專題04 圓的方程及圓的位置關(guān)系（14大考點知識串講+熱考題型+專題訓練）

專題04圓的方程及圓的位置關(guān)系知識點1圓的方程1、圓的標準方程（1）定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。其中，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑。（2）確定圓的基本要素是：圓心和半徑（3）圓的方程：圓心為，半徑長為的圓的標準方程為（4）幾種特殊位置的圓的標準方程條件方程的標準形式圓心在原點圓過原點圓心在軸圓心在軸圓心在軸上且過原點圓心在軸上且過原點圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標軸都相切2、圓的一般方程（1）定義：當時，方程叫做圓的一般方程.其中為圓心，為半徑.（2）圓的一般方程的形式特點：=1\*GB3①項的系數(shù)相同且不等于0（和的系數(shù)如果是不為1的非零常數(shù)，只需在方程兩邊同時除以這個常數(shù)即可）；=2\*GB3②不含項；=3\*GB3③（3）一般方程與標準方程關(guān)系：對方程的左邊配方，并將常數(shù)移項到右邊，得，根據(jù)圓的標準方程可知：=1\*GB3①當時，方程只有實數(shù)解.它表示一個點.=2\*GB3②當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．=3\*GB3③當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.3、點和圓的位置關(guān)系圓的標準方程為，圓心，半徑為.設所給點為，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓A上或點在圓A內(nèi)或點在圓A外或4、軌跡與軌跡方程（1）軌跡方程和軌跡的定義已知平面上一動點，點的軌跡方程是指點的坐標滿足的關(guān)系式。軌跡是指點在運動變化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點的軌跡（集合）.“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別：=1\*GB3①“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍卣鳎?2\*GB3②“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。2、坐標法求軌跡方程的步驟第一步建系：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；第二步設點：用表示軌跡（曲線）上任意一點的的坐標；第三步列式：列出關(guān)于的方程；第四步化簡：把方程化為最簡形式；第五步證明：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。知識點2直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓，圓心到直線的距離=1\*GB3①直線與圓相離無交點；=2\*GB3②直線與圓相切只有一個交點；=3\*GB3③直線與圓相交有兩個交點.（2）代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系：聯(lián)立直線方程與圓的方程，得到，通過解的個數(shù)來判斷：=1\*GB3①當時，直線與圓有2個交點，，直線與圓相交；=2\*GB3②當時，直線與圓只有1個交點，直線與圓相切；=3\*GB3③當時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離；2、直線與圓相交時的弦長求法：（1）幾何法：利用圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長之間的關(guān)系，整理出弦長公式為：（2）代數(shù)法：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長；（3）弦長公式法：設直線與圓的交點為，，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長3、直線與圓相切時的切線問題（1）求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關(guān)系，再求切線方程。=1\*GB3①若點在圓上（即為切點），則過該點的切線只有一條；=2\*GB3②若點在圓外，過該點的切線有兩條，此時應注意切線斜率不存在的情況【注意】過圓內(nèi)一點，不能作圓的切線。（2）求過圓上一點的切線方程法一：先求出切點與圓心的連線斜率，若不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程；若，則結(jié)課圖形可直接寫出切線方程；若存在且，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點斜式寫出切線方程。法二：若不存在，驗證是否成立；若存在，設點斜式方程，用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解出方程即可。（3）過圓外一點的圓的切線方程法一：當斜率存在時，設為，則切線方程為，即由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出的值，進而寫出切線方程；法二：當斜率存在時，設為，則切線方程為，即代入圓的方程，得到一個關(guān)于的一元二次方程，由，求得，切線方程即可求出。知識點3圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示交點個數(shù)01210d與，的關(guān)系（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．消元，一元二次方程2、兩圓的公切線（1）定義：與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，包括外公切線和內(nèi)公切線；（2）兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)的關(guān)系位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線條數(shù)4條3條2條1條無公切線（3）兩圓公切線方程的確定=1\*GB3①當公切線的斜率存在時，可設公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關(guān)于和的方程，解這個方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程；=2\*GB3②當公切線的斜率不存在時，要注意運用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程。3、兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.【注意】（1）若與相切，則表示其中一條公切線方程；（2）若與相離，則表示連心線的中垂線方程.考點1求圓的標準方程和一般方程【例1】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習）圓心為，且經(jīng)過坐標原點的圓的標準方程為（）A．B．C．D．【變式1-1】（2023秋·吉林長春·高二?？计谥校﹫A心在軸上，并且過點和的圓的標準方程是（）A．B．C．D．【變式1-2】（2023秋·四川眉山·高二?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知、兩點，若圓以為直徑，則圓的標準方程為（）A．B．C．D．【變式1-3】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習）若的三個頂點分別是，，，則的外接圓的標準方程為.【變式1-4】（2023秋·四川遂寧·高二?？茧A段練習）分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：（1）過點，，且圓心在直線上；（2）過、、三點．考點2二元二次方程與圓的關(guān)系【例2】（2023秋·浙江·高二?？茧A段練習）若，則方程表示的圓的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式2-1】（2023秋·浙江臺州·高二?？茧A段練習）已知方程表示圓，則的取值范圍是．【變式2-2】（2023秋·浙江嘉興·高二?？茧A段練習）若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是.【變式2-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習）若表示圓的一般方程，則實數(shù)a的取值范圍是．【變式2-4】（2023秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習）（多選）已知方程，則下列說法正確的是（）A．方程表示圓，且圓的半徑為1時，B．當時，方程表示圓心為的圓C．當時，方程表示圓且圓的半徑為D．當時，方程表示圓心為的圓考點3與圓有關(guān)的對稱問題【例3】（2023秋·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）已知圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)（）A．B．C．D．或【變式3-1】（2023秋·河北保定·高二校考階段練習）若圓關(guān)于直線對稱，則此圓的半徑為．【變式3-2】（2022·全國·高二專題練習）點M，N是圓＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（）A．B．C．3D．9【變式3-3】（2023秋·寧夏銀川·高二?？计谥校﹫A：關(guān)于直線對稱的圓的方程為（）A．B．C．D．【變式3-4】（2023秋·高二課時練習）若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程是考點4與圓有關(guān)的軌跡問題【例4】（2023·全國·高二專題練習）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知兩點，.若動點M滿足，則“”是“動點M的軌跡是圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式4-2】（2023秋·高二課時練習）設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.【變式4-3】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二?？茧A段練習）已知的斜邊為AB，且.求:（1）外接圓的一般方程;（2）直角邊的中點的軌跡方程．【變式4-4】（2022·全國·高二專題練習）已知圓過三個點.（1）求圓的方程；（2）過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段的中點的軌跡.考點5直線與圓的位置關(guān)系判斷【例5】（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習）直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不確定【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習）已知點在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相切B．相交C．相離D．不確定【變式5-2】（2023·江蘇·高二專題練習）（多選）直線與圓的交點個數(shù)不可能為（）A．0B．1C．2D．3【變式5-3】（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習）直線與圓的位置關(guān)系為.【變式5-4】（2023秋·江西南昌·高二?？茧A段練習）（多選）下列直線中，與圓：相切的有（）A．B．C．D．考點6由直線與圓位置關(guān)系求參【例6】（2023秋·云南曲靖·高二?？茧A段練習）若直線與圓相切，則等于【變式6-1】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期中）（多選）若過點的直線l與圓有公共點，則直線l的斜率可為（）A．B．C．D．【變式6-2】（2023秋·天津·高二校考階段練習）已知直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式6-3】（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）已知直線與曲線有兩個不同的交點，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式6-4】（2023秋·浙江舟山·高二?？茧A段練習）若圓上至少有三個不同的點到直線l：的距離為2，則c的取值范圍是（）A．B．C．D．考點7求圓的切線方程【例7】（2023秋·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習）過點作圓：的切線，切線的方程為．【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）過點作圓的切線，則切線的方程為.【變式7-2】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習）已知圓，自點作圓的切線，則切線的方程．【變式7-3】（2023秋·河北衡水·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點，圓.（1）求的取值范圍，并求出圓心坐標；（2）若圓的半徑為1，過點作圓的切線，求切線的方程.【變式7-4】（2023秋·貴州·高二貴校聯(lián)考階段練習）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點和．（1）求圓的標準方程；（2）若自點發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射后，其反射光線所在的直線與圓相切，求直線的方程．考點8與切線長有關(guān)的問題【例8】（2023秋·天津·高二?？茧A段練習）已知圓被直線截得的弦長為，若過點作圓的切線，則切線長為.【變式8-1】（2022秋·江蘇泰州·高二統(tǒng)考階段練習）點在圓：上，，，則最小時，.【變式8-2】（2023秋·湖北荊州·高二校考階段練習）已知動點在直線上，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（）A．1B．C．D．2【變式8-3】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.【變式8-4】（2023·全國·高二專題練習）過圓：上一點作圓：的兩切線，切點分別為，，設兩切線的夾角為，當取最小值時，.考點9切點弦及其方程應用【例9】（2022秋·河南許昌·高二?？茧A段練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為M，N，則．【變式9-1】（2022秋·廣西梧州·高二?？茧A段練習）過坐標原點作圓的兩條切線，切點為，，直線被圓截得弦的長度為．【變式9-2】（2023秋·湖南長沙·高二?？茧A段練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為．【變式9-3】（2023秋·全國·高二專題練習）若是直線上一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（）A．B．3C．D．2【變式9-4】（2023·江蘇·高二專題練習）設點為直線上任意一點，過點作圓的切線，切點分別為，則直線必過定點（）A．B．C．D．考點10求直線與圓的的弦長【例10】（2023秋·云南紅河·高二校考階段練習）直線被圓所截得的弦長為.【變式10-1】（2023·全國·高二專題練習）已知圓：，圓的弦被點平分，則弦所在的直線方程是．【變式10-2】（2023秋·高二課前預習）（多選）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（）A．圓的圓心為B．圓被軸截得的弦長為8C．圓的半徑為5D．圓被軸截得的弦長為6【變式10-3】（2023秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知動直線與圓.則直線l被圓C所截得的弦長的最小值是（）A．B．C．D．【變式10-4】（2023秋·安徽淮南·高二校考階段練習）圓，過點作圓的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是（）A．B．C．D．考點11圓與圓的位置關(guān)系判斷【例11】（2023秋·浙江嘉興·高二校考階段練習）已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A．相交B．外切C．內(nèi)切D．內(nèi)含【變式11-1】（2023秋·全國·高二專題練習）圓與圓的位置關(guān)系是（）A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切【變式11-2】（2023秋·高二課時練習）設圓，圓，則圓，的位置（）A．內(nèi)切B．相交C．外切D．外離【變式11-3】（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習）已知圓，圓，其中，那么這兩個圓的位罝關(guān)系不可能為（）A．外離B．外切C．內(nèi)含D．內(nèi)切【變式11-4】（2023秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）（多選）下列圓中與圓：相切的是（）A．B．C．D．考點12由圓與圓的位置關(guān)系求參【例12】（2023秋·福建三明·高二?？茧A段練習）（多選）圓與圓外切，則的值為（）A．B．C．2D．5【變式12-1】（2023秋·山東菏澤·高二校考階段練習）已知圓，圓，如果這兩個圓有且只有一個公共點，則常數(shù).【變式12-2】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習）已知圓：上總存在兩個點到原點的距離均為，則的取值范圍是.【變式12-3】（2023秋·湖南·高二校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，若圓上任意一點關(guān)于原點的對稱點都不在圓上，則的取值范圍為．【變式12-4】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習）已知點，若圓O：上存在點A，使得線段PA的中點也在圓O上，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．考點13兩圓的公共弦問題【例13】（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習）圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）A．B．C．D．【變式13-1】（2023·全國·高二專題練習）圓與圓相交于兩點，則等于（）A．B．C．D．【變式13-2】（2023秋·上海浦東新·高二?？茧A段練習）已知圓與圓交于A，B兩點，若直線AB的傾斜角為，則．【變式13-3】（2023秋·遼寧大連·高二?？茧A段練習）已知圓與圓得公共弦所在直線恒過定點，而且點在直線上，則的最小值是.【變式13-4】（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習）已知圓，圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點.（1）求圓的方程.（2）求經(jīng)過兩圓的交點的圓中面積最小的圓的方程.考點14兩圓的公切線問題【例14】（2023·江蘇·高二專題練習）圓與圓的公切線的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式14-1】（2023秋·陜西西安·高二?？茧A段練習）若圓與圓恰有3條公切線，則（）A．B．C．D．【變式14-2】（2023·全國·高二專題練習）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式14-3】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）圓與圓的公切線方程為．【變式14-4】（2023秋·河南南陽·高二?？茧A段練習）（多選）圓M：，圓N：，則兩圓的一條公切線方程為（）A．B．C．D．1．（2023秋·河北石家莊·高二校考階段練習）圓心為且過點的圓的標準方程為（）A．B．C．D．2．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習）已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切，則圓的方程為（）A．B．C．D．3．（2023秋·河北·高二統(tǒng)考階段練習）已知點在圓C：外，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．或D．或4．（2022秋·浙江嘉興·