2025屆江蘇省南京市第二十九中高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2025屆江蘇省南京市第二十九中高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.2.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.3.如圖,矩形ABCD中,,,E是AD的中點(diǎn),將沿BE折起至,記二面角的平面角為,直線與平面BCDE所成的角為,與BC所成的角為,有如下兩個(gè)命題:①對(duì)滿足題意的任意的的位置,;②對(duì)滿足題意的任意的的位置,,則()A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立,命題②不成立 D.命題①不成立,命題②成立4.函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.105.若與互為共軛復(fù)數(shù),則()A.0 B.3 C.-1 D.46.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.7.在平行四邊形中,若則()A. B. C. D.8.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.二項(xiàng)式展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.10.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.11.已知棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為()A. B. C. D.12.A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,是圓的直徑,弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證:14.某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是__________.15.若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切,則實(shí)數(shù)的最小值為___________.16.從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),且離心率為,設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)(含邊界)時(shí),求直線的斜率的取值范圍.18.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的值.19.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為,試估計(jì)該企業(yè)一個(gè)月(按30天計(jì)算)的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知點(diǎn)到拋物線C:y1=1px準(zhǔn)線的距離為1.(Ⅰ)求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo);(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,直線PA,PB,分別交x軸于M,N兩點(diǎn),求的值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線:.(1)當(dāng)時(shí),求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)直線與曲線交于,兩點(diǎn),線段中點(diǎn)為,求的值.22.(10分)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.數(shù)列滿足,其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先計(jì)算集合,再計(jì)算,最后計(jì)算.【詳解】解:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

作出二面角的補(bǔ)角、線面角、線線角的補(bǔ)角,由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.【詳解】①如圖所示,過作平面,垂足為,連接,作,連接.由圖可知,,所以,所以①正確.②由于,所以與所成角,所以,所以②正確.綜上所述,①②都正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)直線過定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù),然后利用對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱如圖通過圖像可知:直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點(diǎn)在于正確畫出圖像,同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.5、C【解析】

計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】,又由共軛復(fù)數(shù)概念得:,.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念.6、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn),由拋物線的定義可知,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

由,,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

,,,

因?yàn)?

所以

,

,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則,屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).8、B【解析】

設(shè),則,可得,即可得到,進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè),則,,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模,考查運(yùn)算能力.9、D【解析】

寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,得,故項(xiàng)的系數(shù)為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進(jìn)而求出,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因?yàn)椋?,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.11、B【解析】

由三視圖可知,該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形,平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】由三視圖可知,該三棱錐如圖所示:其中底面是等腰直角三角形,平面,由三視圖知,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切?,所?所以該三棱錐的四個(gè)面中,最大面積為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.12、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、證明見解析.【解析】試題分析:四點(diǎn)共圓,所以,又△∽△,所以,即,得證.試題解析:A.連接,因?yàn)闉閳A的直徑,所以,又,則四點(diǎn)共圓,所以.又△∽△,所以,即,∴.14、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)求出另一個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,已知其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)為5,31,44,故還有一個(gè)抽取的個(gè)體的編號(hào)為18,故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】

設(shè)直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于,,因?yàn)?,所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,因?yàn)?,所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,因?yàn)榇嬖谥本€l與函數(shù)及的圖象都相切,所以,所以,令,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以,所以實(shí)數(shù)的最小值為.16、【解析】

基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,由此能求出抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率.【詳解】從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,基本事件總數(shù),抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有10種,分別為:,,,,,,,,,,則抽得的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意辨別概率的模型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解析】

(1)由已知條件得到方程組,解得即可;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消元、列出韋達(dá)定理,由得到的范圍,設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為則,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,得到不等式組,解得即可;【詳解】解:(1)由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,離心率為,,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題意得直線的斜率存在,設(shè)直線方程為聯(lián)立,消元整理得,,由,解得設(shè)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以在軸上方,只需位于內(nèi)(含邊界)就可以,即滿足,即,解得或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)或.【解析】

(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,做出函數(shù)在的圖象,即可求解.【詳解】(1),由題意知,解得(舍去)或.(2)當(dāng)時(shí),故方程有根,根為或,+0-0+極大值極小值由表可見,當(dāng)時(shí),有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.因?yàn)椋?由數(shù)形結(jié)合可得或.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)9060元【解析】

(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計(jì)算可得所求概率;(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元,分別求出,,,進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望,據(jù)此得出該企業(yè)一個(gè)月經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則.(2)任選一天,設(shè)該天的經(jīng)濟(jì)損失為元,則的可能取值為0,220,1480,,,,所以(元),故該企業(yè)一個(gè)月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為(元).【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計(jì)算及數(shù)學(xué)期望,屬于基礎(chǔ)題.20、(Ⅰ)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0);(Ⅱ)1【解析】

(Ⅰ)根據(jù)拋物線定義求出p,即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo);

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1),由題意直線AB斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0),與拋物線聯(lián)立可得ky1-4y+4k-8=0,利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式,轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的值.【詳解】(Ⅰ)由已知得,所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0);(II)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(?1,?1),由題意直線AB斜率存在且不為0.設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)?1(k≠0).由得,則,.因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線C上,所以,.因?yàn)镻F⊥x軸,所以,所以|MF|?|NF|的值為1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義

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