四川省成都市成華區(qū)某校2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(理)（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市成華區(qū)某校2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(理)一、選擇題1.拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】拋物線可化為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,由拋物線定義知：，解得：.故選：B2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為復(fù)數(shù)，所以，其對應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限.故選：C.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展開式中含項為：展開式中項與展開式中項的和，因此展開式中為，所以的展開式中的系數(shù)為9.故選：D5.已知，為鈍角，，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】因為，所以，因為為鈍角，所以，則，所以.故選：B6.已知不重合的兩條直線，，平面，，且，，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（）.A.①④ B.③④ C.①② D.①③【答案】A【解析】對于①，畫出圖像如下圖所示，由圖可知①正確.證明如下：由于，所以，由于，所以.對于②，畫出圖像如下圖所示，由圖可知②錯誤.對于③，畫出圖像如下圖所示，由圖可知③錯誤.（和①圖像相同）對于④，畫出圖像如下圖所示，由圖可知④正確證明如下：由于，所以，由于，所以.故選：A.7.已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式應(yīng)為()A. B.C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)定義域是，排除A選項，當(dāng)，，排除B，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象不關(guān)于軸對稱可知函數(shù)不是偶函數(shù)，故可排除選項D.故選：C．8.在中，，，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則，可得，在中，，，，由平面向量數(shù)量積定義可得，因此，.故選：C.9.已知函數(shù)（為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以，故，因為，，所以，，即.又因為，解得.即.將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù).故選：A.10.芻甍（chúméng）是中國古代算術(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載“芻甍者，下有褒有廣，而上有褒無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻甍字面意思為茅草屋頂．”已知圖中每個小正方形的邊長都為，其中的粗線部分是某個芻甍的三視圖，則該芻甍的表面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)三視圖還原該幾何體如圖所示，則，，，為等腰三角形，由主視圖可知邊的高為，，由此可求得梯形的高為，，，，該幾何體的表面積為.故選：D．11.雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，連接，則，，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)E，則，故，因為，解得，由雙曲線定義得，所以，在中，由余弦定理得，化簡得，又，所以，方程兩邊同時除以得，解得，所以離心率.故選：A.12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，當(dāng)時，，則，故在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，則，即.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以.故選：D.二、填空題13.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝________.【答案】0或3【解析】，，則或，若，A＝{1，3，}，B＝{1，3}，滿足；若，解得或，時，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，滿足；時，A、B不滿足集合中元素的互異性，舍去.綜上所述，或3.故答案為：0或3.14.從5名男醫(yī)生名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有______種

數(shù)字回答．【答案】70【解析】直接法：一男兩女，有種，兩男一女，有種，共計70種間接法：任意選取種，其中都是男醫(yī)生有種，都是女醫(yī)生有種，于是符合條件的有種．故答案為70．15.函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)為__________.【答案】【解析】令，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)等于曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)，作圖易知，曲線和直線都過點(diǎn)，且都關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)或者為或者為.下面考察關(guān)于的方程在區(qū)間上的解的個數(shù)，令，其中，則對恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，關(guān)于的方程在區(qū)間上的解的個數(shù)為，因此，函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個數(shù)為.故答案為：.16.如圖，在平面四邊形中，，，，，，.則______，的長為______.【答案】【解析】由余弦定理可得即，解得或（舍）在中，由正弦定理得，即則為銳角，在直角三角形中故答案為：；三、必作解答題17.設(shè)為數(shù)列的前項和，且滿足：.（1）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（2）求.（1）證明：因為，，則，兩式相減得：，整理可得，即，于是，，所以數(shù)列是等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，，又，則所以.18.如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點(diǎn)，．（1）證明平面；（2）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大?。?）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，，∴，，∴，，，∴平面.（2）解：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，∵平面平面，∴，故，∴，，∴，設(shè)與平面所成角為，，則，∴，∴與平面所成角的大小為.19.北京冬奧會的舉辦使得人們對冰雪運(yùn)動的關(guān)注度和參與度持續(xù)提高.某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所，在抽取的2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的條件下，求這2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的概率；（2）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.已知在一輪集訓(xùn)測試的3個動作中，甲同學(xué)每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于8次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？解：（1）由題可知10個學(xué)校，參與“自由式滑雪”的人數(shù)依次為27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，參與“單板滑雪”的人數(shù)依次為46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校有6個，參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人，且“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校有4人，記“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件A，“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件B，則，，所以，.（2）記“甲同學(xué)在一輪測試中獲得“優(yōu)秀””為事件C，則，由題意，甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布，由題意列式，得，因為，所以的最小值為11，故至少要進(jìn)行11輪測試.20.如圖，線段的兩個端點(diǎn)、分別在軸、軸上滑動，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)隨線段的運(yùn)動而變化.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)為點(diǎn)的軌跡的左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，過的直線交的軌跡于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時直線的方程.解：（1）由題可知點(diǎn)，且可設(shè)，，，則可得，又，即.∴，這就是點(diǎn)的軌跡方程.（2）由（1）知為，為，由題意直線的斜率不為0，設(shè)直線為，由有，設(shè)，，則恒成立，且，∴

，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，∴的最大值為6，此時的方程為或.21.函數(shù).（1）求在處的切線方程（為自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）設(shè)，若，滿足，求證：.（1）解：，則，故在處的切線方程為即；（2）證明：由題可得，，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，所以，當(dāng)時，，在上是增函數(shù).設(shè)，則，當(dāng)時，，則，在上遞減.不妨設(shè)，由于在上是增函數(shù)，則，又，，則，于是，由，在上遞減，則，所以，則，又，在上是增函數(shù)，所以，，即.四、選作解答題22.已知為橢圓任意一點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，為上任意一點(diǎn).（1）寫出的參數(shù)方程和的普通方程；（2）求的最大值和最