現(xiàn)代控制理論

自動控制理論（經(jīng)典部分）研究對象:單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)主要內(nèi)容:1、建模2、分析3、校正現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)一：矢量空間的定義[補]矢量空間（線性空間）中的運算，屬于線性運算法則范疇。例如：屬于二維矢量空間，屬于n維矢量空間。當(dāng)x屬于某一矢量集V時，稱x是V的元素，即x∈V。如果V是非空的集合，P為數(shù)域，設(shè)V具有如下性質(zhì)：1：V中的元素定義有加法，使任何x,y∈V有z=x+y∈V，并且加法運算具有下列性質(zhì)：

1)x+y=y+x2)x+y+z=（x+y）+z2：V中有這樣的元素，稱為零向量，記作0，它具有如下性質(zhì)：

1)對任何x∈V，有x+0=0+x=x2)對任何x∈V，存在-x∈V，使x+（-x）=0，則-x為x的逆元素。線性空間的定義：3：在V中定義了數(shù)乘，使任何α∈P，x∈V，有αx∈V，且

1）α，β∈P，x∈V有（αβ）x=α（βx）

2)（α+β）x=αx+βx3)α（x+y）=αx+αy4)1·x=x在上述條件下，稱V為數(shù)域P上的線性空間，若P為復(fù)數(shù)域C（或?qū)崝?shù)域R）則V為C（或R）上的線性空間。線性空間中的元素稱為矢量，因此線性空間也叫矢量空間。1：空間矢量的線性相關(guān)性和線性無關(guān)性設(shè)V是線性空間，x1,x2,…xm∈V,如果能找到一個數(shù)組(k1,k2,…km)≠(0,0,…0)，使k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立，則稱x1,x2,…xm線性相關(guān)。反之，如果僅當(dāng)(k1,k2,…km)=(0,0,…0)，才有k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立，則稱x1,x2,…xm線性無關(guān)。二：空間的維數(shù)[補]例1：求矢量x=（1，1），y=（2，2）的線性相關(guān)性。

解：令k1x+k2y=0，得：

有非零解，故x，y線性相關(guān)。解：令k1x+k2y+k3z=0，得：故x，y，z線性無關(guān)。

例2：求矢量x=（1，4，1），y=（1，2，3），z=（1，3，6）的線性相關(guān)性。定理一：設(shè)有n個矢量：a1=（a11，a12，…a1n）a2=（a21，a22，…a2n）…an=（an1，an2，…ann）如果行列式：

則a1，a2…an必線性無關(guān)。定理二：當(dāng)m≥2時，矢量a1，a2…am線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個矢量可表示成其它m-1個矢量的線性組合。定義：在線性空間V中，若存在n個元素a1，a2…an滿足：1）：a1，a2…an線性無關(guān)；2）：V中的任一元素a總可由a1，a2…an線性表示，則稱a1，a2…an為線性空間V的一個基，n稱為V的維數(shù)，記為dimV=n。維數(shù)為n的線性空間稱為n維向量空間Vn，實n維列向量空間記為Rn，復(fù)n維列向量空間記為Cn。2：矩陣的秩與矢量相關(guān)性的關(guān)系（1）秩的定義：矩陣中所含不等于零的子行列式的最高階數(shù)，稱為矩陣的秩。矩陣A的秩記為rankA。若A為n階方陣：rankA<n，稱A為降秩矩陣（奇異矩陣）rankA=n，稱A為滿秩矩陣（非奇異矩陣），此時detA≠0。（2）矩陣的秩與矢量相關(guān)性的關(guān)系定理三：若rankA=r，則A中有r個行（列）矢量線性無關(guān)，而其余的行（列）矢量是這r個行（列）矢量的線性組合。定理四：n階行列式的行（列）矢量線性無關(guān)的充要條件是其行列式不等于零。定理五：設(shè)A∈Rn×m，B∈Rm×s，則rank（AB）≤min（rankA，rankB）。（3）線性方程式的解與秩的關(guān)系設(shè)線性方程組：a11x1+a12x2+…a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…amn

xn=bm

可寫成矩陣形式AX=b其中：增廣矩陣：定理六：線性方程組有解的充要條件是：

定理七：線性方程組有唯一解的充要條件是：

有無窮多個解的充要條件是：定理八：對于齊次方程組AX=0，當(dāng)m<n時，必有非零解，當(dāng)m=n時，有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零。三：逆矩陣和矩陣的微分和積分[補]1：逆矩陣對于非奇異矩陣A，存在著一個逆矩陣A-1，使AA-1=A-1A=I。逆矩陣具有如下性質(zhì)：(A-1)K=(AK)-1、(A-1)T=(AT)-1、(A-1)*=(A*)-1

其中AT、A*分別為A的轉(zhuǎn)置矩陣和共軛轉(zhuǎn)置矩陣。若A、B均為非奇異矩陣，有(AB)-1=B-1A-1。

例：設(shè)

求A-1。

解：|A|=17

2：矩陣的微分設(shè)：

矩陣的微分法則：3：矩陣的積分

設(shè)四：格蘭姆矩陣和格蘭姆行列式[補]設(shè)x1,x2,…xn為m維向量空間V中的一組向量，下列n×n矩陣稱為x1,x2,…xn的格蘭姆矩陣G，其行列式detG稱為格蘭姆行列式。

其中：定理：F(t)的列向量f1,f2,…fn線性獨立的充要條件是它們的格蘭姆矩陣非奇異。證明：充分性：設(shè)格蘭姆矩陣非奇異，求證f1,f2,…fn線性無關(guān)。即：只有零解。上式左乘fjT(j=1,2,…n)，對t積分：

由于f1,f2,…fn的格蘭姆矩陣非奇異，故上式只有零解，即：

說明f1,f2,…fn線性無關(guān)。必要性：若f1,f2,…fn線性無關(guān)，求證f1,f2,…fn的格蘭姆矩陣非奇異?；騠1,f2,…fn的格蘭姆矩陣奇異，求證f1,f2,…fn線性相關(guān)。顯然，由于f1,f2,…fn的格蘭姆矩陣奇異，有使第一章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1-1狀態(tài)空間表達式

一：基本概念

系統(tǒng)的狀態(tài)狀態(tài)變量是確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量，其選擇不是唯一的，但維數(shù)相同

例如對于R-L-C網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量或構(gòu)成系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量狀態(tài)變量的最小性

只要給定初始時刻t0的任意初始狀態(tài)變量和t≥t0各時刻的任意輸入變量組任何一個內(nèi)部變量在t≥t0各時刻的運動行為也就隨之而完全確定狀態(tài)變量對系統(tǒng)行為的完全表征性

那么系統(tǒng)的可以選擇定義為信息的集合

由n個狀態(tài)變量組成的正交空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)向量和狀態(tài)空間由n個狀態(tài)變量組成的一個列向量稱為狀態(tài)向量，狀態(tài)向量的各個分量即為狀態(tài)變量?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)既可以用狀態(tài)變量表示，也可以用狀態(tài)向量表示，或用狀態(tài)空間中的一個點來表示。二：狀態(tài)空間表達式描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（動態(tài)方程或運動方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。一般地，以u表示輸入向量，以y表示輸出向量，

以x表示狀態(tài)向量，A-系數(shù)矩陣(n×n)，B-輸入矩陣(n×r)，C-輸出矩陣(m×n)，D-直接傳輸矩陣(m×r)則系統(tǒng)的動態(tài)方程可表示為BCAD對于線性定常系統(tǒng)，A、B、C、D為實常數(shù)矩陣。而對于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的動態(tài)方程常寫為：對于線性時變系統(tǒng)，矩陣A、B、C、D為時間的函數(shù)，系統(tǒng)的動態(tài)方程表示為：B(t)C(t)A(t)D(t)u（t）為輸入，uc(t)為輸出，若選擇i

L(t),uc(t)為一組狀態(tài)變量，則：寫成矩陣形式例如對于R-L-C網(wǎng)絡(luò)，三：狀態(tài)變量的選取

狀態(tài)變量選擇的非唯一性選擇不同的狀態(tài)變量，系統(tǒng)的動態(tài)方程是不一樣的。例如對于R-L-C網(wǎng)絡(luò)，考慮到選取狀態(tài)變量時的考慮…對于一般的電路圖，常選擇儲能元件的參數(shù)（如電容電壓、電感電流）作為狀態(tài)變量。應(yīng)注意狀態(tài)變量的獨立性。狀態(tài)變量的數(shù)目是唯一性，它等于系統(tǒng)微分方程的階數(shù)四：動態(tài)方程的建立

例1選取：例2選取例3例4M1-2系統(tǒng)的微分方程和動態(tài)方程之間的變換

通常一個單輸入-單輸出系統(tǒng)的微分方程為：這是一個n階系統(tǒng)，可用動態(tài)方程描述為1：由動態(tài)方程求微分方程例：設(shè)試求系統(tǒng)的微分方程式解2：由微分方程求動態(tài)方程由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的微分方程可改寫成不同形式的動態(tài)方程1）系統(tǒng)的微分方程中不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項選取n個狀態(tài)變量則有寫成矩陣形式：2：由微分方程求動態(tài)方程由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的微分方程可改寫成不同形式的動態(tài)方程1）系統(tǒng)的微分方程中不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項寫成矩陣形式：可畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

例：試寫出系統(tǒng)的動態(tài)方程解2）系統(tǒng)的微分方程中含有輸入量的導(dǎo)數(shù)項為避免在動態(tài)方程中出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項，可用下列方法方法一選取方法一選取待定系數(shù)的選擇應(yīng)使狀態(tài)方程的表達式中不含u的導(dǎo)數(shù)項寫成矩陣形式其動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下例

n=3方法二：改寫為令整理，得方法三設(shè)可見令有1-3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣一：傳遞函數(shù)矩陣的定義若線性定常系統(tǒng)有r個輸入，m個輸出，在初始條件為零時，系統(tǒng)的輸入、輸出間的關(guān)系由下列矩陣方程表示：或稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

二：由動態(tài)方程求傳遞函數(shù)矩陣設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為在初始條件為零的情況下，對動態(tài)方程進行拉氏變換對于單輸入單輸出系統(tǒng)，上式變?yōu)闋顟B(tài)變量對輸入量的傳遞函數(shù)矩陣例求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣解三:傳遞函數(shù)(矩陣)與狀態(tài)空間描述的比較(1).傳遞函數(shù)(矩陣)是系統(tǒng)的外部描述狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)的內(nèi)部描述內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學(xué)特性.外部描述一般的說只是對系統(tǒng)的一種不完全描述(2).使用對象、初始條件不同。(3).對于復(fù)雜系統(tǒng),可以用實驗方法獲得頻率特性,進而求得傳遞函數(shù)(矩陣)；通過系統(tǒng)辨識,可以求得傳遞函數(shù)(矩陣),或狀態(tài)空間描述1-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一：狀態(tài)空間表達式對于線性離散系統(tǒng)，動態(tài)方程的一般形式為對于單輸入單輸出系統(tǒng)對于線性時變系統(tǒng)例假設(shè)某個國家,城市人口為107,鄉(xiāng)村人口為9x107,每年4%的城市人口遷移去鄉(xiāng)村,2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市,整個國家的人口的自然增長率為1%設(shè)k為離散時間變量,x1(k)、x2(k)為第k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口,u(k)為第k年所采取的激勵性政策控制手段,設(shè)一個單位正控制措施可激勵5x104城市人口遷移鄉(xiāng)村,而一個單位負控制措施會導(dǎo)致5x104鄉(xiāng)村人口去城市,y(k)為第k年全國人口數(shù)寫成矩陣形式1:差分方程中不含有輸入量的差分項令二：由差分方程求動態(tài)方程2：差分方程中含有輸入量的差分項選取寫成矩陣形式其中例

已知線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為試求其狀態(tài)空間表達式解

畫出其動態(tài)結(jié)構(gòu)圖三：脈沖傳遞（函數(shù)）矩陣脈沖傳遞矩陣為例：1．線性時變系統(tǒng)（1）作線性變換：（2）其中方程（2）稱為方程（1）的等價系統(tǒng)方程1-5線性變換一．等價系統(tǒng)方程2．線性定常系統(tǒng)

作線性變換代入動態(tài)方程(1)(2)方程（2）稱為方程（1）的等價系統(tǒng)方程二：線性變換的不變性

1．線性變換不改變系統(tǒng)特征值2．線性變換不改變系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)（A、B、C、D）經(jīng)非奇異變換后，傳遞函數(shù)矩陣保持不變。1化矩陣A為對角形

對于矩陣A，稱為其特征方程式。特征方程式的根λ1、λ2、…λn即為A的特征值若：（λiI-A）qi=0或：λiqi=Aqi

，稱qi為與λi相對應(yīng)的A的特征向量

下列幾種情況，可將A化為對角陣三:化A為規(guī)范形為矩陣A的特征多項式1)如果A有n個特征值λ1、λ2、…λn互不相同，取Q=（q1，q2

，…qn

），其中qi為與λi相對應(yīng)的A的特征向量，令P=Q-1

例

設(shè)對應(yīng)于λ1的特征向量為對應(yīng)于λ2的特征向量為試將Ａ化為對角形解：2)如果矩陣A具有如下標準形式且A的n個特征值λ1、λ2、…λn互不相同，則利用范德蒙特矩陣，可使為對角陣3)如果矩陣A雖有相重之特征值，但由λiqi=Aqi

可解出n個獨立的特征向量，則Q=（q1

，q2

，…qn

），P=Q-1可使為對角陣例

設(shè)對應(yīng)與λ1、λ2的特征向量為對應(yīng)與λ3的特征向量為2化矩陣A為約當(dāng)標準形下列情況下，可將矩陣A化為約當(dāng)標準形1)在A的n個特征值λ1、λ2、…λn中，有n-m個互不相同，有m個為重特征值，此時，可A化為約當(dāng)陣。對于互不相同之特征值，特征向量qi由Aqi=λi

qi確定相應(yīng)的矩陣Q部分為對于m重特征值λj，特征向量qj由Aqj=λj

qj確定；廣義特征向量qj+1、qj+2、…qj+m-1、由下式確定：

λjqj+1+qj=Aqj+1

λjqj+2+qj+1=Aqj+2…

λjqj+m-1+qj+m-2=Aqj+m-1

相應(yīng)的約當(dāng)塊為例

設(shè)特征值λ1=2、λ2=λ3=1，試化A為約當(dāng)陣解

由λ1q1=Aq1得：q1=[2，-1，-2]T

由λ2q2=Aq2得：q2=[1，-3/7，-5/7]T

由λ2q3+q2=Aq3得：q3=[1，-22/49，-46/49]T

2）如果矩陣A具有如下標準形式且A的特征值λj為k重根，此時與λj相對應(yīng)的約當(dāng)塊為范德蒙特矩陣Q中對應(yīng)部分變?yōu)槠渲欣缙涮卣髦禐棣?、λ1、λ1、λ2、λ2，此時3模式矩陣當(dāng)矩陣A出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)根λ1、2=σ±jω時，可將A化為模式矩陣。如A為2×2矩陣，λ1、2=σ±jω，由λ1q1=Aq1求出與λ1相對應(yīng)A的特征向量q1=α1+jβ1。則P=[α1，β1]-1可使M=PAP-1成為模式矩陣，即例如特征值為λ1、2=-1±j，特征向量為一般情況，如A有m個互不相同的特征值λ1、λ2…λm和k組復(fù)數(shù)特征值λi=σi±jωi，（m+2k=n），利用P=[p1，p2，…pm，α1，β1…αk，βk]-1，可將A化為假定第j個復(fù)數(shù)特征值是r重根，且與其對應(yīng)的獨立特征向量為一個，則模式矩陣中相應(yīng)的部分為而P中相應(yīng)的部分由特征向量及廣義特征向量的實部和虛部組成例如A為4×4矩陣，λ1、2=σ±jω為重根，與λ1相對應(yīng)的特征向量q1=α1+jβ1，廣義特征向量q2=α2+jβ2。則：P=[α1、β1、α2、β2]-11-6組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述1：并聯(lián)（A1、B1、C1、D1

）（A2、B2、C2、D2

）uy2y1y系統(tǒng)1動態(tài)方程為系統(tǒng)2動態(tài)方程為并聯(lián)后寫成矩陣形式并聯(lián)后的輸出為并聯(lián)后的傳遞矩陣為并聯(lián)條件….2：串聯(lián)寫成矩陣形式串聯(lián)后的輸出為串聯(lián)后的傳遞矩陣為串聯(lián)條件….系統(tǒng)1動態(tài)方程為系統(tǒng)2動態(tài)方程為（A1、B1、C1、D1

）（A2、B2、C2、D2

）uy2y1y3：反饋（A1、B1、C1）（A2、B2、C2）y1y2yu-e寫成矩陣形式反饋聯(lián)接后的輸出為系統(tǒng)1動態(tài)方程為系統(tǒng)2動態(tài)方程為反饋聯(lián)接的條件….反饋聯(lián)接后的誤差為

反饋聯(lián)接后的傳遞矩陣為：反饋聯(lián)接后的輸出為（A1、B1、C1）（A2、B2、C2）y1y2yu-e第二章線性控制系統(tǒng)的運動分析

2-1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解設(shè)齊次向量微分方程為其中A為n×n常系數(shù)矩陣寫成矩陣形式由待定系數(shù)法，得考慮到初始條件最后得定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣由待定系數(shù)法，得寫成矩陣形式則齊次狀態(tài)方程的解可寫為

若初始條件為可以令可以求出

關(guān)于線性定常齊次狀態(tài)方程的求解，也可以應(yīng)用拉氏變換，即：兩邊拉氏變換可見狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

求證例

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求狀態(tài)方程的解解

2-2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣一：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是矩陣微分方程的唯一解證

1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足上述方程，為方程的解,把代入后，容易得證2）若φ(t)滿足則φ(t)一定是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即一定滿足說明φ(t)是矩陣微分方程的唯一解

二：φ(t)的性質(zhì)證所以證考慮到X(t0)的任意性，分別取令t1=0，得進一步寫為說明φ(t1)、φ(t2)為可交換矩陣(f)對于n×n陣A、B，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時，有三：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求法123：待定系數(shù)法

1)凱萊-哈密爾頓（Caylay-Camilton）定理對于一個n×n矩陣A，若A的特征多項式為則矩陣A滿足自己的特征方程，即證考慮到B(λ)也為n×n矩陣,各元素的最高次數(shù)不大于n-1，故式中B0、B1、…Bn-1為n×n常系數(shù)矩陣，由于比較系數(shù)

相加后，得：2)凱萊-哈密爾頓定理的應(yīng)用設(shè)A∈Rn×n，計算（m≥n）若則說明關(guān)于A的一個任意次冪的多項式總可以用另一個A的多項式來表示,其最高次冪不大于n-1.

例如設(shè)λ1、λ2、…λn為A的特征值，根據(jù)可以求出α1、α2、…αn

則例

已知

求A1010解

|λI-A|=0，得A的特征值λ1=5，λ2=-2設(shè)A1010=α0I+α1A即3）用待定系數(shù)法求φ(t)設(shè)λ1、λ2、…λn為A的n個互異特征值則若λi為l重特征值，則相應(yīng)的l個方程為3）用待定系數(shù)法求φ(t)則設(shè)λ1、λ2、…λn為A的n個互異特征值例

求φ(t)解

令則4：利用線性變換計算φ(t)若則1.若則例

2.若其中則其中例

3.模式矩陣當(dāng)2×2矩陣A出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)根λ1、2=σ±jω時例如特征值為λ1、2=-1±j，特征向量為一般情況，如A有m個互不相同的特征值λ1、λ2…λm和k組復(fù)數(shù)特征值λi=σi±jωi，（m+2k=n）可將A化為假定第j個復(fù)數(shù)特征值是r重根，且與其對應(yīng)的獨立特征向量為一個，則模式矩陣中相應(yīng)的部分為例如A為4×4矩陣，λ1、2=σ±jω為重根中相應(yīng)部分變?yōu)榧俣ǖ趈個復(fù)數(shù)特征值是r重根，且與其對應(yīng)的獨立特征向量為一個，則模式矩陣中相應(yīng)的部分為2-3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解由于故即當(dāng)輸入向量為階躍形式例

試求x(t)解

如初始時刻為t0即當(dāng)輸入向量為階躍形式2-4線性時變系統(tǒng)的運動分析如果線性系統(tǒng)含有隨時間而變的系數(shù)，稱為線性時變系統(tǒng)，動態(tài)方程一：線性時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解設(shè)其解為為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣根據(jù)初始條件，易得

得：兩邊積分兩邊積分當(dāng)矩陣A(t)的所有元素在積分區(qū)間內(nèi)有界時,該級數(shù)是收斂的,但得不到閉合形式的解,該級數(shù)稱為皮諾-拜克爾級數(shù)例：求下列時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在一定的條件下，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有如下閉合形式根據(jù)上式而狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣應(yīng)滿足得結(jié)論：對于任意的t1、t2，若A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1)成立，則例

由于A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1)，且故線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下性質(zhì)由于兩邊求導(dǎo)二：線性時變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解設(shè)線性時變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為其解為顯然且有三：控制系統(tǒng)的輸出對于線性定常系統(tǒng)對于線性時變系統(tǒng)2-5線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣一：線性時變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣線性時變系統(tǒng)的輸出為初始條件為零，輸入信號中，ui(t)為單位脈沖信號,其余的輸入信號為零。即則輸出為定義即為線性時變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣定義即為線性時變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣二：線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣定義為當(dāng)τ=0時，有三：傳遞矩陣與脈沖響應(yīng)矩陣的關(guān)系對H(t)進行拉氏變換，得上式說明在拉氏變換中，脈沖響應(yīng)矩陣和傳遞矩陣分別為原函數(shù)和象函數(shù)。脈沖響應(yīng)矩陣既可以由定義求得，也可以對傳遞矩陣進行拉氏反變換求得二：線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣定義為當(dāng)τ=0時，有例

求脈沖響應(yīng)矩陣解

也可以利用傳遞函數(shù)矩陣的拉氏反變換求得四：利用脈沖響應(yīng)矩陣計算控制系統(tǒng)的輸出設(shè)則若初始狀態(tài)為０，2-6連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的離散化一：線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程的離散化設(shè)線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為在kT≤t<(k+1)T時，u(t)=u(kT)初始狀態(tài)為則在kT≤t<(k+1)T令則線性定常系統(tǒng)的離散化動態(tài)方程為例線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態(tài)方程解

令則線性定常系統(tǒng)的離散化動態(tài)方程為二：線性時變系統(tǒng)動態(tài)方程的離散化設(shè)線性時變系統(tǒng)動態(tài)方程為假定采樣時刻為t0、t1、…tk、tk+1、…，在tk-tk+1之間u(t)=u(tk),初始狀態(tài)為x(tk),則令則對于周期為Ｔ的采樣當(dāng)采樣周期T足夠小時（通常比系統(tǒng)中最小時間常數(shù)小一個數(shù)量級），線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化可近似處理如下在狀態(tài)方程中，令t=kT，則2-7線性離散系統(tǒng)的運動分析一：線性定常離散系統(tǒng)動態(tài)方程的解設(shè)其解可用遞推法來求，分別令k=0、1、2、…，得對于連續(xù)系統(tǒng)的離散化動態(tài)方程，有二：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對于離散系統(tǒng)，定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為二：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對于離散系統(tǒng)，定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為1：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)

2：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算例

求x(k)解

三：線性時變離散系統(tǒng)動態(tài)方程的解設(shè)初始時刻為k0，初始狀態(tài)為x(k0),其解存在且唯一,則其中稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,它滿足第三章控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性3-1引言小車擺桿系統(tǒng)3-2能控性及其判據(jù)一：能控性概念線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1>t0的有限時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，存在一個無約束的容許控制u(t)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的?？梢娤到y(tǒng)的能控性反映了控制矢量u(t)對系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì),與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。定義：例如定義：設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1>t0的有限時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，存在一個無約束的容許控制u(t0，t1)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。3-2能控性及其判據(jù)一：能控性概念線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1>t0的有限時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，存在一個無約束的容許控制u(t)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。定義：證明充分性為非奇異時，系統(tǒng)能控說明系統(tǒng)是能控的二：能控性判據(jù)定理一：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣，式中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1線性時變系統(tǒng)必要性反證法，若是奇異的，且系統(tǒng)能控，看能否導(dǎo)出矛盾結(jié)果。由于是奇異的，故必存在非零的行向量α，使二：能控性判據(jù)定理一：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣，式中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1線性時變系統(tǒng)二：能控性判據(jù)定理一：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣，式中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必要性由于系統(tǒng)能控

取系統(tǒng)初始狀態(tài)

1線性時變系統(tǒng)定理二：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是的行向量在[t0,t1]上線性無關(guān)證明:充分性的行向量在[t0,t1]上線性無關(guān)→系統(tǒng)能控

或系統(tǒng)不能控

→的行向量在[t0,t1]上線性相關(guān)由于系統(tǒng)不能控

是奇異的，故必存在非零的行向量α，使定理二：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是的行向量在[t0,t1]上線性無關(guān)證明:必要性的行向量在[t0,t1]上線性相關(guān)→系統(tǒng)不能控

系統(tǒng)能控

→的行向量在[t0,t1]上線性無關(guān)由于的行向量線性相關(guān)，故必存在非零的行向量α，使或是奇異的，故系統(tǒng)不能控定理三：如果線性時變系統(tǒng)的A(t)和B(t)是n-1階連續(xù)可微的，若存在一個有限的t1>t0，使得則系統(tǒng)在t0是能控的。其中本定理是充分條件證明:由于

故

下面求證

→系統(tǒng)能控或系統(tǒng)不能控→由于系統(tǒng)不能控,存在非零的行向量α，使由于

故

下面求證

→系統(tǒng)能控或系統(tǒng)不能控→由于系統(tǒng)不能控,存在非零的行向量α，使2線性定常系統(tǒng)定理一:線性定常系統(tǒng)(A、B、C)，狀態(tài)能控的充分必要條件是格蘭姆矩陣：

或為非奇異矩陣定理二:線性定常系統(tǒng)(A、B、C)，狀態(tài)完全能控的充分必要條件是的行向量在[０,t1]上線性無關(guān)定理三：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：能控性矩陣滿秩定理三：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：能控性矩陣滿秩證明:充分性滿秩→系統(tǒng)能控,或系統(tǒng)不能控→不滿秩由于系統(tǒng)不能控,存在非零的行向量α，使上式對t求導(dǎo)，并令t=0必要性不滿秩→系統(tǒng)不能控由于不滿秩,存在非零的行向量α，使對于單輸入系統(tǒng)，QC=[b，Ab，A2b，…An-1b]如果系統(tǒng)是完全能控的，稱（A、B）或（A、b）為能控對推論：對于線性定常系統(tǒng)，若B的秩為r，則系統(tǒng)完全能控的充要條件是：rank[B，AB，A2B，…An-rB]=n例

設(shè)試判斷系統(tǒng)的能控性解

系統(tǒng)是不完全能控的。若考慮到rankB=2，只需計算rank[B，AB]=2，說明系統(tǒng)不能控。例

圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件解：選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為當(dāng)（R1R4=R2R3）時，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。定理四：PBH判別法線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是n×（n+r）矩陣[λI-A，B]對A的所有特征值λi之秩為n。即：rank[λiI-A，B]=n，（i=1、2、…n）證明見[5]P144-145定理五：對線性定常系統(tǒng)作非奇異變換，其能控性不變定理六：線性定常系統(tǒng)（A、B、C），若A的特征值λ1、λ2、…λn互不相同，則一定可以通過非奇異變換P把A變換成對角陣，即此時系統(tǒng)能控的條件為中任一行的元素不全為零。如果某一行的元素全為零，說明對應(yīng)的狀態(tài)變量不能控。例

判斷系統(tǒng)的能控性解

系統(tǒng)不能控定理七：一般情況下，當(dāng)A有重特征值時，可利用變換陣P將A化為約當(dāng)陣，如果對應(yīng)A的各重特征值只能找到一個獨立的特征向量，其狀態(tài)完全能控的條件是：與每個約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣中，這一行的元素不全為零。定理八：設(shè)n維線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程當(dāng)A有重特征值時，可利用變換陣P將A化為約當(dāng)陣，若λ1、λ2、…λm為其m個互異特征值，對應(yīng)與某個特征值λi可以找到r(i)個獨立的特征向量，則與λi相對應(yīng)的約當(dāng)塊Ai中有r(i)個約當(dāng)塊，即相應(yīng)地，設(shè)系統(tǒng)能控的充分必要條件是：對每一個i=1、2、…m，矩陣Bil的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，其中：例

系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組{bl11、bl12、bl13}線性無關(guān)以及{bl21}線性無關(guān)（即不為零）三：線性定常系統(tǒng)的輸出能控性設(shè)線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程為如果存在一個無約束的容許控制u(t)，在有限時間tf-t0內(nèi)，使得由任一初始輸出y(t0)，能夠轉(zhuǎn)移到輸出y(tf)=0，則稱這一系統(tǒng)為輸出完全能控，簡稱輸出能控?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性之間沒有必然聯(lián)系系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是下列m×(n+1)r矩陣滿秩，即：例

由于該系統(tǒng)狀態(tài)不能控而輸出能控

對于本例，若設(shè)系統(tǒng)輸出不能控3-3能觀測性及其判據(jù)一：能觀測性的概念定義：設(shè)n維線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為如果在有限的時間間隔內(nèi)，根據(jù)給定的輸入值u(t)和輸出值y(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)的每一個分量,則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測的。若系統(tǒng)中至少由一個狀態(tài)變量不能觀測，則稱此系統(tǒng)是不完全能觀測的，簡稱不能觀測。該系統(tǒng)是不能觀測的由于可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是等價的定義：設(shè)n維系統(tǒng)的動態(tài)方程為若對狀態(tài)空間中的任一狀態(tài)x(t0)，存在一有限時間t1-t0，使得由控制輸入u(t0,t1)和輸出y(t0,t1)的信息足以確定x(t0)，則稱系統(tǒng)在t0時刻是完全能觀測的。二：能觀測性判據(jù)1線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是下列格蘭姆矩陣：為非奇異矩陣證明:充分性設(shè)二：能觀測性判據(jù)1線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是下列格蘭姆矩陣：為非奇異矩陣證明:必要性設(shè)系統(tǒng)能觀測,但是奇異的,即存在非零初態(tài),使二：能觀測性判據(jù)1線性時變系統(tǒng)定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是下列格蘭姆矩陣：為非奇異矩陣定理二：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是存在一個有限時刻t1>t0，使得m×n型矩陣C(t)φ(t,t0)的n個列在[t0，t1]上線性無關(guān)。定理三：如果線性時變系統(tǒng)的A(t)和C(t)是(n-1)階連續(xù)可微的，若存在一個有限的t1>t0，使得則系統(tǒng)在t0時刻能觀測的，其中（充分條件）2：線性定常系統(tǒng)定理一:對于線性定常系統(tǒng)，其能觀測的充要條件是滿秩,或定理二：線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是能觀測性矩陣QO滿秩，即的列線性無關(guān).定理三：線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是(n+m)×n型矩陣對A的每一個特征值λi之秩為n。（PBH判別法）定理三：線性定常連續(xù)系統(tǒng)，若A的特征值互異，經(jīng)非奇異變換后為系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是陣中不包含全為零的列定理四：線性定常連續(xù)系統(tǒng)，若A陣具有重特征值，且對應(yīng)每一個重特征值只存在一個獨立的特征向量，經(jīng)非奇異變換后為：系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是陣中與每一個約當(dāng)塊Ji第一列對應(yīng)的列不全為零。非奇異變換不改變系統(tǒng)的能觀測性3-4離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性定常離散系統(tǒng)方程為一：能控性定義對于任意給定的一個初始狀態(tài)x(0)，存在k>0，在有限時間區(qū)間[0，k]內(nèi)，存在容許控制序列u(k)，使得x(k)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的二：能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)能控的充分必要條件是n×nr型矩陣Qc滿秩，即rankQc=rank[H，GH，G2H，…Gn-1H]=n證明令對于任意的x(0),上述方程有解的充要條件是：kr≥n且系數(shù)矩陣滿秩若系統(tǒng)能控，對于任意的初始狀態(tài)，在第k步可以使x(k)=0，（k≥n/r）例

設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性解

系統(tǒng)是能控的系統(tǒng)是能控的令若令

無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。例

雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試判斷其能控性，并研究使x(1)=0的可能性解

系統(tǒng)是能控的令x(1)=0若若則可以求出u(0)，使x(1)=0則不存在u(0)，使x(1)=0三：能觀測性定義對于離散系統(tǒng)，其定義為：已知輸入向量序列u(0)、u(1)、…u(n-1)及有限采樣周期內(nèi)測量到的輸出向量序列y(0)、y(1)、…y(n-1),能唯一確定任意初始狀態(tài)向量x(0),則稱系統(tǒng)是完全能觀測的，簡稱系統(tǒng)是能觀測的四：能觀測性判據(jù)設(shè)n維離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為其解為在討論能觀測性時，假定u(k)=0,(k=0、1、…n-1)定義為離散系統(tǒng)的能觀測性矩陣。上述方程要唯一確定x(0)的充要條件是rankQo=n因此線性定常離散系統(tǒng)能觀測的充要條件為rankQo=n五：連續(xù)系統(tǒng)離散化后的能控性與能觀測性定理一：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的證明：用反證法設(shè)連續(xù)系統(tǒng)不能控，而對于某采樣T離散化后的系統(tǒng)卻是能控的。則rank[H、GH、G2H、…Gn-1H]=n故容易驗證為可交換陣，故由于eAiT可用I、A、A2、…An-1線性表示，故連續(xù)系統(tǒng)是能控的，矛盾本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的定理二：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件是不是A的特征值。其中k為非零整數(shù)證明設(shè)A的特征值為λ1、λ2、…λn則的特征值為：如果λi=0，則如果λi≠0，則可見當(dāng)（k為非零整數(shù)）為A的特征值時的特征值中出現(xiàn)0不可逆,由于定理三：設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）能控，采樣周期T滿足如下條件：對A的任意兩個特征值λ1、λ2，不存在非零整數(shù)k，使成立，則以T為采樣周期的離散化系統(tǒng)也是能控的。本定理為充分條件，對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。3-5對偶原理若系統(tǒng)S1描述為系統(tǒng)S2描述為則稱S1（S2）為S2（S1）的對偶系統(tǒng)。顯然，原系統(tǒng)S1（S2）的能控性（能觀測性）矩陣等于對偶系統(tǒng)S2（S1）的能觀測性（能控性）矩陣轉(zhuǎn)置，或者說，原系統(tǒng)的能控性（能觀測性）等價與其對偶系統(tǒng)的能觀測性（能控性）對偶系統(tǒng)有兩個基本特征:1)傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置2)系統(tǒng)特征值相同3-6能控標準形和能觀測標準形一：能控標準形一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱為能控標準形定理：若n維單輸入線性定常系統(tǒng)能控，則一定能找到一個線性變換，將其變換成能控標準形具體做法是：設(shè)A的特征多項式為引入非奇異線性變換則為能控標準形例

已知能控的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程試將其變換成能控標準形解

系統(tǒng)是能控的解

系統(tǒng)是能控的二：能觀測標準形一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式則系統(tǒng)一定能觀測，此時的A、c陣稱為能觀測標準形定理：若n維單輸出線性定常系統(tǒng)能觀測，則一定能找到一個線性變換，將其變換成能觀測標準形具體做法是：設(shè)A的特征多項式為引入非奇異線性變換則為能觀測標準形可利用對偶原理來證明3-7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系定理一：如果A的特征值互不相同，則系統(tǒng)（A、B、C）為能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞矩陣G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。定理二：單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消定理三：單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若傳遞函數(shù)存在零、極點對消，則系統(tǒng)或是狀態(tài)不能控或是狀態(tài)不能觀測的；若傳遞函數(shù)不存在零、極點對消，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控且完全能觀測的。證明單輸入、單輸出系統(tǒng)動態(tài)方程為如果A的特征值互不相同，則可利用非奇異線性變換，使A成為對角陣。即此式即為傳遞函數(shù)的部分分式若傳遞函數(shù)存在零、極點對消，傳遞函數(shù)的部分分式中應(yīng)缺少相應(yīng)項。如傳遞函數(shù)中相消的零、極點為s-λk，則說明fkγk=0，γk=0，fk≠0系統(tǒng)是不能控的；fk=0，γk≠0，系統(tǒng)是不能觀測的；γk=0，fk=0，系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。若傳遞函數(shù)不存在零、極點對消，傳遞函數(shù)的部分分式中，應(yīng)有fkγk≠0（k=1、2、…n）系統(tǒng)是既能控又能觀測的例設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由于存在零、極點對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的例已知系統(tǒng)的動態(tài)方程如下，試求傳遞函數(shù)，判斷其能控性、能觀測性三個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為系統(tǒng)（1）是能控不能觀測的；系統(tǒng)（2）是能觀測不能控的；系統(tǒng)（3）是既不能控又不能觀測的定理二、定理三只適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，對于有相重特征值的多輸入、多輸出系統(tǒng)，即使有零、極點對消，系統(tǒng)仍可能是既能控又能觀測的定理四：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件）定理五：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量X（0）之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能觀測的。（充分必要條件）例

試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性、能觀測性

解：（1）令說明的三個行向量線性無關(guān)，系統(tǒng)是能控的。說明的三個列向量線性無關(guān)，系統(tǒng)是能觀測的例

試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性、能觀測性

解：（1）令

（2）由于的三個行向量線性相關(guān)，系統(tǒng)不能控令存在非零解系統(tǒng)是不能觀測的。3-8控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

一：系統(tǒng)按能控性分解

設(shè)不能控系統(tǒng)的動態(tài)方程為

其能控性矩陣的秩為r<n，即rankQc=r令則

其中選出其中r個線性無關(guān)列，再加任意n-r個列，構(gòu)成非奇異矩陣T,令ＰＣ＝T-1

經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為例已知試按能控性進行規(guī)范分解解系統(tǒng)不完全能控，取則能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為二：系統(tǒng)按能觀測性分解設(shè)不能觀測系統(tǒng)的動態(tài)方程為其能觀測性矩陣的秩為r<n，選出其中r個線性無關(guān)行，再加任意n-r個行，構(gòu)成非奇異變換Po

令則經(jīng)非奇異變換后,動態(tài)方程寫為可得能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為例已知試按能觀測性進行規(guī)范分解解系統(tǒng)不完全能觀測，取能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為三：系統(tǒng)按能控性和能觀測性的標準分解設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不能控、不能觀測，可先對系統(tǒng)按能控性分解，即令再分別對能控子系統(tǒng)、不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解，即最后得到經(jīng)變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程為經(jīng)變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程為能控、能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為能控、不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能控、能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為不能控、不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為3-9線性定常系統(tǒng)的實現(xiàn)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，建立與輸入輸出等價的系統(tǒng)方程,稱為實現(xiàn)問題.真分式傳遞函數(shù)：分子的次數(shù)等于或小于分母的次數(shù)，稱傳遞函數(shù)是正則的。嚴格真分式傳遞函數(shù)：分子次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱傳遞函數(shù)是嚴格正則的。當(dāng)傳遞函數(shù)分子多項式和分母多項式無公因式時，該傳遞函數(shù)稱為不可約的。若可以求出系統(tǒng)的動態(tài)方程（A、B、C、D），使則稱系統(tǒng)是可實現(xiàn)的

所有可能的實現(xiàn)，不僅實現(xiàn)形式不同,且實現(xiàn)的階數(shù)也不同,其中階數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)，又稱不可約實現(xiàn).對于不可約傳遞函數(shù),其所有實現(xiàn)的階數(shù)不會小于傳遞函數(shù)的次數(shù)，而最小實現(xiàn)的階數(shù)等于傳遞函數(shù)的次數(shù),此時系統(tǒng)必是能控能觀測的。1：單輸入、單輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)如果{A、b、c、d}為G（s）的一個實現(xiàn)，則取：d=d′，應(yīng)有：故只需要考慮嚴格有理真分式的實現(xiàn)問題。即討論如何用（A、b、c）來實現(xiàn)下式：能控標準形實現(xiàn)

取取寫成矩陣形式寫成矩陣形式能觀測標準形實現(xiàn)根據(jù)上式，畫出系統(tǒng)的信號流圖上式即為能觀測標準形實現(xiàn)，能觀測標準形實現(xiàn)要求A、c具有上式標準形式。顯然,能觀測性實現(xiàn)中,狀態(tài)變量選擇如下例：

設(shè)試確定能控性、能觀測性動態(tài)方程，并確定狀態(tài)變量與輸入、輸出量的關(guān)系解

1:能控標準形解得2:能觀測標準形解得并聯(lián)形實現(xiàn)(約當(dāng)形實現(xiàn))先熟悉一個基本關(guān)系式設(shè)寫成矩陣形式也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為例設(shè)試寫出其約當(dāng)形實現(xiàn)的動態(tài)方程解1:

2:串聯(lián)形實現(xiàn)

設(shè)畫出結(jié)構(gòu)圖動態(tài)方程為2：向量真分式有理傳遞函數(shù)的實現(xiàn)SIMO系統(tǒng)它的一個實現(xiàn)為MISO系統(tǒng)它的一個實現(xiàn)為第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4-1引言一：范數(shù)設(shè)定義x的范數(shù)為m×n矩陣A的范數(shù)定義為二：標量函數(shù)的正定性、負定性1：正定性設(shè)有標量函數(shù)V（x），對域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V（x）>0，且當(dāng)x=0時，有V（x）=0，則稱標量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是正定的2：負定性設(shè)有標量函數(shù)V（x），對域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V（x）<0，且當(dāng)x=0時，有V（x）=0，則稱標量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是負定的。此時-V（x）是正定的3：正半定性和負半定性設(shè)有標量函數(shù)V（x），對域S中的某些非零狀態(tài)x及x=0，有V（x）=0，而對于S中的其余狀態(tài)有V（x）>0，則稱標量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是正半定的。如果-V（x）是正半定的，則V（x）是負半定的例設(shè)則三：二次型函數(shù)的正定性設(shè)標量函數(shù)V（x）為二次型函數(shù)，即V（x）=xTQx，并設(shè)Q為對稱陣：3：正半定性和負半定性設(shè)有標量函數(shù)V（x），對域S中的某些非零狀態(tài)x及x=0，有V（x）=0，而對于S中的其余狀態(tài)有V（x）>0，則稱標量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是正半定的。如果-V（x）是正半定的，則V（x）是負半定的賽爾維斯特準則：對于二次型函數(shù)V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V（x）也是正定的。4-2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念賽爾維斯特準則：對于二次型函數(shù)V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V（x）也是正定的。1：系統(tǒng)設(shè)所研究的系統(tǒng)為式中x為n維狀態(tài)向量，在給定的初始條件下，方程有唯一解2：平衡狀態(tài)滿足的狀態(tài)即對于線性定常系統(tǒng)當(dāng)A可逆時，有唯一平衡狀態(tài)3：穩(wěn)定性以S（k）表示平衡狀態(tài)周圍半徑為k的球域設(shè)對應(yīng)于每一個球域S（ε），都存在球域S（δ），使得當(dāng)t≥t0時，從初始條件S（δ）出發(fā)的軌跡都超出不了S（ε），則稱這一系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。如果δ與t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)線性定常系統(tǒng)，如果是穩(wěn)定的，則必是一致穩(wěn)定的4：漸近穩(wěn)定性如果平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，且從球域S（δ）出發(fā)的任意一個解，當(dāng)t→∞時，收斂于平衡狀態(tài)，則稱此類平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，如果δ與t0無關(guān)，則平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，如果是漸近穩(wěn)定的，則必是一致漸近穩(wěn)定的5：大范圍穩(wěn)定性不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定6：不穩(wěn)定性如果對于某個實數(shù)ε>0和任一實數(shù)δ>0，在球域S（δ）中，總存在一個初始狀態(tài)x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終會超出球域S（ε），這時的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的4-3李雅普諾夫直接法（第二法）主要理論1：對于一個系統(tǒng)，若能構(gòu)造出一個正定的標量函數(shù)V（x），并且它對時間的一階導(dǎo)數(shù)是負定的，則系統(tǒng)在狀態(tài)空間的原點處是漸近穩(wěn)定的2：對于一個系統(tǒng)，若V（x）在原點附近的鄰域內(nèi)是正定的，并且它對時間的一階導(dǎo)數(shù)也是正定的，那么系統(tǒng)在原點處是不穩(wěn)定的李雅普諾夫第一法----間接法李雅普諾夫第二法----直接法例在討論穩(wěn)定性時,設(shè)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并取則定理一：設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為原點為一個平衡狀態(tài)，即：如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V（x），滿足如下條件（1）是正定的（2）是負定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的如果當(dāng)時則系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。如果除原點外，在系統(tǒng)的軌跡上再沒有任何一點，其恒為零，則條件（2）可改為是負半定的定理二：設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為：原點為一個平衡狀態(tài)，即：如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V（x），滿足如下條件（1）是正定的（2）是負半定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的如果當(dāng)時則系統(tǒng)是一致大范圍穩(wěn)定的。例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為坐標原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：取為一正定的標量函數(shù)為一負定的標量函數(shù)，且系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。例系統(tǒng)動態(tài)方程為坐標原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：取為一正定的標量函數(shù)為負半定的，系統(tǒng)是穩(wěn)定的定理三：設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為原點為一個平衡狀態(tài)，即：如果在平衡狀態(tài)的某個鄰域內(nèi)，存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)V（x），滿足如下條件：（1）是正定的（2）是正定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的類似地，若除原點外，不恒為零，條件（2）可改為正半定。例設(shè)有如下系統(tǒng)試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取為一正定的標量函數(shù)為正半定的，但除了坐標原點外，在狀態(tài)軌跡上不恒為零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的4-4線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一：線性定常系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設(shè)線性定常系統(tǒng)若A為n階非奇異矩陣，則系統(tǒng)有唯一的平衡狀態(tài)x=0取一個可能的李氏函數(shù)P為正定實對稱矩陣系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的定理：線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q，存在正定實對稱矩陣P，使ATP+PA=-Q成立。充分性4-4線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一：線性定常系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法定理：線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q，存在正定實對稱矩陣P，使ATP+PA=-Q成立。必要性在系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,Q正定時,求證P正定考慮方陣是矩陣方程的解系統(tǒng)漸近穩(wěn)定兩邊積分表明是方程的解顯然P是對稱的對于非零狀態(tài)P正定例

試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取Q=I，由：ATP+PA=-Q設(shè)P為正定矩陣系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的推論：如果沿任意一條軌跡不恒為零，上述定理中的Q可取為正半定矩陣例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍解令u=0，detA≠0，故原點是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。取由于只有在原點處才有故Q可取為正半定矩陣。由ATP+PA=-Q，得二：線性時變系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設(shè)線性時變系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0取一個可能的李氏函數(shù)P（t）為正定實對稱矩陣，令若Q（t）是正定對稱矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的定理：線性時變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q（t），存在正定實對稱矩陣P（t），使黎卡提矩陣微分方程成立三：線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾個結(jié)論設(shè)線性系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0狀態(tài)方程的解為四：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)定理：線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)矩陣A的所有特征值都位于左半復(fù)數(shù)平面。即Reλi<0（i=1、2、…n）λi為A的特征值4-5線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性取V[x(k)]=xT(k)Px(k)，P為正定實對稱矩陣。令定理：線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q，存在一個正定實對稱矩陣P使GTPG-P=-Q成立，此時V（X）=xTPx。

若△V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒為零，那么Q可取為正半定矩陣。設(shè)x(k+1)=Gx(k)，x=0為平衡狀態(tài)。例設(shè)試確定系統(tǒng)在平衡點處大范圍漸近穩(wěn)定的條件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得根據(jù)P為正定實對稱矩陣的要求，得4-6外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性定義：稱一個系統(tǒng)外部穩(wěn)定（BIBO）是指對任何一個有界輸入u(t),即：‖u(t)‖≤K1<∞的任意輸入u(t)，對應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即定理：對零初始條件的連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，t∈[t0,+∞）則t0時刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個有限正常數(shù)K3

，使對一切t∈[t0,+∞)脈沖響應(yīng)矩陣H(t,τ)所有元均滿足關(guān)系式證明考慮SISO情形充分性1.有界輸入、有界輸出穩(wěn)定(BIBO)―外部穩(wěn)定必要性采用反證法，即系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，卻存在某個t1使可以取有矛盾推論：對零初始條件r維輸入和m維輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，令t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：存在一個有限正常數(shù)K3，使脈沖響應(yīng)矩陣H(t)所有元均滿足關(guān)系式定理：對零初始條件的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：真或嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的所有極點均具有負實部。例線性定常系統(tǒng)分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定解傳遞函數(shù)脈沖響應(yīng)系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件是等價于傳遞函數(shù)的極點位于左半復(fù)平面定義：稱連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)在t0為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時刻t0任意非零初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)Xou(t)對t∈[t0,+∞)有界，并滿足漸近屬性，即：定理：對n維連續(xù)時間線性時不變自治系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為或矩陣A所有特征值均具有負實部，即：Re{λi(A)}<0。2.外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定性之間的關(guān)系定理：對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定→BIBO穩(wěn)定，反之不成立。若系統(tǒng)能控且能觀測，則內(nèi)部穩(wěn)定←→BIBO穩(wěn)定。例系統(tǒng)方程為分析系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性與外部穩(wěn)定性解系統(tǒng)位于原點的平衡狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的傳遞函數(shù)系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的容易判斷,系統(tǒng)是能觀測、不能控的4-7非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1：克拉索夫斯基法設(shè)非線性控制系統(tǒng)其中x為n維列向量，f（0）=0，即x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，且設(shè)f（x）對x在整個狀態(tài)空間是可以求導(dǎo)的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為克拉索夫斯基指出：如果存在一個對稱正定矩陣W,使S（x）=WJ（x）+[WJ（x）]T是負定的，那么平衡狀態(tài)x=0是一致漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：則平衡狀態(tài)x=0是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。如果這是因為例確定平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性解取W=I為對稱負定陣，且這是因為x=0是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。若取W=I則S（x）=J（x）+[J（x）]T負定時,系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定克拉索夫斯基法指出由負定矩陣的性質(zhì)知,J（x）對角線上的元素必為負值,因此向量函數(shù)f（x）的第i個分量fi（x）必須包含xi，否則不能用克拉索夫斯基法判別系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性將克拉索夫斯基法應(yīng)用到線性定常系統(tǒng)中，若Ａ＋ＡＴ為負定矩陣，則系統(tǒng)的原點是一致大范圍漸近穩(wěn)定的2變量梯度法設(shè)連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，為V(x)的梯度(1)設(shè)V(x)的梯度為(2)設(shè)▽

V(x)為有勢場，則旋度rot▽V(x)=0，充要條件為(3)(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)(6)判斷V(x)計算結(jié)果的正定性則例設(shè)非線性系統(tǒng)分析原點的穩(wěn)定性解根據(jù)負定性要求正定x=0是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。根據(jù)負定性要求3：阿塞爾曼法其中f（xi）為非線性單值函數(shù)，f（0）=0，故x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。阿塞爾曼指出：若以線性函數(shù)取代非線性函數(shù)，即令f（xi）=kxi，可對線性化后的系統(tǒng)建立李雅普諾夫函數(shù)V（x），若dV（x）/dt在k1≤k≤k2區(qū)間內(nèi)是負定的，則當(dāng)非線性函數(shù)不超過上述區(qū)間時，非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為：例設(shè)f(x1)如圖所示，判斷x=0的穩(wěn)定性解：令f(x1)=2x1

線性化后的系統(tǒng)方程為令得P為正定對稱陣認為非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)就是V（x），則P為正定對稱陣根據(jù)負定的要求，穩(wěn)定時要求只要非線性特性在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的李雅普諾夫第二法的幾點說明第二法給出的是穩(wěn)定性的充分條件，因此，一個系統(tǒng)滿足穩(wěn)定條件時，它一定穩(wěn)定；如果不滿足穩(wěn)定條件，則不能作出不穩(wěn)定的結(jié)論V（x）不是唯一的，因此滿足穩(wěn)定性條件的各種方案有相應(yīng)的穩(wěn)定范圍，它們不一定相同。第二法的應(yīng)用中，沒有一種方案是通用的以上討論，均假設(shè)x=0為平衡點，如果平衡點不在原點，通過適當(dāng)?shù)淖鴺俗儞Q，將它移到原點李雅普諾夫函數(shù)除了提供穩(wěn)定性判據(jù)外，還可用于線性和非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)性能分析和參數(shù)選擇3：實際系統(tǒng)按線性化模型判定穩(wěn)定性—李雅普諾夫第一法實際系統(tǒng)如果非線性不嚴重，或者偏差不大，在分析穩(wěn)定性時，可按線性化模型應(yīng)用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定條件進行分析，那么分析結(jié)果是否符合實際系統(tǒng)的真實情況呢？李雅普諾夫小偏差理論：若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根均為負實數(shù)或具有負的實部，則實際系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，線性化過程中被忽略的高于一次的微量項對穩(wěn)定性結(jié)論沒有影響若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根中，即使有一根為正實數(shù)或具有正的實部，則實際系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，線性化過程中被忽略的高于一次的微量項不會使系統(tǒng)變成穩(wěn)定若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根中，有至少一個為零或?qū)嵅繛榱?，而其余均為負實?shù)或具有負的實部，則實際系統(tǒng)的穩(wěn)定性不能按線性化模型來判斷，實際系統(tǒng)的穩(wěn)定性與線性化過程中被忽略的高于一次的微量項有關(guān)第五章線性定常系統(tǒng)的綜合5-1引言性能指標極值型非極值型綜合的目的極點配置鎮(zhèn)定問題漸近跟蹤與干擾抑制解耦控制系統(tǒng)綜合是指:在給定被控對象和外部輸入信號的情況下,通過設(shè)計控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù),使系統(tǒng)滿足預(yù)先規(guī)定的性能指標