上海市浦東新區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市浦東新區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、填空題1.設(shè)全集，則=___________.【答案】【解析】由題全集，所以，故答案為：.2.若復(fù)數(shù)（其中表示虛數(shù)單位），則____________．【答案】【解析】由題意知，，復(fù)數(shù)z的虛部為，所以.故答案為：3.已知事件A與事件互斥，且，，則________．【答案】【解析】因?yàn)殡S機(jī)事件A與互斥，且，，所以.故答案：.4.已知直線的傾斜角為，請(qǐng)寫出直線的一個(gè)法向量______.【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的一個(gè)方向向量為，所以直線的一個(gè)法向量為，（答案不唯一，只要滿足與向量垂直即可）.故答案為：（答案不唯一）5.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則滿足的正整數(shù)的值為____________．【答案】【解析】由題意得等差數(shù)列，得，所以其前項(xiàng)和為，由，即，解得，（舍），所以的值為.故答案為：.6.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為__________．【答案】【解析】由向量，，可得，可得，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：.7.已知圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則圓錐的底面半徑為___________．【答案】【解析】圓錐的軸截面圖如圖所示：由題意，解得，即圓錐的底面半徑為.故答案為：.8.在100件產(chǎn)品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率為____________（結(jié)果精確到0.01）．【答案】025【解析】從這批產(chǎn)品中抽取3件，則事件總數(shù)為，其中恰好有一件二等品的事件有，所以恰好有一件二等品的概率為.故答案為：0.259.小明為了解自己每天花在體育鍛煉上的時(shí)間（單位：min），連續(xù)記錄了7天的數(shù)據(jù)并繪制成如圖所示的莖葉圖，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是____________．【答案】【解析】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)從小到大排列為：，則，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是.故答案：.10.如圖，已知函數(shù)（）的圖像與軸的交點(diǎn)為，并已知其在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．記，則____________．【答案】【解析】由題意知，函數(shù)圖象在y軸的右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且，得，又，所以，所以，又函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，由解得，故，所以.故答案為：11.已知曲線，曲線，若的頂點(diǎn)的A坐標(biāo)為，頂點(diǎn)分別在曲線和上運(yùn)動(dòng)，則周長(zhǎng)的最小值為____________．【答案】【解析】如圖所示：由題意拋物線的焦點(diǎn)、圓的圓心均為，作直線為拋物線的準(zhǔn)線，作出，它為圓的一部分，其中三點(diǎn)共線且垂直拋物線的準(zhǔn)線，同理也三點(diǎn)共線且垂直拋物線的準(zhǔn)線，其中，所以，在中令，則，即，從而，等號(hào)同時(shí)成立當(dāng)且僅當(dāng)分別與（或與關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)）重合，所以當(dāng)分別與重合時(shí)，周長(zhǎng)有最小值，且最小值為.故答案為：.12.已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程都有兩個(gè)相等的實(shí)根．若，則滿足條件的不同實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為____________個(gè)．【答案】【解析】依題意可得，即(*)，記滿足(*)式的不同實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)為，將看成自變量，看成參數(shù)，則為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)根；當(dāng)，有2個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的根和，且，當(dāng)，有2個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的根和，由，則或，即；則或或，即；同理可得，，，...通過觀察可得，則，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即，，所以滿足(*)式的不同實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)為，故滿足條件的不同實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)．故答案為：．二、選擇題13.如果，則下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)A、B：由，不妨設(shè)，，則，，故A、B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，所以，故D項(xiàng)正確.故選：D.14.一組樣本數(shù)據(jù)由10個(gè)互不相同的數(shù)組成，若去掉其中最小的和最大的兩個(gè)數(shù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)，則（）.A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】C【解析】去掉其中最小的和最大的兩個(gè)數(shù)得到一組新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)不同，新數(shù)據(jù)的方差變小，數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變，數(shù)據(jù)的極差變小，故C正確.故選：C15.已知棱長(zhǎng)均為1的正棱柱有個(gè)頂點(diǎn)，從中任取兩個(gè)頂點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，設(shè)底面的一條棱為．若集合，則當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)最少時(shí)，的值為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】如圖，設(shè)AB所在的直線為x軸，過點(diǎn)A且與AB垂直的直線為y軸，過點(diǎn)A且與平面垂直的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，得，設(shè)，則.因?yàn)樵搸缀误w為正n棱柱，所以上底面與下底面各頂點(diǎn)的x坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等.當(dāng)時(shí)，該幾何體為正三棱柱，作出其底面的示意圖，如圖，則，所以，即，共有5個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，該幾何體為正方體，作出其底面的示意圖，如圖，則，所以，即，共有3個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，該幾何體為正六棱柱，作出其底面的示意圖，如圖，則，所以，即，共有9個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，該幾何體為正八棱柱，作出其底面的示意圖，如圖，則，所以，即，共有9個(gè)元素；綜上，當(dāng)時(shí)，中的元素?cái)?shù)量最少.故選：B.16.對(duì)于函數(shù)和，及區(qū)間，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，則稱在區(qū)間上“優(yōu)于”．有以下兩個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上優(yōu)于；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上優(yōu)于．那么（）A.①、②均正確 B.①正確，②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤，②正確 D.①、②均錯(cuò)誤【答案】B【解析】①：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為，即，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)在區(qū)間上的圖形，如圖，由圖可知，，即存在使得在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上優(yōu)于，故①正確；②：當(dāng)時(shí)，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)在區(qū)間上的圖形，如圖，由圖可得，，即，所以直線的方程為，即.設(shè)曲線在處且平行于直線的切線為，由，，得，解得，則切點(diǎn)，所以，即，取，則，所以切線位于直線的下方，則當(dāng)時(shí)存在實(shí)數(shù)使得.當(dāng)時(shí)，切線l位于直線AB的上方，此時(shí)在區(qū)間上，不等式不恒成立，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上不一定優(yōu)于，故②錯(cuò)誤；故選：B.三、解答題17.已知函數(shù)，其中．（1）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)是奇函數(shù)？若存在，請(qǐng)寫出證明．（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，若是奇函數(shù)，則，解得，此時(shí)，，符合題意，故.（2）當(dāng)時(shí)，，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，又不等式恒成立，得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：由平面，平面，得，又，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，所以，故，且平面PBC，即平面；（2）解：由（1）知，，所以點(diǎn)D到平面的距離為，即點(diǎn)D到平面的距離為.19.某街道規(guī)劃建一座口袋公園．如圖所示，公園由扇形區(qū)域和三角形區(qū)域組成．其中三點(diǎn)共線，扇形半徑為30米．規(guī)劃口袋公園建成后，扇形區(qū)域?qū)⒆鳛榛ú菡故緟^(qū)，三角形區(qū)域作為親水平臺(tái)區(qū)，兩個(gè)區(qū)域的所有邊界修建休閑步道．（1）若，，求休閑步道總長(zhǎng)（精確到米）；（2）若，在前期民意調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，絕大部分街道居民對(duì)親水平臺(tái)區(qū)更感興趣．請(qǐng)你根據(jù)民意調(diào)查情況，從該區(qū)域面積最大或周長(zhǎng)最長(zhǎng)的視角出發(fā)，選擇其中一個(gè)方案，設(shè)計(jì)三角形的形狀．（1）解：由題意知，，所以，，因?yàn)椋?，中，由余弦定理得，所以，又由弧長(zhǎng)公式，可得的長(zhǎng)，所以總周長(zhǎng)為：.（2）解：若選擇面積最?。涸O(shè)，因?yàn)?，可得，由正弦定理知，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)，面積取得最大值，最大值為，又因?yàn)?，，所以?若選擇周長(zhǎng)最長(zhǎng)：設(shè)，因?yàn)?，可得，由正弦定理知，所以，，則的周長(zhǎng)為，其中，因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以的周長(zhǎng)的最大值為，即時(shí)，即時(shí)，所以時(shí)，的周長(zhǎng)的最大值為.20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為雙曲線右支上一點(diǎn)．（1）求雙曲線的離心率；（2）設(shè)過點(diǎn)和的直線與雙曲線的右支有另一交點(diǎn)為，求的取值范圍；（3）過點(diǎn)分別作雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意知，，則，所以，得，即雙曲線的離心率為2；（2）由（1）知，，若直線l的斜率為0，則直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分布在左、右支各一點(diǎn)，不符合題意；所以直線l的斜率不為0，設(shè)，，消去x，得，，，則，所以，又，則，由，得，所以，有，所以，即，所以的取值范圍為；（3）由題意可知雙曲線的漸近線方程為，即，設(shè)，則點(diǎn)P到直線的距離為，點(diǎn)P到直線的距離為，所以，又點(diǎn)P位于直線的上方且直線的下方，所以，則，解得，又點(diǎn)P在雙曲線上，則，與矛盾，故不存在點(diǎn)P使得.21.設(shè)是定義在RS上的函數(shù)，若存在區(qū)間和，使得在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增，則稱為“含谷函數(shù)”，為“谷點(diǎn)”，稱為的一個(gè)“含谷區(qū)間”．（1）判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請(qǐng)指出谷點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由：（i），（ii）；（2）已知實(shí)數(shù)，是含谷函數(shù)，且是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求的取值范圍；（3）設(shè)，．設(shè)函數(shù)是含谷函數(shù)，是它的一個(gè)含谷區(qū)間，并記的最大值為．若，且，求的最小值．解：（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是含谷函數(shù)，谷點(diǎn)；函數(shù)，求導(dǎo)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，所以不是含谷函數(shù).（2）由題意可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先減后增，且存在谷點(diǎn)，令，所以，設(shè)，所以，由可知恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，若滿足谷點(diǎn)，則有，解得，故m的取值范圍