2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性和最值課件北師大版必修第一冊202106

§3

函數(shù)的單調(diào)性和最值課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義.2.理解函數(shù)單調(diào)性的含義,掌握利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用函數(shù)單調(diào)性的定義或圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題.4.進一步體會數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的過程,提高邏輯推理能力.

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、增函數(shù)與減函數(shù)【問題思考】1.觀察下面兩個圖象,從圖形上看,它們有什么特征?(1)(2)提示:從圖形上看,(1)的圖象是上升的;(2)的圖象是下降的.2.觀察下表,通過表中對應(yīng)值你發(fā)現(xiàn)了什么?提示:當自變量x的值增大時,y=-x+1對應(yīng)的函數(shù)值y隨著減小,y=x2(x≥0)對應(yīng)的函數(shù)值y隨著增大.3.填空:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D:如果對于任意的x1,x2∈D,當x1<x2時,都有

f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)y=f(x)是增函數(shù).特別地,當I是定義域D上的一個區(qū)間時,也稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.如果對于任意的x1,x2∈D,當x1<x2時,都有

f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù).特別地,當I是定義域D上的一個區(qū)間時,也稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.此時,區(qū)間I為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.4.想一想:(1)如果在函數(shù)y=f(x)中有f(1)<f(2),能否得到函數(shù)f(x)為增函數(shù)?(2)若函數(shù)y=f(x)在D上是減函數(shù),D1?D,則y=f(x)在D1上是什么函數(shù)?(3)任何函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性嗎?提示:(1)不能,函數(shù)單調(diào)性的定義中任取x1,x2,當x1<x2時,f(x1)<f(x2),則函數(shù)y=f(x)為增函數(shù),而1和2只是定義域上的兩個特殊值,不能說明對任意的x1<x2,都有f(x1)<f(x2),所以由f(1)<f(2)不能得出函數(shù)為增函數(shù).(2)減函數(shù).(3)函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域內(nèi)或定義域的某個區(qū)間內(nèi)的變化趨勢,是遞增或遞減的一種定性描述,它是函數(shù)的局部性質(zhì).有的函數(shù)不具有單調(diào)性,例如:函數(shù)二、最大(小)值【問題思考】1.在下圖表示的函數(shù)中,最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值分別是多少?1為什么不是最小值?提示:最大的函數(shù)值為4,最小的函數(shù)值為2.1沒有A中的元素與之對應(yīng),不是函數(shù)值.2.填空:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D:若存在實數(shù)M,對于所有的x∈D,都有

f(x)≤M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M,則稱M為函數(shù)y=f(x)的最大值.同樣地,可以定義函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.3.想一想:若函數(shù)f(x)≤M,則M一定是函數(shù)的最大值嗎?提示:不一定,只有定義域內(nèi)存在一點x0,使f(x0)=M時,M才是函數(shù)的最大值,否則不是.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性.(

×

)(2)函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),則f(-2)>f(2).(

√

)(3)函數(shù)y=x2在區(qū)間[-1,2]上是單調(diào)的.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究四探究一

證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】

已知函數(shù),且此函數(shù)圖象過點(1,5).(1)求實數(shù)m的值;(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論.分析:(1)把點的坐標代入函數(shù)f(x)的解析式求m;(2)要證明函數(shù)的單調(diào)性,只需用定義證明即可.證明函數(shù)單調(diào)性的方法主要是定義法(在解答選擇題或填空題時有時可用圖象法),利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟探究二

確定(求)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】

(1)如圖所示為定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

、

,在區(qū)間

、

上單調(diào)遞增.

解析:(1)觀察題中圖象可知,y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5].其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2],[1,3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-2,1],[3,5]上單調(diào)遞減.答案:(1)[-2,1]

[3,5]

[-5,-2]

[1,3](2)(-∞,1),(1,+∞)利用函數(shù)圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,具體做法:先化簡函數(shù)解析式,再畫出它的草圖,最后根據(jù)函數(shù)定義域與草圖的位置、狀態(tài),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能忽視定義域,單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集.探究三

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】

已知函數(shù)f(x)=-x2-ax-5.若f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.分析:先求對稱軸,再結(jié)合圖象和已知條件求a的取值范圍.解:∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,∴函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸在區(qū)間(-1,1)的左側(cè),即

,解得a≥2,故實數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).1.若函數(shù)f(x)=ax2-2x+2在區(qū)間(-∞,4)上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍.3.若函數(shù)y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)<f(2a-1),求實數(shù)a的取值范圍.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的兩個關(guān)注點(1)單調(diào)性的定義的“雙向性”:利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性,反過來,若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.(2)若一個函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的.【變式訓(xùn)練3】

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b.(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍.探究四

利用單調(diào)性求函數(shù)的最值1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則f(x)的最大值為f(b),最小值為f(a).2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,則f(x)的最大值為f(a),最小值為f(b).3.若函數(shù)y=f(x)有多個單調(diào)區(qū)間,那就先求出各區(qū)間上的最值,再從各區(qū)間的最值中選出最大(小)值.函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)最大(小)的.4.如果函數(shù)定義域為開區(qū)間,則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性,還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢.∵1≤x1<x2≤2,∴x1-x2<0,x1x2-4<0,x1x2>0,∴f(x1)>f(x2),∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.同理可證函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增.∴當x=2時,f(x)取得最小值4;當x=1,或x=4時,f(x)取得最大值5.易

錯

辨

析混淆了單調(diào)區(qū)間與在區(qū)間上單調(diào)致誤【典例】

若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],則實數(shù)a的值是

.

錯解

函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為直線x=1-a,由于函數(shù)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,因此1-a≥4,即a≤-3.答案

a≤-3以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解中把單調(diào)區(qū)間誤認為是在區(qū)間上單調(diào),導(dǎo)致解題錯誤.正解:因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,4],且函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.答案:a=-3認真審題,對題目逐字逐句審讀,弄清題目含義,然后解題.【變式訓(xùn)練】

函數(shù)f(x)=x2-2(a-1)x+1在區(qū)間[5,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.[6,+∞) B.(6,+∞)C.(-∞,6] D.(-∞,6)解析:函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x=a-1.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[5,+∞)上單調(diào)遞增,所以a-1≤5,解得a≤6.答案:C隨

堂

練

習(xí)答案:D解析:選項A,C,D中的函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都是單調(diào)遞減的,只有函數(shù)y=x2+1在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增的.答案:B3.若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),且f(m)<f(n),則m與n的關(guān)系為(

)A.m>n B.m<n C.m≥n D.m≤n解析:因為f(x)在R上是增函數(shù),且f(m)<f(n),所以m<n.答案:B4.如圖為函數(shù)y=f(x)的圖象,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)求證:函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù);