2024-2025學(xué)年德州市夏津縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷及答案解析

夏津育中萬(wàn)隆中英文高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.四名同學(xué)報(bào)名參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，不同報(bào)名方法共有A.種 B.種 C.種 D.種2.一個(gè)盒子里裝有大小，材質(zhì)均相同的黑球個(gè)，紅球個(gè)，白球個(gè)，從中任取個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為，則等于的是(

)A. B. C. D.3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為A. B. C. D.4.已知盒中裝有個(gè)紅球、個(gè)白球、個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率A. B. C. D.5.離散型隨機(jī)變量的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以，代替，分布列如下：則A. B. C. D.6.的展開(kāi)式中，前項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為A. B. C. D.7.高三某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，若從班中隨機(jī)找出名學(xué)生，那么其中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，則取最大值時(shí)的值為A. B. C. D.8.拋物線上有三點(diǎn)，且直線的斜率大于零，，點(diǎn)為三角形的重心，若直線橫截距的范圍為，則的值是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，和分別為隨機(jī)變量的期望與方差，則下列結(jié)論正確的是A. B. C. D.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合，則下列關(guān)于的說(shuō)法正確的有A.當(dāng)時(shí)，的面積為B.的周長(zhǎng)為

C.當(dāng)時(shí)，中D.橢圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形11.已知正方體棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

A.存在點(diǎn)，使得；

B.存在唯一點(diǎn)，使得；

C.當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；

D.當(dāng)為底面的中心時(shí)，三棱錐的外接球表面積為．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為

．13.已知隨機(jī)事件滿足，則

．14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的左支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題分從名男生和名女生中選出人去參加某活動(dòng)的志愿者．若人中必須既有男生又有女生，則有多少種選法？先選出人，再將這人分配到兩個(gè)不同的活動(dòng)場(chǎng)地每個(gè)場(chǎng)地均要有人去，人只能去一個(gè)場(chǎng)地，則有多少種安排方法？若男女生各需要人，人選出后安排與名組織者合影留念站一排，名女生要求相鄰，則有多少種不同的合影方法？16.本小題分

端午假日期間，某商場(chǎng)為了促銷舉辦了購(gòu)物砸金蛋活動(dòng)，凡是在該商場(chǎng)購(gòu)物的顧客都有一次砸金蛋的機(jī)會(huì)主持人從編號(hào)為，，，的四個(gè)金蛋中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入獎(jiǎng)品，只有主持人事先知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)金蛋里游戲規(guī)則是顧客有兩次選擇機(jī)會(huì)，第一次任意選一個(gè)金蛋先不砸開(kāi)，隨后主持人隨機(jī)砸開(kāi)另外三個(gè)金蛋中的一個(gè)空金蛋，接下來(lái)顧客從三個(gè)完好的金蛋中第二次任意選擇一個(gè)砸開(kāi)，如果砸中有獎(jiǎng)的金蛋直接獲獎(jiǎng)現(xiàn)有顧客甲第一次選擇了號(hào)金蛋，接著主持人砸開(kāi)了另外三個(gè)金蛋中的一個(gè)空金蛋．

作為旁觀者，請(qǐng)你計(jì)算主持人砸號(hào)金蛋的概率；

當(dāng)主持人砸開(kāi)號(hào)金蛋后，顧客甲重新選擇，請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選號(hào)金蛋，還是改選號(hào)金蛋或號(hào)金蛋？以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)17.本小題分為了解客戶對(duì)，兩家快遞公司的配送時(shí)效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機(jī)獲得了某地區(qū)客戶對(duì)這兩家快遞公司評(píng)價(jià)的調(diào)查問(wèn)卷，已知，兩家公司的調(diào)查問(wèn)卷分別有份和份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：快遞公司快遞公司快遞公司項(xiàng)目份數(shù)評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)配送時(shí)效服務(wù)滿意度配送時(shí)效服務(wù)滿意度假設(shè)客戶對(duì)，兩家快遞公司的評(píng)價(jià)相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．從該地區(qū)選擇快遞公司的客戶中隨機(jī)抽取人，估計(jì)該客戶對(duì)快遞公可配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于分的概率；分別從該地區(qū)和快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中，各隨機(jī)抽取份，記為這份問(wèn)卷中的服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于分的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；記評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為“優(yōu)秀”等級(jí)，為“良好”等級(jí)，為“一般”等級(jí)已知小王比較看重配送時(shí)效的等級(jí)，根據(jù)該地區(qū)，兩家快遞公司配送時(shí)效的樣本評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的等級(jí)情況，你認(rèn)為小王選擇，哪家快遞公司合適？說(shuō)明理由.18.本小題分如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若為棱的中點(diǎn)，證明：；在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）分別在棱上，，求三棱錐的體積的最大值．19．本小題分閱讀材料：極點(diǎn)與極線，是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德?笛沙格（GirardDesargues，）于年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述，它是圓錐曲線的一種基本特征.已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換（另一變量也是如此），即可得到點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程．特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.其中，極點(diǎn)與極線有以下基本性質(zhì)和定理①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；②當(dāng)在外時(shí)，其極線是曲線從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)在內(nèi)時(shí)，其極線是曲線過(guò)點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.根據(jù)上述材料回答下面問(wèn)題：已知雙曲線，右頂點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線與雙曲線交于點(diǎn)，(1)若，，證明：極線恒過(guò)定點(diǎn).(2)在（1）的條件下，若該定點(diǎn)為極線的中點(diǎn)，求出此時(shí)的極線方程.(3)若，，，極線交的右支于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)，直線，直線分別交軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.夏津育中萬(wàn)隆中英文高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.四名同學(xué)報(bào)名參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，不同報(bào)名方法共有(

)A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C

解：由題意，由于每位同學(xué)都有種選法，故共有

種選法．2.一個(gè)盒子里裝有大小，材質(zhì)均相同的黑球個(gè)，紅球個(gè)，白球個(gè)，從中任取個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為，則等于的是(

)A. B. C. D.【答案】C

解：由題設(shè)，取出的個(gè)球中沒(méi)有白球的概率為，取出的個(gè)球中有一個(gè)白球的概率為，所以目標(biāo)式表示．3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】A

解：由題意可知：，，與線段相交，，即；設(shè)直線的傾斜角為，或，由于在及均單調(diào)遞增，或．

4.已知盒中裝有個(gè)紅球、個(gè)白球、個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率(

)A. B. C. D.【答案】B

解：設(shè)“第一次拿到白球”為事件，“第二次拿到紅球”為事件，

，，則所求概率為.5.離散型隨機(jī)變量的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以，代替，分布列如下：則(

)A. B. C. D.【答案】B

解：由題意得，化簡(jiǎn)得，又，且，所以，，所以．6.的展開(kāi)式中，前項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】B

解：

展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，前三項(xiàng)的系數(shù)分別為，，，且成等差數(shù)列，

，即，又，，故解得，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為．

7.高三某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，若從班中隨機(jī)找出名學(xué)生，那么其中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，則取最大值時(shí)的值為(

)A. B. C. D.【答案】B

解：由已知，，，，，，，

所以由得：解得，又因?yàn)?，所以?/p>

故選B．8.拋物線上有三點(diǎn)，且直線的斜率大于零，，點(diǎn)為三角形的重心，若直線橫截距的范圍為，則的值是(

)A. B. C. D.【答案】A

解：由題意知，設(shè)，則，又為的重心，所以，得，代入方程，得設(shè)直線方程為，由，消去，得，，得，，代入，得，即，則，解得，所以，解得．對(duì)于，令，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，和分別為隨機(jī)變量的期望與方差，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B. C. D.【答案】ABD

解：隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，

，

，，故D正確，

對(duì)于選項(xiàng)，，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)，，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤；

故選ABD．10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點(diǎn)重合，則下列關(guān)于的說(shuō)法正確的有(

)A.當(dāng)時(shí)，的面積為B.的周長(zhǎng)為

C.當(dāng)時(shí)，中D.橢圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形【答案】ABD

解：根據(jù)橢圓方程可得，，．

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則有，可得，

則的面積，故A正確；

對(duì)于，的周長(zhǎng)為，故B正確；

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，的邊，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于，設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，則有解得，此時(shí)點(diǎn)為上下頂點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)，故D正確．故選：．11.已知正方體棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(

)

A.存在點(diǎn)，使得；

B.存在唯一點(diǎn)，使得；

C.當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；

D.當(dāng)為底面的中心時(shí)，三棱錐的外接球表面積為．【答案】ABD

解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，

為求的最小值，找出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，

，故A選項(xiàng)正確；

由，可得，故B選項(xiàng)正確；

時(shí)，即，而，，

得到，

點(diǎn)軌跡是連接棱中點(diǎn)與棱中點(diǎn)的線段，其長(zhǎng)度為線段的一半，即長(zhǎng)為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)為底面的中心時(shí)，由選項(xiàng)知，顯然，，

三棱錐的外接球球心為棱的中點(diǎn)，從而求得球半徑為，，故D正確．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為

．【答案】

解：的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令，解得，的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)為：，，．13.已知隨機(jī)事件滿足，則

．【答案】

解：因?yàn)?，，所以?/p>

所以．

14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的左支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為

．【答案】

解：

因?yàn)?，所以，則，過(guò)作軸，垂足為，由題意知，則，故，在中，，，故，又點(diǎn)在雙曲線上，則，將代入整理得，則，解得，又，得到，所以雙曲線的離心率為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題分從名男生和名女生中選出人去參加某活動(dòng)的志愿者．若人中必須既有男生又有女生，則有多少種選法？先選出人，再將這人分配到兩個(gè)不同的活動(dòng)場(chǎng)地每個(gè)場(chǎng)地均要有人去，人只能去一個(gè)場(chǎng)地，則有多少種安排方法？若男女生各需要人，人選出后安排與名組織者合影留念站一排，名女生要求相鄰，則有多少種不同的合影方法？【答案】解：從這人中任選人的選法有種，其中只有男生的選法有種，

只有女生的選法有種，故人中必須既有男生又有女生的選法有種4分從這人中任選人的選法有種，若人數(shù)按，分配，則安排方法有種，若人數(shù)按，分配，則安排方法有種，所以共有種安排方法．9分因?yàn)槟信餍枰?，所以選出人的方法有種，先排名男生與名組織者，有種排法，再將名女生“捆綁”在一起，放入個(gè)空檔中，所以共有種不同的合影方法．13分16.本小題分

端午假日期間，某商場(chǎng)為了促銷舉辦了購(gòu)物砸金蛋活動(dòng)，凡是在該商場(chǎng)購(gòu)物的顧客都有一次砸金蛋的機(jī)會(huì)主持人從編號(hào)為，，，的四個(gè)金蛋中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入獎(jiǎng)品，只有主持人事先知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)金蛋里游戲規(guī)則是顧客有兩次選擇機(jī)會(huì)，第一次任意選一個(gè)金蛋先不砸開(kāi)，隨后主持人隨機(jī)砸開(kāi)另外三個(gè)金蛋中的一個(gè)空金蛋，接下來(lái)顧客從三個(gè)完好的金蛋中第二次任意選擇一個(gè)砸開(kāi)，如果砸中有獎(jiǎng)的金蛋直接獲獎(jiǎng)現(xiàn)有顧客甲第一次選擇了號(hào)金蛋，接著主持人砸開(kāi)了另外三個(gè)金蛋中的一個(gè)空金蛋．

作為旁觀者，請(qǐng)你計(jì)算主持人砸號(hào)金蛋的概率；

當(dāng)主持人砸開(kāi)號(hào)金蛋后，顧客甲重新選擇，請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選號(hào)金蛋，還是改選號(hào)金蛋或號(hào)金蛋？以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)【答案】解：設(shè)，，，分別表示，，，號(hào)金蛋里有獎(jiǎng)品，設(shè)，，，分別表示主持人砸開(kāi)，，，號(hào)金蛋，則，且，，，兩兩互斥．

由題意可知，事件，，，的概率都是，

，，，．6分

由全概率公式，得．8分

在主持人砸開(kāi)號(hào)金蛋的條件下，號(hào)金蛋、號(hào)金蛋、號(hào)金蛋里有獎(jiǎng)品的概率分別為

，10分

，12分

，14分

通過(guò)概率大小比較，甲應(yīng)該改選號(hào)金蛋或號(hào)金蛋．

15分本小題分為了解客戶對(duì)，兩家快遞公司的配送時(shí)效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機(jī)獲得了某地區(qū)客戶對(duì)這兩家快遞公司評(píng)價(jià)的調(diào)查問(wèn)卷，已知，兩家公司的調(diào)查問(wèn)卷分別有份和份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：快遞公司快遞公司快遞公司項(xiàng)目份數(shù)評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)配送時(shí)效服務(wù)滿意度配送時(shí)效服務(wù)滿意度假設(shè)客戶對(duì)，兩家快遞公司的評(píng)價(jià)相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．從該地區(qū)選擇快遞公司的客戶中隨機(jī)抽取人，估計(jì)該客戶對(duì)快遞公司配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于分的概率；分別從該地區(qū)和快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中，各隨機(jī)抽取份，記為這份問(wèn)卷中的服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于分的份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；記評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為“優(yōu)秀”等級(jí)，為“良好”等級(jí)，為“一般”等級(jí)已知小王比較看重配送時(shí)效的等級(jí)，根據(jù)該地區(qū)，兩家快遞公司配送時(shí)效的樣本評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的等級(jí)情況，你認(rèn)為小王選擇，哪家快遞公司合適？說(shuō)明理由.【答案】解：調(diào)查問(wèn)卷中共有份，其中配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于分的份數(shù)為，則，故可估計(jì)該客戶對(duì)快遞公可配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于分的概率為； 2分快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中抽取的份服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于分的概率為：，3分快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中抽取的份服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于分的概率為：，4分的可能取值為，，，5分，6分，7分，8分故其分布列為：其期望；10分快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中“優(yōu)秀”等級(jí)占比為，“良好”等級(jí)占比為，“一般”等級(jí)占比為；11分快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中“優(yōu)秀”等級(jí)占比為，“良好”等級(jí)占比為，“一般”等級(jí)占比為；12分其中快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級(jí)占比為，13分快遞公司的樣本調(diào)查問(wèn)卷中“優(yōu)秀”或“良好”等級(jí)占比為，14分我認(rèn)為小王應(yīng)該選擇快遞公司，因?yàn)榭爝f公司中“優(yōu)秀”或“良好”等級(jí)占比比公司大．15分18.本小題分如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)．若為棱中點(diǎn)，證明：面；在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；，，分別在棱，，上，，求三棱錐的體積的最大值．【答案】解：連接交于，連接，易知，

又因?yàn)槊嫔?，面，所以?分

以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

可得，，，，，3分

由為棱上一點(diǎn)，設(shè)，，

，．4分

設(shè)平面的法向量為，

由可得

令，則，則6分

平面的一個(gè)法向量為，7分

則二面角的平面角滿足：，

化簡(jiǎn)得：，解得：或舍去，故存在滿足條件的點(diǎn)，此時(shí)10分

因?yàn)椋?/p>

可知三棱錐體積最大時(shí)，即最大，

在中，由余弦定理有：，

可得，

設(shè)，則，12分

由題可知：該方程有實(shí)根，則，解得，同理可得．13分

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

則由等體積法得到：，

即，解得：．15分

當(dāng)最大時(shí)三棱錐體積最大，即三棱錐體積最大，且易得∠APC=60°，

所以最大體積為：．

17分19．閱讀材料：極點(diǎn)與極線，是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德?笛沙格（GirardDesargues，）于年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述，它是圓錐曲線的一種基本特征.已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換（另一變量也是如此），即可得到點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程．特別地，對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.其中，極點(diǎn)與極線有以下基本性質(zhì)和定理①當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，其極線是曲線在點(diǎn)處的切線；