屬于A又屬于B的所有元素構成的集合叫做A、B的如果集合A是全集U的一個子集，由U中不屬于A的所有元素構成的集合叫做A在U恩圖可以將這種復雜的邏輯關系直觀化，是解決集合運算問題的一個很好的工具，要習慣使用它解決問題，要有意識的利用它解決問題.｜－,-值．象韋恩圖一樣，數軸同樣是解決集合運算問題的一個非常好的工具.baa一、選擇題1個數是()(A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A與B表示同一集(A)MN(B)NM(C)M＝N(D)M∩N=⑦關系是()二、填空題｜－32＝；三、解答題U①A∩B≠⑦,求實數a的取值范圍；③A∩B≠⑦,且A∩B≠A，求實數a的取值范圍.聯(lián)結詞構成的命題叫做復合命題.可以利用真值表判斷復合命題的真假.則→p．注意區(qū)別“命題的否定”與“否命題”這兩個不同的概念．原命題與逆否命題、逆命題與否命題是等價關系.如果p→q，則p叫做q的充分條件，q析四種命題的相互關系．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.3．理解全稱量詞與存在量詞的意義．能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.例1分別寫出由下列命題構成的“p∨q”“p∧q”“→p”形式的復合命題，并判斷它們的(2)p：平行四邊形的對角線相等，q：平行四邊形的對角線相互平分.(2)pvq：平行四邊形的對角線相等或相互平分.pΛq：平行四邊形的對角線相等且相互平分.【評析】判斷復合命題的真假可以借助真值表.例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.＋b2逆否命題：若ab≠0，則a2＋b2(2)逆命題：若AB，則A∩B＝A；是真命題.否命題：若A∩B≠A，則A不是B的真子集；是真命題.逆否命題：若A不是B的真子集，則A∩B≠A．是假命題.命題.例3指出下列語句中，p是q的什么條件，q是p的什么條件.【解析】由定義知，若p→q且qp，則p是q的充分不必要條件；若pq且q→p，則p是q的必要不充分條件；若p→q且q→p，p與q互為充要條件.于是可得(1)中p是q的必要不充分條件；q是p的充分不必要條件.(2)中p是q的充分不必要條件；q是p的必要不充分條件.就是判斷p與q之間誰能推出誰了.(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)非充分條件也非必要條件又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分條件，選滿足條件p的元素構成集合A，滿足條件q的元素構成集合B，若AB且BA，則p是q的充分非必要條件；若AB且BA，則p是q的必要非充分條件；若A＝B，則p與q互為充要條件.例5命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)對任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【分析】這是一個全稱命題，它的否定是一個特稱命題．其【評析】注意全(特)稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞(或將存在量詞改為全稱量詞)，并把結論否定.一、選擇題(A)3x∈Z，1＜4x＜3(A)q一定是真命題(C)p不一定是假命題)(B)q不一定是真命題(D)p與q的真假相同 )(A)充分不必要條件(C)充要條件(B)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件么“A不是B的子集”可用數學語言表達為()二、填空題6．命題“若x1，則｜x1”的逆否命題為.③AB今AB④AB今存在x∈A，使得x∈B其中真命題的序號是．(把符合要求的命題序號都填上)三、解答題9．判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題并判斷其真假：(2)至少有一個整數，它既能被2整除又能被5整除；42并判斷四個命題的真假，說明判斷的理由.一、選擇題＝｜＝｜2．若集合M、N、P是全集U的子集，則圖中陰影部分表示的集合是()(A)(M∩N)∪P(A)充分不必要條件(C)充要條件)(B)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件(A)加法(B)減法(C)乘法(D)除法...二、填空題U－3x＋2＜0}，B＝{x｜x＜a}，若A生B，則實數a的取值范圍是 .其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是三、解答題1x＋b2(1(2)證明：A中不可能只有一個元素.1一、選擇題4．集合A表示非負偶數集，集合B表示能被4整除的自然數集，所以{正奇數}(UB)，從二、填空題｜－3).三、解答題11．答：①a＜4；②a≥-2；③-2≤a＜4提示：畫數軸分析，注意a可否取到“臨界值”.一、選擇題二、填空題另外，也可以通過文氏圖來判斷.三、解答題(3)特稱命題，真命題；(4)全稱命題，真命題.=0，即原命題是真命題，所以其逆否命題為真命題.一、選擇題二、填空題10、均可用舉反例的方式說明①②④⑤不正確.三、解答題x所以x1-，211＞0，所以x2－x≤0.故不等式的解集為{x｜0≤x≤1}.:21(2)假設A中只有一個元素，設這個元素為a，由已知則．即a2-a＋1＝0，此方程無解，這與A中有一個元素a矛盾，所以A中不可能只有一個元素.兩條主線：一是對函數性質作一般性的研究，二是研究幾種具體的基本初等函數——一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、冪函數．研究函數的問題主要圍繞以下幾個方面：函數的概念，函數的圖象與性質，函數的有關應用等.要了解映射的概念，映射是學習、研究函數的基礎，對函數概念、函數性質的深刻理解在很多情況下要借助映射這一概念.1、設A，B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f，對A中的任意一個元素x，在B中有一個且僅有一個元素y與x對應，則稱f是集合A到集合B的映射．記作f：A→B，2、設集合A是一個非空的數集，對A中的任意數x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數y與它對應，則這種映射叫做集合A上的一個函數．記作y＝f(x)，x其中x叫做自變量，自變量取值的范圍(數集A)叫做這個函數的定義域．所有函數值構成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做這個函數的值域．函數的值域由定義域與對應法則完全確3、函數是一種特殊的映射．其定義域和值域都是非空的數集，值域中的每一個元素都有原象．構成函數的三要素：定義域，值域和對應法則．其中定義域和對應法則是核心.1．了解映射的意義，對于給出對應關系的映射會求映射中指定元素的象與原象.2．能根據函數三要素判斷兩個函數是否為同一函數.3．掌握函數的三種表示法(列表法、圖象法和解析法)，理解函數符號f(x)(對應法則)，能依據一定的條件求出函數的對應法則.4．理解定義域在三要素的地位，并會求定義域.例1設集合A和B都是自然數集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，則在映射f作用下，2的象是；20的原象是.【分析】由已知，在映射f作用下x的象為2x＋x.設象20的原象為x，則x的象為20，即2x所有可能值為.【分析】從映射的角度看，函數就是映射，函數解析式就是映射的法則.所以f(1)＝3.又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，＝－＝－＝－例3下列四組函數中，表示同一函數的是()22【分析】(A)(C)(D)中兩個函數的定義域均不同，所以不是同一函數．(B)中兩個函數的定義域相同，化簡后為y＝｜x｜及y＝｜t｜，法則也相同，所以選(B).【評析】判斷兩個函數是否為同一函數，就是要看兩個函數的定義域與法則是否完全相對解析式進行合理變形的情況下，看法則是否一致.例4求下列函數的定義域｜－所以，所求函數的定義域為{x｜x≥2或x≤0}.(2)由x2＜－所以，所求函數的定義域為{x｜x＞1或x3}.所以，所求函數的定義域為{x|x＜3，且x≠0，x≠1}｜－例5已知函數f(x)的定義域為(0，1)，求函數f(x＋1)及f(x2)的定義域.【分析】此題的題設條件中未給出函數f(x)的解析式，這就要求我們根據函數三要素之間的相互制約關系明確兩件事情：①定義域是指x的取值范圍；②受對應法則f制約的量的取值范圍在“已知”和“求”當中是一致的．那么由f(x)的定義域是(0，1)可知法則f制約的量的取值范圍是(0，1)，而在函數f(x＋1)中，受f直接制約的是x＋1，而定義域是指x的范圍，｜－例6如圖，用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形的底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數關系式，并指出定義域.所以，所求函數定義域為【評析】求函數定義域問題一般有以下三種類型問題.(1)給出函數解析式求定義域(如例4)，這類問題就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍．正確的解不等式或不等式組在解決這類問題中是重要的.中學數學中常見的對變量有限制的運算法則有：①分式中分母不為零；②偶次方根下被π2(2)不給出f(x)的解析式而求定義域(如例5)．其解決辦法見例5的分析.(3)在實際問題中求函數的定義域(如例6)．在這類問題中除了考慮解析式對自變量的限制，還應考慮實際問題對自變量的限制.究函數單調性、奇偶性、最值等問題時，首先要考慮的就是函數的定義域.例已知f的解析式；(4)*已知函數y＝f(x)與函數y＝g(x)＝2x的圖象關于直線x＝1對稱，求f(x)的解析式.【分析】(1)求函數f(x)的解析式，從映射的角度看就是求對應法則，于是，我們一般有下面兩種方法解決(1)這樣的問題.1方法一通過這樣“湊型”的方法，我們可以明確看到法則f是“原象對應于原象除以原象的平方減1”．所以，f12這樣，通過“換元”的方法也可以明確看到法則是什么.(4)這個問題相當于已知f(x)的圖象滿足一定的條件，進而求函數f(x)的解析式．所以，可以類比解析幾何中求軌跡方程的方法求f(x)的解析式.所以，f(x)＝22－x.【評析】由于已知條件的不同，求函數的解析式的常見方法有象(1)(2)所用到的“湊形”及“換元”的方法；有象(3)所用到的待定系數法；也有象(4)所用到的解析法.值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函數解析式或者求軌跡方程時都可以用這種方法，是一種通法．同時也表明函數和它的圖象與曲線和它的方程之間有必然的聯(lián)系.例8已知二次函數f(x)的對稱軸為x＝1，且圖象在y軸上的截距為－3，被x軸截得的線段長為4，求f(x)的解析式.解：解法一設f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的對稱軸為x＝1，可得b＝－2a；由圖象在y軸上的截距為－3，可得c＝－3；由圖象被x軸截得的線段長為4，可得x＝－f(x)＝x2－2x－3.＝－所以，設f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)圖象在y軸上的截距為－3，即函數圖象過(0，－3)點.＝－【評析】二次函數是非常常見的一種函數模型，在高中數學中地位很重.雙根式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2為函數圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數所對應的一元二次方程的兩個根.0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之間，而用戶期望電價為0.40元／kW·h.經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數為(1)寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式；(2)設k＝0.2a，當電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20％?解：(1)依題意，當實際電價為x元／kW·h時，用電量將增加至故電力部門的收益為(2)易知，上年度的收益為(0.8－0.3)a，依題意，解得0.60≤x≤0.75.所以，當電價最低定為0.60元／kW·h時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.一、選擇題｜－2．圖中的圖象所表示的函數的解析式為()3．已知f＝x2＋2x，則f－｜)x2x1x22二、填空題 .6．函數f的定義域是.7．已知函數f(x)，g(x)分別由下表給出x則f[g(1)]的值為；滿足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是.三、解答題角形與矩形CDEF重合部分面積y(cm2)與時間t的函數關系(設0≤t≤3)，并求出y的最【知識要點】函數的性質包括函數的定義域、值域及值的某些特征、單調性、奇偶性、周期性與對稱性等等．本章著重研究后四個方面的性質.本節(jié)的重點在于理解與函數性質有關的概念，掌握有關判斷、證明的基本方法以及簡單的應用．數形結合是本節(jié)常用的思想方法.1．設函數y＝f(x)的定義域為D，如果對于D內的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)=-f(x)，則這個函數叫做奇函數.則這個函數叫做偶函數.奇函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；通過同樣的分析可以得到，偶函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形.2．一般地，設函數y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間MA．如果取區(qū)間M中的任意兩個值x12，改變量Δx＝x2－x1＞0，則當Δy＝f(x2)－f(x1)＞0時，就稱函數y＝f(x)在區(qū)間M上是增函數；當Δy＝f(x2)－f(x1)＜0時，就稱函數y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數.如果一個函數在某個區(qū)間M上是增函數或是減函數，就說這個函數在這個區(qū)間M上具有單調性，區(qū)間M稱為單調區(qū)間.在單調區(qū)間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的.3．一般的，對于函數f(x)，如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域中的每一個值時，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函數y＝f(x)叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期.4．一般的，對于函數f(x)，如果存在一個不為零的常數a，使得當x取定義域中的每一個值時，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.【復習要求】1．理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義；會用定義證明函數的單調性，會利用函數的單調性處理有關的不等式問題；2．了解函數奇偶性的含義．能判斷簡單函數的奇偶性.3．了解函數周期性的含義.4．了解函數單調性、奇偶性和周期性之間的聯(lián)系，并能解決相關的簡單問題.【例題分析】例1判斷下列函數的奇偶性.解解得到函數的定義域為{x｜x＞1或x≤0}，定義域區(qū)間關于原點不對稱，所以此函數為非奇非偶函數.(2)函數的定義域為{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠-f(－1)，所以此函數為非奇非偶函數.(3)函數的定義域為R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)x3＋3xf(x)，所以此函數為奇函數.所以此函數為奇函數.(5)函數的定義域為R，又f所以此函數為奇函數.【評析】由函數奇偶性的定義，可以得到下面幾個結論：①一個函數是奇(或偶)函數的必要不充分條件是定義域關于原點對稱；②f(x)是奇函數，并且f(x)在x＝0時有定義，則必有f(0)＝0；③既是奇函數又是偶函數的函數，其解析式一定為f(x)＝0.判定函數奇偶性按照其定義可以分為兩個步驟：①判斷函數的定義域是否關于原點對稱；②考察f(－x)與f(x)的關系.由此，若以奇偶性為標準可以把函數分為奇函數，偶函數，既奇又偶函數和非奇非偶函數四類.例2設函數f(x)在R上有定義，給出下列函數：f(x)|;②y＝xf(x2)；③yf(－x)；④y＝f(x)－f(－x).其中必為奇函數的有．(填寫所有正確答案的序號)【分析】①令F(x)ff(－x)由于f(x)與f(－x)關系不明確，所以此函數的奇偶性無法確定.②令F(x)＝xf(x2)，則F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)為奇函數.③令F(x)f(－x)，則F(－x)f[－(－x)]f(x)，由于f(x)與f(－x)關系不明確，所以此函數的奇偶性無法確定.④令F(x)＝f(x)－f(－x)，則F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)＝－為奇函數.所以，②④為奇函數.例3設函數f(x)在R上有定義，f(x)的值不恒為零，對于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)=f(x)＋f(y)，則函數f(x)的奇偶性為.解：令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，再令yx，則f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)f(x)，又f(x)的值不恒為零，故f(x)是奇函數而非偶函數.【評析】關于函數方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下兩個思路：令x，y為某些特殊的值，如本題解法中，令x＝y(tǒng)＝0得到了f(0)＝0．當然，如果令x＝y(tǒng)＝1則可以得到f(2)＝2f(1)，等等.令x，y具有某種特殊的關系，如本題解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情1況下也可令yy＝x，等等.x總之，函數方程的使用比較靈活，要根據具體情況作適當處理．在不是很熟悉的時候，要有試一試的勇氣.例4已知二次函數f(x)＝x2＋bx＋c滿足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比較f(－1)與f(4)的大小.解：因為f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1為二次函數圖象的對稱軸，b＝－2根據對稱性，f(－1)＝f(3)，又函數在[1，+∞)上單調遞增，所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4).例5已知f(x)為奇函數，當x≥0時，f(x)＝x2－2x，(1)求f(－1)的值；(2)當x＜0時，求f(x)的解析式.解：(1)因為f(x)為奇函數，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1.(2)方法一：當x＜0時x＞0．所以，方法二：設(x，y)是f(x)在x＜0時圖象上一點，則(－xy)一定在f(x)在x＞0時的圖，－＝－bb數.bx2b=a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－bbf(xbb例7已知函數f(x)是定義域為R的單調增函數.(1)比較f(a2＋2)與f(2a)的大?。?2)若f(a2)＞f(a＋6)，求實數a的取值范圍.由已知，f(x)是單調增函數，所以f(a2＋2)＞f(2a).(2)因為f(x)是單調增函數，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，解得a＞3或a2.【評析】回顧單調增函數的定義，在x1，x2為區(qū)間任意兩個值的前提下，有三個重要的問題：Δx＝x2－x1的符號；Δy＝f(x2)－f(x1)的符號；函數y＝f(x)在區(qū)間上是增還是減.由定義可知：對于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，則函數y＝f(x)在區(qū)間上是不僅如此，若x2＞x1，且函數y＝f(x)在區(qū)間上是增函數，則f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1)，且函數y＝f(x)在區(qū)間上是增函數，則x2＞x1；于是，我們可以清晰地看到，函數的單調性與不等式有著天然的聯(lián)系．請結合例5例6體會這一點.函數的單調性是極為重要的函數性質，其與其他問題的聯(lián)系、自身的應用都很廣泛，在復習中要予以充分注意.例8設f(x)是定義域為(-∞,0)∪(0，+∞)的奇函數，且它在區(qū)間(-∞,0)上是減函數.(1)試比較f(－2)與－f(3)的大小；解：(1)因為f(x)是奇函數，所以－f(3)＝f(－3)，又f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2).因為nm∈(-∞,0)，nm，f(x)在區(qū)間(-∞,0)上是減函數，所以f(n)＞f(－m)，因為f(x)是奇函數，所以f(－m)f(m)，所以f(n)f(m)，即f(m)＋f(n)＞0.例9函數f(x)是周期為2的周期函數，且f(x)＝x2，x∈[－1，1].(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在區(qū)間[2n－1，2n＋1]上的解析式.解：(1)因為函數f(x)是周期為2的周期函數，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z.1所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)=.41．下列函數中，在(1，+∞)上為增函數的是()2．下列判斷正確的是(＝｜)1x(A)定義在R上的函數f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，則f(x)是偶函數(B)定義在R上的函數f(x)滿足f(2)＞f(1)，則f(x)在R上不是減函數(C)定義在R上的函數f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是減函數，在區(qū)間(0，+∞)上也是減函數，則f(x)在R上是減函數(D)不存在既是奇函數又是偶函數的函數(A)－2(B)2(C)1(D)－14．設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是()f(C)f(x)－f(－x)是偶函數(D)f(x)＋f(－x)是偶函數二、填空題5．若函數f(x)＝4x2－mx＋5在區(qū)間[－2，+∞)是增函數，則m的取值范圍是；f(1)的取值范圍是.6．已知函數f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數．當x∈(-∞,0)時，f(x)＝x－x4，則當x∈(0，+∞)時，f(x)=.7．設函數為奇函數，則實數a=.ππππEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的條件序號是三、解答題9．已知函數f(x)是單調減函數.a(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求實數a的取值范圍.x(1)判斷函數f(x)的奇偶性；(2)當a＝1時，證明函數f(x)在區(qū)間[2，+∞)上是增函數.11．定義在(0，+∞)上的函數f(x)滿足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y為任意正實數，③任意正實數x，y滿足x≠y時，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立.(1)求f(1)，f(4)的值；(2)試判斷函數f(x)的單調性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，試求x的取值范圍.本節(jié)復習的基本初等函數包括：一次函數、二次函數、指數函數、對數函數和冪函數，三角函數在三角部分復習.函數的圖象上直觀地反映著函數的性質，學習函數的“捷徑”是熟知函數的圖象．熟知函數圖象包括三個方面：作圖，讀圖，用圖.數的性質一般包括定義域，值域，圖象特征，單調性，奇偶性，周期性，零點、最值以及值的變化特點等，研究和記憶函數性質的時候應全面考慮.函數的定義(通常情況下是解析式)決定著函數的性質，我們可以通過解析式研究函數的性質，也可以通過解析式畫出函數的圖象，進而直觀的發(fā)現(xiàn)函數的性質.【知識要點】(1)定義域為R，值域為R；(2)圖象如圖所示，為一條直線；(4)當且僅當b＝0時一次函數是奇函數．一次函數不可能是偶函數.bk通過配方，函數的解析式可以變形為(1)定義域為R：(2)圖象為拋物線，拋物線的對稱軸為頂點坐標為當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下.(4)當且僅當b＝0時，二次函數是偶函數；二次函數不可能是奇函數.(5)當判別式Δ=b2－4ac＞0時，函數有兩個變號零點b當判別式Δ=b2－4ac＝0時，函數有一個不變號零點?;當判別式Δ=b2－4ac＜0時，函數沒有零點.(1)定義域為R；值域為(0，+∞).(2)a＞1時，指數函數為增函數；0＜a＜1時，指數函(3)函數圖象如圖所示．不具有奇偶性、周期性，也沒有零點.對數函數y＝logax與指數函數y＝ax互為反函數.(1)定義域為(0，+∞)；值域為R.(2)a＞1時，對數函數為增函數；0＜a＜1時，對數函(3)函數圖象如圖所示．不具有奇偶性、周期性，冪函數隨著α的取值不同，它們的定義域、性質和圖象也(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，并且圖象都通過點(1，1)；(2)如果α>0，則冪函數的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0，+∞)上是增函數；(3)如果α＜0，則冪函數在區(qū)間(0，+∞)上是減函數，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限地接近y軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地接近x軸.因為所有的冪函數在(0，+∞)都有定義，并且當x∈(0，+∞)時，xα>0，所以所有的冪函數y＝xα(α∈R)在第一象限都有圖象.根據冪函數的共同性質，可以比較容易的畫出一個冪函數在第一象限的圖象，再根據冪函數的定義域和奇偶性，我們可以得到這個冪函數在其他象限的圖象，這樣就能夠得到這個冪函數的大致圖象.負數沒有偶次方根.EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(奇),為)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(數),偶)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(時),數)時1an*，且m為既約分數).n*，且為既約分數).an(3)冪的運算性質(5)對數恒等式：alogaN＝N.(6)對數的性質：零和負數沒有對數(對數的真數必須大于零!)；(7)對數的運算法則及換底公式：Mlog(MN)=logM+logN;logMaaaaNlogaMα=αlogaM；aM?logaN；a【復習要求】1．掌握基本初等函數的概念，圖象和性質，能運用這些知識解決有關的問題；其中冪函數主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y3．整體把握函數的圖象和性質，解決與函數有關的綜合問題.【例題分析】(1)325；(4)log2[log3(log464)]；【評析】指數、對數運算是兩種重要的運算，在運算過程中公式、法則的準確、靈活使用是關鍵.例2已知二次函數f(x)滿足f(2)1，f(－1)1，且f(x)的最大值為8，試確定f(x)的解析式.解：解法一＝－解法二為f(2)1，f(－1)1，所以拋物線的對稱軸為，4x2例3(1)如果二次函數f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在區(qū)間(2，+∞)上是增函數，則a的取值范圍是.(2)二次函數y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒為負，則a的取值范圍是.(3)函數f(x)＝x2＋bx＋c對于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，則f(1)，f(2)，f(4)的大小關解：(1)由于此拋物線開口向上，且在(2，+∞)上是增函數，(2)分析二次函數圖象可知，二次函數最大值恒為負的充要條件是“二次項系數a＜0，且判別式Δ＜0”(3)因為對于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以拋物線對稱軸為x＝2，又拋物線開口向上，做出函數圖象簡圖可得f(2)＜f(1)＜f(4).＝－3當m＜0時，注意到f(0)＝1，又拋物線開口向下，所以拋物線與x軸的兩個交點必在原當m＞0時，注意到f(0)＝1，又拋物線開口向上，所以拋物線與x軸的兩個交點必在原綜上，m∈(-∞,1].【評析】在高中階段，凡“二次”皆重點，二次函數，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲線都應著重去理解、掌握.例2、3、4三個題目充分體現(xiàn)了數形結合思想及運動變化思想的運用．這兩種數學思想在函數問題的解決中被普遍使用.所以y＝bax＝(ba)x應為減函數.【評析】在本題的解決過程中，對函數圖象的深入分析起到了至關重要的作用.這里，對基本初等函數圖象的熟悉是前提，對圖象的形態(tài)的進一步研究與關注是解決深層問題要重點學習的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直線y＝1”就是具體的表現(xiàn)，沒有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直線y＝1”.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up13(3),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up13(1),2)(1)若f(x)為偶函數，且在(0，+∞)上是增函數，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，+∞)上是減函數，求k的取值范圍.解：(1)因為f(x)在(0，+∞)上是增函數，所以+k?k2>0，解得－1＜k＜3，又因為f(x)為偶函數，所以k＝1，f(x)＝x2.(2)因為f(x)在(0，+∞)上是減函數，所以+k?k2<0，解得k1，或k＞3(k∈Z).例7比較下列各小題中各數的大小3【分析】(1)函數y＝log2x在區(qū)間(0，+∞)上是增函數，所以log20.6＜log21＝0，函數y＝log0.6x在區(qū)間(0，+∞)上是減函數，所以log0.6>log0.61=02(3)利用冪函數和指數函數單調性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5.222【分析】方法一(作商比較法)方法二(作差比較法)方法三(構造函數)因為1－b＜0，所以此函數為減函數，又a∈(2，+∞)，【評析】兩個數比較大小的基本思路：如果直接比較，可以考慮用比較法(包括“作差比較法”與“作商比較法”，如例8的方法一與方法二)，或者利用函數的單調性來比較(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三).如果用間接的方法可以嘗試對要比較的兩數進行適當的變形，轉化也可以考慮借助中間量來比較(如例7(4)(5)(6)).解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，根據函數y＝log2x的單調性，可得x－1＜4，所以x＜5，例10已知A，B為函數y＝log8x的圖象上兩點，分別過A，B作y軸的平行線與函數(1)如果A，B兩點的連線經過原點O，請問C，D，O三點也共線么?證明你的結論.(2)當A，B，O三點共線并且BC與x軸平行時，求A點的坐標.同樣可得kOD=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(3),1)代入①式中可得x=3，于是A(3,log3).1．已知集合，則M∩N=(A){－1，1}(B){－1}(C){0}(D){－1，0}2(A)f(x1)＞f(x2)(C)f(x1)＝f(x2)(D)f(x1)與f(x2)的大小不能確定二、填空題6．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數，其圖象經過點(a,a)，則f(x)=.______7．設g=.8．對于函數f(x)定義域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下結論：當f(x)＝lgx時，上述結論中正確結論的序號是.三、解答題 15求f(x)的解析式.11．已知函數f(x)是函數g(x)＝ax的反函數，且(－1，2)在y＝g(x)的圖象上.(1)求f(x)的表達式；ff在函數圖象上，定義域、值域、對應關系、單調性、奇偶性和周期性一覽無遺．因此，快速準確地作出函數圖象成為學習函數的一項基本功，而讀圖也從“形”的角度成為解決函數問題及其他相關問題的一種重要方法.【知識要點】作函數圖象最基本的方法是列表描點作圖法.y＝f(x＋a)：將y＝f(x)的圖象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜個單位可得.y＝f(x)＋a：將y＝f(x)的圖象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜個單位可得.yf(x)：作y＝f(x)關于x軸的對稱圖形可得.y＝f(－x)：作y＝f(x)關于y軸的對稱圖形可得.yf(x)將y＝f(x)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸的上方，其他部分不變即得.y＝f(｜x｜)：此偶函數的圖象關于y軸對稱，且當x≥0時圖象與y＝f(x)的圖象重合.【復習要求】1．能夠在對函數性質作一定的討論之后，用描點法作出函數的圖象.2．能夠對已知函數y＝f(x)的圖象，經過適當的圖象變換得到預期函數的圖象.3．通過讀圖能夠分析出圖形語言所表達的相關信息(包括函數性質及實際形結合的思想解決一些與函數有關的問題.【例題分析】答：(1)將y＝logx的圖象左移1個單位，得到函數y＝log(x＋1)的圖象；(2)將y＝2x的圖象左移1個單位，得到函數y＝2x＋1的圖象，再將y移一個單位得到函數y＝2x＋1－1的圖象.例2作函數的圖象.【分析】方法一(描點法)分析函數的性質，得與坐標軸的交點：(01)；對稱性：偶函數，關于y軸對稱；單調性：當x＞1時，y=是減函數；用同樣的方法可得[0，1)為函數的減區(qū)間；(-∞,-1)，(－1，0)為函數的增區(qū)間．結合上面的分析，經過簡單的描點作圖可得如右圖所示的函數圖象.方法二(函數圖象變換法)如在明確本題函數為偶函數之后，就只需做出的圖象了.函數圖象是函數規(guī)律的直接表現(xiàn)，函數性質對函數規(guī)律進行了理論上的刻畫，兩者之間是具體與抽象的兩方面，它們相互支撐，是學習、研究函數的兩個入手點.對于方法二，有些學生用這種方法易出現(xiàn)的錯誤是：先作函數的圖象，再作的圖象，再作y=的圖象.在這個過程中，由y=變到時，誤以為應遵循y＝f(x)變化到y(tǒng)＝f(x－1)的規(guī)律．事實上直接變換得不到要得的函數圖象.【分析】將y＝ax(a＞1)圖象向下平移｜b｜個單位(0b1)，依圖象可知函數y=＋b的圖象一定不過第四象限．選D.例4已知f(x)＝｜2x－1｜，且a＜b＜c＜0，則f(a)、f(b)、f(c)的大小關系為.【分析】先畫y＝2x的圖象；然后將圖象下移一個單位得到y(tǒng)＝2x－1的圖象；最后將x軸下方的圖象對稱翻折到x軸上方，原x軸上方的圖象不變，就得到了f(x)＝｜2x－1｜的圖象．函數f(x)的圖象如圖所示.所以f(x)在(-∞,0]是減函數，所以，a＜b＜c＜0，所以f(a)＞f(b)＞f(c).例5函數y＝－xcosx的部分圖象是()【分析】對于函數f(x)xcosx，x∈R，所以f(x)為奇函數，否定(A)(C)選項.2所以f(x)在原點右側附近時值為負，否定(B)選項．于是選(D).例6已知函數f(x)是定義在(－3，3)上的偶函數，當0≤x＜3時，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式解集是.【分析】根據偶函數圖象關于y軸對稱，補全函數f(x)在(－3，3)上的圖象.解不等式f(x)≤0，就是“找到”使得f(x)≤0的所有的x，就是在函數y＝f(x)的圖象上找到使得縱坐標小于或等于零的所有自變量.根據補全的f(x)圖象，識圖可得不等式f(x)≤0解集為{x3＜x≤-1或1≤x＜3}.思考：如果問“不等式xf(x)＜0解集是．”該怎樣利用已知函數的圖象呢?答：{x1＜x＜0或1＜x＜3}.例7在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后顯示出①前5分鐘溫度增加的速度越來越快；②前5分鐘溫度增加的速度越來越慢；③5分鐘后溫度保持勻速增加；④5分鐘后溫度保持不變.其中說法正確的是.【分析】5分鐘后溫度保持不變，這一點通過圖象易于判斷.前5分鐘的情況，通過圖象可以看到每分鐘的變化率越來越小，于是變化速度是越來越慢的．所以②④正確.例8已知函數，求證：函數y＝f的圖象關于點(1，2)成中心對稱圖形.y0)關于(1，2)的對稱點為Q(x1，y1)，根據中點坐標公式得解得以下只需證明Q(x1，y1)也在函數y＝f(x)的圖象上.1＝f在函數y＝f(x)的圖象上．所以函數y＝f(x)的圖象關于點(1，2)成中心對稱圖形.1．將指數函數f(x)的圖象向右平移一個單位，得到如圖的g(x)的圖象，則f(x)＝()(A)2x(B)3x(C)()x(D)()3．已知f(x)＝｜log3x｜，則下列不等式成立的是()(A)f(1)>f(2)(B)f(1)>f(3)(C)f(1)>f(1)二、填空題5．如下圖據新華社2002年3月12日電，1985年到2000年間，我國農村人均居住面積如圖所示，其中，從年到年的五年間增長最快.6．函數y＝lg(－x)＋1的圖象是由y＝lgx的圖象得到的.EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up18(1),2.______值范圍是.三、解答題f證明：函數φ的圖象關于點對稱.(1)函數y＝f(x)的圖象關于直線y＝x成軸對稱圖形；(2)經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸.最大值與最小值是研究變量問題時常需要考慮的問題，也是高中數學中最重要的問題之一．函數的最大值、最小值問題常與實際問題聯(lián)系在一起.函數的最值與值域在概念上是完全不同的，但對于一些簡單函數，其求法是相通的.【知識要點】本節(jié)主要討論兩類常見的函數最值的解決方法及其應用.圖象，觀察單調性，求出最值(或值域).2．一些簡單的復合函數的最值問題．解決這類問題的方法通常有：(1)通過作出函數圖象變成第1類問題；(4)通過對函數單調性進行討論進而求出最值．其中討論單調性的方法可以用單調性定義或導數的知識(導數的方法在后面相應章節(jié)復習)；(5)轉化成幾何問題來求解，如線性規(guī)劃問題等.【復習要求】從整體上把握求函數最值的方法，明確求最值的一般思路.【例題分析】例1求下列函數在給定區(qū)間上的值域.【分析】分別畫出三個函數的圖象，看在給定區(qū)間內圖象上點的縱坐標的范圍.(1)函數的值域為[－5，5)；(2)函數的值域為[－1，8)；2例2求下列函數的最值. 2略解：(1)利用圖象變換的知識作出函數y＝2｜x函數值的取值情況，得函數的最大值為4，最小值為1.(2)設t＝sinx，因為x∈R，所以t∈[－1，1]，于是，原函數最大最小值問題轉化為求函最小值為－4.(3)解－x2＋x＋2≥0可得－1≤x≤2，即函數的定義域為{x1≤x≤2}.＝－29432(4)解－x2＋x＋2＞0可得－1＜x＜2，即函數的定義域為{x1＜x＜2}.224EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483643(1),2)x【分析】設x2＞x1＞0，則Δx＝x2－x1＞0，EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),x)所以，只需分析x1x2－3的符號.觀察上式可知，只有當x1，x2∈[3，+∞)時，才能保證當x1，x2在區(qū)間[3，+∞)內3]內任意取值時x1x2－3＜0.3所以，函數y=x+在區(qū)間(0，3]上是減函數，在區(qū)間[3，+∞)上是增函數.x所以，函數的最小值為f(3)＝23.3綜上，函數的最大、最小值分別為4,23.4另外，本題更適合用導數研究函數的單調性，進而求函數的最大、最小值.【評析】請認真體會在知識要點中提到的求值域的方法在例1例2例3中的具體應用.最簡單也重要的是會利用基本函數的圖象觀察得到函數在特定區(qū)間的函數的值域，如例1；利用圖象變換得到圖象進而觀察得到函數在特定區(qū)間的函數的值域，如例2(1).“換元法”求值域無非是通過換元，將復合函數的值域問題變成兩個基本初等函數的值域例3通過討論函數的單調性，進而求函數的最大最小值，這是解決函數最值問題的實質性方法．前面用到的其他方法無非是我們知道函數的圖象，可以觀察要自己討論而已．當然，有了導數的知識之后研究函數的單調性將更為便捷.例2(5)利用均值定理求函數的最值，這種方法可以解決一些解析式為特殊形式的函數bx例4下列函數中值域為(0，+∞)的是()解：根據冪函數的圖象，y=x的值域為[0，+∞)；根據均值定理，y=x+的值域為[2，+∞)；y＝lnx，x∈[e，+∞)的值域為[1，+∞)；=所以值域為(0，+∞)．選D.12例6建一個容積為8立方米、深為2米的長方體無蓋水池，如果池底造價是120元/平方米，池壁的造價是80元／平方米，求當池底寬為多少米的時候水池的總造價最低，并求出最低造價是多少.解：設BC＝x，則AB=，其中x＞0，所以，當池底寬為2米的時候水池的總造價最低.【評析】例4、5、6是函數最值問題的直接應用，注意體會求最值方法的簡單應用.例7已知f(x)＝loga(1＋x)(其中a＞1)，且在區(qū)間[1，+∞)上f(x)＞2恒成立，求實數a的取值范圍.解：因為loga(1＋x)＞2在[1，+∞)上恒成立．所以loga(1＋x)＞logaa2在[1，+∞)上恒成因為a＞1，所以a2＜1＋x在[1，+∞)上恒成立．所以a2＜2(注：因為a2應小于1＋x在例8定義：如果對于函數f(x)定義域內的任意x，都有f(x)≥M(M為常數)，那么稱M為f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下確界．現(xiàn)給出下列函數：=cosxlnx3x；④f其中有下確界的函數是.M≤-1}，所以M中的最大值為－1，有下確界.②因為函數f(x)＝lnx的值域為R，不存在M，使得對于函數f(x)定義域內的任意x，都有f(x)≥M，所以這個函數沒有下確界.③因為函數f(x)＝3x的值域為(0，+∞)，即f(x)＞0，所以下界M的集合為{M｜M≤0}，所以M中的最大值為0，有下確界.④因為函數的值域為{－1}∪(0，+∞)，所以f(x)≥-1，同①,有下確界.所以，填①③④.【評析】例7、8是最值問題較靈活的應用.例7中的“恒成立”問題往往和“最值”問題聯(lián)系在一起，而且常常用到“分離變量”這一變形方法.在此題中，“a2＜1＋x在[1，+∞)上恒成立．”就是最終的“分離變量”的形式．“a2應小于1＋x在[1，+∞)上的最小值．”就是在將恒成立的問題轉化成了最值的問題.它們與投入的資金M(萬元)的關系近似滿足下列公式M,q=現(xiàn)有a萬元資金投入經營這兩種商品，為獲得最大的利潤，應對這兩種商品分別投入資金多少萬元?獲得的最大利潤是多少萬元?解：設對乙種商品投資x萬元，總利潤為y萬元，則對甲種商品投資(a－x)萬元．依題EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(9),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(a),5)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(9),20)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(3),2)所以當a>時，應對乙種商品投資萬元，對甲種商品投資(a?)3資，可獲得最大利潤a萬元.5＝－(1)求f(x)的最大值g(m)；(2)當m≥1，求g(m)的最大值.＝－?m2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(3),2)＝－EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(3),2)l?m2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(3),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(3),2)=-m2＋3m＋1的最大值為EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(13),4)，1．下列函數中值域為(0，+∞)的是()EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483642(1),3)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up15(1),3)2．函數yx2＋2ax＋1的最大值小于2，則a的取值范圍是((A)a＜1(B)a1(C)a＜2(D)－1＜a＜12x4．對于f(x)定義域內的任意一個自變量x1，都存在唯一一個自變量x2使f(x1)f(x2)=3成立的函數是()12二、填空題5．已知f(x)是定義在[－2，0)∪(0，2]上的奇函數，當x＞0時，f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的值域是.12.______Dn正方形區(qū)域，則a的值為.三、解答題9．設函數f(x)＝log2x＋log2(1－x)，求f(x)的定義域及f(x)的最大值.10．漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m，為了保證魚群的生長空間，實際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當的空閑量．已知魚群的年增長量y和實際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比例)的乘積成正比，比例系數為k(k＞0).(1)寫出y關于x的函數關系式，并指出該函數的定義域；(3)當魚群年增長量達到最大時，求k的取值范圍.(1)當k＝1時，求函數f(x)的定義域；(2)且f(x)在[1，+∞)內總有意義，求k的取值范圍.【知識要點】1．如果函數y＝f(x)在實數a處的值等于零，即f(a)＝0，則a叫做這個函數的零點.函數零點的幾何意義：如果a是函數y＝f(x)的零點，則點(a，0)一定在這個函數的函數圖象上，即這個函數與x軸的交點為(a，0).b]上至少有一個零點．這也是二分法的依據.注意：上述判定零點的方法只是判斷零點存在的充分條件．這種判定零點方法主要適用于在無法對函數進行作圖而且也不易對函數所對應的方程求根的情況下.如果可以畫出函數的圖象(這時判斷函數零點的方法將是非常直觀的)，如果函數所對應的方程可以求根，那么就可以用“作圖”和“求根”的方法判斷零點.3．用二分法求函數y＝f(x)，x∈D零點的一第一步、確定初始區(qū)間，即在D內取一個閉區(qū)間[a，b]，使得f(a)f(b)＜0；2則計算終止，否則進一步確定零點所在的區(qū)間；相等，則計算終止，否則重復第二步.【復習要求】1、結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數.2、能夠用二分法求相應方程的近似解.【例題分析】例1求函數f(x)＝x(x－2)(x－3)的零點，作出其圖象的草圖，并解不等式f(x)＞0.【分析】求函數零點只需求解方程f(x)＝0即可．知道函數的零點之后，就知道了這個函數的圖象與x軸的交點坐標，再通過簡單的描點作出圖象的草圖．然后由草圖可以得出不等式f(x)＞0的解集.解：令f(x)＝0，即x(x－2)(x－3)＝0，可得x＝0，或x＝2，或x＝3．因此，所求函數的-0.625-1-12x由此可知，f(x)＞0的解集為(0，2)∪(3，+∞).【評析】如果已經知道一個函數y＝f(x)的所有的零點，我們就能夠畫出這個函數的圖象與x軸的交點．然后再通過描點作圖，可作出這個函數的大致圖象，從而可以求出f(x)＞0以及f(x)＜0等不等式的解.因此，我們可以借助一個函數的零點去研究這個函數的一些性質．例如，我們就曾通過研究一個函數導函數的零點及導函數值的正負進而研究這個函數的單調性，最值等等.解：因為f例3若函數f(x)的圖象在[a，b]上是不間斷的，且有f(a)f(b)＞0，則函數f(x)在[a，b]上A．一定沒有零點B．至少有一個零點C．只有一個零點D．零點情況不確定【分析】如圖所示，滿足題目條件的函數圖象與x軸的交點情況是不確定的，因此選擇【評析】由二分法的依據可知函數在一定區(qū)間內零點存在性的一種判斷方法，即如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足以下兩個條件：①函數圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；方程f(x)＝0的根.在判斷函數零點存在與否或判斷函數零點個數的問題中應注意以下幾點：(1)函數圖象必須是一條不間斷的曲線，圖象有間斷則結論不一定成立；(3)滿足條件①②時，只能得出y＝f(x)的零點存在，但并不能得出零點個數的多少；(4)當f(a)f(b)＞0時，并不能說明函數f(x)在(a，b)內無零點；(5)若函數f(x)在[a，b]上是單調函數，同時滿足條件①②,則零點存在且唯一.上述五點注意事項同學們可以結合函數圖象的簡圖來理解．數形結合的思路在本節(jié)內容的學習過程中經常運用.例3以下區(qū)間中，一定存在函數f(x)＝x3＋3x－3的零點的是()的零點，只需保證f(a)f(b)＜0即可．從而，我們只需算出各個區(qū)間端點的函數值，看它們是否異號即可選出正確答案.因為f(－1)＝－7，f(0)＝－3，f(1)＝1，所以f(0)f(1)＜0．因此函數f(x)在區(qū)間[0，1]上一定存在零點．選B.例4以區(qū)間[1，2]為計算的初始區(qū)間，求函數f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個零點(精確到解：用二分法逐步計算，列表如下：端點或中點橫坐標計算端點或中點的函數值＝－＝－＝－定區(qū)間就是所求函數在給定精確度情況下的一個零點.(1)若a＞b＞c，且f(1)＝0，試證明f(x)必有兩個零點；若對x1，x2∈R且x1＜x2，f，方程f有兩個不等實所以△=b2－4ac≥-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根，所以函數f(x)必有兩個零點.所以2，因為f，所以g所以g(x)在區(qū)間(x1，x2)上必有一個零點，即方程g(x)＝0有一實根屬于(x1，x2)，所以方程必有一實根屬于(x1，x2).1．已知3是函數f(x)＝x3－3x2－x＋3的零點，則以下各點中一定在這個函數圖象上的是2．下列函數圖象與x軸均有交點，但不易用二分法求交點橫坐標的是()3．已知－3，0，2都是函數f(x)的零點，則不可能是不等式f(x)＞0的解集的是()(A)僅有一根(B)有兩個正根(C)有一個正根和一個負根(D)有兩個負根二、填空題5．若函數f(x)是偶函數，且函數f(x)有三個零點，則這三個零點之和等于.6．函數f的零點是.8．若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)內恰有一解，則a的取值范圍是.三、解答題9．求函數f(x)＝x(x2＋6x＋8)的零點，作出它的圖象的草圖，并解不等式f(x)≤0.10．設函數求函數的零點.1．若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上為減函數，則f(x)在[a，b]上()(A)至少有一個零點(B)有一個零點(C)沒有零點(D)至多有一個零點3．設a＜b，函數的圖象可能是(4．函數f(x)＝x｜x＋ab是奇函數的充要條件是()5．設a＜c＜b，如果把函數y＝f(x)的圖象被兩平行線x＝a及x＝b所截的一段近似地看作一條線段，則以下關系式中，f(c)的最佳近似表示式是()A．B．f(c)=f(a)f(b)二、填空題38．已知f(x)＝x3－6x2＋11x－6，而且f(0)＜0，f(4)＞0，則用二分法可求得這個函數在區(qū)間[0，4]內的零點(精確到0.1)為.9．奇函數f(x)在[3，7]上是增函數，在[3，6]上的最大值是8，最小值是－1，則2f(－6)＋f(-3)等于______命題乙：f(x)在(-∞,2)上是減函數，在(2，+∞)上是增函數；能使命題甲、乙均為真的所有函數的序號是.三、解答題11．計算：log220－log25＋2log32log43的值.(1)若f(x)在[0，1]上的最大值與最小值互為相反數，求a的值；(2)若f(x)的圖象不經過第二象限，求a的取值范圍.13．已知f(x)＝ax2＋5ax＋6a，其中a為非零的常數．14．已知集合M是滿足下列性質的函數f(x)的全體：“在定義域內存在x0，使得f(x0＋1)=f(x0)＋f(1)成立”.函數f是否屬于集合M?說明理由；(2)設函數∈M，求a的取值范圍.二、填空題三、解答題＝－＋9.①當0≤t≤1時，重合部分為邊長為2tcm的直角三角形，2②當0＜t≤2時，重合部分為邊長為2cm的③當2＜t時，重合部分為直角梯形(如下圖)，根據實際情況，當0＜