專題10 三角函數（任意角和弧度制三角函數的概念誘導公式圖象與性質）（考點清單+知識導圖+ 18個考點清單-題型解讀）（原卷版）

清單10三角函數（任意角和弧度制，三角函數的概念，誘導公式，圖象與性質）（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【清單02】角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，【清單03】扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數)，扇形面積公式：.【清單04】任意角的三角函數定義1、單位圓定義法：如圖,設是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點①正弦函數：把點的縱坐標叫做的正弦函數,記作,即②余弦函數：把點的橫坐標叫做的余弦函數,記作,即

③正切函數：把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數2、終邊上任意一點定義法：在角終邊上任取一點，設原點到點的距離為①正弦函數：②余弦函數：

③正切函數：()

【清單05】同角三角函數的基本關系1、平方關系：2、商數關系:（，）【清單06】正弦函數、余弦函數的圖象和性質函數圖象定義域定義域值域周期性奇偶性奇函數偶函數單調性在每一個閉區(qū)間()上都單調遞增;在每一個閉區(qū)間(上都單調遞減在每一個閉區(qū)間()上都單調遞增;在每一個閉區(qū)間()上都單調遞減最值當()時，;當()時，;當()時，;當()時，;圖象的對稱性對稱中心為(),對稱軸為直線()對稱中心為(),對稱軸為直線()【清單07】正切（型）函數的性質正切函數正切型函數定義域由值域周期性奇偶性奇函數當時是奇函數單調性在，上單調遞增當,時，由，解出單調增區(qū)間對稱性對稱中心：；無對稱軸令：，對稱中心為：，無對稱軸【考點題型一】終邊相同的角【例1】（23-24高一下·上海·期中）在內與終邊重合的角為．【變式1-1】（23-24高一下·上海徐匯·期中）的角屬于第象限.【變式1-2】（23-24高一下·上?！て谥校┰?到范圍內，與角終邊相同的角是.【考點題型二】終邊在某條直線上的角的集合【例2】（多選）（24-25高一上·山東濟南·階段練習）下列表示中正確的是（

）A．終邊在x軸上的角的集合是{|=k，k∈Z}B．終邊在y軸上的角的集合是C．終邊在坐標軸上的角的集合是D．終邊在直線y=x上的角的集合是【變式2-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合(用0°到360°間的角表示)．【變式2-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【考點題型三】區(qū)域角的表示【例3】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）用弧度制表示頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集合（不包括邊界），如圖所示.(1)(2)【變式3-1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊落在圖中陰影部分(不包括邊界),試表示角的取值集合.【變式3-2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(不包括邊界)的角的集合．【考點題型四】確定及的終邊所在的象限【例4】（23-24高一下·北京）設是第二象限角，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【變式4-1】（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）設是第三象限角，且，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式4-2】（多選）（23-24高一上·安徽阜陽）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【考點題型五】扇形弧長與面積（含最值）的計算【例5】（23-24高一下·上海寶山·階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．【變式5-1】（2024·海南·模擬預測）中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數為（

）

A．3 B．2 C． D．【變式5-2】（23-24高一上·山西·期中）某校欲建造一個扇環(huán)形狀的花壇，該扇環(huán)是由以點O為圓心的兩個同心圓構造出的，小圓半徑米，大圓半徑米，圓心角.(1)求該花壇的周長；(2)求該花壇的面積.【考點題型六】利用定義求三角函數值【例6】（23-24高一下·北京豐臺）在平面直角坐標系中，角與角均以軸的非負半軸為始邊，終邊關于原點對稱.若角的終邊與單位圓⊙交于點，則（

）A． B． C． D．【變式6-1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）若角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【變式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，且終邊經過點，則．【考點題型七】根據三角函數值求參數【例7】（23-24高一上·吉林延邊）已知角的終邊經過點，且，則實數的a值是（

）A． B． C．或 D．1【變式7-1】（24-25高三上·重慶·開學考試）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則（

）A． B． C． D．【變式7-2】（23-24高一下·上海楊浦）若點是角終邊上的一點，且，則.【考點題型八】已知,求關于和的齊次式的值核心方法：商數關系:（，）【例8】（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習）（1）已知角的終邊經過點，求值.（2）已知，計算的值.【變式8-1】（24-25高三上·江西·階段練習）已知，則（

）A．1 B． C．2 D．【變式8-2】（2024·遼寧大連·模擬預測）已知，則【考點題型九】利用,與之間的關系求值核心方法：平方關系【例9】（多選）（23-24高一下·山東濰坊·階段練習）設，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式9-1】（24-25高三上·上?！るA段練習）已知是三角形的內角，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【變式9-2】（23-24高一下·山東威海·階段練習）已知，且，則．【考點題型十】五點法作圖【例10】（23-24高一上·福建福州·期末）已知函數（其中，，）的圖象過點，且圖象上與點最近的一個最低點的坐標為．(1)求函數的解析式并用“五點法”作出函數在一個周期內的圖象簡圖；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度得到的函數是偶函數，求的最小值．【變式10-1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知函數請用“五點法”畫出函數在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數字，再畫圖）；0x【變式10-2】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知函數.(1)先補充下列表格，然后用五點法畫出函數在區(qū)間上的圖象；x0000101(2)求函數在區(qū)間上的值域.【考點題型十一】求方程的解或函數零點的個數問題【例11】（24-25高三上·上?！ら_學考試）已知函數的表達式為，(1)設，求函數，的單調增區(qū)間；(2)設實數，的最小正周期為，若在上恰有3個零點，求的取值范圍．【變式11-1】（23-24高一下·廣西梧州·階段練習）已知函數．(1)求函數的最小正周期和對稱軸方程；(2)若函數在上有2個零點，求實數的取值范圍．【變式11-2】（23-24高一下·江西·階段練習）已知函數，函數為偶函數．(1)證明：為定值．(2)若函數在內存在零點，且零點為，記，請寫出X的所有可能取值．【考點題型十二】正（余）弦函數的周期性【例12】（多選）（24-25高三上·重慶·階段練習）在下列函數中，最小正周期為π且在為減函數的是（

）A． B．C． D．【變式12-1】（23-24高一下·遼寧大連·期末）下列四個函數中，以為最小正周期，且為奇函數的是（

）A． B．C． D．【變式12-2】（多選）（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）下列函數中，以為周期的有（

）A． B．C． D．【考點題型十三】正（余）弦函數的單調性【例13-1】（24-25高二上·上海浦東新·階段練習）已知函數.(1)求y=fx(2)若，求y=fx的單調遞增區(qū)間.【變式13-1】（2024高二上·北京）函數的一個單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式13-2】（23-24高一下·北京·階段練習）已知函數，(1)如果點是角終邊上一點，求的值；(2)設，求的單調遞增區(qū)間．【考點題型十四】正余弦函數對稱性【例14-1】（24-25高二上·陜西漢中·開學考試）已知函數與的圖象關于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【例14-2】（24-25高三上·全國·階段練習）已知函數的最小正周期為，則的對稱軸可以是（

）A． B． C． D．【變式14-1】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）函數的一個對稱中心的橫坐標是（

）A．0 B． C． D．【變式14-2】（24-25高二上·甘肅甘南·期中）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數圖象關于軸對稱，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【考點題型十五】正余弦函數的值域或最值核心方法：圖象法+可化為一元二次函數型【例15-1】（23-24高一上·廣東汕頭·期末）函數的最小值是（

）A． B． C． D．-2【例15-2】（23-24高一上·寧夏吳忠·期末）函數的最小值為．【變式15-1】（24-25高一下·浙江湖州·階段練習）函數的值域為.【變式15-2】（23-24高一·上?！ふn堂例題）求下列函數的最大值，并求出取得最大值時所有x的值：(1)；(2)，.【考點題型十六】正切函數的定義域【例16】（2024高一上·全國·專題練習）函數的定義域是()A． B．C． D．【變式16-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）求函數的定義域，最小正周期及單調區(qū)間.【變式16-2】（2024高一·全國·專題練習）求下列函數的定義域：(1)；(2).【考點題型十七】正切函數的單調性，奇偶性，對稱性【例17-1】（多選）（24-25高二上·貴州畢節(jié)·階段練習）關于函數，下列說法正確的是（

）A．函數的最小正周期為B．的圖象在上單調遞增C．的圖象關于點對稱D．在區(qū)間上有兩個零點【例17-2】（多選）（2024·河北）關于函數，下列說法正確的是（

）A．函數的對稱中心B．函數的定義域為C．函數的最小正周期是D．函數的解集是【變式17-1】（多選）（24-25高三上·山東日照·階段練習）若函數的圖象經過點，則（

）A．點為函數圖象的對稱中心B．函數的最小正周期為C．函數在區(qū)間上的函數值范圍為D．函數的單調增區(qū)間為【變式17-2】（多選）（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）已知函數，則有（

）A．函數的圖象關于直線對稱B．函數的圖象關于點對稱C．函數是奇函數D．函數的最小正周期為【考點題型十八】正切函數的值域或最值【例18】（23-24高一下·上?！ふn后作業(yè)）已知，求函數的最大值和最小值．【變式18-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）求函數的定義域和值域．【變式18-2】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）求函數在時的值域.提升訓練一、單選題1．（24-25高一上·山東青島·期中）在周長為定值的扇形中，面積最大時扇形的半徑為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·重慶·期中）若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．（24-25高三上·四川·階段練習）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·河南·階段練習）已知，則（

）A．3 B．-3 C．2 D．-25．（24-25高三上·青海西寧·期中）下列函數中，在上為減函數的是（

）A． B．C． D．6．（24-25高三上·山東青島·期中）已知函數的最小正周期為，則的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱7．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數，如圖，是直線與曲線y=fx的兩個交點，若，則（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河北滄州·期中）已知，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二上·廣東深圳·期中）設函數，則下列結論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關于直線對稱C．的一個零點為 D．的最大值為110．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習）已知函數，則（

）A．的最小正周期為 B．的最大值為1C．是偶函數 D．的圖象關于直線對稱三、填空題11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函數的部分圖像如圖所示，則函數的解析式為.

12．（23-24高一上·江蘇揚州·階段練習）函數的值域為.四、解答題13．（24-25高三上·北京朝陽·期中）設函數.(1)若，，求的值；(2)已知在區(qū)間上單調遞增，且是函數的圖象的對稱軸，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數存在，求ω，φ的值.條件①：當時，取到最小值；條件②