《電工電子技術(shù)》課件-第3章

第3章正弦交流電路3.1正弦交流電路的基本概念

3.2R、L、C元件的交流電路

3.3相量形式的基爾霍夫定律

3.4RLC串聯(lián)電路分析

3.5提高功率因數(shù)

3.6電路的諧振

本章小結(jié)習(xí)題與思考題

交流電路是電工學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)電機(jī)、電器和電子技術(shù)的理論基礎(chǔ)。現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國(guó)防以及人們?nèi)粘Ｉ钪袕V泛使用的是交流電。交流電是指大小和方向隨時(shí)間作周期性交替變化的電動(dòng)勢(shì)、電壓和電流。按正弦規(guī)律變化的交流電稱為正弦交流電。在正弦交流電作用下的電路稱為正弦交流電路。本章首先討論正弦交流電路的基本概念及表示法；然后介紹單一參數(shù)的伏安特性和能量關(guān)系，以及由這些單一參數(shù)組成的電路電壓與電流之間的關(guān)系及功率；最后分析和研究提高功率因數(shù)的意義和方法。在學(xué)習(xí)中要注意掌握交流電路的特點(diǎn)和規(guī)律。3.1正弦交流電路的基本概念3.1.1正弦量

1.周期、頻率、角頻率在工程技術(shù)中常采用各種大小和方向隨時(shí)間作周期性變化的電流和電壓以傳遞電能和電信號(hào)，這種電流和電壓稱為周期性電流和電壓。常見(jiàn)的周期性信號(hào)有正弦交流信號(hào)、方波信號(hào)、三角波信號(hào)等。本章以正弦交流電為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，其波形如圖3-1所示。周期性變化的電流和電壓變化一周所需要的時(shí)間叫周期，用T表示，單位是秒(s)。

1秒內(nèi)周期性變化的電流和電壓變化的次數(shù)稱為交流電的頻率，用f表示，頻率的單位是Hz(赫［茲］)，1Hz=1s-1。圖3-1正弦交流電波形圖周期和頻率之間的關(guān)系為

正弦量的變化規(guī)律用角度描述也很方便。如圖3-2所示的正弦電動(dòng)勢(shì)，每一時(shí)刻的值都可與一個(gè)角度相對(duì)應(yīng)。如橫軸用角度刻度，當(dāng)角度變到π/2時(shí)，電動(dòng)勢(shì)達(dá)到最大值；當(dāng)角度變到π時(shí)，電動(dòng)勢(shì)變?yōu)榱阒?圖3-2)。這個(gè)角度不表示任何空間角度，只是用來(lái)描述正弦交流電的變化規(guī)律，所以把這種角度叫電角度。每秒經(jīng)過(guò)的電角度叫角頻率，用ω表示。圖3-1中的ω即是角頻率。角頻率與頻率、周期之間有如下的關(guān)系：圖3-2用電角度表示正弦交流電

2.瞬時(shí)值、最大值、有效值

交流電在變化過(guò)程中，每一時(shí)刻的值都不相同，可稱為瞬時(shí)值。瞬時(shí)值是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，只有指出具體的時(shí)刻，才能求出確切的數(shù)值和方向。瞬時(shí)值規(guī)定用小寫(xiě)字母表示。例如圖3-2中的電動(dòng)勢(shì)，其瞬時(shí)值為

e=Emsin(ωt+φ)

正弦交流電波形圖上的最大幅值即為交流電的最大值(見(jiàn)圖3-2),它表示在一周內(nèi)數(shù)值最大的瞬時(shí)值。最大值規(guī)定用大寫(xiě)字母加腳標(biāo)m表示，例如Im、Em、Um等。正弦交流電的瞬時(shí)值是隨時(shí)間變化的，計(jì)量時(shí)用正弦交流電的有效值來(lái)表示。交流電表的指示值和交流電器上標(biāo)示的電流、電壓數(shù)值一般都是有效值。交變電流的有效值是指在熱效應(yīng)方面和它相當(dāng)?shù)闹绷麟姷臄?shù)值。即在相同的電阻中，分別通入直流電和交流電，在經(jīng)過(guò)一個(gè)交流周期的時(shí)間內(nèi)，如果它們?cè)陔娮枭袭a(chǎn)生的熱量相等，即可用此直流電的數(shù)值表示交流電的有效值(見(jiàn)圖3-3)。有效值規(guī)定用大寫(xiě)字母表示，例如I、E、U。按上述定義，應(yīng)有圖3-3交流電的有效值對(duì)于正弦交流電

i=Imsinωt

A或可見(jiàn)，正弦交流電的有效值是最大值的倍。對(duì)正弦交流電動(dòng)勢(shì)和電壓亦有同樣的關(guān)系：

3.相位、初相和相位差

正弦交變電動(dòng)勢(shì)e=Emsin(ωt+φ)V，它的瞬時(shí)值隨著電角度ωt+φ而變化。電角度ωt+φ叫做正弦交流電的相位，用來(lái)描述正弦交流電在不同瞬間的變化狀態(tài)，如增大、減小、零或者最大值等。例如圖3-4(a)所示的發(fā)電機(jī)，若在電機(jī)鐵芯上放置兩個(gè)夾角為φ、匝數(shù)相同的線圈AX和BY，當(dāng)轉(zhuǎn)子如圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分別是：

eA=Emsin(ωt)V

eB=Emsin(ωt+φ)V

這兩個(gè)正弦交變電動(dòng)勢(shì)的最大值相同，頻率相同，但相位不同：eA的相位是ωt，eB的相位是ωt+φ，見(jiàn)圖3-4(b)。圖3-4不同相的兩電動(dòng)勢(shì)當(dāng)t=0時(shí)的相位簡(jiǎn)稱初相，它反映正弦交流電起始時(shí)刻的狀態(tài)。以上述eA、eB為例，eA的初相是0，eB的初相是φ。初相通常用不大于180°的角來(lái)表示。兩個(gè)同頻率的正弦交流電的相位之差稱為相位差。相位差表示兩正弦量到達(dá)最大值的先后差距。例如：已知i1=I1msin(ωt+φ1)，i2=I2msin(ωt+φ2)，則i1和i2的相位差φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2，這表明兩個(gè)同頻率的正弦交流電的相位差等于初相之差。若兩個(gè)同頻率的正弦交流電的相位差φ1-φ2>0，則稱“i1超前于i2”；若φ1-φ2<0，則稱“i1滯后于i2”；若φ1-φ2=0，則稱“i1和i2同相位”；若相位差φ1-φ2=±180°，則稱“i1和i2反相位”。必須指出，在比較兩個(gè)正弦交流電之間的相位時(shí)，兩正弦量一定要同頻率才有意義;否則,隨時(shí)間變化，兩正弦量之間的相位差是一個(gè)變量，這就沒(méi)有意義了。綜上所述，正弦交流電的最大值、頻率和初相叫做正弦交流電的三要素。三要素描述了正弦交流電的大小、變化快慢和起始狀態(tài)。當(dāng)三要素決定后，就可以唯一地確定一個(gè)正弦交流電了。例3-1如圖3-5所示的正弦交流電，寫(xiě)出它們的瞬時(shí)值表達(dá)式。圖3-5例3-1圖

解

i1、i2、i3的瞬時(shí)值為

i1=5sinωt

A

例3-2

已知正弦交流電：i1=5sinωtA，i2=10sin(ωt+45°)A，i3=50sin(3ωt-60°)A。求：i1和i2的相位差，i2和i3的相位差。

解

i2、i3頻率不同，相位差無(wú)意義。i1和i2的相位差為

φ1-φ2=ωt-(ωt+45°)=-45°表明i1滯后于i245°3.1.2同頻率正弦量的相加和相減

同頻率正弦量相加、減，可以用解析式的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，即用三角函數(shù)表示正弦量；還可以用波形圖表示法來(lái)實(shí)現(xiàn)，即用與解析式相對(duì)應(yīng)的正弦曲線表示正弦量。但這兩種方法在表示正弦量的加減時(shí)都不簡(jiǎn)便。所以，通常用旋轉(zhuǎn)矢量的方法計(jì)算幾個(gè)同頻率正弦量的相加、相減。用旋轉(zhuǎn)矢量表示正弦交流電的方法是：在直角坐標(biāo)系中畫(huà)一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量，規(guī)定用該矢量的長(zhǎng)度表示正弦交流電的最大值，該矢量與橫軸的正向夾角表示正弦交流電的初相，矢量以角速度ω按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角速度也就表示正弦交流電的角頻率。

例3-3已知i1=7.5sin(ωt+30°)A，i2=5sin(ωt+90°)A，i3=5sinωtA，i4=10sin(ωt-120°)A，畫(huà)出表示以上正弦交流電的旋轉(zhuǎn)矢量。

解如圖3-6所示，用旋轉(zhuǎn)矢量I1m、I2m、Ｉ3m和I4m分別表示正弦交流電i1、i2、i3和i4，其中：I1m=7.5A,I2m=5A,I3m=5A,I4m=10A。

注意：只有當(dāng)正弦交流電的頻率相同時(shí)，表示這些正弦量的旋轉(zhuǎn)矢量才能畫(huà)在同一坐標(biāo)系中。圖3-6例3-3圖

1.同頻率正弦量加、減的一般步驟

幾個(gè)同頻率正弦量加、減的一般步驟如下：

(1)在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出代表這些正弦量的旋轉(zhuǎn)矢量。

(2)分別求出這幾個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量在橫軸上的投影之和及在縱軸上的投影之和。

(3)求合成矢量。

(4)根據(jù)合成矢量寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果。例3-4已知i1=2sin(ωt+30°)A，i2=4sin(ωt+45°)A,求i=i1+i2。

解畫(huà)i1、i2的旋轉(zhuǎn)矢量圖I1m、I2m(見(jiàn)圖3-7)，求得

Ox=Ox1+Ox2=2cos30°+4cos45°≈4.66

Oy=Oy1-Oy2=2sin30°-4sin45°≈-1.828圖3-7例3-4圖

2.正弦量加、減的簡(jiǎn)便方法可以證明，幾個(gè)同頻率的正弦量相加、相減，其結(jié)果還是一個(gè)相同頻率的正弦量。所以，在畫(huà)旋轉(zhuǎn)矢量圖時(shí)，可以略去直角坐標(biāo)系及旋轉(zhuǎn)角速度ω，只要選其中一個(gè)正弦量為參考量，將其矢量圖畫(huà)在任意方向上(一般畫(huà)在水平位置上)，其它正弦量?jī)H按它們和參考量的相位關(guān)系畫(huà)出，便可直接按矢量計(jì)算法進(jìn)行。另外，由于交流電路中通常只計(jì)算有效值，而不計(jì)算瞬時(shí)值，因而計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)單。

例3-5

已知i1=2sin(ωt+30°)A，i2=4sin(ωt-45°)A，求i=i1+i2的最大值。解相位差φ1,2=φ1-φ2=30°-(-45°)=75°，且i1超前于i275°。以i1為參考量，畫(huà)矢量圖(圖3-8)。根據(jù)矢量圖求Im=I1m+I2m。用余弦定理得

I2m=4+16-16cos(90°+15°)=20+16sin15°≈24.14所以

Im=4.91A圖3-8正弦電流相加

例3-6已知u1=220sin(ωt+90°)V，u2=220sin(ωt-30°)V，求u=u1-u2的有效值。

解設(shè)參考量為u1=220sin(ωt+90°)V，矢量式為U=U1+(-U2)，畫(huà)有效值矢量圖(圖3-9)。根據(jù)余弦定理，從矢量圖得所以

U=381V

由矢量圖還可得出，U和U1的夾角為30°，表明U超前于U130°，考慮U1的初相是90°，故可得

u=381sin(ωt+120°)V圖3-9正弦電壓相減3.2R、L、C元件的交流電路

直流電流的大小與方向不隨時(shí)間變化，而交流電流的大小和方向則隨時(shí)間不斷變化。因此，在交流電路中出現(xiàn)的一些現(xiàn)象，與直流電路中的現(xiàn)象不完全相同。電容器接入直流電路時(shí)，電容器被充電，充電結(jié)束后，電路處在斷路狀態(tài)。但在交流電路中，由于電壓是交變的，因而電容器時(shí)而充電時(shí)而放電，電路中出現(xiàn)了交變電流，使電路處在導(dǎo)通狀態(tài)。電感線圈在直流電路中相當(dāng)于導(dǎo)線,但在交流電路中由于電流是交變的，所以線圈中有自感電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生。電阻在直流電路與交流電路中作用相同，起著限制電流的作用，并把取用的電能轉(zhuǎn)換成熱能。由于交流電路中電流、電壓、電動(dòng)勢(shì)的大小和方向隨時(shí)間變化，因而分析和計(jì)算交流電路時(shí)，必須在電路中給電流、電壓、電動(dòng)勢(shì)標(biāo)定一個(gè)正方向。同一電路中電壓和電流的正方向應(yīng)標(biāo)定一致(如圖3-10所示)。若在某一瞬時(shí)電流為正值，則表示此時(shí)電流的實(shí)際方向與標(biāo)定方向一致；反之，如果電流為負(fù)值，則表示此時(shí)電流的實(shí)際方向與標(biāo)定方向相反。圖3-10交流電方向的設(shè)定3.2.1純電阻電路

1.電阻電路中的電流

將電阻R接入如圖3-11(a)所示的交流電路，設(shè)交流電壓為u=UmsinωtV，則R中電流的瞬時(shí)值為這表明，在正弦電壓作用下，電阻中通過(guò)的電流是一個(gè)相同頻率的正弦電流，而且與電阻兩端電壓同相位。畫(huà)出矢量圖如圖3-11(b)所示。電流最大值和電流有效值分別為：圖3-11純電阻電路、矢量圖及波形圖

2.電阻電路的功率

1)瞬時(shí)功率電阻在任一瞬時(shí)取用的功率，稱為瞬時(shí)功率，它可按下式計(jì)算：

p=ui=UmImsin2ωt

p≥0，表明電阻任一時(shí)刻都在向電源取用功率，起負(fù)載作用。i、u、p的波形圖如圖3-11(c)所示。

2)平均功率(有功功率)由于瞬時(shí)功率是隨時(shí)間變化的，為便于計(jì)算，常用平均功率來(lái)計(jì)算交流電路中的功率。平均功率為這表明，平均功率等于電壓、電流有效值的乘積。平均功率的單位是W(瓦［特］)。通常，白熾燈、電爐等電器所組成的交流電路，可以認(rèn)為是純電阻電路。

例3-7已知電阻R=440Ω，將其接在電壓U=220V的交流電路上，試求電流I和功率P。解3.2.2純電容電路

交流電路中，如果負(fù)載只有電容器，且電容器的介質(zhì)損耗可以忽略，則這個(gè)交流電路稱為純電容電路，如圖3-12(a)所示。設(shè)電容器C兩端加上電壓u=Umsinωt，由于電壓的大小和方向隨時(shí)間變化，使電容器極板上的電荷量也隨之變化，電容器的充、放電過(guò)程也不斷進(jìn)行，因而形成了純電容電路中的電流。圖3-12純電容電路、矢量圖及波形圖

1.電路中的電流

1)瞬時(shí)值這表明，純電容電路中通過(guò)的正弦電流比加在它兩端的正弦電壓超前π/2電角度，如圖3-12(b)所示。純電容電路的電壓、電流波形圖如圖3-12(c)所示。

2)最大值

3)有效值

2．容抗

電容器在交流電路中對(duì)電流的阻礙作用稱為容抗，符號(hào)用XC表示，單位是Ω，即在一定的電壓下，電容器容量越大，儲(chǔ)存的電荷越多，電壓不變時(shí)，充放電的電荷也越多，相應(yīng)的電流就越大，容抗越?。涣硪环矫?，交流電頻率越高，電容器充放電就越快，單位時(shí)間移動(dòng)的電荷就越多，電流就越大，容抗也相應(yīng)小。在直流電路中，因?yàn)轭l率f=0，XC為無(wú)窮大，相當(dāng)于開(kāi)路，這就是電容的隔直作用。

3.功率

1)瞬時(shí)功率這表明，純電容電路瞬時(shí)功率的波形以電路頻率的2倍按正弦規(guī)律變化。電容器也是儲(chǔ)能元件，當(dāng)電容器充電時(shí)，它從電源吸收能量；當(dāng)電容器放電時(shí)，它將能量送回電源(圖3-12(c))。

2)平均功率

P=0

3)無(wú)功功率

QC=UCI=I2XC

3.2.3純電感電路

交流電路中，如果負(fù)載只有一個(gè)線圈，且它的電阻和分布電容可以忽略不計(jì)，則該電路就可以看成是一個(gè)純電感電路。純電感電路如圖3-13(a)所示，L為線圈的電感。

1.電感的電壓設(shè)L中流過(guò)的電流i=Imsinωt,L上的自感電動(dòng)勢(shì)由圖示標(biāo)定的方向，電壓瞬時(shí)值為這表明，純電感電路中通過(guò)正弦電流時(shí)，電感兩端的電壓也以同頻率的正弦規(guī)律變化，而且在相位上超前于電流π/2電角。純電感電路的矢量圖如圖3-13(b)所示。電壓最大值為

Um=ωLIm

電壓有效值為

U=ωLI

圖3-13純電感電路

2.電感的感抗

當(dāng)通過(guò)線圈的電流發(fā)生變化時(shí)，線圈會(huì)產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)，阻礙電流的變化，這種阻礙作用稱為感抗，符號(hào)是XL，單位是Ω。其計(jì)算公式為電感的感抗由兩方面決定：一是電感量越大，線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)越大；另一方面，電源頻率越高，電路中電流變化越快，產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)也越大。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)越大，對(duì)電流變化的阻礙越大，即感抗增大。在直流電路中，因?yàn)轭l率f=0，感抗XL=0，相當(dāng)于短路，即一條直導(dǎo)線，這就是電感的阻交通直作用。故感抗只對(duì)交流電有意義。

3.功率

1)瞬時(shí)功率p

純電感電路的瞬時(shí)功率p、電壓u、電流i的波形圖如圖3-13(c)所示。從波形圖可以看出：第1、3個(gè)T/4期間，p≥0，表示線圈從電源處吸收能量；在第2、4個(gè)T/4期間，p≤0，表示線圈向電路釋放能量。

2)平均功率(有功功率)P

瞬時(shí)功率表明，在電流的一個(gè)周期內(nèi)，電感與電源進(jìn)行兩次能量交換，交換功率的平均值為零，即純電感電路的平均功率為零，上式說(shuō)明，純電感線圈在電路中不消耗有功功率，它是一種儲(chǔ)存電能的元件。

3)無(wú)功功率Q

純電感線圈和電源之間進(jìn)行能量交換的最大速率，稱為純電感電路的無(wú)功功率，用Q表示，

Q=ULI=I2XL

無(wú)功功率的單位是V·A(在電力系統(tǒng)中，慣用單位為乏(var))。

例3-8一個(gè)線圈電阻很小，可略去不計(jì)，電感L=35mH。求：該線圈在50Hz和1000Hz的交流電路中的感抗各為多少？若接在U=220V，f=50Hz的交流電路中，電流I、有功功率P、無(wú)功功率Q又是多少？

解

(1)f=50Hz時(shí)，

XL=2πfL=2π×50×35×10-3≈11Ω

f=1000Hz時(shí)，

XL=2πfL=2π×1000×35×10-3≈220Ω(2)當(dāng)U=220V，f=50Hz時(shí)，電流I=20A有功功率P=0W無(wú)功功率Q=UI=220×20=4400V·A3.3相量形式的基爾霍夫定律

同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦交流電路中，KCL和KVL可用相應(yīng)的相量形式表示。如交流電路中的KCL為∑i(t)=0，可以用∑=0表示，這里的為矢量。而交流電路中的KVL為∑u(t)=0，可以用∑=0表示，這里的U為矢量。相量形式的基爾霍夫定律說(shuō)明：在交流電路中，任一節(jié)點(diǎn)處各電流相量的代數(shù)和等于零；任一回路中各電壓相量的代數(shù)和等于零。這就是相量形式的基爾霍夫定律。需要注意的是，這是相量的代數(shù)和，而不是數(shù)值的代數(shù)和。一般情況下，∑I≠0,∑U≠0，因?yàn)楦髡伊恐g總存在一定的相位差，只有當(dāng)正弦量之間沒(méi)有相位差(同相)時(shí)，才能直接用模值相加。3.4RLC串聯(lián)電路分析3.4.1電阻、電感的串聯(lián)電路在圖3-14所示的R、L串聯(lián)電路中，設(shè)流過(guò)電流i=Imsinωt，則電阻R上的電壓瞬時(shí)值為

uR=ImRsinωt=uRmsinωt

由前文可知,電感L上的電壓瞬時(shí)值為總電壓u的瞬時(shí)值為u=uL+uR。畫(huà)出該電路電流和各段電壓的矢量圖如圖3-15所示。圖3-14R、L串聯(lián)電路圖3-15R、L串聯(lián)電路的電流和電壓矢量圖因?yàn)橥ㄟ^(guò)串聯(lián)電路各元件的電流是相等的，所以在畫(huà)矢量圖時(shí)通常把電流矢量畫(huà)在水平方向上，作為參考矢量。電阻上的電壓與電流同相位，故矢量UR與同方向；感抗兩端電壓超前于電流π/2電角，故矢量UL與垂直。R與L的合成矢量便是總電壓U的矢量。

1.電壓和電壓三角形

從電壓矢量圖可以看出，電阻上電壓矢量、電感上電壓矢量與總電壓的矢量，恰好組成一個(gè)直角三角形，此直角三角形叫做電壓三角形(圖3-16(a))。從電壓三角形可求出總電壓的有效值為圖3-16電壓、阻抗、功率三角形

2.阻抗和阻抗三角形

和歐姆定律對(duì)比，上式可寫(xiě)成式中我們把Z稱為電路的阻抗，它表示R、L串聯(lián)電路對(duì)電流的總阻力。阻抗的單位是Ω。電阻、感抗、阻抗三者之間也符合一個(gè)直角三角形三邊之間的關(guān)系，如圖3-16(b)所示，該三角形稱為阻抗三角形。注意，這個(gè)三角形不能用矢量表示。電流與總電壓之間的相位差可從下式求得：上式說(shuō)明，φ角的大小取決于電路的電阻R和感抗XL的大小，而與電流電壓的量值無(wú)關(guān)。

3.功率和功率三角形

1)有功功率P

在交流電路中，電阻消耗的功率叫有功功率，

P=I2R=URI=UIcosφ式中，cosφ稱為電路功率因數(shù)，它是交流電路運(yùn)行狀態(tài)的重要數(shù)據(jù)之一。電路功率因數(shù)的大小由負(fù)載性質(zhì)決定。

2)無(wú)功功率Q

Q=I2XL=ULI=UIsinφ

3)視在功率S總電壓U和電流I的乘積叫電路的視在功率,

S=UI=I2Z

視在功率的單位是V·A(伏安)或kV·A(千伏安),它表示電器設(shè)備(發(fā)電機(jī)、變壓器等)的容量。根據(jù)視在功率的表示式，有功功率和無(wú)功功率的表達(dá)式也可用P=UIcosφ=Scosφ和Q=UIsinφ=Ssinφ表示?？梢?jiàn)，S、P、Q之間的關(guān)系也符合一個(gè)直角三角形三邊的關(guān)系，即由S、P、Q組成的這個(gè)三角形叫功率三角形(圖3-16(c))，該三角形可看成是電壓三角形各邊同乘以電流I得到。與阻抗三角形一樣，功率三角形也不應(yīng)畫(huà)成矢量，因S、P、Q都不是正弦量。3.4.2電阻、電容的串聯(lián)電路

在圖3-17所示的R、C串聯(lián)電路中，設(shè)流過(guò)電流i=Imsinωt，則電阻R上的電壓瞬時(shí)值為

uR=ImRsinωt=uRmsinωt

由前文可知,電容C上的電壓瞬時(shí)值為總電壓u的瞬時(shí)值為u=uC+uR。畫(huà)出該電路電流和各段電壓的矢量圖如圖3-18所示。圖3-17R、C串聯(lián)電路圖3-18R、C串聯(lián)電路的矢量圖因?yàn)橥ㄟ^(guò)串聯(lián)電路各元件的電流是相等的，所以在畫(huà)矢量圖時(shí)通常把電流矢量畫(huà)在水平方向上，作為參考矢量。電阻上的電壓與電流同相位，故矢量UR與I同方向；容抗兩端的電壓滯后于電流π/2電角，故矢量UC與垂直。R與C的合成矢量便是總電壓U的矢量。電壓有效值、電壓三角形從電壓矢量圖可以看出，電阻、容抗和總阻抗也可以形成一個(gè)矢量三角形，功率三角形也和電壓矢量圖相似。由圖3-18(a)可以得出：

1.阻抗和阻抗三角形

根據(jù)正弦交流電路的歐姆定律，電流I的有效值可表示為式中。我們把Z稱為電路的阻抗，它表示R、C串聯(lián)電路對(duì)電流的總阻力。阻抗的單位是Ω。電阻、容抗、阻抗三者之間也符合一個(gè)直角三角形三邊之間的關(guān)系，如圖3-18(b)所示，該三角形稱阻抗三角形。注意，這個(gè)三角形不能用矢量表示。電流與總電壓之間的相位差可從下式求得：上式說(shuō)明，φ角的大小取決于電路的電阻R和容抗XC的大小，而與電流電壓的量值無(wú)關(guān)。

2.功率和功率三角形

1)有功功率P

P=I2R=URI=UIcosφ

式中，cosφ稱為電路功率因數(shù)，它是交流電路運(yùn)行狀態(tài)的重要數(shù)據(jù)之一。電路功率因數(shù)的大小由負(fù)載性質(zhì)決定。

2)無(wú)功功率Q

Q=I2XC=UCI=UIsinφ

3)視在功率S

總電壓U和電流I的乘積叫電路的視在功率，

S=UI=I2Z

功率三角形如圖3-18(c)所示。

例3-9把電阻R=60Ω，電感L=255mH的線圈，接入頻率f=50Hz，電壓U=220V的交流電路中，分別求出XL、I、UL、UR、cosφ、P、S。

解

感抗XL=2πfL=2π×50×255×10-3≈80Ω阻抗電流電阻兩端電壓UR=IR=2.2×60=132V電感兩端電壓UL=IXL=2.2×80=176V電路功率因數(shù)有功功率P=UIcosφ=220×2.2×0.6=290.4W視在功率S=UI=220×2.2=484W

例3-10如圖3-19(a)所示電路，已知U=110V，I=1A，R1=50Ω，電路的有功功率P=100W，求R2、XL、U2、cosφBC、cosφ總，并繪出電路電流、電壓矢量圖。圖3-19例3-10圖

解因?yàn)镻=I2(R1+R2),所以電路總阻抗感抗電路總功率因數(shù)

BC段阻抗

BC段電壓U2=IZ2=1×67.8=67.8VBC段功率因數(shù)電流、電壓矢量圖如圖3-19(b)所示。3.4.3RLC串聯(lián)電路

R、L、C三種元件組成的串聯(lián)電路如圖3-20所示。若電路中流過(guò)正弦電流i=

Isinωt，此電流分別在R、L、C兩端產(chǎn)生壓降uR、uL、uC，則各元件上對(duì)應(yīng)的電壓有效值為

UR=IR，UL=IXL，UC=IXC

總電壓的有效值矢量應(yīng)為各段電壓有效值矢量之和：

U=UR+UL+UC且UR與電流同相，UL超前于90°，UC滯后于I90°，電壓、電流矢量圖如圖3-21所示。圖3-20R、L、C串聯(lián)電路圖3-21R、L、C串聯(lián)電路電流、電壓矢量圖從矢量圖可得總電壓有效值為上式中，Z稱為電路阻抗，X=XL-XC稱為電路的電抗。阻抗和電抗的單位都是Ω。電路中總電壓和電流的相位差為從上式可以看出：當(dāng)XL>XC時(shí)，φ>0，總電壓超前于電流(圖3-21(a))，電路屬感性電路；當(dāng)XL<XC時(shí)，φ<0，總電壓滯后于電流(圖3-21(b))，電路屬容性電路；當(dāng)XL=XC時(shí)，φ=0，總電壓和電流同相位(圖3-21(c))，電路屬阻性電路，這種現(xiàn)象稱為諧振。關(guān)于串聯(lián)時(shí)的諧振電路我們?cè)诤竺娴恼鹿?jié)會(huì)分析。3.5提高功率因數(shù)功率因數(shù)是用電設(shè)備的一個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)。電路的功率因數(shù)由負(fù)載中包含的電阻與電抗的相對(duì)大小決定:純電阻負(fù)載cosφ=1；純電抗負(fù)載cosφ=0；一般負(fù)載的cosφ在0～1之間，而且多為感性負(fù)載。例如常用的交流電動(dòng)機(jī)便是一個(gè)感性負(fù)載，滿載時(shí)功率因數(shù)為0.7～0.9，而空載或輕載時(shí)功率因數(shù)則較低。提高用戶的功率因數(shù)，對(duì)于提高電網(wǎng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)效益以及節(jié)約電能都具有重要意義。3.5.1提高功率因數(shù)的意義

提高功率因數(shù)的意義如下：首先，能夠充分利用電源設(shè)備的容量，提高電源的利用率。提高用戶的功率因數(shù)，可以使同等容量的供電設(shè)備向用戶提供更多的有功功率，提高供電能力；或者說(shuō)，在用戶所需有功功率一定的情況下，發(fā)電機(jī)、變壓器輸配電線等容量都可以相應(yīng)減小，從而降低電網(wǎng)設(shè)備的投資。其次，可以減小輸電線上的能量損失。在一定的電源電壓下，向用戶輸送一定的有功功率時(shí)，由I=P/(Ucosφ)可知，電流I和功率因數(shù)成反比，功率因數(shù)越低，流過(guò)輸電線路的電流就越大，供電設(shè)備的利用率越低，輸電線路上的功率損失與電壓損失越多。因此，為了減少電能損耗，改善供電質(zhì)量，就必須提高功率因數(shù)。

例3-11某供電變壓器額定電壓Ue=220V，額定電流Ie=100A，視在功率S=22kV·A?，F(xiàn)變壓器對(duì)一批功率P=4kW，cosφ=0.6的電動(dòng)機(jī)供電，問(wèn)變壓器能對(duì)幾臺(tái)電動(dòng)機(jī)供電？若將cosφ提高到0.9，問(wèn)變壓器又能對(duì)幾臺(tái)電動(dòng)機(jī)供電？

解當(dāng)cosφ=0.6時(shí)，每臺(tái)電動(dòng)機(jī)取用的電流為可供電動(dòng)機(jī)的臺(tái)數(shù)為故可給3臺(tái)電動(dòng)機(jī)供電。若cosφ=0.9，每臺(tái)電動(dòng)機(jī)取用的電流為可供電動(dòng)機(jī)的臺(tái)數(shù)為故可給5臺(tái)電動(dòng)機(jī)供電。可見(jiàn)，當(dāng)功率因數(shù)提高后，每臺(tái)電動(dòng)機(jī)取用的電流變小，變壓器可供電的電動(dòng)機(jī)臺(tái)數(shù)增加，使變壓器的容量得到充分的利用。

例3-12某廠供電變壓器至發(fā)電廠之間輸電線的電阻是5Ω，發(fā)電廠以104V的電壓輸送500kW的功率。當(dāng)cosφ=0.6時(shí)，問(wèn)輸電線上的功率損失是多大？若將功率因數(shù)提高到0.9，每年可節(jié)約多少電？

解當(dāng)cosφ=0.6時(shí)，輸電線上的電流為因而輸電線上的功率損失為

P損失=I2r=832×5≈34.5kW當(dāng)cosφ=0.9時(shí)，輸電線上的電流為因而輸電線上的功率損失為

P′損失=I2r=55.62×5≈15.5kW

一年共365×24=8760小時(shí)，當(dāng)cosφ由0.6提高到0.9時(shí)，可節(jié)約的電能為

W=(34.5-15.5)×8760=166440kW·h即每年可節(jié)約用電16.6萬(wàn)度。從以上兩例可見(jiàn)，提高功率因數(shù)后，可以充分利用供電設(shè)備的容量，而且可以減少輸電線路上的損失。下面介紹提高功率因數(shù)的方法。3.5.2提高功率因數(shù)的方法

提高功率因數(shù)的具體方法有以下兩種。第一，提高用電設(shè)備本身的功率因數(shù)：

(1)合理選用電動(dòng)機(jī)，即不要用大容量的電動(dòng)機(jī)來(lái)帶動(dòng)小功率負(fù)載。

(2)盡量不讓電動(dòng)機(jī)空轉(zhuǎn)。

(3)可以實(shí)行交流接觸器無(wú)聲運(yùn)行。

(4)對(duì)負(fù)載有變化但經(jīng)常處在輕載運(yùn)行狀態(tài)的電動(dòng)機(jī)，采用△-Ｙ接線的自動(dòng)切換等。這些措施都可以提高設(shè)備自身的自然功率因數(shù)，從而使電路功率因數(shù)提高。異步電動(dòng)機(jī)和變壓器是電網(wǎng)中占用無(wú)功功率最多的電氣設(shè)備，當(dāng)電動(dòng)機(jī)實(shí)際負(fù)荷比其額定容量低許多時(shí)，功率因數(shù)將急劇下降。這時(shí)電動(dòng)機(jī)做功不大，耗用的無(wú)功功率和有功功率卻很多，造成電能的浪費(fèi)。要提高功率因數(shù)，就必須合理選擇電動(dòng)機(jī)，使電動(dòng)機(jī)的容量與被拖動(dòng)的機(jī)械負(fù)載配套。電力變壓器的選擇也同樣要配套，容量過(guò)大而負(fù)荷較小的變壓器也會(huì)增大無(wú)功功率和鐵芯的損耗。第二，常在感性負(fù)載上并接電容器(如圖3-22所示)來(lái)提高線路的功率因數(shù)。采用這一方法時(shí)應(yīng)區(qū)分兩個(gè)概念：

(1)并聯(lián)電容器后，對(duì)原感性負(fù)載的工作情況沒(méi)有任何影響，即流過(guò)感性負(fù)載的電流和它的功率因數(shù)均未改變。這里所謂功率因數(shù)提高了，是指包括電容在內(nèi)的整個(gè)電路的功率因數(shù)比單獨(dú)的感性負(fù)載的功率因數(shù)提高了，因?yàn)檫@時(shí)感性負(fù)載和電容器之間就地進(jìn)行能量交換，感性負(fù)載所需要的無(wú)功功率一部分或大部分可以由并聯(lián)的電容器供給。能量的吸收與釋放，原來(lái)只在負(fù)載與電源之間，現(xiàn)在一部分或大部分改在感性負(fù)載與電容器之間進(jìn)行，從而減小因能量交換而在外部線路上流通的那部分電流，降低了線路損耗。

(2)線路電流的減小，是由于電流的無(wú)功分量減小的結(jié)果,而電流的有功分量并未改變，這從相量圖上可以清楚地看出。圖3-22感性負(fù)載和電容器的并聯(lián)電路圖3-23電流、電壓矢量圖由圖3-22可知，R、L支路電流為這里

i1滯后于總電壓u的電角，電容C支路的電流，電路總電流i=i1+iC。值得注意的是：由于相位不同，故總電流I的有效值應(yīng)從I1和IC的矢量和求得。根據(jù)電流矢量式畫(huà)出該電路電流、電壓矢量圖如圖3-23所示，并聯(lián)電路取總電壓為參考矢量。感性負(fù)載中的電流I1可以分解成兩個(gè)分量：與電壓同相的IR稱為有功分量，IR=I1cosφ；另一個(gè)滯后于電壓π/2電角的IL稱為無(wú)功分量，IL=I1sinφ。從矢量圖求出總電流的有效值為總電流與電壓的相位差為根據(jù)矢量圖，我們討論以下幾種情況：

(1)當(dāng)IL>IC時(shí)，電路的總電流滯后于電壓，此時(shí)電路呈感性。

(2)當(dāng)IL<IC時(shí)，電路的總電流超前于電壓，此時(shí)電路呈容性。

(3)當(dāng)IL=IC時(shí)，電路的總電流與電壓同相位，φ=0，此時(shí)電路呈電阻性。這種情況稱為并聯(lián)諧振(或電流諧振)。關(guān)于并聯(lián)諧振的其他內(nèi)容，我們?cè)谙乱还?jié)做詳細(xì)說(shuō)明。3.6電路的諧振

在含有電感和電容元件的交流電路中，由于感抗和容抗都是頻率的函數(shù)，一般情況下電路的電流和電壓的相位是不相同的，所以電路可能表現(xiàn)為感性，也可能表現(xiàn)為容性。在一定條件下，電路的電流和電壓的相位有可能相同，電路表現(xiàn)為電阻性，這種現(xiàn)象叫做電路的諧振。諧振電路具有的某些特征在無(wú)線電和電工技術(shù)中得到了廣泛的應(yīng)用；另一方面，在電力系統(tǒng)中若發(fā)生諧振，則有可能破壞系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)，應(yīng)盡量避免。所以對(duì)諧振現(xiàn)象的研究具有重要的意義。按發(fā)生諧振電路的連接方式不同，諧振可分為串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振。3.6.1串聯(lián)諧振

1.諧振條件

如圖3-24所示，在R、L、C串聯(lián)電路中，當(dāng)XL=XC時(shí)，電路中總電壓和電流同相位，這時(shí)電路中便產(chǎn)生諧振現(xiàn)象。所以，XL=XC便是電路產(chǎn)生諧振的條件。因?yàn)閄L=XC，又知XL=2π·fL，，諧振的頻率用f0表示，諧振角頻率用ω0表示，故由得圖3-24串聯(lián)諧振電路

2.串聯(lián)諧振時(shí)的電路特點(diǎn)

(1)總電壓和電流同相位，電路呈電阻性。

(2)串聯(lián)諧振時(shí)電路阻抗最小，電路中電流最大。串聯(lián)諧振時(shí)的電路阻抗為串聯(lián)諧振時(shí)的電流為

(3)串聯(lián)諧振時(shí)，電感兩端電壓、電容兩端電壓可以比總電壓大許多倍。電感電壓為電容電壓為可見(jiàn)，諧振時(shí)電感(或電容)兩端的電壓是總電壓的Q倍，Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，在電子電路中經(jīng)常用到串聯(lián)諧振，例如某些收音機(jī)的接收回路便用到串聯(lián)諧振。在電力線路中應(yīng)盡量防止諧振發(fā)生，因?yàn)橹C振時(shí)電容、電感兩端出現(xiàn)的高壓會(huì)使電器損壞。3.6.2并聯(lián)諧振

在并聯(lián)電路中，當(dāng)輸入電壓與輸入電流相位相同時(shí)，稱并聯(lián)諧振。并聯(lián)諧振的結(jié)構(gòu)形式很多，可以是電感與電容并聯(lián)，再與信號(hào)源并聯(lián)構(gòu)成的并聯(lián)諧振電路；也可以是電感、電容和電阻并聯(lián)，再與信號(hào)源并聯(lián)構(gòu)成的并聯(lián)諧振電路；或者是具有電阻的電感與電容并聯(lián)，再與信號(hào)源并聯(lián)構(gòu)成的并聯(lián)諧振電路。我們只選擇比較典型的具有電阻和電感的線圈與電容并聯(lián)的電路為例(如圖3-25所示)，對(duì)并聯(lián)諧振的條件、特點(diǎn)作簡(jiǎn)要說(shuō)明。圖3-25并聯(lián)諧振電路

1．諧振條件圖3-25為所討論的并聯(lián)電路。其中線圈電路阻抗Z1=R+jωL，電容電路阻抗。設(shè)電路中電壓u=UmsinωtV，在任一時(shí)刻總電流i的瞬時(shí)值i=i1+iC。電路的等效阻抗為在實(shí)際應(yīng)用中，通常線圈的電阻R很小，所以一般在諧振時(shí)，ωL>>R，則上式可寫(xiě)成聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是使上式中的虛部為零，即將電源頻率f調(diào)到f=f0發(fā)生諧振，這時(shí)上式說(shuō)明，并聯(lián)諧振電路與串聯(lián)諧振電路的諧振頻率具有相同的計(jì)算公式,即

2．并聯(lián)諧振的特點(diǎn)電路發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí)，諧振電路有以下特點(diǎn)：

(1)諧振電路阻抗最大，此時(shí)

(2)諧振電路電流最小，此時(shí)，諧振電路的阻抗最大，因此電路總電流最小。若信號(hào)頻率偏離諧振頻率，則信號(hào)電流將會(huì)增大，偏離越遠(yuǎn)，增高越大。諧振時(shí)，電容支路與電感支路的信號(hào)電流大小相同，方向相反，其數(shù)值是信號(hào)電流值的Q倍，因此并聯(lián)諧振又被稱做電流諧振。

(3)諧振時(shí)電壓與電流同相位，電路呈現(xiàn)阻性。

(4)諧振時(shí)各并聯(lián)支路的電流為

IC=Uω0C

當(dāng)ω0L>>R時(shí)，，則可得IC≈I1>>I，即支路電流大于電路總電流。

例3-13如圖3-22所示，已知電壓U=220V，電路頻率f=50Hz，電動(dòng)機(jī)取用功率P=4kW，其功率因數(shù)cosφ1=0.6，并入電容C=220μF后，求總電流I和電路功率因數(shù)cosφ總。解由IR=I1cosφ1，得

IR=30.3×0.6=18.18A由IL=I1sinφ1,得

IL=30.3×0.8=24.24A

IC=Uω0C=220×2×π×50×220×10-6≈13.8A

所以本章小結(jié)

(1)交流電的產(chǎn)生和變化規(guī)律:將矩形線圈置于均勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，即可產(chǎn)生按正弦規(guī)律變化的交流電。

(2)表征交流電的物理量:最大值、頻率和初相為正弦交流電的三要素。

(3)交流電的表示法:解析式表示法、波形圖表示法和旋轉(zhuǎn)矢量表示法。

(4)阻抗的串聯(lián)與并聯(lián):兩個(gè)阻抗串聯(lián)，等效阻抗Z＝Z1+Z2;兩個(gè)阻抗并聯(lián)的等效阻抗

(5)電路的諧振。①RLC串聯(lián)電路的諧振。在RLC串聯(lián)電路中，當(dāng)感抗＝容抗時(shí)，電路端電壓和電流同相，電路呈電阻性，電路發(fā)生串聯(lián)諧振，此時(shí)電路中阻抗最小，電流最大。②并聯(lián)諧振的電路。并聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是電路中的感抗=容抗，此時(shí)電路中阻抗最大，電流最