專題10 三角函數(shù)（任意角和弧度制三角函數(shù)的概念誘導(dǎo)公式圖象與性質(zhì)）（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 18個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）

清單10三角函數(shù)（任意角和弧度制，三角函數(shù)的概念，誘導(dǎo)公式，圖象與性質(zhì)）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【清單02】角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，【清單03】扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.【清單04】任意角的三角函數(shù)定義1、單位圓定義法：如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,,它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)①正弦函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù),記作,即②余弦函數(shù)：把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù),記作,即

③正切函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)2、終邊上任意一點(diǎn)定義法：在角終邊上任取一點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到點(diǎn)的距離為①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù)：

③正切函數(shù)：()

【清單05】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：2、商數(shù)關(guān)系:（，）【清單06】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)圖象定義域定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在每一個(gè)閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)間(上都單調(diào)遞減在每一個(gè)閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)間()上都單調(diào)遞減最值當(dāng)()時(shí)，;當(dāng)()時(shí)，;當(dāng)()時(shí)，;當(dāng)()時(shí)，;圖象的對(duì)稱性對(duì)稱中心為(),對(duì)稱軸為直線()對(duì)稱中心為(),對(duì)稱軸為直線()【清單07】正切（型）函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)正切型函數(shù)定義域由值域周期性奇偶性奇函數(shù)當(dāng)時(shí)是奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增當(dāng),時(shí)，由，解出單調(diào)增區(qū)間對(duì)稱性對(duì)稱中心：；無對(duì)稱軸令：，對(duì)稱中心為：，無對(duì)稱軸【考點(diǎn)題型一】終邊相同的角【例1】（23-24高一下·上?！て谥校┰趦?nèi)與終邊重合的角為．【變式1-1】（23-24高一下·上海徐匯·期中）的角屬于第象限.【變式1-2】（23-24高一下·上海·期中）在0到范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是.【考點(diǎn)題型二】終邊在某條直線上的角的集合【例2】（多選）（24-25高一上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）下列表示中正確的是（

）A．終邊在x軸上的角的集合是{|=k，k∈Z}B．終邊在y軸上的角的集合是C．終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是D．終邊在直線y=x上的角的集合是【變式2-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合(用0°到360°間的角表示)．【變式2-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【考點(diǎn)題型三】區(qū)域角的表示【例3】（24-25高一上·上海·課堂例題）用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集合（不包括邊界），如圖所示.(1)(2)【變式3-1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊落在圖中陰影部分(不包括邊界),試表示角的取值集合.【變式3-2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．【考點(diǎn)題型四】確定及的終邊所在的象限【例4】（23-24高一下·北京）設(shè)是第二象限角，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【變式4-1】（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）設(shè)是第三象限角，且，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式4-2】（多選）（23-24高一上·安徽阜陽）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【考點(diǎn)題型五】扇形弧長與面積（含最值）的計(jì)算【例5】（23-24高一下·上海寶山·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時(shí)扇形的圓心角．【變式5-1】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（

）

A．3 B．2 C． D．【變式5-2】（23-24高一上·山西·期中）某校欲建造一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇，該扇環(huán)是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓構(gòu)造出的，小圓半徑米，大圓半徑米，圓心角.(1)求該花壇的周長；(2)求該花壇的面積.【考點(diǎn)題型六】利用定義求三角函數(shù)值【例6】（23-24高一下·北京豐臺(tái)）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若角的終邊與單位圓⊙交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式6-1】（23-24高一下·廣東佛山·期中）若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式6-2】（24-25高二上·上?！て谥校┮阎堑捻旤c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，且終邊經(jīng)過點(diǎn)，則．【考點(diǎn)題型七】根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)【例7】（23-24高一上·吉林延邊）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的a值是（

）A． B． C．或 D．1【變式7-1】（24-25高三上·重慶·開學(xué)考試）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【變式7-2】（23-24高一下·上海楊浦）若點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且，則.【考點(diǎn)題型八】已知,求關(guān)于和的齊次式的值核心方法：商數(shù)關(guān)系:（，）【例8】（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）（1）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求值.（2）已知，計(jì)算的值.【變式8-1】（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知，則（

）A．1 B． C．2 D．【變式8-2】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知，則【考點(diǎn)題型九】利用,與之間的關(guān)系求值核心方法：平方關(guān)系【例9】（多選）（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）設(shè)，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式9-1】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知是三角形的內(nèi)角，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【變式9-2】（23-24高一下·山東威?！るA段練習(xí)）已知，且，則．【考點(diǎn)題型十】五點(diǎn)法作圖【例10】（23-24高一上·福建福州·期末）已知函數(shù)（其中，，）的圖象過點(diǎn)，且圖象上與點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求函數(shù)的解析式并用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象簡圖；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值．【變式10-1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；0x【變式10-2】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知函數(shù).(1)先補(bǔ)充下列表格，然后用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；x0000101(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【考點(diǎn)題型十一】求方程的解或函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題【例11】（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）已知函數(shù)的表達(dá)式為，(1)設(shè)，求函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)實(shí)數(shù)，的最小正周期為，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【變式11-1】（23-24高一下·廣西梧州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；(2)若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式11-2】（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)．(1)證明：為定值．(2)若函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)為，記，請(qǐng)寫出X的所有可能取值．【考點(diǎn)題型十二】正（余）弦函數(shù)的周期性【例12】（多選）（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）在下列函數(shù)中，最小正周期為π且在為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式12-1】（23-24高一下·遼寧大連·期末）下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式12-2】（多選）（24-25高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，以為周期的有（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型十三】正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性【例13-1】（24-25高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求y=fx(2)若，求y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間.【變式13-1】（2024高二上·北京）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式13-2】（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)如果點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，求的值；(2)設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【考點(diǎn)題型十四】正余弦函數(shù)對(duì)稱性【例14-1】（24-25高二上·陜西漢中·開學(xué)考試）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【例14-2】（24-25高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為，則的對(duì)稱軸可以是（

）A． B． C． D．【變式14-1】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是（

）A．0 B． C． D．【變式14-2】（24-25高二上·甘肅甘南·期中）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型十五】正余弦函數(shù)的值域或最值核心方法：圖象法+可化為一元二次函數(shù)型【例15-1】（23-24高一上·廣東汕頭·期末）函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．-2【例15-2】（23-24高一上·寧夏吳忠·期末）函數(shù)的最小值為．【變式15-1】（24-25高一下·浙江湖州·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【變式15-2】（23-24高一·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的最大值，并求出取得最大值時(shí)所有x的值：(1)；(2)，.【考點(diǎn)題型十六】正切函數(shù)的定義域【例16】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【變式16-1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）求函數(shù)的定義域，最小正周期及單調(diào)區(qū)間.【變式16-2】（2024高一·全國·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2).【考點(diǎn)題型十七】正切函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性【例17-1】（多選）（24-25高二上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．的圖象在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)【例17-2】（多選）（2024·河北）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的對(duì)稱中心B．函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)的最小正周期是D．函數(shù)的解集是【變式17-1】（多選）（24-25高三上·山東日照·階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值范圍為D．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為【變式17-2】（多選）（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）（多選）已知函數(shù)，則有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)是奇函數(shù)D．函數(shù)的最小正周期為【考點(diǎn)題型十八】正切函數(shù)的值域或最值【例18】（23-24高一下·上海·課后作業(yè)）已知，求函數(shù)的最大值和最小值．【變式18-1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）求函數(shù)的定義域和值域．【變式18-2】（23-24高一上·湖南長沙·階段練習(xí)）求函數(shù)在時(shí)的值域.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·山東青島·期中）在周長為定值的扇形中，面積最大時(shí)扇形的半徑為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·重慶·期中）若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．（24-25高三上·四川·階段練習(xí)）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知，則（

）A．3 B．-3 C．2 D．-25．（24-25高三上·青海西寧·期中）下列函數(shù)中，在上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．6．（24-25高三上·山東青島·期中）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱7．（24-25高三上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)，如圖，是直線與曲線y=fx的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河北滄州·期中）已知，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二上·廣東深圳·期中）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．的最大值為110．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的最大值為1C．是偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱三、填空題11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為.

12．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?四、解答題13．（24-25高三上·北京朝陽·期中）設(shè)函數(shù).(1)若，，求的值；(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求ω，φ的值.條件①：當(dāng)時(shí)，取到最小值；條件②