2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE9-1．1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義[目標(biāo)]1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．[重點(diǎn)]對導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解及求切線方程．[難點(diǎn)]對導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解．學(xué)問點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義[填一填]1．切線的概念與切線的斜率(1)切線：當(dāng)點(diǎn)Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)沿著曲線f(x)趨近于點(diǎn)P(x0，f(x0))時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線．(2)割線的斜率：割線PPn的斜率是kn＝eq\a\vs4\al(\f(fxn－fx0,xn－x0)).(3)切線的斜率：當(dāng)點(diǎn)Pn無限趨近于點(diǎn)P時，kn無限趨近于切線PT的斜率(如圖)．2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．即斜率k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx,Δx)＝_f′(x0)．[答一答]1．割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系？提示：割線PPn的斜率是kn＝eq\f(fxn－fx0,xn－x0)，當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無限趨近于點(diǎn)P時，kn無限趨近于切線PT的斜率k.2．本節(jié)定義的切線與以往學(xué)習(xí)的切線的定義有什么不同？提示：這里是利用極限思想，即用割線的極限位置定義曲線的切線．這種定義曲線切線的方法適用于各種曲線．3．函數(shù)的切線與函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)嗎？提示：不肯定，如下圖所示，可知切線與函數(shù)的圖象不肯定只有一個交點(diǎn)．學(xué)問點(diǎn)二導(dǎo)函數(shù)的概念[填一填]當(dāng)x＝x0時，f′(x0)是一個確定的數(shù)，則當(dāng)x改變時，f′(x)是x的一個函數(shù)，稱f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))．f′(x)也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).[答一答]4．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)有什么區(qū)分和聯(lián)系？提示：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個函數(shù)值，即一個確定的值；導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)是針對某一區(qū)間內(nèi)隨意的x0，假如函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，則都有唯一確定的值f′(x0)與x0對應(yīng)，所以，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是一個函數(shù)關(guān)系．因此，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是個別與一般的關(guān)系，從而，求函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，除利用定義干脆求解外，還可以先求出導(dǎo)函數(shù)，再將x＝x0代入導(dǎo)函數(shù)求解．1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線的斜率就是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，而切線的斜率就是切線傾斜角的正切值．2．由導(dǎo)數(shù)值推斷函數(shù)在某點(diǎn)的改變狀況：當(dāng)f′(x)>0時，函數(shù)圖象應(yīng)是上升的，f′(x)越大，圖象上升越快，越“陡峭”；當(dāng)f′(x)<0時，函數(shù)圖象是下降的，且k越小，下降越快．3．函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x＝x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.類型一導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例1】已知曲線y＝3x2－x，求曲線上的點(diǎn)A(1,2)處的切線斜率．【思路分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率．【解】因?yàn)閑q\f(Δy,Δx)＝eq\f(31＋Δx2－1＋Δx－3×12－1,Δx)＝5＋3Δx，當(dāng)Δx趨于0時，5＋3Δx趨于5，所以曲線y＝3x2－x在點(diǎn)A(1,2)處的切線斜率是5.函數(shù)y＝fx在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′x0的幾何意義，就是曲線y＝fx在點(diǎn)x0，fx0處切線的斜率k，即k＝f′x0＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).在曲線y＝x2上切線傾斜角為eq\f(π,4)的點(diǎn)是(D)A．(0,0) B．(2,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析：f′(x)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x＝taneq\f(π,4)＝1，∴x＝eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,4)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).類型二求曲線的切線方程【例2】已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程．【思路分析】先求出y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)的導(dǎo)函數(shù)，(1)將x＝2代入f′(x)可求得切線的斜率，再求切線方程；(2)先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求切線方程．【解】(1)∵點(diǎn)P(2,4)在曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(\f(1,3)x＋Δx3＋\f(4,3)－\f(1,3)x3－\f(4,3),Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(x2·Δx＋xΔx2＋\f(1,3)Δx3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋x·Δx＋\f(1,3)Δx2))＝x2，∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝22＝4，∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)設(shè)曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，則切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0)，∴切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，∴4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，即xeq\o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.在求曲線的切線方程時，要留意區(qū)分所求切線是曲線上某點(diǎn)處的切線，還是過某點(diǎn)的切線.曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條，而過某點(diǎn)的切線不肯定只有一條，即使此點(diǎn)在曲線上也不肯定只有一條.曲線y＝x3－3x2＋1在點(diǎn)P處的切線平行于直線y＝9x－1，則切線方程為(D)A．y＝9xB．y＝9x－26C．y＝9x＋26D．y＝9x＋6或y＝9x－26解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(x0＋Δx3－3x0＋Δx2＋1－x\o\al(3,0)＋3x\o\al(2,0)－1,Δx)＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3xeq\o\al(2,0)－6x0.所以f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3xeq\o\al(2,0)－6x0]＝3xeq\o\al(2,0)－6x0，于是3xeq\o\al(2,0)－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)或(－1，－3)．又切線斜率為9，所以曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.類型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的實(shí)際應(yīng)用【例3】“菊花”煙花是最壯麗的煙花之一，制造時通常期望它在達(dá)到最高點(diǎn)時爆裂．假如煙花距地面的高度h(m)與時間t(s)之間的關(guān)系式為h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求煙花在t＝2s時的瞬時速度，并說明煙花升空后的運(yùn)動狀況．【解】煙花在t＝2s時的瞬時速度就是h′(2)．而eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(h2＋Δt－h(huán)2,Δt)＝－4.9－4.9Δt，所以h′(2)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δh,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，即在t＝2s時，煙花正以4.9m/s的瞬時速度下降．如圖，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以看出：在t＝1.5s旁邊曲線比較平坦，也就是說此時煙花的瞬時速度幾乎為0，達(dá)到最高點(diǎn)并爆裂；在0～1.5s之間，曲線在任何點(diǎn)的切線斜率都大于0且切線的傾斜程度越來越小，也就是說煙花在達(dá)到最高點(diǎn)前，以越來越小的速度升空；在1.5s后，曲線在任何點(diǎn)的切線斜率都小于0且切線的傾斜程度越來越大，即煙花達(dá)到最高點(diǎn)后，以越來越大的速度下落，直到落地．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的切線的斜率.反之，在曲線上取確定的點(diǎn)，作曲線的切線，則可以依據(jù)切線斜率的符號及肯定值的大小來確定曲線的升降狀況及升降的快慢程度.某斜坡在某段內(nèi)的傾斜程度可以近似地用函數(shù)y＝－x2＋4xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x≤2))來刻畫，試分析該段斜坡的坡度的改變狀況．解：因?yàn)閑q\f(Δy,Δx)＝eq\f([－x＋Δx2＋4x＋Δx]－－x2＋4x,Δx)＝eq\f(－2x·Δx＋4Δx－Δx2,Δx)＝－2x＋4－Δx，所以y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－2x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x≤2)).由于y′＝－2x＋4在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))上是減函數(shù)，且0≤y′≤1，故該段斜坡的坡度最起先很接近45°，隨著高度漸漸上升，坡度在漸漸變小，在x達(dá)到2時坡度接近0°.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義推斷函數(shù)的改變狀況【例4】設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如下圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能的是()【解析】由f′(x)的圖象知，在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上，f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0，由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：f(x)在(－∞，0)上是上升的，在(0,2)上是下降的，在(2，＋∞)上是上升的，滿意題意的只有C.【答案】C【解后反思】當(dāng)k＝f′(x)>0時，函數(shù)f(x)圖象是上升的，且k越大，上升越快；當(dāng)k＝f′(x)<0時，函數(shù)f(x)圖象是下降的，且k越小，下降越快．如圖表示物體運(yùn)動的路程隨時間改變的函數(shù)f(t)＝4t－2t2的圖象，試依據(jù)圖象描述、比較曲線f(t)在t1、t2旁邊的改變狀況．解：f(t)對t的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線的斜率．用曲線f(t)在t1、t2處的切線刻畫曲線f(t)在t1、t2旁邊的改變狀況．(1)當(dāng)t＝t1時，曲線f(t)在t1處的切線l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1旁邊曲線下降，即函數(shù)f(t)在t＝t1旁邊單調(diào)遞減．(2)當(dāng)t＝t2時，曲線f(t)在t2處的切線l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2旁邊曲線下降，即函數(shù)f(t)在t＝t2旁邊也單調(diào)遞減．由題圖可以看出直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，說明曲線f(t)在t1旁邊比在t2旁邊下降得緩慢．1．假如曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么(B)A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：f′(x0)＝－eq\f(1,2)<0.2．已知y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(B)A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定解析：比較A、B兩點(diǎn)處的切線斜率即可．3．函數(shù)f(x)＝x2＋2x在點(diǎn)(1,3)處的切線的斜率為4.解析：利用導(dǎo)數(shù)的定義．4．若曲線y＝2x2－4x＋p與直線y＝1相切，則p＝3.解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0,1)，∵f′(x0)＝4x0－4，由題意，知4x0－4＝0，∴x0＝1，即切點(diǎn)為(1,1)．∴1＝2－4＋p.∴p＝3.5．在曲線y＝x2＋3的圖象上取一點(diǎn)P(1,4)及旁邊一點(diǎn)(1＋Δx,4＋Δy)．求(1)eq\f(Δy,Δx