2024-2025學年新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.3指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系訓練含解析新人教B版必修第二冊

PAGE6-第四章4.3請同學們仔細完成[練案8]A級基礎鞏固一、選擇題1．函數(shù)y＝ex與y＝lnx的圖像(D)A．關于原點對稱 B．關于x軸對稱C．關于y軸對稱 D．關于直線y＝x對稱[解析]∵函數(shù)y＝ex與y＝lnx是互為反函數(shù)，∴其圖像關于直線y＝x對稱．2．函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過第三、四象限，則y＝f－1(x)的圖像經(jīng)過(B)A．第一、二象限 B．其次、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限[解析]因為第三、四象限關于y＝x對稱的象限為第三、二象限，故y＝f－1(x)的圖像經(jīng)過其次、三象限．3．函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(1,3)，則它的反函數(shù)的圖像過點(D)A．(1,2) B．(2,1)C．(1,3) D．(3,1)[解析]∵互為反函數(shù)的圖像關于直線y＝x對稱，∴點(1,3)關于直線y＝x的對稱點為(3,1)，故選D．4．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(8)＝(A)A．3 B．eq\f(1,3)C．－3 D．－eq\f(1,3)[解析]由題意可知f(x)＝logax，f(2)＝loga2＝1，a＝2，即f(x)＝log2x，f(8)＝log28＝3．5．(多選題)函數(shù)y＝2|x|在下面的區(qū)間上，不存在反函數(shù)的是(AC)A．[－1,1] B．(－∞，0]C．[－2,4] D．[2,4][解析]函數(shù)若在區(qū)間上單調(diào)，則存在反函數(shù)，易知函數(shù)y＝2|x|在[－1,1]，[－2,4]上不單調(diào)．二、填空題6．已知f(x)＝2x＋b的反函數(shù)為f－1(x)，若y＝f－1(x)的圖像經(jīng)過點Q(5,2)，則b＝__1__．[解析]由互為反函數(shù)的圖像關于直線y＝x對稱可知，點Q′(2,5)必在f(x)＝2x＋b的圖像上，∴5＝22＋b，∴b＝1．7．函數(shù)f(x)＝eq\r(4－x)的反函數(shù)是__f－1(x)＝4－x2(x≥0)__．[解析]函數(shù)的值域為[0，＋∞)，令y＝eq\r(4－x)，將其中的x，y對調(diào)得x＝eq\r(4－y)，解得y＝4－x2，所以反函數(shù)f－1(x)＝4－x2(x≥0)．8．若函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)是y＝－eq\r(2－x2)(－1≤x≤0)，則原函數(shù)的定義域是__[－eq\r(2)，－1]__，f(－1)＝__－1__．[解析]因為原函數(shù)的定義域為反函數(shù)的值域，又－1≤x≤0，所以1≤2－x2≤2，即y∈[－eq\r(2)，－1]．令－eq\r(2－x2)＝－1，解得x＝±1，因為原函數(shù)的定義域為[－eq\r(2)，－1]，所以x＝－1．三、解答題9．已知y＝eq\f(1,2)x＋a與y＝3－bx互為 反函數(shù)，求a、b的值．[解析]由y＝eq\f(1,2)x＋a，得x＝2y－2a，∴y＝2x－2A．即函數(shù)y＝eq\f(1,2)x＋a的反函數(shù)為y＝2x－2a，由已知得函數(shù)y＝2x－2a與函數(shù)y＝3－bx為同一函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝2,－2a＝3))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2),b＝－2))．10．求下列函數(shù)的反函數(shù)．(1)f(x)＝eq\f(1,2x＋1)；(2)f(x)＝1－eq\r(1－x2)(－1≤x＜0)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－10≤x≤1,x2－1≤x＜0))．[解析](1)設y＝f(x)＝eq\f(1,2x＋1)．∵x≠－eq\f(1,2)，∴y≠0．由y＝eq\f(1,2x＋1)，解得x＝eq\f(1－y,2y)．∴f－1(x)＝eq\f(1－x,2x)(x≠0)．(2)設y＝f(x)＝1－eq\r(1－x2)．∵－1≤x＜0，∴0＜y≤1．由y＝1－eq\r(1－x2)，解得x＝－eq\r(2y－y2)．∴f－1(x)＝－eq\r(2x－x2)(0＜x≤1)．(3)設y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－10≤x≤1,x2－1≤x＜0))，當0≤x≤1時，－1≤y≤0，由y＝x2－1，得x＝eq\r(1＋y)；當－1≤x＜0時，0＜y≤1，由y＝x2，得x＝－eq\r(y)．∴f－1(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(1＋x)－1≤x≤0,－\r(x)0＜x≤1))．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．若f(lnx＋1)＝x，則f(5)＝(C)A．log5e B．ln4C．e4 D．4e[解析]解法一：令lnx＋1＝t，則x＝et－1，∴f(t)＝et－1，∴f(5)＝e5－1＝e4．解法二：令lnx＋1＝5，則lnx＝4，∴x＝e4，∴f(5)＝e4．2．若函數(shù)y＝eq\f(ax,1＋x)的圖像關于直線y＝x對稱，則a的值為(B)A．1 B．－1C．±1 D．隨意實數(shù)[解析]因為函數(shù)圖像本身關于直線y＝x對稱，故可知原函數(shù)與反函數(shù)是同一函數(shù)，所以先求反函數(shù)，再與原函數(shù)作比較即可得出答案；或利用反函數(shù)的性質(zhì)求解，依題意，知點(1，eq\f(a,2))與(eq\f(a,2)，1)均在原函數(shù)圖像上，故可得a＝－1．3．已知函數(shù)y＝f(x)與y＝ex互為反函數(shù)，函數(shù)y＝g(x)的圖像與y＝f(x)的圖像關于x軸對稱，若g(a)＝1，則實數(shù)a的值為(C)A．－e B．－eq\f(1,e)C．eq\f(1,e) D．e[解析]∵函數(shù)y＝f(x)與y＝ex互為反函數(shù)，∴f(x)＝lnx，又∵函數(shù)y＝g(x)的圖像與y＝f(x)的圖像關于x軸對稱，∴g(x)＝－lnx，∴g(a)＝－lna＝1，∴l(xiāng)na＝－1，∴a＝eq\f(1,e)．4．函數(shù)y＝10x2－1(0＜x≤1)的反函數(shù)是(D)A．y＝－eq\r(1＋lgx)(x＞eq\f(1,10)) B．y＝eq\r(1＋lgx)(x＞eq\f(1,10))C．y＝－eq\r(1＋lgx)(eq\f(1,10)＜x≤1) D．y＝eq\r(1＋lgx)(eq\f(1,10)＜x≤1)[解析]由y＝10x2－1(0＜x≤1)，得x2－1＝lgy，即x＝eq\r(lgy＋1)．又∵0＜x≤1，即－1＜x2－1≤0，∴eq\f(1,10)＜10x2－1≤1，即原函數(shù)的值域為(eq\f(1,10)，1]．∴原函數(shù)的反函數(shù)為y＝eq\r(lgx＋1)(eq\f(1,10)＜x≤1)．二、填空題5．若點(1,2)既在y＝eq\r(ax＋b)的圖像上，又在其反函數(shù)的圖像上，則a＝__－3__，b＝__7__．[解析]由題意可知點(1,2)和點(2,1)都在y＝eq\r(ax＋b)的圖像上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\r(a＋b),1＝\r(2a＋b)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝7))．6．已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x)＝1＋2lgx(x＞0)，則f(1)＋g(1)＝__2__．[解析]令g(x)＝1，則2lgx＝0，∴x＝1．∵f(x)與g(x)互為反函數(shù)，∴f(1)＝1，g(1)＝1＋2lg1＝1，∴f(1)＋g(1)＝2．7．設a＞0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝ax－1＋2的反函數(shù)的圖像經(jīng)過定點P，則點P的坐標是__(3,1)__．[解析]因為函數(shù)f(x)＝ax－1＋2經(jīng)過定點(1,3)，所以函數(shù)f(x)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過定點P(3,1)．三、解答題8．已知函數(shù)f(x)＝loga(2－x)(a＞1)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域、值域；(2)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f－1(x)；(3)推斷f－1(x)的單調(diào)性．[解析](1)要使函數(shù)f(x)有意義，需滿意2－x＞0，即x＜2，故原函數(shù)的定義域為(－∞，2)，值域為R．(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即x＝2－ay．∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是減函數(shù)．證明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，∵a＞1，x1＜x2，∴ax1＜ax2即ax1－ax2＜0，∴f－1(x2)＜f－1(x1)，∴y＝f－1(x)在R上是減函數(shù)．9．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)探討f(x)的單調(diào)性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．[解析](1)要使函數(shù)有意義，必需ax－1＞0，當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0．∴當a＞1時，f(x)的定義域為(0，＋∞)；當0＜a＜1時，f(x)的定義域為(－∞，0)．(2)當a＞1時，設0＜x1＜x2，則1＜ax1＜ax2，故0＜ax1－1＜ax2－1，∴l(xiāng)oga(ax1－1)＜loga(ax2－1)，∴f(