2024屆上海市同濟(jì)中學(xué)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆上海市同濟(jì)中學(xué)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，圓。的半徑為1,A，3是圓上的定點(diǎn)，OBtOA,尸是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于直線。3的對(duì)稱點(diǎn)為尸'，

角x的始邊為射線。4,終邊為射線。尸，將OP-OP'表示為x的函數(shù)/（X）,則在［0,句上的圖像大致

2.在三棱錐。一ABC中，AB工BP,AC±PC,AB.LAC,PB=PC=2五,點(diǎn)。到底面A8C的距離為2,

則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）

6兀

A.3兀C.12不D.24萬(wàn)

3.已知為等比數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，05=16,。3G=?32,則Ss=（）

A.-21B.-24C.85D.-85

4.若復(fù)數(shù)z滿足（2+3i）z=13i,則z=（）

A.-3+2iB.3+2iC.-3-2iD.3-2i

5.己知2“=3〃=6,則〃不可能滿足的關(guān)系是（）

A.a+b=abB.a+b>4C.<2D.a2+b2>8

丫227r

6.已知點(diǎn)a為雙曲線—匕=1（?！?）的右焦點(diǎn)，直線），=履與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若NAC8二——，則

4r43

的面積為（）

A.2及B.26C.472D.4#

7.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓丁：1+/=1,且尸是圓r上一點(diǎn)，則月4?（25+尸。）的最大值是（）

A.72B.1C.GD.2

8.設(shè)命題〃：一百<同+網(wǎng)，貝（J-/，為

A.Da,heR,|a-q之時(shí)+用B.一,〈同+|4

C.,一4>同+網(wǎng)D.'Ba,beRt|?-/?|>|a|4-|/?|

9.已知。+初（a*eR）是小■的共糖復(fù)數(shù)，則。+〃=（）

1-1

I八1

A.—1B.--C.-D.1

22

10.已知函數(shù)/（，）%：：：>o,叩圖卜）

A.—B.-C.-log2D.log,2

223

11.已知點(diǎn)尸在橢圓r：二+與=1（心/?0）上，點(diǎn)尸在第一象限，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為A,點(diǎn)P關(guān)于x軸的

a2b2

3--

對(duì)稱點(diǎn)為。，設(shè)產(chǎn)/九「PQ,直線AD與橢圓7?的另一個(gè)交點(diǎn)為B,若RUP3,則橢圓了的離心率e=（）

4

1V2DG

A.-1B5.--Vc.-也-1J.--

2223

12.設(shè)S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若生=-3,邑=-7,則S”的最小值為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.已知｛q｝為等比數(shù)列，S”是它的前〃項(xiàng)和.若見(jiàn)6=24,且4與2%的等差中項(xiàng)為則Ss=.

x+y-2<0

14.設(shè)'、）’滿足約束條件<工一）-220,若z=2x+），的最小值是一1，則機(jī)的值為.

y+m>0

9[2

15.已知四棱錐尸-ABC。，底面四邊形ABC。為正方形，PA=PB=PC=PD,四棱錐的體積為,在該四

3

棱錐內(nèi)放置一球。，則球。體積的最大值為.

16.在“BC中，角所對(duì)的邊分別為ZABC=\2（）0t48C的平分線交AC于點(diǎn)。，且80=1,

則4a+c的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）某工廠4,A兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下通過(guò)日常監(jiān)控得知A,8生產(chǎn)

線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為P和2p-l（O.5<p<l）.

■A生產(chǎn)線DB生產(chǎn)或

（1）從A，8生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%,求〃的最小值外.

（2）假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品，以（1）中確定的外作為〃的值.

①已知A,6生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失5元和3元.若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢1000件

產(chǎn)品，以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計(jì)哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多？

②若最終的合格品（包括返工修復(fù)后的合格品）按照一、二、三等級(jí)分類后，每件分別獲利10元、8元、6元，現(xiàn)從4,

3生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖；用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，記該工廠

生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為X,求X的分布列并估算該廠產(chǎn)量2000件時(shí)利潤(rùn)的期望值.

18.（12分）已知函數(shù)〃*）=1”—；4一+6，函數(shù)”力在點(diǎn)（1"（1））處的切線斜率為0.

乙

（1）試用含有。的式子表示/九并討論/（X）的單調(diào)性；

（2）對(duì)于函數(shù)/（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x，），J,秋天,），2），如果在函數(shù)/（X）圖象上存在點(diǎn)

何（玉），）'0乂小?5，9）），使得在點(diǎn)M處的切線〃/48,則稱A8存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)鵬=土產(chǎn)時(shí)，又稱

A8存在“中值跟隨切線試問(wèn)：函數(shù)/（月上是否存在兩點(diǎn)A4使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出,4,4的坐

標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的參數(shù)方程為《，.Q為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸

y=1+sin/

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為。nalovav］）,直線/交曲線。于48兩點(diǎn)，尸為AB中

點(diǎn).

（1）求曲線c的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)。的軌跡G的極坐標(biāo)方程；

（2）若|/18|.|OP|=6,求a的值.

221

20.（12分）已知橢圓+?=的焦距為2石，斜率為/的直線與橢圓交于A8兩點(diǎn)，若線段

的中點(diǎn)為D,且直線OD的斜率為-

（1）求橢圓C的方程；

I1

（2）若過(guò)左焦點(diǎn)/斜率為k的直線/與橢圓交于點(diǎn)M,N,P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足OPJ_MN,問(wèn)：麻+函■是

否為定值？若是，求出此定值，若不是，說(shuō)明理由.

21.（12分）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,等比數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為7；,且q=4=1,%=演，4+d=15.

（1）求數(shù)列｛q｝與仇｝的通項(xiàng)公式；

fS-T1

（2）求數(shù)列）上-I的前〃項(xiàng)和.

n

22.（10分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究

新能源汽車市場(chǎng)的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國(guó)某地區(qū)2016年至2019年新能源汽車的銷量（單位：萬(wàn)臺(tái)）按季度（一年四

個(gè)季度）統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.

(1)求直方圖中。的值，并估計(jì)銷量的中位數(shù)；

(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量(同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表)，并以此預(yù)計(jì)

2020年的銷售量.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)圖象分析變化過(guò)程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到函數(shù)圖象，即可求解.

【詳解】

由題意，當(dāng)X=O時(shí)，P與A重合，則P'與B重合，

所以尸一。尸卜|BA\=2,故排除C,D選項(xiàng)；

7.71

當(dāng)0cxe二時(shí)，OP-OP'=|P'P|=2sin(——x)=2cosx,由圖象可知選B.

22

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

2、C

【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定OP=OA=QA=OC,由此可知。為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出A尸的

一個(gè)表達(dá)式，在AQAG中，可以計(jì)算出AO的一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積.

【詳解】

取AP中點(diǎn)0,由4clpc可知：OP=OA=OB=OC,

O為三棱錐P-ABC外接球球心，

過(guò)尸作尸，_L平面A8C,交平面ABC于，，連接A”交BC于G,連接OG,HB,HC,

P

H

?：PB=PC,:.HB=HC,AB=AC,「.G為8。的中點(diǎn)

由球的性質(zhì)可知：0（7_1平面43。，「.06%”，且0G=12”=1.

2

設(shè)AB=x,

QPB=2啦，.?.4O=gPA=g&+8,

?.?AG=」8C=也x,??在AOAG中，AG2+OG2=OA2,

22

即|等+l=（；&+8）,解得：工=2,

..?三棱錐P-ABC的外接球的半徑為：A0=gW+(2>/^『=1^4+(2>/2y=J5,

???三棱錐P-ABC外接球的表面積為5=W=12萬(wàn).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問(wèn)題，求解幾何體外接球相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心

的位置.

3、D

【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得m/=16,?iY=-32,通過(guò)解該方程求得它們的值，求首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)

和公式解答即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛”“｝的公比為q,

*.*<15=16,a3a4=-32,

.*.aiq4=16fai2q5=-32,

:.q=-2,則4=1,

1X[1-(-2)8]_QU

---------------="o39

1+2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

由題意得,z=，求解即可.

2+31

【詳解】

13iI3i(2-3i)26i+39,土

因?yàn)?)z=凡所以z=百--------------------=------------=3+21

(2+3i)(2-3i)4+9

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

/>

根據(jù)2"=3=6即可得出。=1+1%3,/>=l+log32,^log231og32=l,log32+log32>2>即可判斷出結(jié)

果.

【詳解】

???2"=3=6;

/.a=log26=1+log23,b=log36=l+log32；

a+b=2+log23+log32>4,ab=2+log23+log52>4,故A,8正確;

2222

(?-1)+(/?-l)=(log23)+(log32)>2log23log.2=2,故C錯(cuò)誤：

???〃+〃=2+2(1唱3+log.2)+(1%3『+(1%2『

>2+4yj\og23-\og32+2log,3-log32=8,故D正確

故C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及基本不等式：〃+322疝和不等式42+/？24,的應(yīng)用,

屬于中檔題

6、D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為連接由對(duì)稱性可知四邊形4￡8入是平行四邊形，

設(shè)|A用rjA周二弓，得4c2=1+片_2代cosg，求出徑的值，即得解?

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為連接

由對(duì)稱性可知四邊形AF.BF.是平行四邊形,

所以5,"出=5"速，NZAK=g.

設(shè)恒耳|=小|4閭=弓,則4c2二片+片一，百，

=r~+r2-2彳弓cos一

又卜一引=%.故，道=4〃=16,

所以S"L/或吟=4后

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平.

7、D

【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（cos^sin。），貝ij2HPB+PC）=l-cos。，計(jì)算得到答案.

【詳解】

/1@1

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則A（L0）,BH4]'12，2)設(shè)P(cos“sin0),

則PA?(PB+PC)=(1—cos<9,-sin0)?(—1-2cos0-1sin0)

=(1-cos^)(-l-2cos^)+2sin2=2cos2^-cos^-1+2sin2=1-cos^<2.

當(dāng)。=一乃，即尸（一］,（））時(shí)等號(hào)成立.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

8、D

【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.

【詳解】

因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以，命題〃：\a-t\<\a\+\bt則力為："⑦e/，,一耳2同+瓦

故本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出二的值，再利用共挽復(fù)數(shù)的定義求出。+歷，從而確定。，。的值，求出a+b.

1-/

【詳解】

1+/_(1+/)22/_

口—(1+”(_)一5一】

:.a+bi=-if

b=-1,

；.a+b=-1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共枕復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得/Y的值，再求得等））的值.

【詳解】

依題意/停卜10g,號(hào)log.l3T=（用卜（總=2九*.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

設(shè)P（x，y），則），Q（N，-y），D.一年，設(shè)網(wǎng)超，丫2），根據(jù)姑_1_心化簡(jiǎn)得到3/=4—得到

答案.

【詳解】

設(shè)P（XQ）,則A（Ff）,Q（zf），尸O=：PQ，則一外設(shè)嶼,必），

江+江=1

則a：護(hù),,兩式相減得到：/+%）。-電）=_5+>"f）,

三江a-b-

a2b2

PAtPB,故kpA-kpR=-l,即-4^=t,故3/=4/,故6=迫.

cr2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

12、C

【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式，判斷出最小時(shí)〃的值，由此求得s”的最小值.

【詳解】

a+2d=-39

依題意rr-r，解得4=-7/=2,所以?！?2〃-9.由巴=2〃-96°解得〃W不，所以前〃項(xiàng)和中，前

7%+214=-72

4項(xiàng)的和最小，且S4=4《+6d=-28+12=-16.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-11

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛〃”｝的公比為4,根據(jù)題意求出出和％的值，進(jìn)而可求得為和4的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得S5的

值.

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得2q=。2。3=6%，=2,

33311

由于牝與2%的等差中項(xiàng)為z,則〃4+2〃,=耳，則2%=耳一（=一］，，/=-w，

.“3%1"-于1《“

因此q（l一力-"一「力

因此，S5=-^--2=----!=~=

…i+i

2

故答案為：一11.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、-1

【解析】

畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由z=2x+y得y=-2x+z,顯然直線過(guò)A（一〃?-2,一〃?）時(shí)，二最小，

代入求出加的值即可.

【詳解】

x+y-2<0

作出不等式組1x-y+2>。所表示的可行域如下圖所示:

y+m>0

x-y+2=()

聯(lián)立八，解得',則點(diǎn)A—2,一〃?).

?y十m=0y——m

由z=2x+y得y=-2x+z,顯然當(dāng)直線y=-2x+z過(guò)A(-時(shí)，該直線>軸上的截距最小，此時(shí)z最小,

-2/72-4-/77=-1>解得m=一1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題.

【解析】

由題知，該四棱錐為正四棱錐Q-ABCQ,作出該正四棱錐的高P”和斜高QE,連接〃￡,則球心O必在心PHE

的PH邊上,設(shè):/OEH=?,由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知=26,設(shè)A8=2a,用。和。表示四梭錐的體

積，解得〃和。的關(guān)系，進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑，并求出半徑的最大值，進(jìn)而求出球的體積的最大值.

【詳解】

汲4OEH=e,AB=2a,

由球O內(nèi)切于四棱錐可知，4PEH=26,EH=a,

則P”=atan2e,球O的半徑R=a1an8,

VP-ABCD=gx4小x。tan20=半,

“tan正爭(zhēng)，心系,

>/6tan106tan3,

R'="tan30=

2tan202x2tan8

1-tan20

^tan:(2(l-tan2^)瓜

416

當(dāng)且僅當(dāng)lan0=也時(shí)，等號(hào)成立,

2

此時(shí)匕=%落浮

【點(diǎn)睛】

本題考查了棱錐的體積問(wèn)題，內(nèi)切球問(wèn)題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.

16、9

【解析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.

詳解：由題意可知，+由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得

tzcsin120°=6/xIxsin60°+cx1xsin60°.化簡(jiǎn)得ac'=a+c.'+」=1,因此

222ac

,/“、，11、ec4。、「-lc4a石

4a+c=(4a+c)(—+—)=5+—H--->5+2.-----=9,

acacNac

當(dāng)且僅當(dāng)C=2。=3時(shí)取等號(hào)，則4a+c的最小值為9.

點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母

為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)〃。=0.95(2)①8生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見(jiàn)解析

【解析】

⑴由題意得到關(guān)于P的不等式，求解不等式得到P的取值范圍即可確定其最小值；

⑵①.由題意利用二項(xiàng)分布的期望公式和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可；

②.由題意首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后由分布列可得利潤(rùn)的期望值.

【詳解】

(1)設(shè)從.4,8生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，至少有一件合格為事件C,設(shè)從A,8生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件M，

N,則N互為獨(dú)立事件

由已知有p(M)=〃,p(N)=2〃-1(().5</?<1)

貝ijp(C)=l-/?(C)=l-p(MN)=1-p(A7)p(^)=1-(1-p)(2-2p)>0.995

解得〃之0.95,則〃的最小值〃o=O.95

(2)由(1)知A,8生產(chǎn)線的合格率分別為0.95和().9,即不合格率分別為0.05和0.1.

①設(shè)從A,3生產(chǎn)線上各抽檢1000件產(chǎn)品，抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為X1,X2,

則有X~8(l(XX),0.05),X2~8(l(XX),0.1),所以A,8生產(chǎn)線上挽回隕失的平均數(shù)分別為：

E(5Xj=5￡X]=5x](XX)x(),05=25(),E(3X^)=3EX2=3x1000x0.1=300

所以8生產(chǎn)線上挽回的損失較多.

②由己知得X的可能取值為10,8,6,用樣本估計(jì)總體，則有

“—20+3511“。、60+401“八20+459

p(X=10)=------=—,p(X=8)=-------=一，p(X=6)=-------=一

200402002’20040

所以X的分布列為

X1()86

11_1_9

P

40240

1119

所以EX=10x—+8X-+6X3=8.1(元)

40240

故估算估算該廠產(chǎn)量2000件時(shí)利潤(rùn)的期望值為2000x8.1=16200(元)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查概率公式的應(yīng)用，二項(xiàng)分布的性質(zhì)與方差的求解，離散型隨機(jī)變量及其分布列的求解等知識(shí)，意在考查

學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

18、(1)b=a-\,單調(diào)性見(jiàn)解析；(2)不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)由題意得/'(1)=0,即可得〃二4-1；求出函數(shù)/")的導(dǎo)數(shù)r(X)=("+D(T+l),再根據(jù)420、

X

一1<4<0、4=一1、a<—1分類討論，分別求出了'(X)>0、r(x)<()的解集即可得解；

(2)假設(shè)滿足條件的A、B存在,不妨設(shè)A(X，乂)，B(X2,必)且0<內(nèi)<勺，由題意得心8=/'(土手)可得

2出1)*

皿土=上一2,令/=±(O<Z<1L構(gòu)造函數(shù)g(1)=ln"幺曰(0</<1),求導(dǎo)后證明g(/)<0即可

占A+i*2/+1

%

得解.

【詳解】

(1)由題可得函數(shù)y=/(工)的定義域?yàn)?0，+8)且r(幻=：—儀+小

由/'(1)=0,整理得〃=〃—1.

八“、I,1(or+l)(T+l)

f,(x)=--ax+b=--ax+a-l=^------△---------L

XXX

(i)當(dāng)“20時(shí)，易知xe(O,l),/z(x)>0,xw(l,+8)時(shí)/"(x)v0.

故y=在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(H)當(dāng)"0時(shí)，令八司=0,解得x=l或工=一：，貝ij

①當(dāng)一：=1,即。=一1時(shí)，r(x)N。在(0，+8)上恒成立，則y=/(x)在(0,+8)上遞增.

②當(dāng)一即一1<4<0時(shí)，當(dāng)xe(O,l)u-L+oo］時(shí)，/r(x)>0；

cik?J

(i、

當(dāng)xe1，-一時(shí)，/'(x)<0.

\aJ

所以y=/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，［1，—單調(diào)遞減，(一：,+8)單調(diào)遞增.

③當(dāng)一（1,+功時(shí)，r（x）＞o；當(dāng)y―川時(shí)，r（“＜o(jì).

<1?即a<—1時(shí)，當(dāng)---1口

所以y=/（x）在（0，-：）上單調(diào)遞增，（一5，1）單調(diào)遞減，（1,+8）單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)“20時(shí)，y=在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，+8）單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，y"（x）在（0,1）及卜一，+8）上單調(diào)遞增；），=/。）在（1,一：）上單調(diào)遞減.

當(dāng)〃二一1時(shí)，），=/（6在（0，+8）上遞墻

/I\（1A

當(dāng)a＜-1時(shí)，y=〃x）在0,一及（1,+8）上單調(diào)遞增；＞=/（工）在一一，1上遞減.

X/I。，

（2）滿足條件的A、3不存在，理由如下:

假設(shè)滿足條件的A、3存在，不妨設(shè)A（內(nèi)，），J,8（々，劣）且。＜不＜%，

則V其比普)(玉IA-2)Ia-1,

又—《詈卜1凡+X，，

7r-ax-5----+a-

X4/人［十八22

2p-1

由題可知攵.8=,廣(4)，整理可得：=’=>]/=2』2馬二上_J

X)-x2xi+x2x2x}+x2五+]

X2

令，=上(0<r<l)?構(gòu)造函數(shù)g(f)=lnf-"——(0<r<l).

x?i+1

貝|Jg()=--4,=,>0,

…+1)-(+1)-

所以g(f)在(0,1)上單調(diào)遞增，從而g?)<g⑴=0,

所以方程M.=2：二：々無(wú)解,即A.8=/'（/）無(wú)解.

綜上，滿足條件的A、3不存在.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.

19>(1)(x-1)2+(y-l)2=1?/7=x/2cos(2)a="或2

【解析】

(1)根據(jù)曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)/,可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，再由|0。|=夜，10H=|OqcosNPOC,

可得點(diǎn)P的軌跡G的極坐標(biāo)方程；

(2)將曲線C極坐標(biāo)方程求,與直線/極坐標(biāo)方程聯(lián)立,消去。，得到關(guān)于P的二次方程，由P的幾何意義可求出恒四，

而(1)可知依耳二&cos(e-?)然后列方程可求出a的值.

【詳解】

(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為+(y—1產(chǎn)=1,

圓C的圓心為C,|OC|=J5,設(shè)尸(夕招)，所以

則由|oH=|OClcosNPOC,即夕=&cos0<8<曰為點(diǎn)尸軌跡G的極坐標(biāo)方程.

/\

(2)曲線C的極坐標(biāo)方程為22-2拒夕cos+1=0,

將/：e=a(0<av')與曲線C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得，22-2拒夕85(0-；)+1=0,

冗

設(shè)AS，a）,8（p2，a）。<a<—

2）

所以MM=3-々1=

71

\OP\=>/2cos

Ia——4J

71

由,&P2J2cosCl.---j—1Xx/2=\/3?

a4-J---

1C

1,上述方程可化為16，〃4一8〃--3=0,解得〃7=火

2

.（7t\717t7tei、17t715乃少汽

由cosa——=——,——<a——<—,所以a—=±—,即。=二或。=—.

I4）2444461212

【點(diǎn)睛】

此題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，利用極坐標(biāo)求點(diǎn)的軌跡方程，考查運(yùn)算求

解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

2

20、(1)—+y=1.

4

⑵意.冊(cè)為定值%過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】

分析：（1）焦距說(shuō)明。=石，用點(diǎn)差法可得心屋攵加=-與=一!?這樣可解得。，沙，得橢圓方程;

a~4

11L

（2）若攵=0,這種特殊情形可直接求得兩+詢■,在kwO時(shí)，直線MN方程為y=k（x+G）,設(shè)

知。,兇）,川（蒼,力），把直線方程代入橢圓方程，后可得%+%，即4,然后由紡長(zhǎng)公式計(jì)算出弦長(zhǎng)

同時(shí)直線方程為代入橢圓方程可得P點(diǎn)坐標(biāo)，從而計(jì)算出|OP|,最后計(jì)算

|M/V|=V17F|XI-X2|,OP

11

麗+研即可.

詳解：⑴由題意可知0=6，設(shè)4（工|,）1）,3（工2，），2），代入橢圓可得：

2222

耳+與=1,與+與=1,兩式相減并整理可得,

a2b2a2b2

%一占■+%_b2

-------―kk

2即ABOD

yx-xA:cx+x2-----a

又因?yàn)?代入上式可得，/=46.

又/=6+。21=3,所以/=422=1,

故橢圓的方程為三+\，2=1.

4-

（2）由題意可知，F(xiàn)（-x/3,0）,當(dāng)MN為長(zhǎng)軸時(shí),0P為短半軸，此時(shí)

11,5

\MN\|0P『44;

"=1

4

否則，可設(shè)直線/的方程為），=M^+G），聯(lián)立《,消)'可得,

產(chǎn)(+G)

(1+4公*+8向2工+12&2