高等數(shù)學第十一章練習題學習資料

對弧長的曲線積分及其對面積的曲面積分一.填空題設(shè)厶為直線段丁=兀(05兀52),則卜"於=設(shè)D為一可求面積的有界閉區(qū)域，z=/(x,y)滿足(學)2+(叟)2=1,若曲oxdyTOC\o"1-5"\h\z面z二/(x,y)((x,y)ED)的面積為V2,那么D的面積為 .設(shè)工：兀2+屮+z?二亍(°>°)，則甘sinJ/+》,2+￥dS= .設(shè)工為曲面片z=牡2+y2(0<z<l),piijJJ(z2-x2-y2+l)dS= .二.單項選擇題1.設(shè)L為從0(0,0)到A(3,2)的直線段，則］(兀+y)ds「3 2 二.單項選擇題1.設(shè)L為從0(0,0)到A(3,2)的直線段，則］(兀+y)ds「3 2 ,(A)j(X+—X)6L￥;(B)49(h+y)Ji+細.2.設(shè)P(x,y\Q(x,y)為連續(xù)函數(shù)，厶為從A(0,l)經(jīng)B(l,l)到C(l,2)的折線，則j[P(x,y)+Q(x,y)]d$= ()J；P{xX)dx+[2(1,y)dy；[P(l,y皿+J；0(兀,l)dy；Jjpgi)+Q{x^]dx+]【P(1,y)+0(1, ?r23(C)\^-y^y)dy: (D)2,3。"'2(A)(C)(D)(B)j'P(l,y)dx+J-Q{x^)dy；平面x+"y—z+l=0被柱面x2+/=4割下部分的面積為( )(A)2龍； (B)4龍； (C)6龍； (D)8兀.設(shè)工為曲面z=2-x2-/位于xOy平面上方部分，則j\dS= ( )J^jjVl+4r2dr； (B)J："d0j()J1+4尸rdr；(C)「d&「2Jl+4%； (D)「d&LJl+4宀Jo J0 J0Jo

5.設(shè)I為球而5.設(shè)I為球而Z：x2+/+z2=a2(a>0)位于兀Oy平面上方部分，紜為工位于第一卦限部分，則()xdS=zdS；xdS；(A)JJ(C)jjzdS=4JJ(B)JjydS=4JJxdS；S Li(D)JjxzdS=4JJxzdS.

s z,三.計算下列對弧長的曲線積分1.￡(X+4y)ds,其中厶為由直線y=2x與拋物線y=x2所圍成區(qū)域的整個邊界.2.￡(x2+y2)ds,其中厶為圓周x2+y2=2y.3.護宀其中厶為圓周x2+y2=1,直線y=^3x及兀軸在第一像限內(nèi)所圉成的扇形的整個邊界.4.lx2ds,其中厶為球面x24-y24-z2=tz2與平面x+y+z二0的交線.四.計算下列對面積的曲面積分1.甘(F+y2)〃S,其中工為由圓柱面x24-y2=1與平面z=0及z=l所圍立體的整個邊界曲面.2.JJ(/+y2+z)dS,其中工為錐面Z= 被柱面扌+尸”割下的部分.3.JJz〃S,其屮工為曲面z=|u2+y2)介于平面z=0與z=2Z間的部分.z 2對坐標的曲線積分一.填空題設(shè)D為平^xoy上順時針方向的簡單閉曲線厶所圍成的平而區(qū)域，且TOC\o"1-5"\h\z￡(3x+y)dx+(4兀+2y)dy=-9,則D的而積為 .己知質(zhì)點M在力F=xi+yj+zk的作用下從A(0,0,0)沿直線段運動到5(1,2,3)，則力戶所作的功用= .已知在全平面上積分Pdx+Qdy與路徑無關(guān)，且j/Pdx+Qdy=3x2y-4x+5y,那么積分 >Pdx+Qdy= .22設(shè)厶為逆時針方向的橢圓卡+牙二1,則￡xdy-2ydx= .設(shè)曲線積分\LXy^dx^yf{x)dy與路徑無關(guān)，其中/(兀)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0)=1，則/(%)= ?二.單項選擇題1?已知(兀+與)必：為某函數(shù)的全微分,則。等于 ( )(A)-1； (B)0； (C)1； (D)2.設(shè)G為一個平面單連通區(qū)域，在G上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則積分(、、dP_dQ(A)喬Pdy-Qdx與路徑無關(guān)的充分必要條件是 ((、、dP_dQ(A)喬(B)dxdy(D)蘭“塑dydx(A)0；(C)l\B(}y\dxx3.設(shè)厶為圓周x=Jl-F(A)0；(C)l\B(}y\dxx()(B)2打)，1必+)，如(D)2fy3dx.JBC設(shè)厶為y=x[i\y\clx+\x\dy.其屮厶是以[i\y\clx+\x\dy.其屮厶是以A(l,0),B(0,l),C(—l,0)為頂點的三角形的正向邊界曲線.C^-ydx= ()3lf+y(A)0； (B)兀； (C)2兀； (D)5.設(shè)逆時針方向的簡單閉曲線厶所圍區(qū)域的面積為S,S=( )(A)￡xdy-ydx； (B)丄￡xdy-ydx:(C)-^xdy: (D)￡ydx.三?計算下列對坐標的曲線積分1.f(x+y2)tZr+ydy,其中厶為曲線y=sinx上從原點(0,0)到i5(—,1)的一2段弧.3.；(x3.；(x2+y2)2，其中厶為正向圓周x2+r=2.4.￡(2y-y2+2yx)dx+(x2+2x+y2siny)dy,其小厶是由A(-l,l)沿拋物線y=x2到點B(l,l)的一段.f(2ex-y)dx-2eydy，其中厶為從A(3,l)沿曲線(%-2)2+(y-l)2=1的上JL半周到點B(l,l),再沿直線y=兀到點0(0,0)的一段曲線.6』缶學'其中厶為正向圓周(iw—2心).四.綜合題1.函數(shù)e(x,y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線枳分\2xydx+Q^y)dy與路徑無關(guān)，且對任意'有鳥Jg) t對任意'有鳥2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).(o、o)2.已知積分/=￡y3dx+(3兀一疋)dy,其中L為x2+y2=R2(R>0)的正向.⑴求/?為何值時,/=0; (2)求I的最大值.3?已知力場F=yzi+zx/+xyk,將質(zhì)點從原點沿直線移到曲面%2a2z%2a2z2二1的第一卦限部分上的哪-點作功最大？求出此最大功.五?證明題1.證明(eAcosy+2xy2)dx+(2x2y-exsiny)dy是某個二元函數(shù)w=u(x,y)的全微分,并求出u(x,y).2.己知D:0<x< <y<7T,厶為D的正向邊界，試證(1)^xesiny(1)^xesinydy-ye-sinxdx=^xe-sinydy-yes]nxclx對坐標的曲面積分一.填空題設(shè)為為光滑的閉曲面，V為》所圍成的空間區(qū)域的體積，COSQ,COS0,COS7為TOC\o"1-5"\h\zL的外法線的方向余弦，則甘(xcosg+ycos0+zcosy)dS= .設(shè)比二J兀2+),+f,則div(gradu)|(|22)= .工為錐面z=厶+2(0351)的下側(cè)，則曲面積分JJxdydz+ydzdx+zcbcdy= .z設(shè)工為曲z=x2+/(0<z<l)的上側(cè)，將對坐標的曲面積分JjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdyzTOC\o"1-5"\h\z化成對面積的曲面積分為 ?—>―> —>―>—>—>—>—>—>設(shè)A=xi+y zk=x2i+k貝Jrot{AxB)= .二?單項選擇題1.設(shè)工為立方體-R5x5R,-R5y5R,-R5z5R的內(nèi)切球而的外側(cè)，則甘x3dydz+y^dzdx+z'dxdy-1Q Z：(A)—ttR5: (B)—7tR、； (C)4加?§； (D)2tiR'.5 52.設(shè)工是旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+yl(0<z<1)的下側(cè)，￡\\,是xoy平面上圓域x2+y2<1,則jjzdxcly=(B)-jj2x(x2+y2)dxdy(B)-jj2x(x2+y2)dxdy；(D)- +y2)dxdy.疋的外側(cè)，則#舉±坯皺=()Z3?設(shè)工是球面F+y2+z2(C) +y2)dxdy3?設(shè)工是球面F+y2+z2(A)-^?2； (B)-7TR\ (C)-7TR3; (D)-7[R\3 3 3 3TOC\o"1-5"\h\z~> 一一_ ~~》已知向量場F=xjjx(8y+\)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy,其中工是由曲線2 _Z=jjx(8y+\)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy,其中工是由曲線2 _Z= (0<y<l)^z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面，法向量與z軸正向夾角恒小于蘭.兀=0 2(A)y； (B)2y； (C)-2y； (D)0.下述論斷屮正確的是 ( )(A)散度將數(shù)量函數(shù)變?yōu)橄蛄亢瘮?shù)；(B)旋度將數(shù)量函數(shù)變?yōu)橄蛄亢瘮?shù)；散度將向量函數(shù)變?yōu)橄蛄亢瘮?shù)；(D)旋度將向量函數(shù)變?yōu)橄蛄亢瘮?shù).三.計算下列對坐標的曲面積分1.(打：2心如其中S為圓錐面z=“+獷(°<z<!)的上側(cè).2.jjx3dydz+y3dzdx+z3dxd