《計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造》課件第9章

第9章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)9.1優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展和應(yīng)用9.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念9.3機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法9.4優(yōu)化設(shè)計(jì)中相關(guān)問題的確定9.5最優(yōu)化方法的選擇和評價(jià)9.6計(jì)算結(jié)果的分析與處理9.7最優(yōu)化方法在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

9.1優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展和應(yīng)用

9.1.1優(yōu)化設(shè)計(jì)概述

在人類活動中，要辦好一件事(指規(guī)劃、設(shè)計(jì)等)，都期望得到最滿意、最好的結(jié)果或效果。為了實(shí)現(xiàn)這種期望，必須有好的預(yù)測和決策方法。方法得當(dāng)，事半功倍；反之，則事倍功半。優(yōu)化方法就是各類決策方法中普遍采用的一種方法。

優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過程可以用圖9-1來表示。圖9-1優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過程9.1.2優(yōu)化問題的分類

在工程優(yōu)化原理和方法的應(yīng)用領(lǐng)域中，優(yōu)化主要包括優(yōu)化設(shè)計(jì)、優(yōu)化試驗(yàn)和優(yōu)化控制三個方面。9.1.3優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展

根據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)和其應(yīng)用的發(fā)展概況，優(yōu)化設(shè)計(jì)可歸納為如下幾個方面來考慮：

1.優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的發(fā)展

2.建立數(shù)學(xué)模型

3.?CAD/CAM資源庫9.1.4優(yōu)化技術(shù)在工程中的應(yīng)用

工程技術(shù)的優(yōu)化問題可分為靜態(tài)與動態(tài)兩類。

最優(yōu)化技術(shù)在工程中的應(yīng)用主要有四個方面：

(1)工程部件、單元設(shè)備或全系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)；

(2)現(xiàn)有操作的分析和計(jì)劃制定；

(3)工程分析和數(shù)據(jù)處理；

(4)研究過程動態(tài)特性和設(shè)計(jì)最優(yōu)控制方案。

9.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念

9.2.1設(shè)計(jì)變量

1.設(shè)計(jì)變量的定義

為了進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)，需要尋找并確定最佳的結(jié)構(gòu)參數(shù)。這些參數(shù)中，有的可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)定等選定，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中可認(rèn)為是設(shè)計(jì)常量，例如靜摩擦系數(shù)、系列化齒輪傳動的中心距等；有的必須通過設(shè)計(jì)確定，這些參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量，即通過設(shè)計(jì)確定的最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)，例如齒數(shù)、模數(shù)、齒寬等。設(shè)x1，x2，…，xn為最優(yōu)化問題中的n個變量，我們可以用一個n維向量X表示，記為

2.設(shè)計(jì)變量的選定

任何一項(xiàng)產(chǎn)品，都是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，越能完整地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。9.2.2目標(biāo)函數(shù)

為了對設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評價(jià)函數(shù)，它便是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(?X?)表示。

9.2.3約束條件

任何設(shè)計(jì)都有各種各樣的限制條件，例如強(qiáng)度、剛度等。每個限制條件都可寫成包含設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，稱為約束條件。

9.2.4全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解

不論是無約束或有約束的優(yōu)化問題，由于目標(biāo)函數(shù)和約束條件的函數(shù)形態(tài)不同，可能有多個局部極值點(diǎn)(即局部最優(yōu)解)。而全局最優(yōu)解是指這些局部最優(yōu)解中目標(biāo)函數(shù)值最好的一個解，往往只有一個。

9.3機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

按不同的方法來確定搜索方向和步長，就形成了不同的優(yōu)化方法。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的問題大多是多維優(yōu)化問題，但由于多維問題都可以化為一維問題處理，所以一維尋優(yōu)方法是優(yōu)化設(shè)計(jì)中最基本的方法。

1.?0.618法(黃金分割法)

它的基本思想是通過對黃金分割點(diǎn)函數(shù)值的計(jì)算和比較，將搜索區(qū)間逐次縮短，其縮短系數(shù)為λ?=?0.618，當(dāng)區(qū)間縮短到預(yù)定精度范圍時(shí)，即可獲得近似最優(yōu)解。

2.插值法

插值法是利用搜索區(qū)間內(nèi)的若干個點(diǎn)的信息(包括函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值等)，構(gòu)造一個低次插值多項(xiàng)式，近似地代替原目標(biāo)函數(shù)，然后求此多項(xiàng)式的極小點(diǎn)，以它作為原目標(biāo)函數(shù)的插值點(diǎn)，通過迭代計(jì)算逐步縮短搜索區(qū)間，使插值函數(shù)的極小點(diǎn)逐步逼近目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。

3.坐標(biāo)輪換法

坐標(biāo)輪換法是輪流沿坐標(biāo)方向進(jìn)行一維搜索，即先固定n-1維的坐標(biāo)，沿未固定的坐標(biāo)方向e1進(jìn)行一維搜索，找到此方向上函數(shù)的極小點(diǎn)；然后以此點(diǎn)作為初始點(diǎn)沿另一坐標(biāo)方向e2進(jìn)行一維搜索，得到在此坐標(biāo)方向的極小點(diǎn)；依次沿坐標(biāo)方向e3，e4，…，en進(jìn)行一維搜索，這樣就完成了第一輪搜索，求得第一輪的極小點(diǎn)。

4.梯度法

梯度方向是函數(shù)值增加最快的方向，負(fù)梯度方向是函數(shù)值下降最快的方向。利用這一特性，把負(fù)梯度方向作為搜索方向，這就是梯度法，也稱最速下降法。然而，梯度法的收斂速度并不快，這是因?yàn)樘荻戎环从澈瘮?shù)的局部性質(zhì)。

5.共軛方向法

共軛方向的概念在優(yōu)化方法中起著重要的作用。一般二元二次函數(shù)的等值線是一個同心橢圓族，其中心就是函數(shù)的極小點(diǎn)X*。同心橢圓族的特性為過任意兩點(diǎn)沿S1方向作兩條平行線，它們與同心橢圓族中兩橢圓切點(diǎn)的連線必定通過橢圓族的中心，如圖9-2所示。切線方向S1與兩切點(diǎn)連線方向S2是共軛的矢量。

圖9-2同心橢圓族平行切線的特性

6.復(fù)合形法

復(fù)合形法是求解約束優(yōu)化問題的一種重要直接方

法。它是指在n維設(shè)計(jì)空間的可行域內(nèi)，先取P個點(diǎn)(n?+?1≤P≤2n)作為初始復(fù)合形的頂點(diǎn)，比較這些頂點(diǎn)

的目標(biāo)函數(shù)值，去掉函數(shù)值最大的最壞點(diǎn)，而代之以壞

點(diǎn)的反射點(diǎn)(以復(fù)合形中壞點(diǎn)之外的各點(diǎn)的中心為映射中

心所得的映射點(diǎn))形成新的復(fù)合形，按照這種步驟重復(fù)多次，使復(fù)合形逐步縮小并逼近最優(yōu)點(diǎn)，達(dá)到精度要求時(shí)，取最后一個復(fù)合形中的最小點(diǎn)作為最優(yōu)點(diǎn)。

7.罰函數(shù)法

罰函數(shù)法是一種將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個等價(jià)的無約束優(yōu)化問題，并利用無約束優(yōu)化方法求解的間接求優(yōu)方法。其基本思想是：以原目標(biāo)函數(shù)為基礎(chǔ)，將約束函數(shù)考慮進(jìn)去，構(gòu)成一個沒有約束條件的新目標(biāo)函數(shù)，在此新目標(biāo)函數(shù)中，給予一個或幾個可調(diào)整的稱為懲罰因子的參數(shù)，在求優(yōu)過程中，不斷調(diào)整這些參數(shù)，使新的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解最后收斂于原目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

8.遺傳算法

遺傳算法是模擬生物在自然環(huán)境中的遺傳和進(jìn)化過程而形成的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法。它使用群體搜索技術(shù)，通過對當(dāng)前群體施加選擇、交叉、變異等一系列遺傳操作，從而產(chǎn)生出新一代的群體，并按優(yōu)勝劣汰的機(jī)制逐步使群體進(jìn)化到包含或接近最優(yōu)解的狀態(tài)。

9.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量具有存儲能力的處理單元按一定方式連接而成的高度復(fù)雜的非線性動力學(xué)系統(tǒng)，是對人腦的微觀結(jié)構(gòu)及其智能行為的簡化和模擬。它通過反復(fù)訓(xùn)練和學(xué)習(xí)以及自身的適應(yīng)能力來完成對信息的處理，具有很強(qiáng)的自適應(yīng)性、自組織性、自學(xué)習(xí)能力和容錯性。

9.4優(yōu)化設(shè)計(jì)中相關(guān)問題的確定

9.4.1設(shè)計(jì)變量的選取

設(shè)計(jì)變量是在設(shè)計(jì)過程中需要進(jìn)行選擇且最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立參數(shù)。雖然凡能影響設(shè)計(jì)質(zhì)量或結(jié)果的可變參數(shù)均可作為設(shè)計(jì)變量，但設(shè)計(jì)變量太多會增加計(jì)算的難度和工作量，且會由于問題過分復(fù)雜而失去實(shí)際意義；設(shè)計(jì)變量太少則減小了設(shè)計(jì)自由度，難以甚至無法得到較佳的優(yōu)化結(jié)果。9.4.2目標(biāo)函數(shù)的建立

目標(biāo)函數(shù)是以設(shè)計(jì)變量表示設(shè)計(jì)所要追求的某種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，用來評價(jià)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣程度。9.4.3約束條件的確定

設(shè)計(jì)約束是考慮邊界和性能對設(shè)計(jì)變量取值的限制

條件。

9.5最優(yōu)化方法的選擇和評價(jià)

1.最優(yōu)化方法的選擇

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中常用的一些優(yōu)化方法前面已作介紹，各種方法都有其特點(diǎn)和一定的適用范圍。選擇優(yōu)化方法應(yīng)綜合考慮：

(1)設(shè)計(jì)變量是連續(xù)的還是離散的，以及維數(shù)的多少。維數(shù)較低可選用結(jié)構(gòu)簡單易于編程的方法，維數(shù)高的則應(yīng)選擇收斂速度較快的方法。

(2)目標(biāo)函數(shù)是單目標(biāo)還是多目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)是否存在以及是否易于求得，對于求導(dǎo)困難或?qū)?shù)不存在的應(yīng)避免求導(dǎo)而采用直接法。

(3)有無約束，約束條件是不等式約束還是等式約束，還是兩者同時(shí)兼有。如具有等式約束，顯然不能直接采用復(fù)合形法、內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法。

2.最優(yōu)化方法的評價(jià)

評價(jià)優(yōu)化程序的準(zhǔn)則主要有：

(1)通用性，指在合理的精度要求下，在一定的計(jì)算時(shí)間內(nèi)，能求解出各種不同類型的優(yōu)化問題的成功率。

(2)有效性，指對同一問題在同一精度、同一初始條件下，求解優(yōu)化問題所用計(jì)算時(shí)間的多少。

(3)簡便性，指人們所需要準(zhǔn)備的工作量大小，包括學(xué)習(xí)使用程序，編制針對具體優(yōu)化問題的輔助子程序，程序中所需調(diào)用參數(shù)的多少，調(diào)試操作復(fù)雜程度，輸入、輸出控制方式等。

9.6計(jì)算結(jié)果的分析與處理

由于機(jī)械設(shè)計(jì)問題的復(fù)雜性，以及建模中可能的失誤，因此對優(yōu)化計(jì)算得到的結(jié)果要進(jìn)行仔細(xì)的分析，有時(shí)還需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，以保證設(shè)計(jì)的合理性。

9.7最優(yōu)化方法在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、機(jī)械零部件設(shè)計(jì)以至機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，應(yīng)用最優(yōu)化技術(shù)已日益廣泛。

機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是在解析法的基礎(chǔ)上確定機(jī)構(gòu)的最佳參數(shù)和尺寸。它是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中發(fā)展比較早的一個領(lǐng)域，如今已成為機(jī)構(gòu)學(xué)重要的研究方向之一。機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)一般有兩類基本問題：

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