高等電磁波理論 課件 陳紅勝 第4-6章 透射與反射- 電磁散射

第四章透射與反射

4.1

kDB坐標系浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》12媒質(zhì)的波動方程問題：各向異性媒質(zhì)的波動方程與平面波形式有何不同？各向同性（時諧、無源）波動方程分離變量平面波通解3平面波通解各向異性（時諧、無源）平面波解麥克斯韋方程（平面波）4kDB坐標系麥克斯韋方程（平面波）xyzθ?kDB坐標系DB平面：①xy平面沿z

軸逆時針旋轉(zhuǎn)?-π/2角度②新的x軸作為e1

軸③沿e1

軸旋轉(zhuǎn)θ

角度5kDB坐標系（2）xyzθ?kDB坐標系xyz坐標系下的矢量kDB坐標系下的矢量6kDB坐標系（3）xyzθ?kDB坐標系本構(gòu)關(guān)系（xyz）本構(gòu)關(guān)系（kDB）坐標變換7kDB坐標系（4）xyzθ?kDB坐標系xyz坐標系坐標變換kDB坐標系麥克斯韋方程（平面波）特點：D3=B3=08色散關(guān)系xyzθ?kDB坐標系kDB坐標系D3=B3=0代入本構(gòu)關(guān)系色散關(guān)系求解方程本征值問題9色散關(guān)系（單軸介質(zhì)）代入色散關(guān)系求解方程單軸介質(zhì)z10色散關(guān)系（單軸介質(zhì)）有非零解行列式為零色散關(guān)系情況③：xyz情況①：①情況②：xyz②11思考：手性介質(zhì)代入色散關(guān)系求解方程手性介質(zhì)色散關(guān)系求解方程本征值問題平面波為圓極化模式，為什么？Opticalchiralmetamaterials:areviewofthefundamentals,fabricationmethodsandapplications.Nanotechnology27,412001(2016)第四章透射與反射

4.2單軸介質(zhì)浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》1213什么是單軸介質(zhì)？光軸方向的介電常數(shù)不同等效介電常數(shù)zz周期層狀結(jié)構(gòu)周期柱體結(jié)構(gòu)人工結(jié)構(gòu)（超材料）如何分析透反射，有何不同？14單軸介質(zhì)的色散關(guān)系色散關(guān)系xyzθ?kDB坐標系代入色散關(guān)系求解方程（kDB坐標系）單軸介質(zhì)15單軸介質(zhì)的色散關(guān)系（2）情況①：尋常波（o光）情況②：非尋常波（e光）情況③：波矢沿著z方向kskz等頻線（k

surfaces）xyz①xyz②xyz③16單界面透反射均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx入射波（TM極化）：反射波：透射波：相位匹配：17單界面透反射（2）均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx邊界條件在邊界z=0處邊界條件要求切向EH連續(xù)（TM極化）k1z,k2z可以根據(jù)入射角度和色散關(guān)系得到18單軸平板透反射均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx均勻介質(zhì)z=d前向波后向波區(qū)域1（左側(cè)）：區(qū)域2（中間）：區(qū)域3（右側(cè)）：邊界條件相位匹配：待解未知數(shù)19單軸平板透反射（2）均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx均勻介質(zhì)z=d前向波后向波20單軸平板透反射（3）在邊界z=0處21單軸平板透反射（4）在邊界z=d

處22單軸平板透反射（5）待解未知數(shù)令23單軸平板透反射（6）單軸介質(zhì)平板的透反射系數(shù)均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx均勻介質(zhì)z=d前向波后向波非尋常波（e光）第四章透射與反射

4.3手性介質(zhì)浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》2425什么是手性介質(zhì)？電磁耦合人工結(jié)構(gòu)（手性超材料）如何分析透反射，有何不同？電場與磁通量有關(guān)磁場與電位移有關(guān)電場激發(fā)平行方向的電偶極子與磁偶極子+q-

q26手性介質(zhì)的色散關(guān)系xyzθ?kDB坐標系代入色散關(guān)系求解方程（kDB坐標系）手性介質(zhì)色散關(guān)系27單軸介質(zhì)的色散關(guān)系（2）情況①：左旋情況②：右旋等頻線（k

surfaces）kskz①②28單軸介質(zhì)的平面波（kDB）情況①：情況②：左旋極化電磁場模式（省略平面波復(fù)指數(shù)項）右旋29單軸介質(zhì)的平面波（xyz）情況①：情況②：左旋極化電磁場模式（省略平面波復(fù)指數(shù)項）右旋矢量坐標轉(zhuǎn)換30單界面透反射均勻介質(zhì)（區(qū)域1）手性介質(zhì)（區(qū)域2）入射波反射波透射波z=0zx31單界面透反射（1）均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx入射波（左旋）反射波（左旋）反射波（右旋）32單界面透反射（2）均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx透射波（左旋）透射波（右旋）33單界面透反射（3）均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx邊界處的H場（z=0）邊界條件34單界面透反射（4）均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx邊界處的E場（z=0）邊界條件35單界面透反射（5）四條待解方程36單界面透反射（6）垂直入射時反射波左旋變右旋，透射波不變！37思考：斜入射手性反射斜入射時極化狀態(tài)如何變化，為什么？均勻介質(zhì)單軸介質(zhì)入射波反射波透射波z=0zx第四章透射與反射

4.4周期介質(zhì)浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》3839周期介質(zhì)如何分析透反射，有何不同？εH

εLεH

εLεH

εLεH

εL周期排列的介質(zhì)（光柵、超材料、光子晶體等）40多層介質(zhì)透反射區(qū)域0入射波反射波zx區(qū)域1區(qū)域l區(qū)域n區(qū)域t=n+1z=d0z=d1z=dlz=dnz=dn-1z=dl-1透射波前向后向TM極化前向波后向波區(qū)域l

的磁場前向波后向波區(qū)域l

的電場41多層介質(zhì)透反射（2）待解系數(shù)（2n+4個）區(qū)域0（入射）：區(qū)域

n+1（透射）：色散關(guān)系：相位匹配待解系數(shù)（2n+2個）邊界條件（2n+2條）前向波后向波前向波后向波42多層介質(zhì)透反射（3）邊界條件矩陣形式前向傳播矩陣代入?yún)?shù)可得R、T43多層介質(zhì)透反射（3）前向傳播矩陣z=dl介質(zhì)傳播（第l+1層）介質(zhì)傳播（第l層）邊界散射44周期介質(zhì)令每一層介質(zhì)厚度為四分之一波長εL

εHεL

εHεL

εHεL

εHdldl-1dl+1TRεH0d2N+1一個周期的傳播矩陣中間四項矩陣相乘合并一個周期45周期介質(zhì)（2）令每一層介質(zhì)厚度為四分之一波長N個周期的總傳播矩陣εL

εHεL

εHεL

εHεL

εHdldl-1dl+1TRεH0d2N+146周期介質(zhì)（3）εL

εHεL

εHεL

εHεL

εHdldl-1dl+1TRεH0d2N+1代入總傳播矩陣當N

無窮大時全反射為什么？47周期介質(zhì)的平面波axy（周期）（周期電場）（周期介電常數(shù)）（平面波模式）傅里葉級數(shù)展開（FloquetmodeorBlochwave）48周期介質(zhì)的平面波（2）傅里葉級數(shù)形式代入波動方程拉普拉斯算符移入求和項兩邊乘以一個周期內(nèi)積分（本征值求解問題）給定的βx求得k0色散圖49光子晶體能帶（本征值求解問題）色散圖εL

εHεL

εHεL

εHεL

εHTRεH0d2N+1當N

無窮大時全反射反射系數(shù)取每一層介質(zhì)厚度為四分之一波長f0在禁帶中能帶圖第五章導波與諧振

5.1均勻波導理論浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》5051波導器件如何求解與分析波導模式？微波同軸線光纖集成光波導52均勻波導理論zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導沿z

方向傳播的電磁波：kz

：z

方向的傳播常數(shù)代入麥克斯韋方程色散關(guān)系分離縱向場和橫向場53均勻波導理論（2）zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導兩邊叉乘右邊代入整理Et類似地橫向場可由縱向場求得色散關(guān)系54均勻波導理論（3）zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導兩邊取旋度矢量運算均勻填充波導Ez

模和Hz

模獨立存在TMmodes:Ez≠0,Hz=0TEmodes:Ez

=0,Hz

≠0

模式求解方程55均勻填充金屬壁波導zxyε,μΩΓ均勻填充亥姆霍茲方程PEC壁TM模式求解TE模式求解傳播常數(shù)行波截止衰減截止頻率相速度群速度56TEM模式zxyε,μΩΓ均勻填充PEC壁Ez=0,Hz=0均勻填充金屬壁波導是否存在TEM模式？ΩΓ磁荷不存在磁場線閉合任意形狀截面麥克斯韋方程積分形式≠0Ez≠00z方向電場不能為0閉合路徑積分不為0均勻填充金屬壁波導不支持TEM模式57金屬矩形波導xyzε,μabTE模式（Ez=0）分離變量法通解代入邊界條件得到kx、ky導波條件代入求得橫向E、H場58金屬矩形波導（2）xyzε,μabTEmn

模式場分布（Ez=0）導波條件：xy平面駐波分布z向平面波傳輸TE00

模不存在59金屬矩形波導（3）xyzε,μabTMmn

模式場分布（Hz=0）導波條件：xy平面駐波分布z向平面波傳輸TM00,TM0n,TMm0模不存在類似地，得到60部分填充波導xyze2,m2abe1,m1h波導截面填充不同的介質(zhì)模式求解方程留下z

分量等式與空間坐標有關(guān)無法利用舍去出現(xiàn)混合模式TEz

模和

TMz

模僅少量特殊情況可分離一般情況下為混合模式（同時含Ez和Hz）Ez與Hz

模的耦合是由填充材料的空間非均勻帶來

在截止頻率（kt=0），混合模式退化為TEz

和TMz

模式非均勻填充金屬壁波導第五章導波與諧振

5.2模式正交性浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》6162格林定理高斯定理代入利用矢量恒等式第一標量格林定理第二標量格林定理交換a、b

順序第一矢量格林定理類似地，利用高斯定理和變量替換第二矢量格林定理63zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導00當考慮i、j兩個TM模式第二標量格林定理（二維形式）代入模式正交性64zxyε,μΩΓ任意截面形狀的均勻波導考慮i、j兩個TM模式代入第一標量格林定理（二維）（前一頁結(jié)論）模式正交性（2）65模式正交性（3）TM

模式正交（Hz=0）TE

模式正交（Ez=0）TM、TE

模式相互正交橫向場可由縱向場求得潛在原理：格林定理中，等式右側(cè)邊界處模場趨于0，從而左側(cè)模場重疊積分也為066波導界面模式分析波導2波導1不連續(xù)界面（z=0）如何用模式正交性分析傳輸效率？兩邊依次乘以波導

第i個模式并計算重疊積分波導1模式波導2模式前向后向得到映射關(guān)系求解矩陣可得各系數(shù)各模式的傳輸系數(shù)67xyzε,μabTMmn

模式場分布（Hz=0）TM00,TM0n,TMm0模不存在金屬矩形波導模場圖（TM）導波條件：模式正交關(guān)系TM11TM22TM12TM13TM14TM31TM41TM2168金屬矩形波導模場圖（TE）xyzε,μabTEmn

模式場分布（Ez=0）導波條件：TE00

模不存在模式正交關(guān)系TE10TE01TE11TE12TE13TE21TE31TE22第五章導波與諧振

5.3波導中的場激勵浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》6970波導中的源波導里施加任意電流源，如何分析激發(fā)的導波模式？71面電流激勵波導中激勵一個面電流：（沿+z方向傳播的總場）（沿-z方向傳播的總場）z=0其中，第i

個波導模式：（+z方向）（-z方向）待解未知數(shù)：ai,bi72面電流激勵（2）在面電流所在位置運用邊界條件：z=0模式正交性兩邊點乘兩邊積分模式正交性（歸一化常數(shù)）73體電流激勵波導中激勵任意體電流z=z1z=z2總場表達式：待求系數(shù)函數(shù)其中，第i

個波導模式：（+z方向）（-z方向）74體電流激勵（2）z=z1z=z2系數(shù)函數(shù)需滿足邊界條件朝右向傳播的模式場應(yīng)為0朝左向傳播的模式場應(yīng)為075互易定理體電流激勵（3）在區(qū)域[z1,z2]內(nèi)運用互易定理令右側(cè)源產(chǎn)生的左向波體電流

Jimp的輻射波z=z1z=z276體電流激勵（4）z=z1z=z2金屬壁切向電場為0剩余2個面積分左側(cè)截面右側(cè)截面模式正交性0僅留下i=j

的模式積分77體電流激勵（5）z=z1z=z2得到右向傳播模場系數(shù)類似地，令左側(cè)源產(chǎn)生的右向波體電流

Jimp的輻射波得到左向傳播模場系數(shù)78思考z=z1z=z2z=0取體電流激勵面電流激勵檢驗是否相同？第五章導波與諧振

5.4諧振腔與微擾法浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》7980封閉波導矩形波導兩端封閉，能否構(gòu)成諧振腔？xyzε,μabTEmn

模式TMmn

模式xy平面駐波xyzabcz

兩端封閉81矩形諧振腔xyzabc金屬矩形諧振腔TEz

模式（+z方向傳播）（-z方向傳播）前向+后向疊加z方向邊界條件要求：諧振模式諧振條件82矩形諧振腔（2）xyzabc金屬矩形諧振腔TMz

模式（+z方向傳播）（-z方向傳播）前向+后向疊加諧振條件諧振模式z方向邊界條件要求：83材料微擾材料微擾原諧振腔新諧振腔如何分析材料微擾下的諧振模式變化？84原諧振腔新諧振腔兩式相減材料微擾（2）85原諧振腔新諧振腔兩邊體積分，運用高斯定理邊界條件要求面積分為0介電常數(shù)增加諧振頻率降低材料微擾（3）86形狀微擾形狀微擾原諧振腔新諧振腔運用邊界條件0跟材料微擾類似的推導方法，可以得到0強磁場地方凹陷諧振頻率會提高87精益求精原諧振腔微小擾動材料微擾形狀微擾影響全局（諧振頻率）“中國天眼”500米口徑球面射電望遠鏡精益求精毫米級精度言治骨角者，既切之而復(fù)磋之；治玉石者，既琢之而復(fù)磨之，治之已精，而益求其精也。-南宋·朱熹《論語集注》第六章電磁散射

6.1柱面波函數(shù)浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》8889柱形結(jié)構(gòu)柱形結(jié)構(gòu)，如何分析電磁波問題？光纖同軸線諧振腔90柱坐標系yxzρ?坐標變換關(guān)系直角→柱柱→直角矩陣形式91yxzρ?柱坐標波動方程亥姆霍茲矢量波動方程亥姆霍茲標量波動方程代入柱坐標的拉普拉斯算符柱坐標標量波動方程92yxzρ?柱坐標波動方程的解柱坐標標量波動方程分離變量法兩邊除以與變量z

無關(guān)必須為常數(shù)93柱坐標波動方程的解（2）與變量z

無關(guān)必須為常數(shù)其中乘以ρ2三條待解常系數(shù)微分方程94三條待解常系數(shù)微分方程第一類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)（也記作Nm(kρρ)）通解形式（z方向平面波）（

?

方向平面波）柱坐標波動方程的解（3）95貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)（也記作Nm(kρρ)）貝塞爾方程解駐波形式96漢克爾函數(shù)實部虛部駐波向外行波向內(nèi)行波復(fù)數(shù)第六章電磁散射

6.2柱體散射浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》9798柱體散射問題柱體的散射如何計算？柱體入射波散射99波變換yxρ?考慮一個x方向傳播的平面波分解為柱面波疊加乘以對?

積分平面波的柱面波疊加形式100金屬柱散射yxρ?入射電場激發(fā)柱面感應(yīng)電流散射電場第一類Hankel函數(shù)：向外行波邊界條件各階散射系數(shù)散射電場TM模式101金屬柱散射（2）yxρ?TM模式y(tǒng)xρ?TE模式102金屬柱散射（3）yxρ?入射磁場激發(fā)柱面感應(yīng)電流散射場第一類Hankel函數(shù)：向外行波外部總磁場TE模式

E?

分量外部電場代入麥克斯韋方程103金屬柱散射（4）yxρ?TE模式外部電場邊界條件各階散射系數(shù)散射磁場104散射寬度yxρ?散射寬度（Scatteringwidth）僅與角度?

和波數(shù)k

有關(guān)單位：m對數(shù)坐標下，通常對單位長度或波長進行歸一化單位：dBm單位：dB105介質(zhì)柱散射yxρ?入射電場激發(fā)柱面感應(yīng)電流散射電場TM模式內(nèi)部電場代入麥克斯韋方程外部磁場內(nèi)部磁場106介質(zhì)柱散射（2）yxρ?邊界條件TM模式各階散射系數(shù)（外部）各階散射系數(shù)（內(nèi)部）107思考yxρ?多層介質(zhì)柱體的散射如何計算？第六章電磁散射

6.3分層介質(zhì)散射浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》108109多層平板散射問題分層平板介質(zhì)的散射如何計算？J、M介質(zhì)1介質(zhì)2介質(zhì)3海底、大氣層、地表等輻射源110譜系格林函數(shù)自由空間格林函數(shù)輻射問題的格林函數(shù)求解方程傅里葉變換形式自由空間譜系格林函數(shù)代入方程求解111譜系格林函數(shù)（2）yxzρ?轉(zhuǎn)化為柱坐標系利用貝塞爾函數(shù)索末菲恒等式(Sommerfeldidentity)球面波分解為一系列z方向傳播的平面波112電偶極子輻射場變換xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlanez

方向的電偶極子輻射場代入場-源關(guān)系取z

分量113xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子輻射場變換（2）z

分量輻射場代入索末菲恒等式平面波疊加橫向場可由縱向場得到114xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子分層介質(zhì)散射入射場（偶極子輻射場）反射場第l

層介質(zhì)的場前向波后向波待求系數(shù)（2M+1）115xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane電偶極子分層介質(zhì)散射（2）待求系數(shù)（2M+1）邊界條件：切向EH連續(xù)遞歸關(guān)系116xz垂直電偶極子z=z1z=z2z=zMz=zM+1GroundPlane思考遞歸關(guān)系各系數(shù)與多層平板透反射系數(shù)是否有關(guān)？第六章電磁散射

6.4周期表面反射浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》117118周期粗糙表面的散射周期表面的散射如何計算？入射波散射波周期粗糙表面（超表面、光柵等）119Floquet定理令Q(x)是一個實數(shù)或復(fù)數(shù)分段連續(xù)函數(shù)，且具有最小周期π那么差分方程有兩個連續(xù)可微解特征方程：特征值：①如果ρ1

和ρ2

是兩個不同的根其中p1(x)和p2(x)以π

為周期Floquet定理方程①有兩個線性無關(guān)的解波動方程的解包含L為周期函數(shù)傅里葉級數(shù)展開波動方程K(x)=k2(x)具有最小周期L120周期波紋金屬表面入射波反射波Floquet

模式（一系列等頻圓）xzwpd周期金屬表面H周期區(qū)域1區(qū)域2k

surfaceskxkznn=-1n=1倏逝波121周期波紋金屬表面（2）凹槽內(nèi)的場分解為波導模式疊加xzwpd周期金屬表面H周期區(qū)域1區(qū)域2x

方向駐波z方向駐波峰值點：x=±w/2峰值點：z=-d122周期波紋金屬表面（3）取垂直入射的情況（kx=0），各區(qū)域總場123周期波紋金屬表面（4）待求系數(shù)Rn，Gm利用模式正交性求解邊界條件：切向磁場連續(xù)（atz=0）①邊界條件：切向電場為0（atw/2<|x|<p/2，z=0）③邊界條件：切向電場連續(xù)（at–w/2<x<w/2，z=0）②124周期波紋金屬表面（5）兩邊乘以在–w/2<x<w/2

范圍內(nèi)積分第①條邊界條件等式右側(cè)模式正交性，重疊積分為0125周期波紋金屬表面（6）兩邊乘以在–p/2<x<p/2范圍內(nèi)積分左側(cè)模式正交性，重疊積分為0第②條邊界條件等式126周期波紋金屬表面（6）可求得數(shù)學表達式和值待求系數(shù)Rn，Gm矩陣求解127周期波紋金屬表面（7）當kw<<1時（深亞波長凹槽）反射相位隨凹槽深度的變化PMCPEC128思考存在透射的周期金屬結(jié)構(gòu)如何計算散射？透射型周期金屬結(jié)構(gòu)H區(qū)域1區(qū)域2區(qū)域3第六章電磁散射

6.5

球面波函數(shù)浙江大學信息與電子工程學院《高等電磁波理論》129130球體球體的電磁波散射如何分析？灰塵、水滴、球形物體、納米顆粒等131球坐標系直角→球球

→直角矩陣形式y(tǒng)xzrsinθ?rθ132柱坐標波動方程亥姆霍茲矢量波動方程亥姆霍茲標量波動方程代入球坐標的拉普拉斯算符球坐標標量波動方程yxzr