2024-2025學年江西省新余市高三上學期12月月考數學檢測試卷（含答案）

2024-2025學年江西省新余市高三上學期12月月考數學檢測試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．過兩點的直線的傾斜角為（

）A．0° B．90° C．180° D．不存在2．平面直角坐標系中點滿足，則點的軌跡為（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．無軌跡3．已知橢圓的一個焦點為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．4．直線和直線在同一坐標系中可能是（

）A．B． C． D．5．已知圓與圓相交所得的公共弦長為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．6.已知在所有礦石中含有某種稀有元素的概率約為0.01，小郅與小祥同學有一把探測器可識別該稀有元素且準確率高達0.9（即有0.1的概率對不含有該稀土元素的礦石作出反應）.在某次探索實踐任務中，他們共同發(fā)現了一堆由探測器檢驗含有該元素的礦石，但是否真的含有該元素則需進一步檢驗，再回實驗室途中，小祥提出用2000元向小郅賣出所有礦石，若礦石中真實含有該元素，則價值約10000元，否則將一文不值.若小郅同學出錢購買，則他獲得利潤的均值約為：（）元.A.-B.-0B.-1100C.2200D.70007.設，，，則的大小關系為：（）.A.B.C.D.8.現有一三棱錐，，為其外接球（四個頂點均在球的球面上）球心，，，平面恰好經過點.設平面截球的截面為，截面中心為，若，，為上一點，則取最大值時，（）.A.B.C. D.二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．）9．已知曲線：，則下列結論正確的是（

）A．若，，則是兩條直線B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是橢圓D．若，則是橢圓，其焦點在軸上10.已知首項均為的等差數列和等比數列，的公差恰好為公比的倒數，若恒成立，則的取值可以是：（）.A.B.C. D.11.在長、寬、高分別為1、1、2的長方體中任取3個頂點構成平面，則該長方體在上的投影面積可能是：（）.B.C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．經過點，且被圓：所截得的弦最短時的直線的方程為．13.已知拋物線的準線為，焦點為，動圓與相切，若經過總存在直線與相切，則的取值范圍是：.14．設分別是橢圓的左?右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為。四、解答題（本題共5小題，共77分）15．（13分）已知是橢圓的兩個焦點，，為上一點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若為上一點，且，求的面積.16．(15分)在平行四邊形中，，，邊，所在直線的方程分別為和．(1)求邊所在直線的方程和點到直線的距離；(2)求過點且在軸和軸截距相等的直線方程．17.（15分）已知數列滿足,.的前項和為，的前項積為.(1)求證：數列為等比數列并求出其通項.(2)已知，求證.18.（17分）橢圓的光學性質在物理學中有主要應用：如圖1，在橢圓上有一點，分別為其左、右焦點，過作直線與切于，則直線與的夾角大小相等.(1)求證：的方程為：；(2)如圖2：在（1）的基礎上，雙曲線的離心率為且與有相同焦點，不與、的交點重合，與交于兩點，過分別作的切線交于.求證：（?。áⅲ?9.（17分）已知某類數集中有個元素，這些元素的和為且它們的某種排列可以構成等差數列，我們就稱這樣的集合為“好集”.對于一系列互不相同的正整數，若好集滿足：，，中的元素個數至多為1，且存在某些使它們的并集（）中元素的某種排列也為等差數列，我們就稱可以構成“優(yōu)集合”.特別的，規(guī)定下標最小的好集.證明：好集可以構成優(yōu)集合.若好集可以構成優(yōu)集合，證明：不全為偶數.若好集可以構成優(yōu)集合，試判斷是否能為以1為首項的等比數列？若能，請求出所有的通項；若不能，請說明理由.答案：題號12345678答案BAABCBAD題號91011答案ADACDABC13．14.-47.注：構造函數：比較；而與的比較與的比較與的比較，所以可以構造比較；15．【詳解】（1）設橢圓的焦距為，因為，可得，所以，則，，由橢圓的定義可得，所以，故橢圓的標準方程為；——8分（2）因為，所以，所以，所以.——13分16．【詳解】（1）在平行四邊形中，，由邊所在直線，可設邊所在的直線方程為，將代入上式，則，解得，則；由點，則點到直線的距離.——7分（2）由（1）可知邊所在的直線，由題意可知邊所在的直線，聯立可得，解得，可得，——10分過的直線設為，令時，，令時，，則，整理可得，，解得或，可得或.——15分17．（1），配湊成該形式即可證明，這里從略；（4分）（2）一方面：可以將寫成：，然后分情況：①時，，成立，（5分）②時，，而，（8分）所以：，累乘得：.（9分）注意：也可以使用數學歸納法.另一方面：由題意：，所以，（13分）累加得：，再累乘得.（15分）同樣的，亦可使用數學歸納法.18．（1）聯立判別式為0即可（注意，這里出現的方程在下面的問題中可以直接使用）（3分）（2）（ⅰ）先求出的方程為：，（6分）再用與聯立，設，得到，（8分），同（1）寫出的方程，得到其斜率之積即可；（10分）（ⅱ）聯立兩切線得到，（12分）于是，用兩點之間距離公式計算，，，（14分）由此可以證明證明：，再由光學性質得到（15分），從而證明與相似，從而推出結論.（17分）19.解：（1），，，（答案不唯一） 3分（2）證：由于集合公差不影響結果，不妨設其公差為2.記，由等差數列的性質：若全為偶數，則為偶數 4分，而中的元素同樣滿足上述性質，所以互為相反數的元素一定屬于同一集合 5分而，所以中必有一個集合的元素公差為2，且公差必為偶數 6分不妨設，，①的公差為2：則中有一個公差為，那么另一個集合元素公差為且與中至少有一個不為，不妨設，則中至少有一個集合必然存在公差為2和或的項，這與中的元素的某種排列為等差數列矛盾，舍去； 8分②的公差不為2：則此時的相鄰兩項中包含的個元素，這些元素中必有連續(xù)的不超過項來自公差為2的集合（不妨設為），那么中集合元素公差應不為2，這時，中元素必然存在公差為2與不為2的項，這與中的元素的某種排列為等差數列矛盾，舍去 10分故不全為偶數.能.設的公比為，總項數為（為偶數）或（為奇數），因為，所以項數最多的集合公差最小為2，總項數至少為. 11分①為大于2的偶數，下試證：，即證：而②為大于2的奇數，，由此說明：時不符合題意