浙江省臺州市十校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺州市十校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€，即所以，且

所以故選:D.2.已知直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，若，則（）A. B.3 C.6 D.9【答案】A【解析】設(shè)直線的方向向量，直線的方向向量，由于，所以，因此可得：，解得：.故選：A3.若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以，即，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.4.空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意畫出如圖所示的空間四邊形由圖可知故選：B5.已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓心為，由題意得，即，解得，故圓心，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C6.方程表示橢圓的充要條件是（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】方程表示橢圓，則，解得，且，反之，當(dāng)，且時，方程表示橢圓，所以方程表示橢圓的充要條件是或.故選：D7.如圖所示，正方體的棱長為1，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.直線與直線垂直 B.三棱錐的體積為C.直線與平面平行 D.直線與平面所成的角為【答案】C【解析】在棱長為的正方體中，建立為原點(diǎn)，以，，所在的直線為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，，分別為、、的中點(diǎn)，則A1,0,0，，，，，；對于A選項(xiàng)，，，由于，因此直線與直線不垂直，故A選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)橹本€在平面外，所以直線與平面平行，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，設(shè)直線與平面所成的角為，，故D選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，，又因?yàn)樵谡襟w中，底面，所以，故B選項(xiàng)錯誤.故選：C8.已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)F1Q的延長線交F2P的延長線于點(diǎn)M，則由題意知∵∴由題意知OQ是△F1F2M的中位線,∴∴Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以6為半徑的圓∴當(dāng)點(diǎn)Q與y軸重合時，Q與短軸端點(diǎn)取最近距離故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O0,0,0，，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.向量與的夾角的余弦值為C.點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為D.直線的一個方向向量【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，由于，，根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式可得：.故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，，，設(shè)向量與向量的夾角為，則，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，易知，由于，得：，因此是直線的一個方向向量，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的一個方向向量為 B.在軸上的截距等于C.與直線垂直 D.點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離是1【答案】BCD【解析】由題意得直線的斜率，又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線方程為，化簡得；對于A，直線的一個方向向量為，則與不平行，所以不是直線的方向向量，故A不正確；對于B，令，則，解得，所以直線在軸上的截距等于，故B正確；對于C，直線的斜率為，因?yàn)?，所以直線與直線垂直，故C正確；對于D，點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離是1，故D正確；故選：BCD.11.已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.若圓關(guān)于直線對稱，則B.的最小值為C.若、、、（為坐標(biāo)原點(diǎn)）四點(diǎn)共圓，則D.當(dāng)時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點(diǎn)【答案】AD【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，對于A選項(xiàng)，若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓心，則，解得，A對；對于B選項(xiàng)，直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點(diǎn)，則，當(dāng)時，圓心到直線的距離取最大值，且最大值為，因?yàn)椋瑒t，則，B錯；對于C選項(xiàng)，若、、、四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心，的中點(diǎn)為，所以的垂直平分線方程為，所以，圓的方程為，整理為，直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得所以直線的方程是，將直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得，得，所以直線，即直線的斜率為，即，則，C錯；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，直線，曲線，即，所以曲線為過直線與圓交點(diǎn)的曲線方程，D對.故選：AD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的離心率是________.【答案】【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，所以，因?yàn)?，，所以，，所以離心率，故答案為：.13.直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為________.【答案】【解析】聯(lián)立，解得，所以是直線和直線的交點(diǎn)，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以直線的方程為，即直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為；故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍為________.【答案】【解析】等式可化為，令，整理可得，所以，直線與圓有公共點(diǎn)，且圓心為，半徑為，則，整理可得，解得或，因此，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或測算步驟.15.求經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.解：（1）由，解得，即點(diǎn)，由于所求直線與直線平行，所以設(shè)所求直線方程為，代入，得：，解得，所以所求直線方程為.（2）由（1）知，點(diǎn)，由于所求直線與直線垂直，設(shè)所求直線方程為，代入，得：，解得，所以所求方程為.16.如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為的正方形，，底面，、分別為、的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，底面，所以、、兩兩相互垂直，如圖，以為原點(diǎn)，分別以、、方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得A0,0,0、、、、、，、、，則，，，設(shè)平面的一個法向量為n1=x1即，則，令，則，，所以為平面a的一個法向量，所以，所以，又平面，所以平面.（2）由平面的一個法向量為，.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.17.已知直線及圓.（1）求證：直線過定點(diǎn)，并求出圓心到直線距離最大時的值；（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的長為，求的值.解：（1）因?yàn)橹本€，得，由，可得，所以直線過定點(diǎn).圓，所以定點(diǎn)在圓上，圓心，半徑為.當(dāng)圓心到直線距離最大時直線與圓相切，此時有：，所以.（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，利用勾股定理得：.同時利用圓心到直線的距離：，解得.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在棱上（不與點(diǎn)，重合）.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請說明理由.解：（1）因?yàn)槠矫?，所以，，又，則以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，，平面，所以平面，所以平面平面.（2）由（1）知是平面的一個法向量，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令，則，，所以，所以，又由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為.（3）由（1）得，，，，設(shè)，則，可得，所以，由（2）知是平面的一個法向量，若平面，可得，則，該方程無解，所以直線不能與平面垂直.19.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，，焦距為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)、的圓交直線于、兩點(diǎn)，直線、分別交橢圓于、.（1）求橢圓的方程；（2）記直線，的斜率分別為、，求的值；（3）證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由已知得，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）法一：設(shè)，則圓的方程為：，圓過，代入圓的方程得，故；法二：設(shè)，圓半徑為r，則圓方程為：，圓過，，由題意可設(shè)，則；（3）由題意知，當(dāng)圓的圓心不在