高考數(shù)學(xué)高三模擬試卷試題壓軸押題一對(duì)一個(gè)性化教案高考?jí)狠S題-函數(shù)篇40012

高考數(shù)學(xué)高三模擬試卷試題壓軸押題一對(duì)一個(gè)性化教案高考?jí)狠S題——函數(shù)篇4一、教學(xué)內(nèi)容及授課目的§教學(xué)內(nèi)容：高考?jí)狠S題——函數(shù)篇4◆教學(xué)目標(biāo)：掌握解決高考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)題型的一些相關(guān)解題方法◆重難點(diǎn)：掌握解決高考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)題型的一些相關(guān)解題方法二、授課提綱教學(xué)反思四、學(xué)生對(duì)于本次課的評(píng)價(jià)○特別滿意○滿意○一般○差五、教師評(píng)定1、學(xué)生上次作業(yè)評(píng)價(jià)：○好○較好○一般○差2、學(xué)生本次上課情況評(píng)價(jià)：○好○較好○一般○差學(xué)生簽字：教學(xué)主任審批：華實(shí)教育一對(duì)一個(gè)性化學(xué)案教師：肖傳略學(xué)生：日期:年月日時(shí)間：第次課§教學(xué)內(nèi)容：高考?jí)狠S題——函數(shù)篇4◆教學(xué)目標(biāo)：掌握解決高考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)題型的一些相關(guān)解題方法◆重難點(diǎn)：掌握解決高考數(shù)學(xué)壓軸題函數(shù)題型的一些相關(guān)解題方法◆教學(xué)步驟及內(nèi)容：HYPERLINK\l"_top"七、導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)84. 已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間[1，1]上的減函數(shù)．（I）求的最大值；（II）若上恒成立，求t的取值范圍；（Ⅲ）討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)．解：（I），上單調(diào)遞減，在[－1，1]上恒成立，，故的最大值為……4分（II）由題意只需＜，∴＞0(其中≤－1)恒成立.令＞0(≤－1)，則，即，而恒成立，∴.（Ⅲ）由令當(dāng)上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)而方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根． …………14分已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù)).（I）求的解析式；（II）已知當(dāng)時(shí)，取得極值，求證：對(duì)任意恒成立；（III）若是上的單調(diào)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，求證：.解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，必有，則而若點(diǎn)在的圖象上，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)必在的圖象上，即當(dāng)時(shí)，由于是奇函數(shù)，則任取有且又當(dāng)時(shí)，由必有綜上，當(dāng)時(shí).……5分（Ⅱ）若時(shí)取到極值，則必有當(dāng)時(shí)，即又由知，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，.……9分（Ⅲ）若在為減函數(shù)，則對(duì)任意皆成立，這樣的實(shí)數(shù)不存在若為增函數(shù)，則可令.由于在上為增函數(shù)，可令，即當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)由，設(shè)，則與所設(shè)矛盾若則與所設(shè)矛盾故必有85. 設(shè)函數(shù)（），其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值和極小值；（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，若不等式對(duì)任意的恒成立,求的值。解：當(dāng)時(shí)，，得，且，．所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，整理得．（Ⅱ）解：．令，解得或．由于，以下分兩種情況討論．（1）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且．（2）若，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且．（Ⅲ）證明：由，得，當(dāng)時(shí)，，．由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，要使，只要，即①設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為．要使①式恒成立，必須，即或．所以，在區(qū)間上存在，使得對(duì)任意的恒成立．已知函數(shù)，（為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)。求的值；若在恒成立，求的取值范圍；討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)。21．解：(1)∵是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)∴∴……3分（2）∵是區(qū)間的減函數(shù)∴，∴只需∴，（）恒成立……5分令，（）則∴，而恒成立，∴……7分(3)由(1)知∴方程令，∴………8分當(dāng)時(shí)，∴，在上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，∴，在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，……9分而∴當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解；……10分當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)根；……11分當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)根；……12分高考數(shù)學(xué)高三模擬試卷試題壓軸押題通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)（文科）本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)．用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答．漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效．5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高．臺(tái)體的體積公式，其中，分別是臺(tái)體的上，下底面積，是臺(tái)體的高．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．的值為A．B．C．D．2．已知函數(shù)的反函數(shù)為，則A．B．C．D．3．已知雙曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為A．B．C．D．4．執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，則輸出的的值是xx=1,y=2z=xy是z<20?x=yy=z輸出z結(jié)束否開(kāi)始圖1A．B．C．D．5．已知命題：，，命題：，使，則下列命題為真命題的是A．B．C．D．6．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．B．C．D．7．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為A．B．C．D．8．已知函數(shù)，若在區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則使成立的概率為A．B．C．D．AAVCB圖29．如圖2，圓錐的底面直徑，母線長(zhǎng)，點(diǎn)在母線上，且，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，則這只螞蟻爬行的最短距離是A．B．C．D．10．設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，則點(diǎn)在平面上所構(gòu)成區(qū)域的面積為A．B．C．D．二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．（一）必做題（11～13題）11．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則．12．已知向量，，若，則．BACDEFG圖313．某種型號(hào)的汽車緊急剎車后滑行的距離與剎車時(shí)的速度的關(guān)系可以用來(lái)描述，已知這種型號(hào)的汽車在速度為60時(shí)，緊急剎車后滑行的距離為．一輛這種型號(hào)的汽車緊急剎車后滑行的距離為，則這輛車的行駛速度為．BACDEFG圖3（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）14．（幾何證明選講選做題）如圖3，在平行四邊形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且平分，作，垂足為，若，則的長(zhǎng)為．15．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線和的方程分別為（為參數(shù)）和（為參數(shù)），則曲線和的交點(diǎn)有個(gè)．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知△的三邊，，所對(duì)的角分別為，，，且．（1）求的值；（2）若△外接圓的半徑為14，求△的面積．17．（本小題滿分12分）某市為了宣傳環(huán)保知識(shí)，舉辦了一次“環(huán)保知識(shí)知多少”的問(wèn)卷調(diào)查活動(dòng)（一人答一份）．現(xiàn)從回收的年齡在20～60歲的問(wèn)卷中隨機(jī)抽取了100份，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面的圖表所示．年齡分組抽取份數(shù)答對(duì)全卷的人數(shù)年齡頻率/組距年齡頻率/組距304050600.01c0.040.030占本組的概率[20,30)40280.7[30,40)270.9[40,50)104[50,60]200.1（1）分別求出，，，的值；（2）從年齡在答對(duì)全卷的人中隨機(jī)抽取2人授予“環(huán)保之星”，求年齡在的人中至少有1人被授予“環(huán)保之星”的概率．C1C1ABA1B1D1CDMN如圖4，已知正方體的棱長(zhǎng)為3，，分別是棱，上的點(diǎn)，且．（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；（2）平面將此正方體分為兩部分，求這兩部分的體積之比．圖4圖419．（本小題滿分14分）已知點(diǎn)在直線：上，是直線與軸的交點(diǎn)，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若是否存在，使成立？若存在，求出所有符合條件的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（本小題滿分14分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值，并求此時(shí)函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．21．（本小題滿分14分）已知圓心在軸上的圓過(guò)點(diǎn)和，圓的方程為．（1）求圓的方程；（2）由圓上的動(dòng)點(diǎn)向圓作兩條切線分別交軸于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1．參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．2．對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．共10小題，每小題，滿分50分．題號(hào)12345678910答案DACBCADBBD二、填空題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選擇性．共5小題，每小題，滿分20分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．題號(hào)1112131415答案16．（本小題滿分12分）解：（1）因?yàn)椋钥稍O(shè)，，，…………2分由余弦定理得，…………3分．………………4分（2）由（1）知，，因?yàn)槭恰鞯膬?nèi)角，所以．…………6分由正弦定理，…………………7分得．…………………8分由（1）設(shè)，即，所以，．………………10分所以……………………11分．所以△的面積為．…………12分17．（本小題滿分12分）解：（1）因?yàn)槌槿】倖?wèn)卷為100份，所以．………………1分年齡在中，抽取份數(shù)為10份，答對(duì)全卷人數(shù)為4人，所以．……………2分年齡在中，抽取份數(shù)為20份，答對(duì)全卷的人數(shù)占本組的概率為，所以，解得．…………3分根據(jù)頻率直方分布圖，得，解得．……………4分（2）因?yàn)槟挲g在與中答對(duì)全卷的人數(shù)分別為4人與2人．年齡在中答對(duì)全卷的4人記為，，，，年齡在中答對(duì)全卷的2人記為，，則從這6人中隨機(jī)抽取2人授予“環(huán)保之星”獎(jiǎng)的所有可能的情況是：，，，，，，，，，，，，，，共15種．…………………8分其中所抽取年齡在的人中至少有1人被授予“環(huán)保之星”的情況是：，，，，，，，，共9種.……11分故所求的概率為.………………12分18．（本小題滿分14分）C1ABC1ABA1B1D1CDMN在四邊形中，且，所以四邊形是平行四邊形．所以．…………2分在△中，，，所以，所以．…………………………4分所以．所以，，，四點(diǎn)共面．………………………6分C1ABA1B1C1ABA1B1D1CDMN連接，，，則幾何體，，均為三棱錐，所以………9分．……………11分從而，…………………13分所以．所以平面分此正方體的兩部分體積的比為．……………14分解法二：記平面將正方體分成兩部分的下部分體積為，上部分體積為，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫妫娱L(zhǎng)與相交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，解得．延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，同理可得．所以點(diǎn)與點(diǎn)重合．所以，，三線相交于一點(diǎn)．所以幾何體是一個(gè)三棱臺(tái)．……………9分所以，………………11分從而，…………………13分所以．所以平面分此正方體的兩部分體積的比為．……………14分19．（本小題滿分14分）解：（1）因?yàn)槭侵本€：與軸的交點(diǎn)，所以，．……………………2分因?yàn)閿?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以．……………4分因?yàn)辄c(diǎn)在直線：上，所以．所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，．………6分（2）因?yàn)榧僭O(shè)存在，使成立．………7分①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則有，解得，符合題意．………………10分②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則有，解得，不合題意．………………13分綜上可知，存在符合條件．………………………14分20．（本小題滿分14分）解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，…………………?分因?yàn)?，所以，……………?分依題意有，即，解得．………………3分此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，………5分所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為0．………………6分（2）因?yàn)椋á。┊?dāng)時(shí)，………………………7分因?yàn)?，所以，此時(shí)函數(shù)在是增函數(shù)．……………………9分（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則．因?yàn)?，此時(shí)，其中，．因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?1分所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．…………………13分綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．……14分21．（本小題滿分14分）解：（1）方法一：設(shè)圓的方程為：，………1分因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)和，所以………………3分解得，．所以圓的方程為．…………………4分方法二：設(shè)，，依題意得，圓的圓心為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)．………………1分因?yàn)橹本€的方程為，即，……………………2分所以圓心的坐標(biāo)為．…………3分所以圓的方程為．…………………4分（2）方法一：設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，解得．…………………………5分由圓與圓的方程可知，過(guò)點(diǎn)向圓所作兩條切線的斜率必存在，設(shè)的方程為：，的方程為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)椋菆A的切線，所以，滿足，即，是方程的兩根，………………7分即所以……………9分因?yàn)?，所以．………?0分設(shè)，則．………………11分由，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，……12分所以，，所以的取值范圍為．…………………14分方法二：設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，解得．…………………………5分設(shè)點(diǎn)，，則直線：，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，化簡(jiǎn)得．①同理得，②由①②知，為方程的兩根，…………7分即所以．……………………9分因?yàn)?，所以…………?0分．………………11分令，因?yàn)?，所以．所以，……?2分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以的取值范圍為．…………………14分高考數(shù)學(xué)高三模擬試卷試題壓軸押題重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，則?U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定為（）A．對(duì)任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值為（）A．9 B． C．3 D．4．（5分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，則函數(shù)f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（）A．（a，b）和（b，c）內(nèi) B．（﹣∞，a）和（a，b）內(nèi) C．（b，c）和（c，+∞）內(nèi) D．（﹣∞，a）和（c，+∞）內(nèi)7．（5分）已知圓C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2 D．8．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出S=3，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A． B． C． D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，則||的取值范圍是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空題：本大題共3小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．11．（5分）已知復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位），則|z|=．12．（5分）已知{an}是等差數(shù)列，a1=1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8=．13．（5分）從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是（用數(shù)字作答）．14，15，16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分：14．（5分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，過(guò)C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為．15．（5分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4的直線與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=．16．若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（13分）設(shè)f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）．（1）確定a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．18．（13分）某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)．（1）求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；（2）求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望E（x）．19．（13分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB．（1）求PA的長(zhǎng)；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）設(shè)cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過(guò)P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．若PQ⊥P'Q，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．22．（12分）對(duì)正整數(shù)n，記In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的個(gè)數(shù)；（2）若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集．重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，則?U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根據(jù)A與B求出兩集合的并集，由全集U，找出不屬于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴?U（A∪B）={4}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定為（）A．對(duì)任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫(xiě)出命題的否定命題即可．【解答】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定為．存在x0∈R，使得x02＜0．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，基本知識(shí)的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值為（）A．9 B． C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得當(dāng)a=﹣時(shí)，函數(shù)f（a）取得最大值為，故（﹣6≤a≤3）的最大值為=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．4．（5分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是把所有乙組數(shù)據(jù)加起來(lái)，再除以5．找甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)要把甲組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)為中位數(shù)．據(jù)此列式求解即可．【解答】解：乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲組數(shù)據(jù)可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位數(shù)為：10+x=15，∴x=5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)．5．（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．200 D．240【分析】如圖所示，該幾何體是棱長(zhǎng)分別為4，8，10的長(zhǎng)方體砍去兩個(gè)小三棱柱得到一個(gè)四棱柱，據(jù)此即可計(jì)算出體積．【解答】解：如圖所示，該幾何體是棱長(zhǎng)分別為4，8，10的長(zhǎng)方體砍去兩個(gè)小三棱柱得到一個(gè)四棱柱，由圖知V==200．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】由三視圖正確恢復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵．6．（5分）若a＜b＜c，則函數(shù)f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（）A．（a，b）和（b，c）內(nèi) B．（﹣∞，a）和（a，b）內(nèi) C．（b，c）和（c，+∞）內(nèi) D．（﹣∞，a）和（c，+∞）內(nèi)【分析】由函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理可知：在區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)；又函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，即可判斷出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理可知：在區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)；又函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（a，b），（b，c）內(nèi)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理及二次函數(shù)最多有兩個(gè)零點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（5分）已知圓C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2 D．【分析】求出圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如圖圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A（2，﹣3），半徑為1，圓C2的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為3，由圖象可知當(dāng)P，M，N，三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值為圓C3與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的對(duì)稱圓的方程的求法，兩個(gè)圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．8．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出S=3，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9【分析】根據(jù)程序框圖，寫(xiě)出運(yùn)行結(jié)果，根據(jù)程序輸出的結(jié)果是S=3，可得判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件．【解答】解：根據(jù)程序框圖，運(yùn)行結(jié)果如下：Sk第一次循環(huán)log233第二次循環(huán)log23?log344第三次循環(huán)log23?log34?log455第四次循環(huán)log23?log34?log45?log566第五次循環(huán)log23?log34?log45?log56?log677第六次循環(huán)log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=38故如果輸出S=3，那么只能進(jìn)行六次循環(huán)，故判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是k≤7．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查程序框圖，尤其考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．對(duì)循環(huán)體每次循環(huán)需要進(jìn)行分析并找出內(nèi)在規(guī)律．本題屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A． B． C． D．2﹣1【分析】原式第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，通分后利用同分母分式的減法法則計(jì)算，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，則||的取值范圍是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【分析】建立坐標(biāo)系，將向量條件用等式與不等式表示，利用向量模的計(jì)算公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個(gè)矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），由=1，得，則∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．二、填空題：本大題共3小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．11．（5分）已知復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位），則|z|=．【分析】通過(guò)復(fù)數(shù)的分子與分母同時(shí)求模即可得到結(jié)果．【解答】解：|z|===．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力．12．（5分）已知{an}是等差數(shù)列，a1=1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8=64．【分析】依題意，a1=1，=a1?（a1+4d），可解得d，從而利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得答案．【解答】解：∵{an}是等差數(shù)列，a1，a2，a5成等比數(shù)列，∴=a1?（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8項(xiàng)和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案為：64．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是590（用數(shù)字作答）．【分析】不同的組隊(duì)方案：選5名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，要求其中骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人，方法共有6類，他們分別是：3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，…，在每一類中都用分步計(jì)數(shù)原理解答．【解答】解：直接法：3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C33C41C51=20種，1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C31C43C51=60種，1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生，有C31C41C53=120種，2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C32C42C51=90種，1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有C31C42C52=180種，2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有C32C41C52=120種，共計(jì)20+60+120+90+180+120=590種間接法：﹣﹣﹣+1=590故答案為：590．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解答關(guān)鍵是利用直接法：先分類后分步．14，15，16三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分：14．（5分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，過(guò)C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為5．【分析】利用直角△ABC的邊角關(guān)系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的邊角關(guān)系即可得出CD，BD．再利用切割線定理可得CD2=DE?DB，即可得出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB?sin60°=．∵CD是此圓的切線，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC?cos60°=，BD=BC?sin60°=15．由切割線定理可得CD2=DE?DB，∴，解得DE=5．故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握直角三角形的邊角關(guān)系、弦切角定理、切割線定理是解題的關(guān)鍵．15．（5分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4的直線與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=16．【分析】先將直線極坐標(biāo)方程ρcosθ=4化成直角坐標(biāo)方程，再代入曲線（t為參數(shù)）中得A，B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出|AB|．【解答】解：將直線極坐標(biāo)方程ρcosθ=4化成直角坐標(biāo)方程為x=4，代入曲線（t為參數(shù)）中得A，B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（4，8），（4，﹣8），則|AB|=16．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程間的轉(zhuǎn)化，兩點(diǎn)間的距離公式，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．16．若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，8]．【分析】利用絕對(duì)值的意義求得|x﹣5|+|x+3|最小值為8，由此可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到5和﹣3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，其最小值為8，再由關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a無(wú)解，可得a≤8，故答案為：（﹣∞，8]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值為8，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（13分）設(shè)f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）．（1）確定a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．【分析】（1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把函數(shù)的定義域分段，判斷導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求出極值點(diǎn)，把極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得函數(shù)的極值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上為減函數(shù)，故f（x）在x=2時(shí)取得極大值f（2）=+6ln2，在x=3時(shí)取得極小值f（3）=2+6ln3．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值及其幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．18．（13分）某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)．（1）求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；（2）求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額x的分布列與期望E（x）．【分析】（1）從7個(gè)小球中取3的取法為，若取一個(gè)紅球，則說(shuō)明第一次取到一紅2白，根據(jù)組合知識(shí)可求取球的種數(shù)，然后代入古典概率計(jì)算公式可求（2）先判斷隨機(jī)變量X的所有可能取值為200，50，10，0根據(jù)題意求出隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球，Bi表示摸到i個(gè)藍(lán)球，則Ai與Bi相互獨(dú)立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值為0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列為x01050200PEX==4元【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型及計(jì)算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望值的求解，考查了運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．19．（13分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB．（1）求PA的長(zhǎng)；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．【分析】（I）連接BD交AC于點(diǎn)O，等腰三角形BCD中利用“三線合一”證出AC⊥BD，因此分別以O(shè)B、OC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合題意算出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（0，﹣3，z），根據(jù)F為PC邊的中點(diǎn)且AF⊥PB，算出z=2，從而得到=（0，0，﹣2），可得PA的長(zhǎng)為2；（II）由（I）的計(jì)算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分別為平面FAD、平面FAB的法向量，利用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．【解答】解：（I）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線分別為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可設(shè)P（0，﹣3，z）∵F為PC邊的中點(diǎn)，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴?=6﹣=0，解之得z=2（舍負(fù)）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的長(zhǎng)為2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），設(shè)平面FAD的法向量為=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量為=（x2，y2，z2），∵?=0且?=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由?=0且?=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夾角余弦值為cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=【點(diǎn)評(píng)】本題在三棱錐中求線段PA的長(zhǎng)度，并求平面與平面所成角的正弦值．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．20．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）設(shè)cosAcosB=，=，求tanα的值．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；（2）已知第二個(gè)等式分子兩項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，由A+B的度數(shù)求出sin（A+B）的值，進(jìn)而求出cos（A+B）的值，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（A+B），將cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，將各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C為三角形的內(nèi)角，則C=；（2）由題意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+